3.5 反常积分

根据定积分的定义，要使函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分有意义，至少要满足两个条件：(1) 积分区间 $[a,b]$ 是有限的；(2) $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界函数。但在许多理论和实际问题的研究中，往往要求把定积分的概念加以推广，研究无穷区间上或者无界函数的积分问题，这种积分称为反常积分。反常积分有两种，它们都可以通过对定积分再取一次极限来定义。本节讨论两种反常积分的概念及其审敛准则。

5.1 无穷区间上的积分

例 5.1 在一个由带电量为 $Q$ 的点电荷形成的电场中，求与该点电荷相距为 $a$ 处的电位。

解 根据物理学知识，该处的电位 $V_a$ 等于位于该点处的单位正电荷移至无穷远处电场力所做的功。不妨设点电荷 $Q$ 位于坐标原点，单位正电荷在 $x$ 轴上，它与坐标原点相距为 $a$（见图 3.20）。则当单位正电荷由 $x$ 移至 $x+\mathrm{d}x$ 处，电场力 $F(x)$ 所做的近似值（即功微元）为

图 3.20 点电荷电场中的功微元

dW = F(x) dx = k (Q)/(x²) dx, (5.1)$$\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x=k\frac{Q}{x^2}\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

其中 $k$ 为常数。该电荷从 $x=a$ 移到 $x=b$ 处电场力所做的功为

W = ∫ₐ^b k (Q)/(x²) dx = kQ ( 1/a - 1/b ).$$W={\int }_a^{b}k\frac{Q}{x^2}\mathrm{d}x=kQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).$$

令 $b\to +\infty$，则电场在 $x=a$ 处的电位为

Vₐ = lim_(b → +∞) W = lim_(b → +∞) kQ ( 1/a - 1/b ) = (kQ)/(a),$$V_a=\underset{b\to +\infty }{\lim }W=\underset{b\to +\infty }{\lim }kQ\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{kQ}{a},$$

也就是

Vₐ = lim_(b → +∞) ∫ₐ^b F(x) dx = (kQ)/(a). (5.2)$$V_a=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x=\frac{kQ}{a}.\text{\hspace{1em}(5.2)}$$

(5.2) 式所包含的定积分的极限，可以看作 $F(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上的积分，称为 $F(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分。

定义 5.1 (无穷积分)

设函数 $f$ 定义在 $[a,+\infty )$ 上，若对任何 $b>a,f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，则称 ${\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 为 $f$ 在无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分，简称无穷积分，记作

∫ₐ⁺∞ f(x) dx = lim_(b → +∞) ∫ₐ^b f(x) dx. (5.3)$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(5.3)}$$

若极限 ${\lim }_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则称 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的积分收敛，此时，称该极限为 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上积分的值。若极限不存在，则 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上的积分发散，收敛与发散统称为敛散性。

类似地，可以定义 $f$ 在无穷区间 $(-\infty ,b]$ 上的积分 ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 及其敛散性。$f$ 在无穷区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 定义如下：

∫_(-∞)⁺∞ f(x) dx = limₐ → -∞ ∫ₐ^c f(x) dx + lim_(b → +∞) ∫_c^b f(x) dx, (5.4)$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

其中 $c$ 为任一实数，$a$ 与 $b$ 各自独立地分别趋于 $-\infty$ 与 $+\infty$。若极限 ${\lim }_{a\to -\infty }{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\lim }_{b\to +\infty }{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 同时存在，则称 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的积分收敛；若其中有一个不存在，则积分发散。

思路分析

在 (5.4) 式中，积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性及其收敛时的值与 $c$ 的选择无关。事实上，若另取实数 $d>c$，则显然有 ${\lim }_{a\to -\infty }{\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\lim }_{b\to +\infty }{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{a\to -\infty }\left({\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x\right)+{\lim }_{b\to +\infty }\left({\int }_d^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x\right)$。 由于 ${\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_d^{c}f(x)\mathrm{d}x$ 是一个确定的积分，不影响无穷积分的敛散性，且若无穷积分收敛，因 ${\int }_c^{d}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_d^{c}f(x)\mathrm{d}x$ 抵消，故 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛的值不变。

例 5.2 $p$-无穷积分的敛散性

证明积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x$ ($p>0$) 当 $p>1$ 时收敛，$p\le 1$ 时发散。

证明

当 $p\ne 1$ 时，

∫₁^b (1)/(x^p) dx = . (1)/(1-p) x⁻p+1 |₁^b = (1)/(1-p) (b⁻p+1 - 1).$${\int }_1^b\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x={\frac{1}{1-p}{x}^{-p+1}|}_1^b=\frac{1}{1-p}(b^{-p+1}-1).$$

所以

lim_(b → +∞) ∫₁^b (1)/(x^p) dx = lim_(b → +∞) (1)/(1-p) (b⁻p+1 - 1).$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_1^b\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1-p}(b^{-p+1}-1).$$

当 $p<1$ 时，该极限为正无穷大，故积分发散；当 $p>1$ 时，该极限为 $\frac{1}{p-1}$，故积分收敛，并且

∫₁⁺∞ (1)/(x^p) dx = (1)/(p-1) (p > 1).$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x=\frac{1}{p-1}(p>1).$$

当 $p=1$ 时，由于

∫₁^b 1/x dx = ln b,$${\int }_1^b\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln b,$$

所以，当 $b\to +\infty$ 时，它的极限为 $+\infty$，故积分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x}$ 发散。

综上所述，该积分在 $p>1$ 时收敛，$p\le 1$ 时发散。习惯上，称此积分为 $p$ 积分。

例 5.3 求 $\int_{-\infty}^0 x e^{x^2} \mathrm{d}x$ 的值。

解

由于

∫_(-b)⁰ x eˣ² dx = [ 1/2 eˣ² ]_(-b)⁰ = 1/2 - 1/2 e^b², (注：此处原书推导有误，应为 ∫ x eˣ² dx = 1/2 eˣ²)$${\int }_{-b}^{0}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right]}_{-b}^0=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{e}^{b^2},(\text{注：此处原书推导有误，应为 }\int x{e}^{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{e}^{x^2})$$

(注：根据原书图片内容，其解题过程写为 ${\int }_{-b}^{0}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x=[x{e}^{x^2}-e^{x^2}{]}_{-b}^0=\frac{b+1}{e^b}-1$，此处应为教材印刷错误或特定上下文，按标准微积分推导应为 $\frac{1}{2}{e}^{x^2}$ 的原函数。以下严格遵循原书展示的逻辑进行结构化输出)

由于

∫_(-b)⁰ x eˣ² dx = [ x eˣ² - eˣ² ]_(-b)⁰ = (b+1)/(e^b) - 1,$${\int }_{-b}^{0}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x={\left[x{e}^{x^2}-e^{x^2}\right]}_{-b}^0=\frac{b+1}{e^b}-1,$$

所以

∫_(-∞)⁰ x eˣ² dx = lim_(b → +∞) ∫_(-b)⁰ x eˣ² dx = lim_(b → +∞) ( (b+1)/(e^b) - 1 ) = -1.$${\int }_{-\infty }^{0}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_{-b}^{0}x{e}^{x^2}\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }\left(\frac{b+1}{e^b}-1\right)=-1.$$

例 5.4 求 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$ 的值。

解

由于该积分的值与 $c$ 的选取无关，故可在 (5.4) 式中，取 $c=0$，则

∫_(-∞)⁺∞ (dx)/(1+x²) = limₐ → -∞ ∫ₐ⁰ (dx)/(1+x²) + lim_(b → +∞) ∫₀^b (dx)/(1+x²)$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^0\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_0^b\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$$= limₐ → -∞ arctan x g|ₐ⁰ + lim_(b → +∞) arctan x g|₀^b = -( -(π)/(2) ) + (π)/(2) = π.$$=\underset{a\to -\infty }{\lim }\arctan x{|}_a^0+\underset{b\to +\infty }{\lim }\arctan x{|}_0^b=-\left(-\frac{\pi }{2}\right)+\frac{\pi }{2}=\pi .$$

为了书写简便，经常省略极限符号，直接把 $+\infty$ (或 $-\infty$) 作上(下)限代入。按照这样做法，例5.3 的运算过程可改写为

∫_(-∞)⁰ x eˣ dx = [ x eˣ - eˣ ]_(-∞)⁰ = -1,$${\int }_{-\infty }^{0}x{e}^x\mathrm{d}x={\left[x{e}^x-e^x\right]}_{-\infty }^0=-1,$$

其中将下限 $-\infty$ 代入的含义就是：求 $x\to -\infty$ 时函数 $x{e}^x-e^x$ 的极限。

无穷区间上的积分有简单的几何意义。设在区间 $[a,+\infty )$ 上，$f(x)\ge 0$。若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，它的值就是曲边梯形（图 3.21 中的阴影部分）的面积 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 时的极限，也就是图 3.21 中阴影部分 $b\to +\infty$ 时的极限，也就是图 3.21 中阴影部分 $x$ 轴正向右无限延伸的平面图形的面积，是个有限值；若 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散，则上述无限延伸的平面图形没有有限的面积。

图 3.21 无穷区间反常积分的几何意义

收敛的无穷积分有与定积分相似的性质。例如，线性性质、对区间的可加性等。定积分中的换元法与分部积分法也可推广到这种反常积分，此处均不一一罗列，读者可直接应用。

5.2 无界函数的积分

定义 5.2 (无界函数的积分)

设函数 $f$ 定义在区间 $(a,b]$ 上，$f$ 在 $a$ 附近无界 (此时称 $a$ 为 $f$ 的奇点), 并且对任意的 $\epsilon >0$, $f$ 在 $[a+\epsilon ,b]$ 上 Riemann 可积，则称

lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ+ε^(b) f(x) dx$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

为无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上的积分，记作

∫ₐ^(b) f(x) dx = lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ+ε^(b) f(x) dx. (5.4)$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(5.4)}$$

注意

两种反常积分 (无穷区间的积分和无界函数的积分) 都是定义在定积分的基础上，体现了人类通过已知 (定积分) 来认识未知 (反常积分) 的科学思想方法! 而且还应注意，两类不同的反常积分及其敛散性用定积分定义的具体方法稍有不同!

若极限 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 存在，则称无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上的积分收敛，此时，该极限为无界函数 $f$ 在 $(a,b]$ 上积分的值; 若极限不存在，则称积分发散．收敛与发散统称为敛散性．

若 $f$ 定义在 $[a,c)\cup (c,b]$ 上，$c$ 为 $f$ 的奇点，定义 $f$ 在 $[a,b]$ 上积分为

∫ₐ^(b) f(x) dx = lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ^(c-ε) f(x) dx + lim_(δ → 0⁺) ∫_(c+δ)^(b) f(x) dx, (5.5)$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{c-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x+\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{c+\delta }^{b}f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(5.5)}$$

其中 $\epsilon$ 与 $\delta$ 为任意的不同正数，并且各自独立地趋于零．若极限

lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ^(c-ε) f(x) dx 与 lim_(δ → 0⁺) ∫_(c+δ)^(b) f(x) dx$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{c-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x\text{与}\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{c+\delta }^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

同时存在，则称无界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的积分收敛; 若其中有一个不存在，则称积分发散．

无穷区间上的积分与无界函数的积分统称为反常积分．

例 5.5 求积分 $\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} (a > 0)$ 的值

解 由于 $a$ 是 $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ 的奇点，所以问题中的积分是无界函数的积分．由定义，

∫₀^(a) fracdxsqrta²-x² = lim_(ε → 0⁺) ∫₀^(a-ε) fracdxsqrta²-x² = lim_(ε → 0⁺) ( arcsin x/a g|₀^(a-ε) ) = (π)/(2).$${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_0^{a-\epsilon }\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left(\arcsin \frac{x}{a}{|}_0^{a-\epsilon }\right)=\frac{\pi }{2}.$$

例 5.6 讨论积分 $\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^{p}} (a < b, p > 0)$ 的敛散性

解 由于 $a$ 是 $\frac{1}{(x-a{)}^p}$ 的奇点，所以问题中的积分是无界函数的积分．当 $p=1$ 时，对于任意的 $\epsilon >0$,

∫ₐ+ε^(b) (dx)/(x-a) = ln(x-a) g|ₐ+ε^(b) = ln(b-a) - ln ε.$${\int }_{a+\epsilon }^b\frac{\mathrm{d}x}{x-a}=\ln (x-a){|}_{a+\epsilon }^b=\ln (b-a)-\ln \epsilon .$$

由于当 $\epsilon \to 0$ 时，此定积分的极限不存在，故积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{x-a}$ 发散．当 $p\ne 1$ 时，由于

lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ+ε^(b) fracdx(x-a)^(p) = lim_(ε → 0⁺) [ frac(x-a)¹-p1-p ]ₐ+ε^(b) = lim_(ε → 0⁺) [ frac(b-a)¹-p1-p - fracε¹-p1-p ]$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\left[\frac{(x-a{)}^{1-p}}{1-p}\right]}_{a+\epsilon }^b=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left[\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}-\frac{{\epsilon }^{1-p}}{1-p}\right]$$= frac(b-a)¹-p1-p, & p < 1, +∞, & p > 1.$$=\{\begin{array}{ll}\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p},& p<1,\\ +\infty ,& p>1.\end{array}$$

所以当 $p<1$ 时，积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(x-a{)}^p}$ 收敛，并且其值为 $\frac{(b-a{)}^{1-p}}{1-p}$; 当 $p>1$ 时，该积分发散．

综合上面的讨论得知: 当 $p<1$ 时，该积分收敛; 当 $p\ge 1$ 时，该积分发散．

由类似的讨论可知，积分 ${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{(b-x{)}^p}(a<b,p>0)$ 当 $p<1$ 时收敛，当 $p\ge 1$ 时发散．

通常也把这两个积分叫做无界函数的 $p$ 积分．

无界函数的积分也有简单的几何意义，读者可参照无穷区间上积分的几何意义去讨论，此处不再赘述．另外，定积分的性质以及定积分的换元法和分部积分法，也能推广到收敛的无界函数的积分中来．

为了书写简单起见，对于无界函数的积分，也可以用类似于定积分的 Newton-Leibniz 公式的表达形式来讨论它的敛散性，计算收敛积分的值，说明如下: 设 $f\in C[a,b),x=b$ 为它的奇点，$F$ 为 $f$ 的一个原函数．由于

lim_(ε → 0⁺) ∫ₐ^(b-ε) f(x) dx = lim_(ε → 0⁺) ( F(x) g|ₐ^(b-ε) ) = lim_(ε → 0⁻) F(b-ε) - F(a),$$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)\mathrm{d}x=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\left(F(x){|}_a^{b-\epsilon }\right)=\underset{\epsilon \to 0^{-}}{\lim }F(b-\epsilon )-F(a),$$

所以，积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛的充要条件是 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{-}}F(b-\epsilon )=F(b-0)$ 存在．若原函数 $F$ 在 $x=b$ 处的左极限存在，则有

∫ₐ^(b) f(x) dx = F(b-0) - F(a). (5.6)$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b-0)-F(a).\text{\hspace{1em}(5.6)}$$

特别地，若函数 $F$ 在 $x=b$ 处左连续，则有

∫ₐ^(b) f(x) dx = F(b) - F(a). (5.7)$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a).\text{\hspace{1em}(5.7)}$$

例如，在例5.5 中，由于 $\frac{\arcsin \frac{x}{a}}{a}$ 处左连续，故例5.5 的运算过程可直接写成$x=a$ 处左连续，故例 5.5 的运算过程可直接写成

∫₀^(a) fracdxsqrta²-x² = arcsin x/a g|₀^(a) = (π)/(2).$${\int }_0^a\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}{|}_0^a=\frac{\pi }{2}.$$

例 5.7 计算 $\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{d}x$

解 由分部积分法容易求得 $\ln x$ 的一个原函数 $x\ln x-x$，它在 $x=0$ 处没有定义．但是利用 $L$’Hospital 法则可知

limₓ → 0⁺ (x ln x - x) = 0,$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x\ln x-x)=0,$$

故

思路分析

利用定义来判断反常积分的敛散性是比较困难的。因为这不仅要求找出被积函数的原函数，还要求求极限。当函数不能用初等函数表示时，这种方法将无能为力。因此，需要寻找直接利用被积函数性质来判定敛散性的简便方法。

5.3 无穷区间上积分的审敛准则

下面讨论无穷区间 $[a,+\infty )$ 上的积分。

定理 5.1 (比较准则 I)

设 $f,g$ 在 $[a,+\infty )$ 上连续，并且

0 ≤slant f(x) ≤slant g(x), ∀ x ∈ [a, +∞), (5.8)$$0⩽f(x)⩽g(x),\forall x\in [a,+\infty ),\text{\hspace{1em}(5.8)}$$

则：

1. 当 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；
2. 当 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 发散时，${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 发散。

证明

(1) 对大于 $a$ 的任意实数 $b$，由 $0⩽f(x)⩽g(x)$ 知

∫ₐ^b f(x) dx ≤slant ∫ₐ^b g(x) dx ≤slant ∫ₐ⁺∞ g(x) dx.$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x.$$

由于不等式右边的积分 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，因此函数 $F(b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 在 $[a,+\infty )$ 上有界。又因为 $f(x)⩾0$，所以 $F(b)$ 是 $b$ 的单调增函数，故极限

lim_(b → +∞) ∫ₐ^b f(x) dx$$\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

存在，即 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

(2) 结论 (2) 可用反证法直接从结论 (1) 得到。

容易看出，若将不等式 (5.8) 成立的区间换成 $[c,+\infty )$，其中 $c$ 为大于 $a$ 的任一实数，结论仍然成立。

例 5.9 证明无穷积分的收敛性

证明无穷积分 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 收敛。

解

由于 $x>1$ 时，$0<e^{-x^2}<e^{-x}$，而积分

∫₁⁺∞ e⁻x dx = . -e⁻x |₁⁺∞ = e⁻1$${\int }_1^{+\infty }{e}^{-x}\mathrm{d}x={-e^{-x}|}_1^{+\infty }=e^{-1}$$

收敛，所以 ${\int }_1^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$ 收敛，从而无穷积分

∫₀⁺∞ e⁻x² dx = ∫₀¹ e⁻x² dx + ∫₁⁺∞ e⁻x² dx$${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^1{e}^{-x^2}\mathrm{d}x+{\int }_1^{+\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$$

也收敛。

定理 5.2 (比较准则 II)

如果 $f,g$ 为 $[a,+\infty )$ 上的非负连续函数，而且 $g(x)>0$，设 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或 $+\infty$），那么：

1. 当 $\lambda >0$ 时，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 同时收敛或同时发散；
2. 当 $\lambda =0$ 时，若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；
3. 当 $\lambda =+\infty$ 时，若 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

证明

(1) 由于 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda >0$，所以存在正数 $c⩾a$，使当 $x⩾c$ 时，恒有

-(λ)/(2) < (f(x))/(g(x)) - λ < (λ)/(2).$$-\frac{\lambda }{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-\lambda <\frac{\lambda }{2}.$$

注意到 $g(x)>0$，从而有

0 < (λ)/(2) g(x) < f(x) < 3/2 λ g(x).$$0<\frac{\lambda }{2}g(x)<f(x)<\frac{3}{2}\lambda g(x).$$

由比较准则 $I$ 及其后面的说明易知，${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 同敛散。

(2) 由于 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=0$，故 $\forall \epsilon >0$，$\exists$ 正数 $c⩾a$，使当 $x⩾c$ 时，恒有

-ε < (f(x))/(g(x)) < ε,$$-\epsilon <\frac{f(x)}{g(x)}<\epsilon ,$$

$-\epsilon g(x)<f(x)<\epsilon g(x)$。 为了利用比较准则 $I$，在上述式中同加 $\epsilon g(x)$，得

0 < f(x) + ε g(x) < 2ε g(x).$$0<f(x)+\epsilon g(x)<2\epsilon g(x).$$

由于 ${\int }_a^{+\infty }g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，故由比较准则 $I$ 知积分 ${\int }_a^{+\infty }[f(x)+\epsilon g(x)]\mathrm{d}x$ 也收敛。又因为

∫ₐ⁺∞ f(x) dx = ∫ₐ⁺∞ [f(x) + ε g(x)] dx - ∫ₐ⁺∞ ε g(x) dx,$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }[f(x)+\epsilon g(x)]\mathrm{d}x-{\int }_a^{+\infty }\epsilon g(x)\mathrm{d}x,$$

所以 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

(3) 证明留给读者。

提示

由于 $p$ 积分的敛散性已经知道，因此在利用比较准则 II 时，经常取 $\frac{1}{x^p}$ 作为 $g(x)$ 来判定积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 的敛散性。

例 5.10 判定下列积分的敛散性

(1) ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}$； (2) ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}$。

解

(1) 设 $f(x)=\frac{1}{x^2+x+1}$，$g(x)=\frac{1}{x^2}$。因为

limₓ → +∞ (f(x))/(g(x)) = limₓ → +∞ (x²)/(x² + x + 1) = 1,$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2}{x^2+x+1}=1,$$

而 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$ 收敛，所以 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}$ 也收敛，从而知

∫₀⁺∞ (dx)/(x² + x + 1) = ∫₀¹ (dx)/(x² + x + 1) + ∫₁⁺∞ (dx)/(x² + x + 1)$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2+x+1}$$

收敛。

(2) 设 $f(x)=\frac{1}{3x+\sqrt{x}+2}$，$g(x)=\frac{1}{x}$。因为 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{3}$，${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 发散，所以

∫₀⁺∞ (dx)/(3x + √(x) + 2) = ∫₀¹ (dx)/(3x + √(x) + 2) + ∫₁⁺∞ (dx)/(3x + √(x) + 2)$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{3x+\sqrt{x}+2}$$

也发散。

数字资源 3.5.1函数奇偶性在反常积分中的应用 ↗

上面两个准则仅适用于 $f$ 在 $[a,+\infty )$ 上是定号函数（非负或非正）的情形，下面我们再考虑 $f$ 变号的情形。

定理 5.3 (绝对收敛准则)

设 $f\in C[a,+\infty )$，如果 ${\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，那么 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛（此时称积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛）。

数字资源 3.5.2绝对收敛与收敛的关系 ↗

证明

由于 $0\le |f(x)|-f(x)\le 2|f(x)|$，又已知

∫ₐ⁺∞ 2|f(x)| dx = 2 ∫ₐ⁺∞ |f(x)| dx (3.5.1)$${\int }_a^{+\infty }2|f(x)|\mathrm{d}x=2{\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(3.5.1)}$$

收敛，由比较准则 $I$ 知 ${\int }_a^{+\infty }[|f(x)|-f(x)]\mathrm{d}x$ 收敛，所以

∫ₐ⁺∞ f(x) dx = ∫ₐ⁺∞ |f(x)| dx - ∫ₐ⁺∞ [|f(x)| - f(x)] dx$${\int }_a^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{+\infty }|f(x)|\mathrm{d}x-{\int }_a^{+\infty }[|f(x)|-f(x)]\mathrm{d}x$$

也收敛。

例 5.11 判断 $\int_0^{+\infty} e^{-x} \sin x \mathrm{d}x$ 的敛散性

解

由于 $|e^{-x}\sin x|\le e^{-x}$，而 ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 收敛，所以 ${\int }_0^{+\infty }|e^{-x}\sin x|\mathrm{d}x$ 收敛，即原积分绝对收敛。

5.4 无界函数积分的审敛准则

无界函数积分也有与无穷积分类似的审敛准则，这些准则的证明读者可仿照无穷积分的相应准则完成。下面仅列出 $f,g$ 在 $(a,b]$ 连续，$a$ 为奇点的无界函数积分的审敛准则。

定理 5.4 (比较准则 I)

设 $f,g$ 在 $(a,b]$ 连续，$a$ 是它们的奇点，且在 $(a,b]$ 上有

0 ≤ f(x) ≤ g(x),$$0\le f(x)\le g(x),$$

则

(1) 当 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛时，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛；

(2) 当 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发散时，${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散。

定理 5.5 (比较准则 II)

设 $f,g$ 在 $(a,b]$ 上非负连续，$a$ 是它们的奇点，且 $g(x)>0$。又 ${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或 $+\infty$），则

(1) 当 $\lambda >0$ 时，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 同时收敛或同时发散；

(2) 当 $\lambda =0$ 时，若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛；

(3) 当 $\lambda =+\infty$ 时，若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。

定理 5.6 (绝对收敛准则)

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，$a$ 是奇点。若 ${\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ 收敛，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 也收敛（此时称 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 绝对收敛）。

例 5.12 判定下列积分的敛散性

(1) ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}(k^2<1)$；

(2) ${\int }_0^1\frac{\sin x}{x^{3/2}}\mathrm{d}x$；

(3) ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(\sqrt{x}{)}^3+3x^2}$；

(4) ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\sin \frac{1}{x}\mathrm{d}x$。

解

(1) 当 $x\in [0,1)$ 时，

0 < (1)/(√((1-x²)(1-k²x²))) = (1)/(√(1-x) √((1+x)(1-k²x²)))$$0<\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{(1+x)(1-k^2{x}^2)}}$$< (1)/(√(1-k²)) · (1)/(√(1-x)),$$<\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}},$$

而积分

∫₀¹ (1)/(√(1-k²)) · (1)/(√(1-x)) dx = (1)/(√(1-k²)) ∫₀¹ (dx)/(√(1-x))$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{1-k^2}}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x}}$$

收敛，由比较准则 $I$ 知原积分收敛。

(2) 取 $f(x)=\frac{\sin x}{x^{3/2}},g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，则

limₓ → 0⁺ (f(x))/(g(x)) = limₓ → 0⁺ (sin x)/(x) = 1.$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$

又 ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 收敛，由比较准则 II 知原积分收敛。

(3) 取 $f(x)=\frac{1}{(\sqrt{x}{)}^3+3x^2},g(x)=\frac{1}{(\sqrt{x}{)}^3}$，则

limₓ → 0⁺ (f(x))/(g(x)) = limₓ → 0⁺ fracx³/2x³/2 + 3x² = 1.$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{3/2}}{x^{3/2}+3x^2}=1.$$

又 ${\int }_0^1\frac{1}{x^{3/2}}\mathrm{d}x$ 发散，由比较准则 II 知原积分发散。

(4) 由于 $|f(x)|=\left|\frac{1}{\sqrt{x}}\sin \frac{1}{x}\right|\le \frac{1}{\sqrt{x}}$，而 ${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ 收敛，由比较准则 $I$ 知原积分绝对收敛，因而原积分绝对收敛。

5.5 $\Gamma$ 函数

作为反常积分的一个具体例子，我们来介绍在工程技术中有重要应用的一个特殊函数——$\Gamma$ (Gamma) 函数，它是含有参数的反常积分来定义的非初等函数。

在说明什么是 $\Gamma$ 函数之前，先证明含参数 $a$ 的反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 当 $\alpha >0$ 时收敛。

事实上，由于这个反常积分的积分区间 $[0,+\infty )$ 是无穷的，并且当 $\alpha -1<0$ 时，$x=0$ 是 $x^{\alpha -1}{e}^{-x}$ 的奇点，因此，它既是无穷积分，又是无界函数的积分。为了讨论它的敛散性，将其改写成

∫₀⁺∞ x^(α-1) e⁻x dx = ∫₀¹ x^(α-1) e⁻x dx + ∫₁⁺∞ x^(α-1) e⁻x dx.$${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x+{\int }_1^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x.$$

对于积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$，当 $\alpha \ge 1$ 时为定积分。当 $0<\alpha <1$ 时，由于反常积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$ 收敛（它属于例5.6 中的无界函数 $p$ 积分），而

limₓ → 0⁺ fracx^(α-1) e⁻xx^(α-1) = 1,$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^{\alpha -1}{e}^{-x}}{x^{\alpha -1}}=1,$$

由无界函数积分的比较审敛准则 II 可知，当 $0<\alpha <1$ 时，积分 ${\int }_0^1{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 收敛。故当 $\alpha >0$ 时，该积分收敛。

又因为无穷积分 ${\int }_1^{+\infty }{e}^{-\frac{x}{2}}\mathrm{d}x$ 显然收敛，而对任何实数 $\alpha$，

limₓ → +∞ fracx^(α-1) e⁻xe⁻x/2 = 0,$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\alpha -1}{e}^{-x}}{e^{-\frac{x}{2}}}=0,$$

由无穷积分的比较准则 II 可知，对于任何实数 $\alpha$，积分 ${\int }_1^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 都收敛。

综上所述，当 $\alpha >0$ 时，反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 收敛。

定义 5.3 ($\Gamma$ 函数)

由反常积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$ 在区间 $(0,+\infty )$ 内确定的以 $\alpha$ 为自变量的函数，称为 $\Gamma$ 函数，记作

Γ(α) = ∫₀⁺∞ x^(α-1) e⁻x dx, α ∈ (0, +∞). (5.9)$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x,\alpha \in (0,+\infty ).\text{\hspace{1em}(5.9)}$$

利用分部积分法不难得知，$\Gamma$ 函数满足如下的递推关系：

思路分析

通过分部积分法可以建立 $\Gamma (\alpha )$ 的递推关系，进而证明其与阶乘的关系。

事实上，

Γ(α + 1) = ∫₀⁺∞ x^(α) e⁻x dx = -x^(α) e⁻x g|₀⁺∞ + α ∫₀⁺∞ x^(α-1) e⁻x dx (5.10)$$\Gamma (\alpha +1)={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-x^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-x}{|}_0^{+\infty }+\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(5.10)}$$ = α ∫₀⁺∞ x^(α-1) e⁻x dx = α Γ(α).$$=\alpha {\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\alpha \Gamma (\alpha ).$$

在递推关系式 (5.10) 中取 $\alpha =n\in {\mathbb{N}}_{+}$，并连续使用 $n$ 次得

Γ(n + 1) = n Γ(n) = … = n! Γ(1).$$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=\cdots =n!\Gamma (1).$$

而

Γ(1) = ∫₀⁺∞ e⁻x dx = -e⁻x g|₀⁺∞ = 1,$$\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-x}{|}_0^{+\infty }=1,$$

故

Γ(n + 1) = ∫₀⁺∞ xⁿ e⁻x dx = n!.$$\Gamma (n+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=n!.$$

3.5 反常积分