绪论 · 《工科数学分析基础（第三版）》

数学发展的三个阶段

数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学。随着人类对事物认识的逐渐深化，作为数学研究对象的“数”和“形”，在数学发展的不同阶段，其内涵和表现形式也不尽相同。数学的发展可以划分为三个阶段：

1. 常量数学阶段（初等数学阶段）

从古希腊时代（公元前 $5$ 世纪—公元前 $3$ 世纪）到 $17$ 世纪中叶，是数学发展的第一阶段。在这长达两千多年的时期内，由于生产力的落后，人们把客观世界中的各种事物看成是孤立的、静止不变的，因而数学中研究的“数”基本上是常数或常量（即在某一运动变化过程中保持不变或相对保持不变、可看作取固定数值的量），研究的“形”也主要是简单的、不变的、规则的几何形体（例如线段、直边形与直面形等）。

通过研究常量间的代数运算和规则几何图形内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学。因此，这个阶段常被称为初等数学阶段或常量数学阶段。

2. 变量数学阶段（高等数学阶段）

从 $1637$ 年著名法国哲学家、数学家 $R$ . Descartes（ $1596-1650$ ）建立解析几何到 $19$ 世纪末是数学发展的第二阶段。在这个阶段中，由于工业革命的兴起，推动了机械、造船、采矿、航海和修建铁路等新兴工业的建立和发展，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对自然界的认识。现实世界的各种事物都处在不停的运动变化之中，物理学和天文学等学科的迅速发展，要求建立新的数学工具研究物体的运动变化规律，研究曲线和曲面的性质。

在这种形势下，天才的英国物理学家、力学家、天文学家和数学家 $I$ . Newton（ $1642-1727$ ）和德国数学家和哲学家具 $G$ . W. Leibniz（ $1646-1716$ ）各自独立地创立了微积分。此后，数学的发展呈现出一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支，并出现了一些其他的相关分支，它们被统称为高等数学。

在这个阶段，数学中研究的“数”是变数或变量（即在某一运动变化过程中不断变化、可以取不同数值的量），研究的“形”是复杂的不规则的几何形体（例如曲线、曲面、曲线与曲面形等）。而且，由于 Descartes 引入直角坐标系，使“数”与“形”紧密地联系起来。平面上的点可以用有序偶表示，平面曲线（动点的轨迹）可以用代数方程表示，因此，“运动和辩证法便进入了数学”（恩格斯《自然辩证法》）。这个阶段被称为高等数学阶段或变量数学阶段。同学们在大学本科阶段学习的数学课程大多属于这个阶段的内容。

3. 现代数学阶段

从 $19$ 世纪末开始，数学的发展进入了第三阶段，即现代数学阶段。至今，这个阶段还在发展之中。由于集合论的创立，不但为数学的发展奠定了坚实的基础，而且使得数学的研究对象——“数”与“形”——具有了更丰富的内涵和更广泛的外延，表现形式也更加抽象。关于这方面内容本书不做过多介绍，但在前几章中也将适当地采用一些现代数学的观点、方法、术语和符号。

从研究常量到研究变量，从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体，是人类对自然界认识的一大飞跃，是数学发展的一个转折点。由于研究的对象不同，研究的方法不同。初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、一个一个问题孤立地进行研究，而高等数学却不然。下面，我们以“已知位移求速度”和“已知速度求位移”这两个经典问题为例，介绍微积分的基本思想方法，说明它与初等数学的研究方法有什么区别。

例 1 变速直线运动的瞬时速度

设一物体做变速直线运动，已知位移随时间的变化规律为 $s = s(t)$ （ $a \le t \le b$ ）。由于物体的运动速度是随时间不断变化的，要精确地研究物体的运动变化规律，必须计算它在运动过程中每一时刻的速度，就是所谓瞬时速度。怎样认识和度量它呢？

分析与求解

如果物体做匀速直线运动，那么位移 $s$ 随时间 $t$ 的变化是均匀的。即从任意时刻 $t_1$ 开始，只要时间的变化 $t_2 - t_1$ 相同，位移的变化 $s(t_2) - s(t_1)$ 也相同。这时物体的运动速度只需通过除法用

v = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}

来度量，显然它是一个常量。对于非匀速运动，位移 $s$ 随时间的变化是非均匀的，即在相同的时间内位移的变化不尽相同。为了度量在时刻 $t_0$ 的速度 $v(t_0)$ ，考察物体从时刻 $t_0$ 到与它邻近的时刻 $t$ 所通过的位移 $s(t) - s(t_0)$ 。记 $\Delta t = t - t_0$ 、 $\Delta s = s(t) - s(t_0)$ ，则用除法得到的

v = \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = \frac{\Delta s}{\Delta t}

仅表示物体在 $|\Delta t|$ 这段区间内的平均速度，还不是物体在时刻 $t_0$ 的速度。

注意

假定位移随时间的变化是连续不断的，则当 $|\Delta t|$ 很小（常用 $|\Delta t| \ll 1$ 表示）时，速度的变化也很小，可以近似地看成是不变的。

这就是说，在很小的时间区间内，位移随时间的变化可以近似看成是均匀的，这样， $v$ 可以作为时刻 $t_0$ 速度的近似值，即

v(t_0) \approx \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \tag{0.1}

$|\Delta t|$ 越小，上面的近似值越精确。如果令 $\Delta t \to 0$ （即 $t \to t_0$ ）， $\bar{v}$ 能任意接近某确定的常数，即 $\bar{v}$ 的极限存在，那么这个极限值就规定为时刻 $t_0$ 的瞬时速度，即

v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{t \to t_0} \frac{s(t) - s(t_0)}{t - t_0} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} \tag{0.2}

例 2 变速直线运动的位移

设物体做变速直线运动，速度随时间的变化规律为 $v = v(t)$ （ $a \le t \le b$ ），求在时间区间 $[a, b]$ 内物体所通过的位移 $s$ 。

分析与求解

对于匀速直线运动，由于速度 $v$ 是常量，位移随时间的变化是均匀的，所以在时间区间 $[a, b]$ 内通过的位移只要用乘法就能求得，即

s = v \times (b - a) \tag{0.3}

对于非匀速运动，由于速度 $v$ 是变量，位移随时间的变化是非均匀的，所以在时间区间 $[a, b]$ 内，物体所通过的位移不能简单地用上述乘法公式求得。但若假定速度随时间的变化是连续不断的，那么当 $|\Delta t| \ll 1$ 时，速度的变化也很小，运动可以近似看成是匀速的，即位移随时间的变化可近似看成均匀的。

因此，若将时间区间 $[a, b]$ 任意分割为若干小区间，物体在每个小区间内部近似看成是匀速运动，就可以利用上面的公式求出位移的近似值。再将各小区间内通过的位移近似值相加，就可得到在 $[a, b]$ 内物体通过的总位移的近似值。 $|\Delta t|$ 越小，近似值就越精确。如同例 $1$ 那样，当每个时间区间的长度无限趋近于零时，总位移近似值的极限存在，那么这个极限值就是物体在 $[a, b]$ 内通过的总位移的精确值。

上面的分析过程可以分解为四个具体步骤：

第一步分 将区间 $[a, b]$ 任意分割为 $n$ 个小区间 $[t_{k-1}, t_k]$ （ $k = 1, 2, \cdots, n$ ），

a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n-1} < t_n = b

每个小区间的长度记为 $\Delta t_k = t_k - t_{k-1}$ 。

第二步匀 当 $|\Delta t_k| \ll 1$ 时，在每个小区间 $[t_{k-1}, t_k]$ 上位移随时间的变化可以近似看成是均匀的，因此可以用任一时刻 $\xi_k$ （ $t_{k-1} \le \xi_k \le t_k$ ）时的速度 $v(\xi_k)$ 近似替代小区间内各时刻的速度。于是，物体在小区间 $[t_{k-1}, t_k]$ 内通过的位移近似值为

\Delta s_k \approx v(\xi_k) \Delta t_k \quad (k = 1, 2, \cdots, n) \tag{0.4}

第三步合 将物体在各个小区间内通过的位移近似值求和，就得到物体在整个时间区间 $[a, b]$ 内通过的总位移的近似值 $s$ ，即

s \approx \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \Delta t_k

第四步精 令各个小区间长度的最大值 $\lambda = \max_{1 \le k \le n} \{\Delta t_k\} \to 0$ （从而小区间的个数 $n \to \infty$ ），若上述和式存在极限，则此极限就是物体在时间区间 $[a, b]$ 内通过的总位移的精确值，即

s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{k=1}^n v(\xi_k) \Delta t_k

微积分的基本思想方法与学习指导

通过上述两个经典实例，我们可以深刻领会微积分的核心思想与辩证法特征：

“以匀代非匀”的近似思想：这是微积分处理复杂非均匀变化问题的一般策略。在极小局部范围内，将变量视为常量、非均匀变化视为均匀变化，从而把复杂的非线性问题转化为简单的线性问题。
极限转化与辩证法：由“近似”到“精确”的飞跃是通过极限来实现的。极限思想不仅是微积分的基石，也是连接有限与无限、近似与精确的桥梁。
大学数学分析的学习方法：数学分析不仅要求掌握严密的逻辑推理与计算技巧，更需要培养辩证思维能力。在学习过程中，应当从常量数学的思维定势中跳出来，适应变量数学的动态观点，深刻理解“有限蕴含无限”、“局部决定整体”的辩证关系。