2.2 求导的基本法则

前一节中，已经说明了导数的概念及其应用的广泛性，因此，怎样求一个已知函数的导数就是亟待解决的重要问题。虽然根据定义可以求一些简单函数的导数，但是，当函数比较复杂时，用定义来计算导数就相当困难了。本节将导出一些求导的基本法则，包括有理运算法则、复合函数和反函数的求导法则，并在此基础上，给出隐函数和参数方程求导法则，从而使导数的计算系统化、简单化。

2.1 函数和、差、积、商的求导法则

定理 2.1（导数的有理运算法则）

设函数 $u,v:I\to \mathbf{R}$ 在 $x\in I$ 可导，则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）也在 $x$ 可导，且 (1) $(u\pm v{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$； (2) $(uv{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$； (3) ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$。

特别地，有

(cu)'(x) = cu'(x) (c ∈ R 为常数),$$(cu{)}^{\prime }(x)=c{u}^{\prime }(x)(c\in \mathbf{R}\text{ 为常数}),$$(1/u)'(x) = -(u'(x))/(u²(x)) .$${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }(x)=-\frac{u^{\prime }(x)}{u^2(x)}.$$

证

仅对 (2) 及 (3) 加以证明，其余留给读者，证明的基本方法是利用函数可导及导数的定义。

(2) 设 $y=u(x)v(x)$，则

Δ y &= u(x + Δ x)v(x + Δ x) - u(x)v(x) &= u(x + Δ x)v(x + Δ x) - u(x)v(x + Δ x) + u(x)v(x + Δ x) - u(x)v(x) &= v(x + Δ x)Δ u + u(x)Δ v .$$\begin{array}{rl}\Delta y& =u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)\\ & =u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)\\ & =v(x+\Delta x)\Delta u+u(x)\Delta v.\end{array}$$

根据导数的定义，

(uv)'(x) = lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) v(x + Δ x) (Δ u)/(Δ x) + lim_(Δ x → 0) u(x) (Δ v)/(Δ x) .$$(uv{)}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x)\frac{\Delta v}{\Delta x}.$$

已知 $v$ 在 $x$ 可导，由定理1.1，$v$ 在 $x$ 必连续，故 ${\lim }_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)=v(x)$，因而

(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) .$$(uv{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x).$$

(3) 设 $y=\frac{1}{v(x)}$，则

Δ y &= (1)/(v(x + Δ x)) - (1)/(v(x)) = -(v(x + Δ x) - v(x))/(v(x)v(x + Δ x)) &= -(Δ v)/(v(x)v(x + Δ x)) .$$\begin{array}{rl}\Delta y& =\frac{1}{v(x+\Delta x)}-\frac{1}{v(x)}=-\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{v(x)v(x+\Delta x)}\\ & =-\frac{\Delta v}{v(x)v(x+\Delta x)}.\end{array}$$

与 (2) 中类似，可知 ${\lim }_{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)=v(x)$，注意到 $v(x)\ne 0$，从而

(1/v)'(x) = lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = -lim_(Δ x → 0) (Δ v)/(Δ x) (1)/(v(x)v(x + Δ x)) = -(v'(x))/(v²(x)) .$${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta x}\frac{1}{v(x)v(x+\Delta x)}=-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}.$$

再由 (2) 得

(u/v)'(x) &= u'(x)(1)/(v(x)) + u(x)(1/v)'(x) &= (u'(x))/(v(x)) - (u(x)v'(x))/(v²(x)) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/(v²(x)) .$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }(x)& =u^{\prime }(x)\frac{1}{v(x)}+u(x){\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }(x)\\ & =\frac{u^{\prime }(x)}{v(x)}-\frac{u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}.\end{array}$$

注

证明中通过对 $\Delta y$ 的表达式同时加减同一项 $u(x)v(x+\Delta x)$，建立 $\Delta y$ 与 $\Delta u,\Delta v$ 之间的联系，进而建立极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$（即未知导数 $(uv{)}^{\prime }$）与极限 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$ 与 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}$（即已知导数 $u^{\prime }$ 与 $v^{\prime }$）之间的联系。也就是利用所谓“搭桥”的技巧建立未知（待求）与已知的联系。

注

利用已证的 (2) 中的结果将 (3) 的证明简化为只要证明 $y=\frac{1}{v(x)}$ 可导，且 ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }(x)=-\frac{v^{\prime }(x)}{v^2(x)}$，而后者的证明只要利用导数定义。

想一想

AI 解答

为什么 (1) 与 (2) 的结论仅对有限个函数成立？

定理中的 (1) 与 (2) 可以推广到有限个函数的情形，并且容易得到导数运算的线性法则：

(α u + β v)'(x) = α u'(x) + β v'(x) (α, β ∈ R 为常数) .$$(\alpha u+\beta v{)}^{\prime }(x)=\alpha u^{\prime }(x)+\beta v^{\prime }(x)(\alpha ,\beta \in \mathbf{R}\text{ 为常数}).$$

例 2.1

已知 $y=2^x+\sqrt{x}\ln x$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

解

根据定理2.1 的 (1)、(2) 及习题2.1($A$) 中的第 1 题得

(dy)/(dx) = (2ˣ)' + (√(x))' ln x + √(x) (ln x)' = 2ˣ ln 2 + (ln x)/(2√(x)) + (1)/(√(x)) .$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(2^x{)}^{\prime }+(\sqrt{x}{)}^{\prime }\ln x+\sqrt{x}(\ln x{)}^{\prime }=2^x\ln 2+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

例 2.2

求正切函数 $y=\tan x$ 和余切函数 $y=\cot x$ 的导数。

解

根据两个函数商的求导法则，我们有

(tan x)' &= ((sin x)/(cos x))' = ((sin x)'cos x - sin x(cos x)')/(cos² x) &= (cos² x + sin² x)/(cos² x) = sec² x ,$$\begin{array}{rl}(\tan x{)}^{\prime }& ={\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\prime }=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x,\end{array}$$

故得正切函数的导数公式

(tan x)' = sec² x (x ≠ (2k + 1)(π)/(2), k ∈ Z) .$$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x\left(x\ne (2k+1)\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right).$$

类似可得余切函数的导数公式

(cot x)' = -csc² x (x ≠ kπ, k ∈ Z) .$$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x(x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}).$$

例 2.3

求正割函数 $y=\sec x$ 和余割函数 $y=\csc x$ 的导数。

解

根据定理2.1，我们有

(sec x)' = ((1)/(cos x))' = -((cos x)')/(cos² x) = (sin x)/(cos² x) = sec x tan x ,$$(\sec x{)}^{\prime }={\left(\frac{1}{\cos x}\right)}^{\prime }=-\frac{(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\sec x\tan x,$$

故得正割函数的导数公式

(sec x)' = sec x tan x (x ≠ (2k + 1)(π)/(2), k ∈ Z) .$$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x\left(x\ne (2k+1)\frac{\pi }{2},k\in \mathbf{Z}\right).$$

类似可得余割函数的导数公式

(csc x)' = -csc x cot x (x ≠ kπ, k ∈ Z) .$$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x(x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}).$$

2.2 复合函数的求导法则

定理 2.2（链式法则）

设函数 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，函数 $y=f(u)$ 在与 $x$ 相对应的 $u$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导，并且

(dy)/(dx) = f'(u)g'(x) 或 (dy)/(dx) = (dy)/(du) · (du)/(dx) . (2.1)$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\text{或}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

证

由于函数 $y=f(u)$ 在 $u$ 处可导，由 (1.10) 式，

(Δ y)/(Δ u) = f'(u) + α(Δ u) (其中 lim_(Δ u → 0)α(Δ u) = 0) .$$\frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime }(u)+\alpha (\Delta u)\left(\text{其中 }\underset{\Delta u\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)=0\right).$$

若 $\Delta u\ne 0$，则

Δ y = f'(u)Δ u + α(Δ u)Δ u ; (2.2)$$\Delta y=f^{\prime }(u)\Delta u+\alpha (\Delta u)\Delta u;\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

若 $\Delta u=0$，则 $\alpha (\Delta u)$ 无意义。由于此时 $\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=0$，为使 (2.2) 式当 $\Delta u=0$ 时也成立，规定当 $\Delta u=0$ 时，$\alpha (\Delta u)=0$，从而无论 $\Delta u$ 是否为 0，(2.2) 式都成立。于是

(Δ y)/(Δ x) = f'(u)(Δ u)/(Δ x) + α(Δ u)(Δ u)/(Δ x) ,$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x},$$

所以

lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = f'(u) lim_(Δ x → 0) (Δ u)/(Δ x) + lim_(Δ x → 0) α(Δ u)(Δ u)/(Δ x) .$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(u)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta u}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\alpha (\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}.$$

已知 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，它在 $x$ 处必连续，故当 $\Delta x\to 0$ 时，$\Delta u\to 0$，从而 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\alpha (\Delta u)={\lim }_{\Delta u\to 0}\alpha (\Delta u)=0$。这样，就证明了复合函数在 $x$ 处可导，且

(dy)/(dx) = f'(u)g'(x) = (dy)/(du) · (du)/(dx) .$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$

想一想

AI 解答

定理2.2 为什么要分 $\Delta u\ne 0$ 与 $\Delta u=0$ 两种情况来证明？

注意

求导公式 (2.1) 可以推广到任意有限个函数复合的情形。使用该公式时，关键在于弄清函数的复合关系，会将一个复合函数分解为几个简单函数的复合，由外向内，一层一层地逐个求导，不能脱节，不能遗漏。因此常把这个法则形象地叫做链式法则。

例 2.4

设 $y=\sin (2x+3)$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

解

由于函数 $y=\sin (2x+3)$ 可以看成是由 $y=\sin u$ 与 $u=2x+3$ 复合而成，所以按照公式 (2.1)，我们有

(dy)/(dx) = (dy)/(du) · (du)/(dx) = cos u · 2 = 2cos(2x + 3) .$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\cos u\cdot 2=2\cos (2x+3).$$

例 2.5

求双曲函数的导数。

解

先求双曲正弦函数 $y=\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的导数。根据定理2.1，

(operatornamesh x)' = 1/2[(eˣ)' - (e⁻x)'] ,$$(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\left[(e^x{)}^{\prime }-(e^{-x}{)}^{\prime }\right],$$

又 $u=e^{-x}$ 可以看成是 $u=e^t$ 与 $t=-x$ 的复合函数，故

(du)/(dx) = (e⁻x)' = (du)/(dt) · (dt)/(dx) = e^t · (-1) = -e⁻x ,$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=(e^{-x}{)}^{\prime }=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=e^t\cdot (-1)=-e^{-x},$$

所以

(operatornamesh x)' = 1/2(eˣ + e⁻x) = operatornamech x .$$(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})=\mathrm{ch}x.$$

类似可得 $(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x$。又

(operatornameth x)' = (fracoperatornamesh xoperatornamech x)' = frac(operatornamesh x)'operatornamech x - operatornamesh x(operatornamech x)'operatornamech² x = fracoperatornamech² x - operatornamesh² xoperatornamech² x = frac1operatornamech² x ,$$(\mathrm{th}x{)}^{\prime }={\left(\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}\right)}^{\prime }=\frac{(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\frac{{\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x}{{\mathrm{ch}}^{2}x}=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x},$$

于是，我们得到双曲函数的导数公式如下：

(operatornamesh x)' = operatornamech x, (operatornamech x)' = operatornamesh x, (operatornameth x)' = frac1operatornamech² x (-∞ < x < +∞) .$$(\mathrm{sh}x{)}^{\prime }=\mathrm{ch}x,(\mathrm{ch}x{)}^{\prime }=\mathrm{sh}x,(\mathrm{th}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}(-\infty <x<+\infty ).$$

上面两个例子的计算过程写得比较详细。一旦熟练之后，就不必写出中间变量，只要认清函数的复合层次，默记在心，然后一步一步逐层求导就行了。

例 2.6

设 $y=\sqrt[3]{(1-2x^2)}$，求 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=-1}$。

解

根据链式法则，

(dy)/(dx) = [(1 - 2x²)¹/3]' = 1/3(1 - 2x²)⁻2/3(1 - 2x²)' = -(4x)/(33√((1 - 2x²)²)) ,$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={\left[(1-2x^2{)}^{\frac{1}{3}}\right]}^{\prime }=\frac{1}{3}(1-2x^2{)}^{-\frac{2}{3}}(1-2x^2{)}^{\prime }=-\frac{4x}{3\sqrt[3]{(1-2x^2{)}^2}},$$

所以

. (dy)/(dx) |ₓ=-1 = -. (4x)/(33√((1 - 2x²)²)) |ₓ=-1 = 4/3 .$${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=-1}=-{\frac{4x}{3\sqrt[3]{(1-2x^2{)}^2}}|}_{x=-1}=\frac{4}{3}.$$

例 2.7

设 $y=\ln \tan \frac{x}{2}$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

解

这个函数是由三个简单函数复合而成的，由链式法则，

(dy)/(dx) &= (1)/(tanx/2)(tanx/2)' = (1)/(tanx/2) · sec²x/2 · (x/2)' &= (1)/(tanx/2) · sec²x/2 · 1/2 = (1)/(2sinx/2cosx/2) = (1)/(sin x) = csc x .$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}{\left(\tan \frac{x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}\cdot {\sec }^2\frac{x}{2}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{\prime }\\ & =\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}\cdot {\sec }^2\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}=\csc x.\end{array}$$

例 2.8

设 $y=e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}$，求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

解

根据链式法则，

(dy)/(dx) &= (e^(sin² 1/x))' = e^(sin² 1/x) · (sin²1/x)' = e^(sin² 1/x) · 2sin1/x · (sin1/x)' &= e^(sin² 1/x) · 2sin1/x · cos1/x · (1/x)' = e^(sin² 1/x) · 2sin1/x · cos1/x · (-(1)/(x²)) &= -(1)/(x²)e^(sin² 1/x) sin2/x .$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}& ={\left(e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\right)}^{\prime }=e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\cdot {\left({\sin }^2\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cdot {\left(\sin \frac{1}{x}\right)}^{\prime }\\ & =e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cdot \cos \frac{1}{x}\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=e^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\cdot 2\sin \frac{1}{x}\cdot \cos \frac{1}{x}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\\ & =-\frac{1}{x^2}{e}^{{\sin }^2\frac{1}{x}}\sin \frac{2}{x}.\end{array}$$

2.3 反函数的求导法则

定理 2.3（反函数求导法则）

设区间 $I$ 上的严格单调连续函数 $x=f(y)$ 在点 $y$ 处可导，且 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在对应点 $x$ 处可导，并且

(f⁻1)'(x) = (1)/(f'(y)) 或 (dy)/(dx) = (1)/((dx)/(dy)) . (2.3)$$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(y)}\text{或}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}.\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

证

由第一章定理5.3，$f$ 的反函数 $f^{-1}$ 也是严格单调的连续函数。故当 $\Delta x\ne 0$ 时，$\Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)\ne 0$，并且 $\Delta x\to 0$ 时必有 $\Delta y\to 0$。又 $x+\Delta x=f(y+\Delta y)$ 或 $\Delta x=f(y+\Delta y)-f(y)$。因此，

(f⁻1)'(x) &= lim_(Δ x → 0) fracf⁻1(x + Δ x) - f⁻1(x)Δ x &= lim_(Δ y → 0) (Δ y)/(f(y + Δ y) - f(y)) &= lim_(Δ y → 0) (1)/((f(y + Δ y) - f(y))/(Δ y)) = (1)/(f'(y)) .$$\begin{array}{rl}(f^{-1}{)}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{f(y+\Delta y)-f(y)}\\ & =\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{1}{\frac{f(y+\Delta y)-f(y)}{\Delta y}}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}.\end{array}$$

定理证毕。

注

由于可导函数必连续，且在第六节中将会证明，若在区间 $I$ 上 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则 $x=f(y)$ 在 $I$ 中必严格单调，因此定理2.3 中函数 $x=f(y)$ 在 $I$ 上严格单调连续的条件可以省略，今后应用反函数求导法则时，只要验证条件 $f^{\prime }(y)\ne 0(y\in I)$ 即可。

例 2.9

求反三角函数的导数。

解

先求反正弦函数 $y=\arcsin x(x\in (-1,1))$ 的导数。由于它是正弦函数 $x=\sin y\left(y\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\right)$ 的反函数，并且当 $y\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$(\sin y{)}^{\prime }=\cos y\ne 0$，所以定理2.3 的所有条件都满足。由 (2.3) 式，在区间 $(-1,1)$ 内我们有

(arcsin x)' = (1)/((sin y)') = (1)/(cos y) = (1)/(√(1 - sin² y)) = (1)/(√(1 - x²)) ,$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{(\sin y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$

即

(arcsin x)' = (1)/(√(1 - x²)), x ∈ (-1, 1) .$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},x\in (-1,1).$$

类似可得

(arccos x)' = -(1)/(√(1 - x²)), x ∈ (-1, 1) ,$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},x\in (-1,1),$$(arctan x)' = (1)/(1 + x²), x ∈ (-∞, +∞) ,$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2},x\in (-\infty ,+\infty ),$$(operatornamearccot x)' = -(1)/(1 + x²), x ∈ (-∞, +∞) .$$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2},x\in (-\infty ,+\infty ).$$

例 2.10

求反双曲正弦与反双曲余弦函数的导数。

解

以反双曲正弦函数 $y=\mathrm{arsh}x(x\in (-\infty ,+\infty ))$ 为例。由于它是双曲正弦 $x=\mathrm{sh}y$ 的反函数，并且满足定理2.3 的所有条件，由 (2.3) 式，在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有

(operatornamearsh x)' = frac1(operatornamesh y)' = frac1operatornamech y = frac1sqrt1 + operatornamesh² y = (1)/(√(1 + x²)) ,$$(\mathrm{arsh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{(\mathrm{sh}y{)}^{\prime }}=\frac{1}{\mathrm{ch}y}=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},$$

即

(operatornamearsh x)' = (1)/(√(x² + 1)), x ∈ (-∞, +∞) .$$(\mathrm{arsh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},x\in (-\infty ,+\infty ).$$

类似可得

(operatornamearch x)' = (1)/(√(x² - 1)), x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) .$$(\mathrm{arch}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ).$$

利用定理2.3 及例1.3 中的公式 (3)，不难证明：

(logₐ x)' = (1)/(x ln a), x ∈ (0, +∞) .$$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},x\in (0,+\infty ).$$

2.4 初等函数的求导问题

到现在为止，我们已经求出了所有基本初等函数的导数。由于初等函数是基本初等函数经过有限次的有理运算和复合运算构成的，因此，一般来说，可以利用导数的有理运算法则、链式法则以及基本初等函数导数公式求出它们的导数。从而得知：初等函数的求导问题已告解决，而且可导初等函数的导数仍为初等函数。

为了今后使用方便，将基本初等函数的导数公式列成下面的基本导数表：

基本初等函数的导数公式（基本导数表）

(1) $(C{)}^{\prime }=0$	(9) $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0\text{ 且 }a\ne 1)$
(2) $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$	(10) $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
(3) $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	(11) $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0\text{ 且 }a\ne 1)$
(4) $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	(12) $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
(5) $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	(13) $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
(6) $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$	(14) $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
(7) $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	(15) $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
(8) $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	(16) $(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

在所有的求导法则中，复合函数求导法则则是最基本最重要的，这不仅是因为应用中经常碰到的函数多是复合函数，而且这个法则也是后面介绍的其他求导法的基础。所以，应当熟练而准确地掌握它。下面再举几个例子。

例 2.11

证明 $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x\ne 0)$。

证

若 $x>0$，则 $\ln |x|=\ln x$，故

(ln |x|)' = (ln x)' = 1/x ;$$(\ln |x|{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x};$$

若 $x<0$，则 $\ln |x|=\ln (-x)$，故

(ln |x|)' = (ln(-x))' = (1)/(-x) · (-1) = 1/x .$$(\ln |x|{)}^{\prime }=(\ln (-x){)}^{\prime }=\frac{1}{-x}\cdot (-1)=\frac{1}{x}.$$

综合上面两种情况得 $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x\ne 0)$。

例 2.12

设 $y=\ln (1+x+\sqrt{2x+x^2})$，求 $y^{\prime }$。

解

y' = (1)/(1 + x + √(2x + x²)) ( 1 + (2 + 2x)/(2√(2x + x²)) ) = (1)/(√(2x + x²)) .$$y^{\prime }=\frac{1}{1+x+\sqrt{2x+x^2}}\left(1+\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2x+x^2}}.$$

例 2.13 幂指函数的导数

设 $f(x)=u(x{)}^{v(x)}$，其中 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都是可导函数，并且 $u(x)>0$，求 $f^{\prime }(x)$。

解

由于

f(x) = u(x)^(v(x)) = e^(v(x) ln u(x)) ,$$f(x)=u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)},$$

所以

f'(x) &= e^(v(x) ln u(x)) [ v'(x) ln u(x) + (v(x) u'(x))/(u(x)) ] &= u(x)^(v(x)) [ v'(x) ln u(x) + (v(x) u'(x))/(u(x)) ] .$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =e^{v(x)\ln u(x)}\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)}\right]\\ & =u(x{)}^{v(x)}\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+\frac{v(x)u^{\prime }(x)}{u(x)}\right].\end{array}$$

2.5 高阶导数

我们知道，变速直线运动的物体在时刻 $t$ 的速度 $v(t)$ 是位移函数 $s=s(t)$ 在时刻 $t$ 的导数，即 $v(t)=s^{\prime }(t)$。而加速度 $a(t)$ 又是速度 $v(t)$ 对时间 $t$ 的变化率，即速度函数 $v=v(t)$ 对时间 $t$ 的导数，故 $a(t)=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=[s^{\prime }(t){]}^{\prime }$，叫做 $s=s(t)$ 对 $t$ 的二阶导数，记作 $a(t)=\frac{{\mathrm{d}}^{2}s}{\mathrm{d}{t}^2}=s^{\prime \prime }(t)$。一般地，高阶导数的定义如下：

定义 2.1（高阶导数）

设函数 $f:I\to \mathbf{R}$ 可导。如果它的导函数 $f^{\prime }:I\to \mathbf{R}$ 在 $x\in I$ 处可导，则称 $f$ 在 $x$ 处二阶可导，$f^{\prime }$ 在 $x$ 处的导数称为 $f$ 在 $x$ 处的二阶导数，记作 $f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x)$。若 $f$ 在 $I$ 上处处二阶可导，则称 $f$ 在 $I$ 上二阶可导，$f^{\prime \prime }$ 称为 $f$ 在 $I$ 上的二阶导函数。一般地，若 $f$ 的 $n-1$ 阶导函数 $f^{(n-1)}:I\to \mathbf{R}$ 在 $x\in I$ 可导，则称 $f$ 在 $x$ 处 $n$ 阶可导，$f^{(n-1)}$ 在 $x$ 处的导数称为 $f$ 在 $x$ 处的 $n$ 阶导数，记作 $f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}{)}^{\prime }(x)$。若 $f$ 在 $I$ 上处处 $n$ 阶可导，则称 $f$ 在 $I$ 上 $n$ 阶可导，$f^{(n)}$ 称为 $f$ 在 $I$ 上的 $n$ 阶导函数，简称 $n$ 阶导数。

若函数用 $y=f(x)$ 表示，则它的 $n$ 阶导数也记成 $y^{(n)}$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}$。

若 $f^{(n)}$ 在 $I$ 上连续，则称 $f$ 在 $I$ 上 $n$ 阶连续可导，或称 $f$ 为 $I$ 上的 $C^{(n)}$ 类函数，记作 $f\in C^{(n)}(I)$。若 $\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}$，$f$ 在 $I$ 上都是 $C^{(n)}$ 类的，则称 $f$ 在 $I$ 上无限阶可导，或称之为 $I$ 上的 $C^{\infty }$ 类函数，记作 $f\in C^{\infty }(I)$。

二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。为统一起见，习惯上把 $f^{\prime }$ 称为 $f$ 的一阶导数，把 $f$ 本身称为 $f$ 的 0 阶导数。

例 2.14

证明下列函数的 $n$ 阶导数公式：

(1) $(e^x{)}^{(n)}=e^x$；

(2) $(\sin x{)}^{(n)}=\sin \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$；

(3) $(\cos x{)}^{(n)}=\cos \left(x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right)$；

(4) $(x^{\alpha }{)}^{(n)}=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)x^{\alpha -n}(\alpha \in \mathbf{R},x>0)$；

(5) $[\ln (1+x){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}(x>-1)$。

证

仅证 (2) 与 (5)，其余留给读者。

(2) 由于

(sin x)' = cos x = sin(x + (π)/(2)) ,$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right),$$(sin x)'' = cos(x + (π)/(2)) = sin(x + 2 · (π)/(2)) ,$$(\sin x{)}^{\prime \prime }=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+2\cdot \frac{\pi }{2}\right),$$

假定 $(\sin x{)}^{(k)}=\sin \left(x+k\cdot \frac{\pi }{2}\right)$ 成立，则

(sin x)^((k+1)) = [sin(x + k · (π)/(2))]' = cos(x + k · (π)/(2)) = sin(x + (k+1) · (π)/(2)) ,$$(\sin x{)}^{(k+1)}={\left[\sin \left(x+k\cdot \frac{\pi }{2}\right)\right]}^{\prime }=\cos \left(x+k\cdot \frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+(k+1)\cdot \frac{\pi }{2}\right),$$

由数学归纳法知 (2) 式对于任何 $n\in {\mathbf{N}}_{+}$ 都成立。

(5) 由于

[ln(1 + x)]' = (1)/(1 + x) ,$$[\ln (1+x){]}^{\prime }=\frac{1}{1+x},$$[ln(1 + x)]'' = ((1)/(1 + x))' = -(1)/((1 + x)²) ,$$[\ln (1+x){]}^{\prime \prime }={\left(\frac{1}{1+x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{(1+x{)}^2},$$[ln(1 + x)]^((3)) = [-(1)/((1 + x)²)]' = (-1)² (1 · 2)/((1 + x)³) ,$$[\ln (1+x){]}^{(3)}={\left[-\frac{1}{(1+x{)}^2}\right]}^{\prime }=(-1{)}^2\frac{1\cdot 2}{(1+x{)}^3},$$

与 (2) 类似可由数学归纳法证明：

[ln(1 + x)]^((n)) = (-1)ⁿ-1 ((n-1)!)/((1 + x)ⁿ) .$$[\ln (1+x){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x{)}^n}.$$

定理 2.4

设函数 $u,v$ 都是 $n$ 阶可导的，则 $\alpha u+\beta v$ 与 $uv$ 也是 $n$ 阶可导的，并且有：

(1) 线性性质 $(\alpha u+\beta v{)}^{(n)}=\alpha u^{(n)}+\beta v^{(n)},\alpha ,\beta \in \mathbf{R}$；

(2) Leibniz 公式

(uv)^((n)) = ∑ₖ=0ⁿ Cₙ^k u^((n-k)) v^((k)) = u^((n))v + Cₙ¹ u^((n-1))v' + … + Cₙ^k u^((n-k))v^((k)) + … + uv^((n)) .$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}=u^{(n)}v+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots +C_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}+\cdots +u{v}^{(n)}.$$

线性性质显然成立，Leibniz 公式可用数学归纳法来证明。

例 2.15

设 $f(x)=x^3\sin x$，求 $f^{(n)}(x)$。

解

取 $u=\sin x,v=x^3$，根据 Leibniz 公式得

f^((n))(x) &= x³ (sin x)^((n)) + n · 3x² (sin x)^((n-1)) + (n(n-1))/(2!) · 6x (sin x)^((n-2)) + (n(n-1)(n-2))/(3!) · 6 (sin x)^((n-3)) &= x³ sin[x + n · (π)/(2)] + 3nx² sin[x + (n-1) · (π)/(2)] + 3n(n-1)x sin[x + (n-2) · (π)/(2)] & + n(n-1)(n-2) sin[x + (n-3) · (π)/(2)] .$$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x)& =x^3(\sin x{)}^{(n)}+n\cdot 3x^2(\sin x{)}^{(n-1)}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot 6x(\sin x{)}^{(n-2)}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot 6(\sin x{)}^{(n-3)}\\ & =x^3\sin \left[x+n\cdot \frac{\pi }{2}\right]+3n{x}^2\sin \left[x+(n-1)\cdot \frac{\pi }{2}\right]+3n(n-1)x\sin \left[x+(n-2)\cdot \frac{\pi }{2}\right]\\ & +n(n-1)(n-2)\sin \left[x+(n-3)\cdot \frac{\pi }{2}\right].\end{array}$$

想一想

AI 解答

试在例2.15 中取 $u=x^3,v=\sin x$ 用 Leibniz 公式求 $f^{(n)}(x)$，并与左边的方法比较，哪一种更简便？

2.6 隐函数求导法

前面研究的函数都可以表示为 $y=f(x)$ 的形式，其中 $f(x)$ 是 $x$ 的解析式，称之为显函数。在实际问题中，常常碰到这样一类函数，它的因变量 $y$ 与自变量 $x$ 间的对应法则是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的。如果存在一个定义在某区间上的函数 $y=f(x)$，使得 $F(x,f(x))\equiv 0$，那么称 $y=f(x)$ 为由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数。此时我们说由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数存在。

想一想

AI 解答

试用连续函数的零点定理证明当 $x>1$ 时，方程 $e^y=y+x$ 能确定一个隐函数 $y=f(x)$。

由给定的方程所确定的隐函数是否存在，是一个相当复杂的问题，我们将在第五章中讨论。即使隐函数存在，也未必能化成显函数的形式。例如，方程 $2x-y+3=0$ 对任何 $x\in \mathbf{R}$ 都确定了一个隐函数 $y$，而且能化成显函数形式 $y=2x+3$（称它为隐函数的显化）；利用零点定理可以证明，当 $x>1$ 时，方程 $e^y=y+x$ 至少有一个实根 $y$，因此，虽能确定一个隐函数 $y=f(x)$，但却无法显化；而方程 $x^2+y^2+1=0$ 不能确定一个隐函数。

下面在隐函数存在且可导的前提下，讨论隐函数的求导方法。设 $y=f(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 所确定的隐函数，则 $F(x,f(x))\equiv 0$。由于此式左端是将 $y=f(x)$ 代入到 $F(x,y)$ 所得到的复合函数，因此根据链式法则将该方程两边对 $x$ 求导，便可得到所要求的导数。

例 2.16

求由方程 $y^5+2y^3-y+x=0$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数。

解

注意到方程中 $y$ 是 $x$ 由该方程确定的隐函数，将它代入方程，并利用链式法则对方程两端关于 $x$ 求导得

5y⁴ y' + 6y² y' - y' + 1 = 0 ,$$5y^4{y}^{\prime }+6y^2{y}^{\prime }-y^{\prime }+1=0,$$

从而解得

y' = -(1)/(5y⁴ + 6y² - 1) .$$y^{\prime }=-\frac{1}{5y^4+6y^2-1}.$$

例 2.17

求由方程 $e^y+xy=e$ 确定的隐函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的二阶导数。

解

注意到 $y$ 是 $x$ 的函数，两端同时对 $x$ 求导得

eʸ y' + xy' + y = 0 , (2.4)$$e^y{y}^{\prime }+x{y}^{\prime }+y=0,\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

从而解得

y' = -(y)/(eʸ + x) . (2.5)$$y^{\prime }=-\frac{y}{e^y+x}.\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

将 $x=0$ 代入所给方程，易得 $y=1$，所以

. y' |ₓ=0 = -. (y)/(eʸ + x) |ₓ=0 = -1/e .$${y^{\prime }|}_{x=0}=-{\frac{y}{e^y+x}|}_{x=0}=-\frac{1}{e}.$$

为了求出隐函数的二阶导数，将方程 (2.4) 两端再对 $x$ 求导，注意到 $y^{\prime }=f^{\prime }(x)$ 仍是 $x$ 的函数，得

eʸ (y')² + eʸ y'' + xy'' + y' + y' = 0 ,$$e^y(y^{\prime }{)}^2+e^y{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }+y^{\prime }=0,$$

从而

y'' = -(eʸ (y')² + 2y')/(eʸ + x) .$$y^{\prime \prime }=-\frac{e^y(y^{\prime }{)}^2+2y^{\prime }}{e^y+x}.$$

将 (2.5) 式代入上式，解得

y'' = ((2y - y²)eʸ + 2xy)/((eʸ + x)³), . y'' |ₓ=0 = (1)/(e²) .$$y^{\prime \prime }=\frac{(2y-y^2)e^y+2xy}{(e^y+x{)}^3},{y^{\prime \prime }|}_{x=0}=\frac{1}{e^2}.$$

想一想

AI 解答

对例2.17，下面两种解法对吗？为什么？ (1) 将 $x=0$ 代入 (2.5) 式得 ${y^{\prime }|}_{x=0}=-\frac{y}{e^y}$； (2) 由题解中知 ${y^{\prime }|}_{x=0}=-\frac{1}{e}$，所以 ${y^{\prime \prime }|}_{x=0}=0$。

此例中关于二阶导函数 $y^{\prime \prime }$ 的结果也可以由 (2.5) 式两边对 $x$ 求导得到，由读者自己去完成。

2.7 由参数方程确定的函数的求导法则

在很多实际问题中，常常用参数方程来表示物体的运动规律。例如，炮弹运动的轨迹（称为弹道曲线）在不计空气阻力的情况下可表示成参数方程

x = v₁ t, y = v₂ t - 1/2gt², (2.6)$$\{\begin{array}{l}x=v_{1}t,\\ y=v_{2}t-\frac{1}{2}g{t}^2,\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

其中 $v_1,v_2$ 分别表示炮弹的水平和铅垂方向的初速度，$g$ 为重力加速度，$t$ 为时间，$x$ 与 $y$ 分别表示炮弹在铅垂平面内位置的横坐标与纵坐标（图 2.7）。

图 2.7

在 (2.6) 式中，$x$ 与 $y$ 都是 $t$ 的函数，由第一式解出 $t$ 代入第二式，消去 $t$，就得到 $y$ 与 $x$ 间的一个函数关系式

y = (v₂)/(v₁)x - (g)/(2v₁²)x² ,$$y=\frac{v_2}{v_1}x-\frac{g}{2v_1^2}{x}^2,$$

称之为由参数方程 (2.6) 所确定的函数。

一般地，由参数方程

x = x(t), y = y(t) (2.7)$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

所确定的 $y$ 与 $x$ 间的函数关系式，称为由参数方程 (2.7) 确定的函数。如果参数方程比较复杂，很难甚至不能由消去参数 $t$ 得到 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，怎样求该函数的导数呢？下面的法则提供了直接求这种函数导数的方法。

定理 2.5（参数方程求导法则）

设有参数方程 (2.7)。

(1) 若函数 $x=x(t)$ 与 $y=y(t)$ 在 $(\alpha ,\beta )$ 内可导，且 $\dot{x}(t)\ne 0$（习惯上常用 $\dot{x},\ddot{x}$ 表示 $x=x(t)$ 对参数 $t$ 的一阶和二阶导数 $x^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t)$），则

(dy)/(dx) = fracdotydotx ; (2.8)$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}};\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

(2) 若 $x=x(t)$ 与 $y=y(t)$ 二阶可导，则

(d²y)/(dx²) = fracdotxddoty - ddotxdotydotx³ . (2.9)$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{{\dot{x}}^3}.\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

证

(1) 由于 $x=x(t)$ 可导，且 $\dot{x}(t)\ne 0$，根据本章定理2.3 及其右边框的注意易知它的反函数 $t=x^{-1}(x)$ 在与 $t$ 对应的 $x$ 处可导，且

(dt)/(dx) = (x⁻1)'(x) = frac1dotx(t) .$$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=(x^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{\dot{x}(t)}.$$

将 $t=x^{-1}(x)$ 代入 $y=y(t)$，得恒等式 $y\equiv y(x^{-1}(x))$，它的右端是 $x$ 的复合函数。利用链式法则，将该式两端对 $x$ 求导即得

(dy)/(dx) = (dy)/(dt) · (dt)/(dx) = fracdoty(t)dotx(t) .$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}.$$

(2) 将上式两边继续对 $x$ 求导，注意到它的右端仍是 $x$ 的复合函数，中间变量 $t=x^{-1}(x)$，从而得

(d²y)/(dx²) &= (d)/(dx)((dy)/(dx)) = (d)/(dt)((dy)/(dx)) · (dt)/(dx) = (d)/(dt)(fracdoty(t)dotx(t)) · frac1dotx(t) &= fracdotx(t)ddoty(t) - ddotx(t)doty(t)(dotx(t))² · frac1dotx(t) = fracdotxddoty - ddotxdotydotx³ .$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}\right)\cdot \frac{1}{\dot{x}(t)}\\ & =\frac{\dot{x}(t)\ddot{y}(t)-\ddot{x}(t)\dot{y}(t)}{(\dot{x}(t){)}^2}\cdot \frac{1}{\dot{x}(t)}=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{{\dot{x}}^3}.\end{array}$$

注意

在公式 (2.8) 与 (2.9) 中，左端 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 是 $x$ 的函数，而右端却是 $t$ 的函数，应当怎样理解呢？实际上，此处 $t$ 与 $x$ 的关系是 $t=\phi (x)$，只要将它代入两公式的右端，那么，它们的两端就都是 $x$ 的函数了！注意到由 $\dot{x}(t)\ne 0$ 可知 $x=x(t)$ 的反函数 $t=x^{-1}(x)$ 必存在，但不一定能解出，因此允许两公式的写法，但应按上面讲的那样理解。

例 2.18

已知摆线（图 2.8，又称旋轮线）的参数方程为

x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t) .$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t).\end{array}$$

(1) 求摆线上任一点 $P$ 处的切线和法线的斜率；

(2) 求由该参数方程所确定的函数的二阶导数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

图 2.8

解

(1) 由 (2.8) 式可知，摆线在点 $P$ 处的切线和法线斜率分别为

k_(切) = (dy)/(dx) = (asin t)/(a(1 - cos t)) = (sin t)/(1 - cos t) , (2.10)$$k_{\text{切}}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t},\text{\hspace{1em}(2.10)}$$k_(法) = -(1 - cos t)/(sin t) .$$k_{\text{法}}=-\frac{1-\cos t}{\sin t}.$$

(2) 由 (2.9) 式得

(d²y)/(dx²) = (a(1 - cos t)acos t - (asin t)asin t)/(a³(1 - cos t)³) = -(1)/(a(1 - cos t)²) .$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{a(1-\cos t)a\cos t-(a\sin t)a\sin t}{a^3(1-\cos t{)}^3}=-\frac{1}{a(1-\cos t{)}^2}.$$

想一想

AI 解答

在例2.18 中，求二阶导数 $y^{\prime \prime }$ 的下述做法对吗？为什么？ 由 (2.10) 式得

y'' = ((sin t)/(1 - cos t))' = (cos t(1 - cos t) - sin² t)/((1 - cos t)²) = -(1)/(1 - cos t) .$$y^{\prime \prime }={\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)}^{\prime }=\frac{\cos t(1-\cos t)-{\sin }^{2}t}{(1-\cos t{)}^2}=-\frac{1}{1-\cos t}.$$

此例中采用了直接代公式 (2.8) 与 (2.9) 的方法。实际上，在求二阶导数 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 时，利用推导公式 (2.9) 的方法有时更为简便。下面用这种方法另解如下。将 (2.10) 式两端同时对 $x$ 求导，并注意 $t$ 是 $x$ 的函数，则有

(d²y)/(dx²) &= (d)/(dx)((sin t)/(1 - cos t)) = (d)/(dt)((sin t)/(1 - cos t)) · (dt)/(dx) &= (cos t(1 - cos t) - sin² t)/((1 - cos t)²) · (1)/(a(1 - cos t)) = -(1)/(a(1 - cos t)²) .$$\begin{array}{rl}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\\ & =\frac{\cos t(1-\cos t)-{\sin }^{2}t}{(1-\cos t{)}^2}\cdot \frac{1}{a(1-\cos t)}=-\frac{1}{a(1-\cos t{)}^2}.\end{array}$$

若曲线 $\Gamma$ 上每一点都有切线，并且各点切线是连续转动的，则称 $\Gamma$ 是一条光滑曲线。因此，若 $f$ 是 $C^{(1)}$ 类函数，根据导数的几何意义，则由方程 $y=f(x)$ 表示的曲线 $\Gamma$ 是光滑曲线。设曲线 $\Gamma$ 由参数方程 (2.7) 表示，若 $x=x(t)$ 与 $y=y(t)$ 有连续的导数，并且 ${\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)\ne 0$，则由 (2.8) 式可知，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$（或 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$）是 $t$ 的连续函数，因而 $\Gamma$ 是光滑曲线。如圆和椭圆等都是光滑曲线。若曲线 $\Gamma$ 在整个区间 $(\alpha ,\beta )$ 上不是光滑的，但将 $(\alpha ,\beta )$ 分为若干子区间，$\Gamma$ 上与各子区间对应的各弧段都是光滑的，称这种曲线为分段光滑曲线。如摆线的每一拱都是光滑的，但该曲线上对应于 $t=2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$ 的点处切线斜率为无穷大，所以摆线是一条分段光滑曲线。

2.8 相关变化率问题

实际问题中经常提出这样一类问题：在某变化过程中，变量 $x$ 与 $y$ 同随另一变量 $t$ 而变，即 $x=x(t),y=y(t)$，而变量 $x$ 与 $y$ 之间又存在着相互依赖关系，因而它们的变化率 $\dot{x}(t)$ 与 $\dot{y}(t)$（假定存在）也相互联系。研究这两个变化率之间关系的问题称为相关变化率问题。

解决实际问题中的相关变化率问题可采用如下步骤： (1) 建立变量 $x$ 与 $y$ 之间的关系式 $F(x,y)=0$； (2) 将 $F(x,y)$ 中的 $x$ 与 $y$ 均看成是 $t$ 的函数，用链式法则将关系式 $F(x,y)=0$ 两端对 $t$ 求导，得到 $\dot{x}(t)$ 与 $\dot{y}(t)$ 之间的关系式； (3) 从中解出所要求的变化率。

例 2.19

设有一深为 $18\text{ cm}$、顶部直径为 $12\text{ cm}$ 的直圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为 $10\text{ cm}$ 的圆柱形水桶（图 2.9），水由漏斗流入桶内。当漏斗中水深为 $12\text{ cm}$、水面下降速度为 $1\text{ cm/s}$ 时，求桶中水面上升的速度。

图 2.9

解

设在时刻 $t$ 漏斗中水面的高度为 $h=h(t)$，漏斗在高为 $h(t)$ 处的截面圆的半径为 $r(t)$，桶中水面的高度为 $H=H(t)$。

(1) 建立变量 $h$ 与 $H$ 的关系。 由于在任何时刻 $t$，漏斗中与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量。若设水的密度为 $1{\text{ g/cm}}^3$，则有

(π)/(3)r²(t)h(t) + 5²π H(t) = (π)/(3) · 6² · 18 = 6³π .$$\frac{\pi }{3}{r}^2(t)h(t)+5^2\pi H(t)=\frac{\pi }{3}\cdot 6^2\cdot 18=6^3\pi .$$

又因为 $\frac{r(t)}{6}=\frac{h(t)}{18}$，所以 $r(t)=\frac{1}{3}h(t)$。代入上式得

(π)/(27)h³(t) + 25π H(t) = 6³π .$$\frac{\pi }{27}{h}^3(t)+25\pi H(t)=6^3\pi .$$

(2) 求 $\dot{h}(t)$ 与 $\dot{H}(t)$ 之间的关系。用链式法则将上式两边对 $t$ 求导得

(π)/(9)h²(t)doth(t) + 25πdotH(t) = 0 ,$$\frac{\pi }{9}{h}^2(t)\dot{h}(t)+25\pi \dot{H}(t)=0,$$

或

h²(t)doth(t) + 9 × 25dotH(t) = 0 .$$h^2(t)\dot{h}(t)+9\times 25\dot{H}(t)=0.$$

(3) 由上式解得

dotH(t) = -(h²(t))/(9 × 25)doth(t) .$$\dot{H}(t)=-\frac{h^2(t)}{9\times 25}\dot{h}(t).$$

由已知，当 $h(t)=12\text{ cm}$ 时，$\dot{h}(t)=-1\text{ cm/s}$，代入上式得

dotH(t) = -(12²)/(9 × 25)(-1) = (16)/(25) (cm/s) .$$\dot{H}(t)=-\frac{12^2}{9\times 25}(-1)=\frac{16}{25}\text{ (cm/s)}.$$

因此，当漏斗中水深为 $12\text{ cm}$、水面下降速度为 $1\text{ cm/s}$ 时，桶中水面上升的速度为 $\frac{16}{25}\text{ cm/s}$。

例 2.20

在机械加工中，经常利用外圆磨床采用所谓切线磨削法来加工圆形工件，图 2.10 是切线磨削法的示意图。在磨削过程中，砂轮绕 $O_1$ 轴旋转，工件中心在直线 $L$ 上一面绕其中心 $A$ 旋转，一面沿 $L$ 向右平动。工件在前进过程中不断被砂轮磨削，最后磨出一个圆形工件来。随着工件的不断前进，其中心 $A$ 与点 $O$ 间的距离 $x$ 不断减小，所以 $x$ 是时间 $t$ 的函数，称 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 为工件的进给速度。由于砂轮的不断磨削，工件中心到砂轮中心 $O_1$ 的距离 $y$ 也不断减小，所以 $y$ 也是时间 $t$ 的函数，称 $v=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 为径向切入速度。求当工件以等速 $v_0$ 进给时的径向切入速度。

图 2.10

解

为了寻求工件的进给速度与径向切入速度之间的关系，首先必须建立 $x$ 与 $y$ 之间的关系。由图 2.10 中的直角 $△AO{O}_1$，易见

y² = x² + c² .$$y^2=x^2+c^2.$$

将上式两边对 $t$ 求导，根据链式法则，得

2y(dy)/(dt) = 2x(dx)/(dt) .$$2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}.$$

由于 $x$ 是 $t$ 的严格单调减函数，并且进给速度是常数 $v_0$，故 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-v_0$，从而可得

v = (dy)/(dt) = x/y · (dx)/(dt) = -(x)/(√(x² + c²))v₀ = -(v₀)/(√(1 + (c/x)²)) .$$v=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{x}{y}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-\frac{x}{\sqrt{x^2+c^2}}{v}_0=-\frac{v_0}{\sqrt{1+{\left(\frac{c}{x}\right)}^2}}.$$

由上式可见，当 $x$ 减少时，径向切入速度 $v$ 的绝对值也随之减小，当 $x\to 0$ 时，$v\to 0$。这说明在工件等速进给的条件下，用切线磨削法可一次完成粗磨、精磨和无火花磨削三个阶段，因此，它是一种常用的磨削方法。

2.2 求导的基本法则