3.2 微积分基本公式与基本定理

本节将在讲解微积分基本公式（即 Newton-Leibniz 公式）与基本定理的基础上，阐述微分与积分的关系，将定积分的计算问题转化为求被积函数的原函数或不定积分的问题，说明求积分是求微分的逆运算。

2.1 微积分基本公式

为了寻求计算定积分简便易行的方法，我们再来讨论已知速度求位移问题。第一节中已经讲过，如果已知变速直线运动的速度 $v=v(t)$，那么物体从时刻 $t=a$ 到时刻 $t=b$ 所通过的位移为

s = ∫ₐ^b v(t) dt$$s={\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t$$

另一方面，如果已知物体运动的位移函数 $s=s(t)$，那么在时间区间 $[a,b]$ 内物体所通过的位移也可表示为

s = s(b) - s(a)$$s=s(b)-s(a)$$

因此，如果能从速度函数 $v(t)$ 求出位移函数 $s(t)$，那么就有

∫ₐ^b v(t) dt = s(b) - s(a)$${\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t=s(b)-s(a)$$

这样，定积分 ${\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t$ 的值就可由函数 $s=s(t)$ 在 $t=b$ 与 $t=a$ 的值之差得到。问题的关键在于如何从 $v(t)$ 求得 $s(t)$。由于 $s^{\prime }(t)=v(t)$，所以由 $v(t)$ 求 $s(t)$ 是求导运算的逆运算。

思路分析

注：共性常寓于个性之中，从某些特例出发，分析、发掘某些共性和规律，探索它是否具有一般性及可被推广，是一种“合情推理”的思想方法。“合情推理”常用于“发现问题”，是研究数学的一种重要方法。但是这种“合情推理”是否正确，在数学中尚需要通过逻辑推理来加以验证。本小节就采用了这种思想方法。

定义 2.1 (原函数)

如果在区间 $I$ 上，$F^{\prime }(x)=f(x)$，那么称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。

由定义2.1 易知，位移函数 $s(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 的一个原函数。从而，就可以从上述物理模型抽象出下面的著名公式：

定理 2.1 (Newton-Leibniz 公式)

设 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，且 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有一个原函数 $F$，则

∫ₐ^b f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x) g|ₐ^b (2.1)$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

证明

在区间 $[a,b]$ 内任意插入 $n-1$ 个分点

a = x₀ < x₁ < … < xₙ = b$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$$

那么，$[a,b]$ 就被分割为 $n$ 个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ ($k=1,2,\dots ,n$)。根据 Lagrange 中值定理，必存在 ${\xi }_k\in (x_{k-1},x_k)$，使

F(xₖ) - F(xₖ-1) = F'(ξₖ) Δ xₖ$$F(x_k)-F(x_{k-1})=F^{\prime }({\xi }_k)\Delta x_k$$

所以

F(b) - F(a) = ∑ₖ=1ⁿ [F(xₖ) - F(xₖ-1)] = ∑ₖ=1ⁿ F'(ξₖ) Δ xₖ = ∑ₖ=1ⁿ f(ξₖ) Δ xₖ$$F(b)-F(a)=\sum _{k=1}^n[F(x_k)-F(x_{k-1})]=\sum _{k=1}^n{F}^{\prime }({\xi }_k)\Delta x_k=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k$$

由于 $f\in \mathcal{R}[a,b]$，在上式中令 $d={\max }_{1\le k\le n}\{\Delta x_k\}\to 0$，即得

F(b) - F(a) = ∫ₐ^b f(x) dx$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

Newton-Leibniz 公式 (2.1) 将定积分的计算问题归结为求被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数问题，而求 $f$ 在 $[a,b]$ 上的原函数 $F$ 是求导运算的逆运算，因此，该公式将定积分的计算与求导运算联系了起来，常称为微积分基本公式。

例 2.1 求下列定积分

(1) ${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$；

(2) ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$。

解

(1) 由于 $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$，所以 $\arctan x$ 是 $\frac{1}{1+x^2}$ 的一个原函数。根据 Newton-Leibniz 公式，

∫₀¹ (dx)/(1+x²) = arctan x g|₀¹ = (π)/(4)$${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$$

(2) 由于 ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos x)$，并且 $\frac{1}{2}(x-\sin x)$ 是 $\frac{1}{2}(1-\cos x)$ 的一个原函数，故由 Newton-Leibniz 公式，得

∫₀^((π)/(2)) sin² x/2 dx &= 1/2 ∫₀^((π)/(2)) (1 - cos x) dx &= 1/2 (x - sin x) g|₀^((π)/(2)) = 1/2 ( (π)/(2) - 1 )$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}(x-\sin x){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-1\right)\end{array}$$

为了求出例1.4 中的平均电流 $\bar{I}$，必须计算定积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}\sin \omega t\mathrm{d}t$。由于

( -(1)/(ω) cos ω t )' = sin ω t$${\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega t\right)}^{\prime }=\sin \omega t$$

所以 $-\frac{1}{\omega }\cos \omega t$ 是 $\sin \omega t$ 的一个原函数。根据 Newton-Leibniz 公式，得知

barI = (ω Iₘ)/(π) ( -(1)/(ω) cos ω t ) g|₀^((π)/(ω)) = (2)/(π) Iₘ$$\bar{I}=\frac{\omega I_m}{\pi }\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega t\right){|}_0^{\frac{\pi }{\omega }}=\frac{2}{\pi }{I}_m$$

2.2 微积分基本定理

能求它的一个原函数。自然要问：$f$ 满足什么条件才有原函数？如何求 $f$ 的原函数？首先讨论第一个问题。

设函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 可积，则对任意的 $x\in [a,b]$，$f$ 在 $[a,x]$ 上也可积。对于区间 $[a,b]$ 上任取一值 $x$，定积分 ${\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x$ 就有唯一确定的值与它相对应。因此，该积分在区间 $[a,b]$ 上确定了一个函数 $\Phi :[a,b]\to \mathbb{R}$，即

Φ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt (2.2)$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

注意，该积分的上限 $x$ 与积分变量 $t$ 的含义不同。积分上限 $x$ 表示积分区间 $[a,x]$ 的右端点，而积分变量 $t$ 则在区间 $[a,x]$ 中变化。为避免混淆，常把积分变量改用其他字母表示。例如换成 $t$，则上式变为

Φ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, x ∈ [a, b] (2.2)$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b]\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

通常称它为变上限积分。

定理 2.2 (微积分第一基本定理)

设 $f\in C[a,b]$，则由 (2.2) 式所确定的函数 $\Phi :[a,b]\to \mathbb{R}$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且

Φ'(x) = (d)/(dx) ∫ₐˣ f(t) dt = f(x) (2.3)$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

若其中的 $x$ 为区间 $[a,b]$ 的端点，则 ${\Phi }^{\prime }(x)$ 是单侧导数。

证明

设 $x\in (a,b)$，由于

Δ Φ = Φ(x + Δ x) - Φ(x) = ∫ₐˣ+Δ x f(t) dt - ∫ₐˣ f(t) dt$$\Delta \Phi =\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$= ∫ₐˣ+Δ x f(t) dt + ∫ₓ^a f(t) dt = ∫ₓˣ+Δ x f(t) dt$$={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$$

根据积分中值定理，在 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间（含 $x$ 和 $x+\Delta x$）至少存在一个 $\xi$，使得

Δ Φ = f(ξ) Δ x$$\Delta \Phi =f(\xi )\Delta x$$

已知 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，所以

Φ'(x) = lim_(Δ x → 0) (Δ Φ)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) f(ξ) = f(x)$${\Phi }^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )=f(x)$$

若 $x$ 是区间 $[a,b]$ 的端点，则可类似地证明。

数字资源 3.2.1微积分第一基本定理的重要意义 ↗

定理2.2 的重要意义在于它建立了微分（导数）与积分之间的联系。它表明，变上限积分是上限的一个函数，该积分对上限的导数等于被积函数在上限处的值。由这个定理立即得到原函数存在的一个充分条件。

推论 2.1

设 $f\in C[a,b]$，则 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上必有原函数，且变上限积分 (2.2) 就是它的一个原函数。

例 2.2 求 $\Phi'(x)$

设 $\Phi (x)={\int }_0^{\sqrt{x}}\cos t^2\mathrm{d}t$，求 ${\Phi }^{\prime }(x)$。

解

由于函数 $\Phi (x)$ 可以看作 $g(u)={\int }_0^u\cos t^2\mathrm{d}t$ 与 $u=\phi (x)=\sqrt{x}$ 的复合函数，根据链式法则与定理2.2 得

Φ'(x) = g'(u) φ'(x) = (d)/(du) ( ∫₀^u cos t² dt ) · (1)/(2√(x)) = cos u² · (1)/(2√(x)) = (1)/(2√(x)) cos x$${\Phi }^{\prime }(x)=g^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left({\int }_0^u\cos t^2\mathrm{d}t\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\cos u^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos x$$

注意

变上限积分对上限的导数并不等于被积函数，而是等于被积函数在上限处的值。例如 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(x^2)}{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=e^{-x^2}$，这从定理2.2 的证明中容易看出。

一般地，若 $\phi (x)$ 与 $\psi (x)$ 是可导函数，$f$ 连续，不难证明：

(d)/(dx) ( ∫_(ψ(x))^(φ(x)) f(t) dt ) = f(φ(x))φ'(x) - f(ψ(x))ψ'(x) (2.4)$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)\mathrm{d}t\right)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)-f(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x)\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

补充说明

事实上，该定理在证明的最后一个等式 ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(\xi )=f(x)$ 中的 $x$ 是积分 ${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$ 的下限，也就是原积分 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的上限。

例 2.3 求极限问题

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t}{{\sin }^{2}x}$。

解

此题为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，可用 $L$’Hospital 法则计算。由公式 (2.4)，

(d)/(dx) ( ∫_(cos x)¹ e⁻t² dt ) = - e⁻cos² x · (-sin x) = sin x e⁻cos² x$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_{\cos x}^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)=-e^{-{\cos }^{2}x}\cdot (-\sin x)=\sin x{e}^{-{\cos }^{2}x}$$

所以

原式 = limₓ → 0 fracsin x e⁻cos² x2 sin x cos x = (1)/(2e)$$\text{原式}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x{e}^{-{\cos }^{2}x}}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2e}$$

根据原函数的定义，如果 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，$C$ 是任意常数，那么 $F+C$ 也是 $f$ 在 $I$ 上的原函数。因此，若 $f$ 在 $I$ 上有原函数，则其原函数不止一个。由于 $C$ 的任意性，$f$ 的原函数有无穷多个。

定理 2.3 (微积分第二基本定理)

设 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，$C$ 为任意常数，则 $F+C$ 就是 $f$ 在 $I$ 上的所有原函数。

证明

用 $A$ 表示 $f$ 在 $I$ 上的一切形如 $F+C$ 的原函数构成的集合，即

A = { F+C | F 是 f 在 I 上的一个原函数, C 为任意常数 }$$A=\{F+C\mid F\text{ 是 }f\text{ 在 }I\text{ 上的一个原函数},C\text{ 为任意常数}\}$$

$B$ 表示 $f$ 在 $I$ 上所有原函数构成的集合，即

B = { G | G'(x) = f(x), x ∈ I }$$B=\{G\mid G^{\prime }(x)=f(x),x\in I\}$$

为证明此定理，只需证明 $A=B$。事实上，$A\subseteq B$ 是显然的，下面证明 $B\subseteq A$。任取 $G\in B$，由于

[G(x) - F(x)]' = G'(x) - F'(x) = 0, x ∈ I$$[G(x)-F(x){]}^{\prime }=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=0,x\in I$$

由 Lagrange 定理的推论4.2，可知 $G(x)-F(x)$ 在 $I$ 上是一个常数，即

G(x) - F(x) = C, x ∈ I$$G(x)-F(x)=C,x\in I$$

或 $G(x)=F(x)+C$，故 $G\in A$，从而 $B\subseteq A$。

根据集合相等的定义知 $A=B$。

数字资源 3.2.3能否使用 Newton-Leibniz 公式求分段连续函数的定积分 ↗

例 2.4 求满足特定条件的原函数

求 $f(x)=2x$ 的一个原函数 $F(x)$，使它满足条件 $F(0)=1$。

解

由于 $x^2$ 是 $2x$ 的一个原函数，所以 $2x$ 的所有原函数可表示为

F(x) = x² + C (C 为任意常数)$$F(x)=x^2+C(C\text{ 为任意常数})$$

代入条件 $F(0)=1$，得 $C=1$，故所求原函数为

F(x) = x² + 1$$F(x)=x^2+1$$

应当注意，如果被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上是分段连续的（即除去有限个第一类间断点外 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续），那么，虽然 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，但是可以证明它在 $[a,b]$ 上不存在原函数。因此，Newton-Leibniz 公式不能直接应用。在这种情况下，先利用 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的间断点将该区间分为若干个子区间，使 $f$ 连续的每个子区间上分别用 Newton-Leibniz 公式，再利用定积分区间的可加性，把每个子区间上的积分值相加便可得到 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分。

例 2.5 分段函数的定积分

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\in [0,1)\\ 1+x,& x\in [1,2]\end{array}$，求 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$。

解

由于 $x=1$ 是该函数的跳跃间断点，所以 $f$ 是 $[0,2]$ 上的分段连续函数，不能直接应用 Newton-Leibniz 公式，而要用上述方法来计算。

想一想

AI 解答

(1) $\frac{1}{3}{x}^3$ 是例2.5 中的 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 区间上的原函数吗？ (2) 等式 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1$ 为什么成立？

2.3 不定积分

想一想

AI 解答

$|x|$ 是分段函数

f(x) = -1, & x < 0, 1, & x ≥ 0$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0,\\ 1,& x\ge 0\end{array}$$

的原函数吗？

定义 2.2 (不定积分)

函数 $f$ 在区间 $I$ 上所有的原函数的一般表达式称为 $f$ 在 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)\mathrm{d}x$，其中 $f$ 称为被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 称为被积式。

若 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数，则

∫ f(x) dx = F(x) + C$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$

其中任意常数 $C$ 称为积分常数。

例如，

∫ 2x dx = x² + C, ∫ cos x dx = sin x + C.$$\int 2x\mathrm{d}x=x^2+C,\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C.$$

我们已经知道，求导数与求不定积分（或原函数）是两种互逆运算，前者是由原函数求导函数，后者是由导函数求原函数。以变速直线运动为例，前者是已知物体的运动规律（位移函数 $s=s(t)$）求变化率（速度函数 $v=v(t)$），而后者的则是已知变化率求运动规律。不定积分的下述性质（证明留给读者）进一步揭示了这种互逆性。

性质2.1

( ∫ f(x) dx )' = f(x) 或 d ∫ f(x) dx = f(x) dx (2.5)$${\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=f(x)\text{或}\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.5)}$$ ∫ f'(x) dx = f(x) + C 或 ∫ df(x) = f(x) + C (2.6)$$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C\text{或}\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

根据积分和微分（或导数）的这种互逆关系，可以在求导公式和运算法则（有理运算与复合求导运算法则）的基础上反过来得到对应的积分公式和运算法则。

首先，由基本导数表可得基本积分表：

|c|c| hline ∫ k dx = kx + C (k 为常数) & ∫ aˣ dx = (aˣ)/(ln a) + C (a > 0, a ≠ 1) hline ∫ x^α dx = fracx^(α+1)α+1 + C (α ≠ -1) & ∫ eˣ dx = eˣ + C hline ∫ (dx)/(x) = ln |x| + C & ∫ sin x dx = -cos x + C hline ∫ sec² x dx = tan x + C & ∫ (dx)/(√(1-x²)) = arcsin x + C hline ∫ csc² x dx = -cot x + C & ∫ (dx)/(1+x²) = arctan x + C hline ∫ sec x tan x dx = sec x + C & ∫ operatornamesh x dx = operatornamech x + C hline ∫ csc x cot x dx = -csc x + C & ∫ operatornamech x dx = operatornamesh x + C hline$$\begin{array}{cc}\int k\mathrm{d}x=kx+C(k\text{ 为常数})& \int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)\\ \int x^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C(\alpha \ne -1)& \int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C& \int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C& \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C\\ \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C& \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C\\ \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C& \int \mathrm{sh}x\mathrm{d}x=\mathrm{ch}x+C\\ \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C& \int \mathrm{ch}x\mathrm{d}x=\mathrm{sh}x+C\end{array}$$

这些基本积分公式是求不定积分的基础，读者必须熟记，不可与求导公式混淆。

想一想

AI 解答

怎样理解积分公式 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C$？

其次，与导数的线性运算法则对应，有不定积分的线性运算法则。

性质2.2

设 $f$ 与 $g$ 在区间 $I$ 上的原函数存在，则

∫ [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx (2.7)$$\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 为任意常数。

证明

根据不定积分的定义，只要证明等式 (2.7) 两边求导后得到的函数相同即可。事实上，由性质2.1，

( ∫ [α f(x) + β g(x)] dx )' = α f(x) + β g(x).$${\left(\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha f(x)+\beta g(x).$$

又

( α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx )' = α ( ∫ f(x) dx )' + β ( ∫ g(x) dx )' = α f(x) + β g(x),$${\left(\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha {\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }+\beta {\left(\int g(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha f(x)+\beta g(x),$$

故

∫ [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx.$$\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x.$$

例 2.6 求 $\int \frac{2x + \sqrt{x} + 1}{x} \mathrm{d}x$

解

由性质2.2 和基本积分表得

∫ (2x + √(x) + 1)/(x) dx = 2 ∫ dx + ∫ (dx)/(√(x)) + ∫ 1/x dx$$\int \frac{2x+\sqrt{x}+1}{x}\mathrm{d}x=2\int \mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}+\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$= 2x + 2√(x) + ln |x| + C.$$=2x+2\sqrt{x}+\ln |x|+C.$$

注意

例2.6 中的积分被分为三项后，每一个不定积分的结果中都有一任意常数。由于三个任意常数之和仍是一个任意常数，所以最后的结果只写一个任意常数就可以了。今后遇到这种情况均照此办理，不再一说，但应记千万不能丢掉任意常数 $C$！

例 2.7 求 $\int \frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} \mathrm{d}x$

解

由于 $1+2x^2=x^2+(1+x^2)$，所以

∫ (1 + 2x²)/(x²(1 + x²)) dx = ∫ (1)/(1 + x²) dx + ∫ (1)/(x²) dx = arctan x - 1/x + C.$$\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\arctan x-\frac{1}{x}+C.$$

例 2.8 求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin^2 x \cos^2 x}$

解

根据三角恒等式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 得

∫ (dx)/(sin² x cos² x) = ∫ (sin² x + cos² x)/(sin² x cos² x) dx = ∫ sec² x dx + ∫ csc² x dx = tan x - cot x + C.$$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\int \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x+\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x-\cot x+C.$$

由于定积分与不定积分的计算都归结为求被积函数的原函数，因此，求定积分与不定积分的方法统称为积分法。

3.2 微积分基本公式与基本定理