2.3 微分

微分是与导数密切相关又有本质区别的一个重要概念。本节主要介绍微分的概念、计算及简单应用，说明在“微小局部”用线性函数代替非线性函数是微积分的基本思想方法之一。

3.1 微分的概念

在很多问题中，常常要研究函数的改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 与自变量改变量 $\Delta x$ 之间的关系，计算函数改变量的大小。我们知道，对于刻画均匀变化的线性函数 $y=kx+b$ 而言，$\Delta y$ 是 $\Delta x$ 的线性函数，即 $\Delta y=k\Delta x$。对于刻画非均匀变化的非线性函数，一般来说，$\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之间的关系要复杂得多。例如，设 $y=x^2$，则 $\Delta y=(x_0+\Delta x{)}^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2$，它是由关于 $\Delta x$ 的线性函数部分 $2x_0\Delta x$ 和非线性部分 $(\Delta x{)}^2$ 组成的。自然要问，当 $|\Delta x|$ 很小时，能否用 $\Delta x$ 的线性函数部分去近似代替 $\Delta y$ 呢？近似代替后所产生的误差有多大？微分的概念就是在研究此类问题中提出来的。

若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则由本章的 $(1.11)$ 式，

Δ y = f'(x₀)Δ x + o(Δ x) .$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

当 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ 时，易见，$\Delta y$ 也是由两部分组成的，即关于 $\Delta x$ 的线性函数部分 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 和高阶无穷小部分 $o(\Delta x)$。若 $|\Delta x|$ 充分小，第二部分的绝对值比第一部分的绝对值小得多。因此，$\Delta y$ 的大小主要取决于第一部分，称它为 $\Delta y$ 的线性主部。若用线性主部 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 近似代替 $\Delta y$，则所产生的绝对值误差 $|o(\Delta x)|$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。由此就得到微分的概念。

定义 3.1（微分）

设有函数 $f:U(x_0)\to \mathbf{R}$。若存在一个关于 $\Delta x$ 的线性函数 $L(\Delta x)=a\Delta x$（$a\in \mathbf{R}$ 为与 $\Delta x$ 无关的常数），使

f(x₀ + Δ x) - f(x₀) = aΔ x + o(Δ x) , (3.1)$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=a\Delta x+o(\Delta x),\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，并称 $a\Delta x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $\mathrm{d}f(x_0)=a\Delta x$。若函数用 $y=f(x)$ 表示，则可记作 ${\mathrm{d}y|}_{x=x_0}=a\Delta x$。若 $f$ 在区间 $I$ 的每一点可微，则称 $f$ 在 $I$ 上可微。

注意

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x_0)=a\Delta x$ 实际上是当 $\Delta x\to 0$ 时的无穷小，它与函数改变量 $\Delta y$ 之差是 $\Delta x$ 的高阶无穷小，即 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$，当 $\mathrm{d}y\ne 0$ 时，$\mathrm{d}y$ 与 $\Delta y$ 是当 $\Delta x\to 0$ 时的等价无穷小。

由定义3.1 可知，当 $a\ne 0$ 时，函数 $f$ 在 $x_0$ 处的微分就是在小区间 $[x_0,x_0+\Delta x]$（或 $[x_0+\Delta x,x_0]$）上函数改变量 $\Delta y$ 的线性主部 $a\Delta x$。现在要问，$f$ 在什么条件下是可微的？如果可微，微分中的常数 $a$ 与 $f$ 有怎样的关系？下面的定理回答了这个问题。

定理 3.1

函数 $f:U(x_0)\to \mathbf{R}$ 在 $x_0$ 处可微 $⟺f$ 在 $x_0$ 处可导。此时，$\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x$。

证

不难看出，充分性在定义3.1 前面一段中已经证明，下面证明必要性。设 $f$ 在 $x_0$ 处可微，由定义知 (3.1) 式成立，从而有

(f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) = a + (o(Δ x))/(Δ x) .$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=a+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

令 $\Delta x\to 0$，得

f'(x₀) = a ,$$f^{\prime }(x_0)=a,$$

故 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)=a$，此时，$\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x$。

规定自变量的微分等于自变量的改变量，即 $\mathrm{d}x=\Delta x$。因此，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分可写成 $\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$ 或 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$。$y=f(x)$ 在区间 $I$ 任一点 $x$ 处的微分可写成

dy = f'(x)dx . (3.2)$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

想一想

AI 解答

(1) 微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 中的 $\mathrm{d}x$ 的含义是什么？它是否要很小？
(2) 为什么说，函数的导数与微分是两个不同的概念？

定理3.1 告诉我们，对一元函数来说，函数可导性与可微性是两个等价的概念，今后我们不再区分它们。而且，求出函数的导数之后，只要再乘 $\mathrm{d}x$，就得到相应的微分。但是，函数的导数与微分却是两个不同的概念。

用 $\mathrm{d}x$ 除 (3.2) 式两端，得

(dy)/(dx) = f'(x) .$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x).$$

这就是说，函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商。因此，导数又称为微商，这正是把导数记作 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的一个原因。

微分的几何意义

在图 2.11 中，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线 $PT$ 的斜率 $\tan \alpha$，因此，

dy = f'(x₀)dx = tan α · PN = NT .$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x=\tan \alpha \cdot PN=NT.$$

这就是说，函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处切线上点的纵坐标对应于横坐标改变量 $\Delta x$ 的改变量。

图 2.11

又因为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=NQ$，所以用微分近似代替改变量 $\Delta y$ 产生的误差就是 $TQ$。当 $|\Delta x|$ 很小时，$TQ$ 比 $NT$ 小得多，故由 (3.1) 式及定理3.1 知，当 $|\Delta x|=|x-x_0|$ 很小时，

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) . (3.3)$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

此式表明，用微分近似代替改变量 $\Delta y$，实质上就是在 $x_0$ 附近（微小局部）用线性函数 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 近似代替非线性函数 $y=f(x)$。在几何上就是在点 $P$ 附近用切线 $PT$ 近似代替曲线 $PQ$。

在微小局部用线性函数近似代替非线性函数，或者，在几何上用切线段近似代替曲线段，是微积分的基本思想方法之一，通常称为非线性函数的局部线性化。这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中也是常用的。

数字资源 2.3.1微分概念中的局部线性化思想 ↗

3.2 微分的运算法则

前面已经指出，要求微分，只要先求出导数再乘 $\mathrm{d}x$ 即可。因此，由函数的导数公式立即可以得到相应的微分公式，由基本导数表可以得到基本微分表。这里我们不再一一罗列出来，读者自己去默写一遍，像基本导数公式一样，要牢记在心。

同样，由导数的有理运算法则（定理2.1）可以得到微分的有理运算法则：

d(u ± v) = du ± dv, d(uv) = vdu + udv, d(u/v) = (vdu - udv)/(v²) (v ≠ 0) .$$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v,\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v,\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}(v\ne 0).$$

下面介绍复合函数的微分运算法则。设有可微函数 $y=f(u)$，若 $u$ 是自变量，根据微分的定义，则有

dy = f'(u)du . (3.4)$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若 $u$ 又是另一个变量 $x$ 的可微函数 $u=g(x)$，则由链式法则易知，复合函数 $y=f(g(x))$ 的微分为

dy = f'(u)g'(x)dx .$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

因为 $g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$，故上式也可以写成 (3.4) 式的形式。这就是说，无论 $u$ 是自变量还是另一个变量的函数，函数 $y=f(u)$ 的微分都保持由 (3.4) 式所表示的同一形式，这一性质称为微分形式不变性，它是复合函数求导法则在微分中的反映。由此，复合函数的微分既可以利用链式法则求出导数再乘 $\mathrm{d}x$ 得到，也可以利用微分形式不变性，由 (3.4) 式直接求得。

例 3.1

求函数 $y=\sin (2x+1)$ 的微分。

解

令 $u=2x+1$，则由 (3.4) 式，

dy = cos u du = cos(2x + 1) · 2dx = 2cos(2x + 1)dx .$$\mathrm{d}y=\cos u\mathrm{d}u=\cos (2x+1)\cdot 2\mathrm{d}x=2\cos (2x+1)\mathrm{d}x.$$

例 3.2

求函数 $y=\ln (1+e^{x^2})$ 的微分。

解

同求复合函数导数一样，利用微分形式不变性求复合函数微分时，也不必写出该复合函数的中间变量直接按如下步骤进行：

dy = frac11 + eˣ²d(1 + eˣ²) = frac11 + eˣ² · eˣ²d(x²) = fraceˣ²1 + eˣ² · 2xdx = frac2xeˣ²1 + eˣ²dx .$$\mathrm{d}y=\frac{1}{1+e^{x^2}}\mathrm{d}(1+e^{x^2})=\frac{1}{1+e^{x^2}}\cdot e^{x^2}\mathrm{d}(x^2)=\frac{e^{x^2}}{1+e^{x^2}}\cdot 2x\mathrm{d}x=\frac{2x{e}^{x^2}}{1+e^{x^2}}\mathrm{d}x.$$

由于函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商，因此，可以利用微分形式不变性求复合函数的导数。在例3.2 中，由所求得的微分表达式立即即可得导数 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2x{e}^{x^2}}{1+e^{x^2}}$。

3.3 高阶微分

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上一阶可导，则它的微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 在区间 $I$ 上仍是 $x$ 的函数。因此，若该函数在 $I$ 上二阶可导，则可再对微分 $\mathrm{d}y$ 求微分，得

d(dy) = d(f'(x)dx) = f''(x)(dx)²$$\mathrm{d}(\mathrm{d}y)=\mathrm{d}(f^{\prime }(x)\mathrm{d}x)=f^{\prime \prime }(x)(\mathrm{d}x{)}^2$$

（其中第二个等式成立是由于 $\mathrm{d}x=\Delta x$，与 $x$ 无关），称它为函数 $f$ 在 $I$ 上的二阶微分，记作 ${\mathrm{d}}^{2}f$ 或 ${\mathrm{d}}^{2}y$。通常把 $(\mathrm{d}x{)}^2$ 记作 $\mathrm{d}{x}^2$，则有

d²f = d²y = f''(x)dx² .$${\mathrm{d}}^{2}f={\mathrm{d}}^{2}y=f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}{x}^2.$$

此时，称 $f$ 在 $I$ 上二阶可微。

类似地可以定义三阶微分，四阶微分等。一般地，若函数 $f:I\to \mathbf{R}$ $n$ 阶可导，则定义它在 $I$ 上的 $n$ 阶微分为

dⁿy = dⁿf = d(dⁿ-1f) = f^((n))(x)dxⁿ ,$${\mathrm{d}}^{n}y={\mathrm{d}}^{n}f=\mathrm{d}({\mathrm{d}}^{n-1}f)=f^{(n)}(x)\mathrm{d}{x}^n,$$

此时，称 $f$ 在 $I$ 上 $n$ 阶可微。

为统一起见，函数的微分也称为函数的一阶微分，二阶与二阶以上的微分统称为高阶微分。应当注意，高阶微分没有微分形式不变性。

3.4 微分在近似计算中的应用

用微分进行近似计算的基本思想是：在微小局部将给定的函数线性化，即在 $x_0$ 的小邻域内，利用近似等式 (3.3) 来计算 $f(x)$ 的值。由于该式右端的线性函数之值容易计算，因此，为近似计算函数 $y=f(x)$ 的值提供了方便。

例 3.3

求 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值。

解

为计算 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值，取 $f(x)=\sqrt[3]{x}$，则由 (3.3) 式得

3√(x) ≈ 3√(x₀) + (1)/(33√(x₀²))(x - x₀) .$$\sqrt[3]{x}\approx \sqrt[3]{x_0}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}(x-x_0).$$

令 $x_0=1,x=1.02$，于是

3√(1.02) ≈ 1 + 1/3 × 0.02 ≈ 1.0067 .$$\sqrt[3]{1.02}\approx 1+\frac{1}{3}\times 0.02\approx \mathrm{1.0067.}$$

例 3.4

计算 $\sin 44^{\circ }$ 的近似值。

解

取 $f(x)=\sin x$，则由 (3.3) 式得

sin x ≈ sin x₀ + (x - x₀)cos x₀ .$$\sin x\approx \sin x_0+(x-x_0)\cos x_0.$$

令 $x_0=45^{\circ }=\frac{\pi }{4},x=44^{\circ }=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{180}$，于是

sin 44^circ ≈ sin(π)/(4) - (π)/(180)cos(π)/(4) = (√(2))/(2) - (π)/(180)(√(2))/(2) ≈ 0.6948 .$$\sin 44^{\circ }\approx \sin \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{180}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi }{180}\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0.6948.}$$

注意

前面曾经指出，微积分中三角函数角度的度量必须用弧度制，因此，在例3.4 中必须先将角度的度数转化为弧度，然后再用微分来计算函数值。

在 (3.3) 式中，取 $x_0=0$，当 $|\Delta x|=|x|$ 充分小时，有

f(x) ≈ f(0) + f'(0)x .$$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x.$$

由此容易得到下面一些常用的近似公式：当 $|x|\ll 1$ 时，

eˣ ≈ 1 + x, sin x ≈ x, tan x ≈ x, (1 + x)^α ≈ 1 + α x, ln(1 + x) ≈ x . (3.5)$$e^x\approx 1+x,\sin x\approx x,\tan x\approx x,(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x,\ln (1+x)\approx x.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

例 3.5

计算 $\sqrt[5]{270}$ 的近似值。

解

由于

5√(270) = 5√(243 + 27) = 3(1 + (27)/(243))¹/5 ,$$\sqrt[5]{270}=\sqrt[5]{243+27}=3{\left(1+\frac{27}{243}\right)}^{\frac{1}{5}},$$

在近似公式 $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ 中取 $x=\frac{27}{243},\alpha =\frac{1}{5}$，得

5√(270) ≈ 3(1 + 1/5 · (27)/(243)) ≈ 3.0667 .$$\sqrt[5]{270}\approx 3\left(1+\frac{1}{5}\cdot \frac{27}{243}\right)\approx \mathrm{3.0667.}$$

2.3 微分