5.1 n 维Euclid空间 $\mathbf{R}^n$ 中点集的初步知识

由于多元函数的定义域是 $n$ 维Euclid空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中的子集，因此，本节先介绍 ${\mathbf{R}}^n$ 中点集的初步知识.

1.1 $n$ 维Euclid空间 ${\mathbf{R}}^n$

大家知道,若在平面上建立平面直角坐标系 xOy,则平面上的任给一点 P（或实向量）必唯一地确定了一个二元有序实数组；反之,对于给定的二元有序实数组,也唯一地确定一个平面点(或实向量),从而平面上的所有点(或实向量)与所有二元有序实数组建立了一一对应关系,并且两个实向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ 的加法可表示为

$$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(x_1+y_1,x_2+y_2\right),$$

实向量 $x$ 与实数 $\alpha \in R$ 的乘法可表示为

$$\alpha \mathbf{x}=(\alpha x_1,\alpha x_2),$$

这种实向量也称为平面(或二维)向量. 二维实向量的全体构成的集合记作 ${\mathbf{R}}^2$ , 按照向量的加法和数乘构成一个二维实向量空间(或二维实线性空间).

类比于二维实向量,我们称一个 n (n>2) 元有序实数组

$$\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\left(x_i\in \mathbf{R},i=1,2,\dots ,n\right)$$

为一个 $n$ 维实向量, 记 $n$ 维实向量全体所构成的集合为

$${\mathbf{R}}^n=\left\{\mathbf{x}=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\mid x_i\in \mathbf{R},i=1,2,\dots ,n\right\}.$$

设有向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n,\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\in {\mathbf{R}}^n$ ，定义两个向量的加法为

$$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\left(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n\right),\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

向量 $x$ 与数 $\alpha \in R$ 的乘法为

$$\alpha x=\left(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n\right),\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

并称 $R^n$ 按照上述向量加法及数与向量的乘法构成一个 $n$ 维实向量空间（或 $n$ 维实线性空间）.

在 $n$ 维实向量空间 $R^n$ 中也可以像二维实向量空间那样, 定义两个向量 $x$ 与 $y$ 的内积为

$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i,\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

则 $R^n$ 按照内积(1.3)构成一个 $n$ 维 Euclid 空间.

$n$ 维 Euclid 空间 $R^n$ 中的向量也称为点, 向量 $x$ 的第 $i$ 个分量 $x_i$ 也称为点 $x$ 的第 $i$ 个坐标. $R^n$ 中的点 (向量) 常用小写黑体英文字母 $x$, $y$, $a$, $b$ 等表示, 有时也用大写英文字母 $P$, $Q$ 等来表示 $R^n$ 中的点.

$R^n$ 中向量 $x$ 的长度(或范数)定义为

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2},\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

两点 $x$ 与 $y$ 之间的距离定义为注:本段利用联想类比的思想方法在高维空间 $R^n(n>2)$ 中引入线性运算和距离的概念,从而为研究 $R^n$ 中点列的极限和多元函数的极限与连续性奠定基础.类比法是科学技术中的一种创新思维方法,在多元函数微积分的研究中有广泛的应用.

$$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\sqrt{{\left(x_1-y_1\right)}^2+{\left(x_2-y_2\right)}^2+\cdots +{\left(x_n-y_n\right)}^2}.\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

1.2 ${\mathbf{R}}^{\prime \prime }$ 中点列的极限

有了 $R^n$ 空间中距离的概念, 我们就能仿照数列(即 $R$ 中的点列) 极限的概念和有关性质来讨论 $R^n$ 中的点列极限的概念和相应的性质.

定义 1.1 点列的极限

设 $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的一个点列, 其中 $x_k=(x_{k,1},x_{k,2},\cdots ,x_{k,n})$ , 又设 $a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 是 $R^n$ 中的一固定点, 若当 $k\to \infty$ 时, $\rho (x_k,a)\to 0$ , 即

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得}\forall k>N,\text{恒有}\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert <\epsilon ,\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

则称点列 $\{x_k\}$ 的极限存在，且称 $a$ 为它的极限，记作

$$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=a\text{或}{x}_k\to a(k\to \infty ).$$

这时也称点列 $\{x_k\}$ 收敛于$a$.

定理 1.1

设点列 $\{x_k\}\subseteq R^n$ ，点 $a\in R^n$ ，则 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=a$ 的充要条件是 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，都有 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{k,i}=a_i$ .

证明

由于 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，恒有

$$\mid x_{k,i}-a_i\mid ⩽\parallel {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\parallel .$$

根据定义1.1立即可证明必要性.下面证明充分性. 设 $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ，都有 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{k,i}=a_i$ ，则 $\forall \epsilon >0,\exists N_i\in N_{+}$ ，使得 $\forall k>N_i$ ，恒有 $\left|x_{k,i}-a_i\right|<\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}$ . 令 $N=\max \left\{N_1,N_2,\cdots ,N_n\right\}$ ，则 $\forall k>N$ ，必有

定理1.1表明, $R^n$ 中点列 $\left|x_k\right|$ 收敛于$a$等价于该点列的各个坐标(或分量)所构成的数列 $\left|x_{k,i}\right|$ 分别收敛于点$a$的相应坐标(或分量) $a_i$ .从而,它把研究 $R^n$ 中点列的收敛问题转化为实数列(即一维空间中的点列)的收敛问题.这种“化多为一”的思想方法是一种将“未知”化为“已知”的方法,在多元函数微积分中经常使用.读者应认真学习,并用这种方法证明定理1.2中的(3).中的点列)的收敛问题.这种“化多为一”的思想方法是一种将“未知”化为“已知”的方法,在多元函数微积分中经常使用.读者应认真学习,并用这种方法证明定理1.2中的(3).

$$\left|x_{k,i}-a_i\right|<\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}(i=1,2,\dots ,n).$$

从而 $\forall k>N$ ，有

$$\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{\left(x_{k,i}-a_i\right)}^2}<\epsilon ,$$

故 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=a.$

定理 1.2

设 $\{x_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的收敛点列，则

(1) $\{x_k\}$ 的极限是唯一的；

(2) $\{x_k\}$ 是有界点列, 即 $\exists M(\in \mathbf{R})>0$ , 使得 $\forall k\in N_{+}$ , 恒有 $\Vert x_k\Vert ⩽M$ ;

(3) 若 $x_k\to a,y_k\to b$ ，则 $x_k\pm y_k\to a\pm b,\alpha x_k\to \alpha a,⟨x_k,y_k⟩\to ⟨a,b⟩$ ，其中 $\alpha \in R;$

(4) 若 $\{x_k\}$ 收敛于 $a$，则它的任一子（点）列也收敛于 $a$.

由于 $R^n$ 中的向量不能比较大小,也不能相除,因此,数列极限中与单调性、保序性、确界以及商有关的概念与命题不能直接地推广到 $R^n$ 中的点列. 但是, Bolzano-Weierstrass 定理与 Cauchy 收敛原理在 $R^n$ 中仍然成立.

利用第一章定理2.9 不难证明下面的定理.

写出几个在数列极限中成立但对 $R^n$ 中点列不成立的命题.

定理 1.3 Bolzano-Weierstrass 定理

$R^n$ 中的有界点列必有收敛子列. ( $R^n$ 中点列 $\{x_k\}$ 的收敛子列的极限也称为 $\{x_k\}$ 的极限点.)

设 $\{x_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点列，若

$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 使得 $\forall k>N$ 及 $p\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 恒有 $\Vert x_{k+p}-x_k\Vert <\epsilon$ ,

则称 $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的基本点列或 Cauchy 点列. 类似于定理1.1 不难证明: $\{x_k\}$ 是 Cauchy 点列的充要条件是 $\forall i=1,2,\cdots ,n,\{x_{k,i}\}$ 都是 Cauchy 数列. 根据第一章中所介绍的数列的 Cauchy 收敛原理, 立即可以得到 $R^n$ 中点列的 Cauchy 收敛原理如下.

定理 1.4 Cauchy 收敛原理

$R^n$ 中点列 $\{x_k\}$ 收敛于 $R^n$ 中的点的充要条件为 $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的 Cauchy 点列.

这个定理刻画了空间 ${\mathbf{R}}^n$ 的完备性, 就是说, ${\mathbf{R}}^n$ 中的 Cauchy 点列必收敛于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点. 现代数学中就是以此作为抽象空间完备性定义的.

1.3 ${\mathbf{R}}^n$ 中的开集与闭集

为了讨论多元函数的极限与连续性,本段简要地介绍 $R^n$ 中点集的基本知识,包括开集、闭集与区域等.虽然这些概念都是在空间 $R^n$ 中定义的,但读者可以在平面 $R^2$ 中去理解它们.

定义 1.2

设 $A$ 是 $R^n$ 中的一个点集, $a\in R^n$ . 若存在 $A$ 中的点列 $\{x_k\},x_k\ne a(k=1,2,\cdots )$ , 使得 $x_k\to a(k\to \infty )$ , 则称 $a$ 是 $A$ 的一个聚点. A 的所有聚点构成的集合称为 $A$ 的导集, 记作 $A^{\prime }$ . 集合 $\overline{A}=A\cup A^{\prime }$ 称为 $A$ 的闭包. 若 $a\in A$ , 但 $a\in A^{\prime }$ , 则称 $a$ 为 $A$ 的孤立点. 若 $A^{\prime }\subseteq A$ , 则称 $A$ 为闭集.

由定义易见,集 $A$ 的聚点不一定属于 $A$. 若 $A$ 的所有聚点都属于 $A$, 则 $A$ 是闭集. 因此, 若 $A$ 是闭集, $\{x_k\}$ 是 $A$ 中的任一点列, 且 $x_k\to a(k\to \infty )$ , 则 $a\in A$ . 反之亦真. 这说明闭集对于极限运算是封闭的.

例如，设 $A=\left\{\left(\frac{1}{k},\frac{1}{k}\right)\mid k\in {\mathbf{N}}_{+}\right\}$ 是一平面点集，则点(0,0)是 $A$ 的唯一聚点，它不属于 $A$ ，并且 $A^{\prime }=\{(0,0)\},\overline{A}=A\cup \{(0,0)\},A$ 中的所有点都是它的孤立点. $A$ 不是闭集，但 $\overline{A}=A\cup \{(0,0)\}$ 是闭集.

由定义1.2 易知, 若 $A^{\prime }=\varnothing$ , 则 $A$ 必为闭集. 从而知单点集和有限点集都是闭集.

定义 1.3

设 $a\in R^n,\delta >0$ ，称点集

$$U(\mathbf{a},\delta )=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n|\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert <\delta \}$$

在平面 $R^2$ 上, 画出点 $a\in R^2$ 的 $\delta$ 邻域和去心 $\delta$ 邻域.

为以 $a$ 为中心、 $\delta$ 为半径的开球或点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，称

$$\stackrel{\circ }{U}(\mathbf{a},\delta )=U(\mathbf{a},\delta )\setminus \{\mathbf{a}\}$$

为点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域. 它们可分别简记为 $U(a)$ 与 $\mathring{U}(a)$ .

在直线 $\mathbf{R}$ 上，开球 $U(a,\delta )$ 就是开区间 $(a-\delta ,a+\delta )$ ；在平面 ${\mathbf{R}}^2$ 上，开球 $U(a,\delta )$ 就是以 $a=(a_1,a_2)$ 为中心， $\delta$ 为半径的圆周 $(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2={\delta }^2$ 内的所有点构成的集合（称为开圆盘）；在空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中， $U(a,\delta )$ 就是以 $a=(a_1,a_2,a_3)$ 为中心， $\delta$ 为半径的球面 $(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2+(x_3-a_3{)}^2={\delta }^2$ 内的所有点构成的集合，也就是通常所说的开球。

有了邻域的概念, $R^n$ 中点列极限的概念也可以像数列极限那样,用邻域来刻画.设 $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的一个点列,若

$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得}\forall k>N,\text{恒有}{x}_k\in U(a,\epsilon ),$$

则称点列 $\{x_k\}$ 收敛于 $a$, $a$ 是 $\{x_k\}$ 的极限. 从而, 得到下列用邻域来刻画集 $A$ 聚点的定理:

定理 1.5

设 $A$ 是 $R^n$ 中的一个点集, $a\in R^n$ , 则 $a\in A^{\prime }$ 的充要条件为 $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$ . 也就是说, $a$ 为 $A$ 的聚点当且仅当 $a$ 的任何去心 $\epsilon$ 邻域中都含有 $A$ 中的点.

证明

必要性 设 $a\in A^{\prime }$ ，根据定义1.2，存在 $A$ 中的点列 $\{x_k\},x_k\ne a(k=1,2,\cdots )$ ，使得 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=a$ 。用邻域来表示，即 $\forall \epsilon >0,\exists N\in N_{+}$ ，使得 $\forall k>N$ ，恒有 $x_k\in \mathring{U}(a,\epsilon )$ 。由于 $\{x_k\}\subseteq A$ ，从而得知， $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$ ，即 $a$ 的任何去心 $\epsilon$ 邻域中都有 $A$ 中的点。

充分性 若 $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(\mathbf{a},\epsilon )\cap A\ne \varnothing$ ，则 $\forall k\in N_{+}$ ，取 ${\epsilon }_k=\frac{1}{k}$ ，必存在点 ${\mathbf{x}}_k\in \mathring{U}(\mathbf{a},{\epsilon }_k)\cap A.$ 这就是说，存在 $A$ 中的点列 $\{{\mathbf{x}}_k\},{\mathbf{x}}_k\ne \mathbf{a}(k=1,2,\cdots )$ ，并且 $\Vert x_k-a\Vert <{\epsilon }_k=\frac{1}{k}$ ，从而 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_k=a$ ，故 $a\in A^{\prime }$ .

定义 1.4

设 $A\subseteq R^n,a\in R^n$ .

（1）若存在 $\delta >0$ ，使 $U(a,\delta )\subseteq A$ ，则称 $a$ 是集 $A$ 的内点，由 $A$ 的所有内点构成的集称为 $A$ 的内部，记作 $A^{\circ }$ 或 int A；

(2) 若存在 $\delta >0$ ，使 $U(\mathbf{a},\delta )\cap A=\varnothing$ ，则称 $a$ 是集 $A$ 的外点，$A$ 的所有外点构成的集称为 $A$ 的外部，记作 ext A；想一想： 一个集合 $A$ 的边界点与聚点有什么不同？

（3）若对任何 $\delta >0,U(a,\delta )$ 中既含有 $A$ 中的点，也含有 $A$ 的余集 $A^c$ 中的点，则称 $a$ 为集 $A$ 的边界点，$A$ 的所有边界点构成的集称为 $A$ 的边界，记作 $\partial A$ .

由定义1.4 易见, $R^n$ 中的任一点是且仅是 $A$ 的内点、外点与边界点中的一种, 即

$${\mathbf{R}}^n=A^{\circ }\cup \partial A\cup \mathrm{ext}A,$$

且右端三个点集互不相交(图 5.1).

例 1.1

设 $A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$ ，证明：

$$A^{\circ }=A,\partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2={\delta }^2\},$$$$\overline{A}=A\cup \partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2|(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2⩽{\delta }^2\}.$$

证明

题中关于边界 $\partial A$ 和闭包的结论是显然的, 下面证明 $A^{\circ }=A$ . 由定义知 $A^{\circ }\subseteq A$ , 因此只要证明 $A\subseteq A^{\circ }$ . 设 $(\tilde{x},\tilde{y})\in A$ , 取 $\epsilon <\delta -\sqrt{(\tilde{x}-x_0{)}^2+(\tilde{y}-y_0{)}^2}$ , 则点 $(\tilde{x},\tilde{y})$ 的 $\epsilon$ 邻域 $U((\tilde{x},\tilde{y}),\epsilon )\subseteq A$ , 因而 $(\tilde{x},\tilde{y})$ 是 $A$ 的内点 (图 5.2), 故 $A\subseteq A^{\circ }$ .

图5.1

图5.2

由定义易见,对于 $R^n$ 中的任一点集 $A$, 必有

$$\bar{A}=A\cup \partial A.$$

特别地,称开球与它的边界之并为闭球,记作

$$\overline{U}(\mathbf{a},\delta )=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n|\Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert ⩽\delta \}.$$

例 1.2

设 $A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2=0,1<x^2+y^2⩽4\}$ （如图 5.3) 所示）。由定义1.4 易知， $a$) 所示）。由定义 1.4 易知， $A^{\circ }=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ ， $\mathrm{ext}A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 0<x^2+y^2<1,x^2+y^2>4\}$ ， $\partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2=1,x^2+y^2=4\}\cup \{(0,0)\}$ ，原点 $(0,0)$ 是 $A$ 的孤立点， $\overline{A}=A\cup \partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2=0,1⩽x^2+y^2⩽4\}$ （ $A^{\circ }$ 、 $\mathrm{ext}A$ 分别如图 5.3($\partial A$ 及 $\overline{A}$ 分别如图 5.3($b$)、 ($c$)、($d$)及($e$)所示)。

(a) A

(b) $A^{\circ }$

(c) ext A

(d) $\partial A$

(e) $\overline{A}$

图 5.3

定义 1.5

设 $A\subseteq R^n$ ，若 $A\subseteq A^{\circ }$ ，即 $A$ 中的点全是 $A$ 的内点，则称 $A$ 为开集。下面的定理刻画了开集与闭集的关系。

定理 1.6

$A\subseteq R^n$ 是开集的充要条件为 $A^c$ 是闭集.

证明

必要性 设 $A$ 是开集, 故 $A^{\circ }=A$ . 为了证明 $A^c$ 是闭集, 只要证明 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$ . 若 $(A^c{)}^{\prime }=\varnothing$ , 则显然有 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$ . 若 $(A^c{)}^{\prime }\ne \varnothing$ , 设 $x\in (A^c{)}^{\prime }$ , 则 $\forall \epsilon >0$ ,

$$\stackrel{\circ }{U}(x,\epsilon )\cap A^c\ne \varnothing .$$

由内点的定义知 $x\in A^{\circ }=A$ ，即 $x\in A^c$ ，故 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$ .

充分性 设 $A^c$ 是闭集, 即 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$ . 为了证明 $A$ 是开集, 由于 $A^{\circ }\subseteq A$ , 所以只要证明 $A\subseteq A^{\circ }$ . 设 $x\in A$ , 则 $x\in A^c$ . 又因 $A^c$ 为闭集, 故有 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$ , 所以有 $x\in (A^c{)}^{\prime }$ . 根据定理1.5, 必 $\exists {\delta }_0>0$ , 使 $\mathring{U}(x,{\delta }_0)\cap A^c=\varnothing$ , 故 $\mathring{U}(x,{\delta }_0)\subseteq A$ , 又由 $x\in A$ , 知 $x\in A^{\circ }$ , 所以 $A\subseteq A^{\circ }$ . 画出 ${\mathbf{R}}^3$ 空间中的开球与开区间、

画出 $R^3$ 空间中的开球与开区间、闭球与闭区间的几何图形.

例 1.3

$R^n$ 中的开球 $U(a,\delta )$ 与开区间

$$(a,b)=\{x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in$$$${\mathbf{R}}^n\mid a_i<x_i<b_i,i=1,2,\dots ,n\}$$

都是开集. 闭球 $\overline{U}(a,\delta )$ 与闭区间

$$[a,b]=\{x\in (x_1,x_2,\dots ,x_n)\in$$$${\mathbf{R}}^n\mid a_i⩽x_i⩽b_i,i=1,2,\dots ,n\}$$

都是闭集.例1.2中的 $A^{\circ }$ 与 $\mathrm{ext}A$ 都是开集， $\partial A$ 与 $\overline{A}$ 都是闭集.

下面的定理刻画了开集的特征.

定理 1.7

在 $n$ 维 Euclid 空间 $R^n$ 中, 开集有如下性质:

(1) 空集 $\varnothing$ 与全空间 $R^n$ 是开集；

试举出无穷多个开集的交不是开集的例子.

开集与闭集是常常碰到的两类点集, 但是还存在着很多其他类型的点集. 例如, 直线 $R$ 上的有理点集与无理点集既不是开集, 又不是闭集, 因为它们都没有内点, 而且任一实数都是它们的聚点. 因此, 不能说一个点集“非开即闭”.

(2) 任意多个开集的并是开集；

(3) 有限多个开集的交是开集.

证明

根据定义,性质(1)显然成立.

(2) 设 $A_{\alpha }\subseteq {\mathbf{R}}^n$ ( $\alpha \in \Lambda ,\Lambda$ 称为指标集) 是一族开集. 任取 $x\in {\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ , 则必 $\exists {\alpha }_0\in \Lambda$ 使 $x\in A_{{\alpha }_0}$ . 由于 $A_{{\alpha }_0}$ 是开集, 所以 $\exists \delta >0$ , 使 $U(x,\delta )\subseteq A_{{\alpha }_0}\subseteq {\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ , 即 $x$ 是 ${\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ 的内点, 故 ${\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ 是开集.

(3) 设 $A_k\subseteq R^n$ ( $k=1,2,\cdots ,m$ ) 是开集，任取 $x\in {\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ ，则 $x\in A_k$ ( $k=1,2,\cdots ,m$ ). 由于 $A_k$ 是开集，所以 $\forall k=1,2,\cdots ,m,\exists {\delta }_k>0$ ，使 $U(x,{\delta }_k)\subseteq A_k$ . 取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_m\}$ ，则

$$U(\mathbf{x},\delta )\subseteq U(\mathbf{x},{\delta }_k)\subseteq A_k(k=1,2,\dots ,m).$$

因此， $U(x,\delta )\subseteq {\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ ，即 $x$ 是 ${\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ 的内点，故 ${\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ 是开集.

由此定理,读者不难利用对偶原理(第一章第一节法则2)证明 $R^n$ 中闭集的三个对应的基本性质:

(1) 空集 $\varnothing$ 和全空间 $R^n$ 是闭集；

(2) 任意多个闭集的交是闭集；

(3) 有限多个闭集的并是闭集.

1.4 ${\mathbf{R}}^n$ 中的紧集与区域

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点集, 如果存在一个常数 $M>0$ , 使得 $\forall x\in A$ , 都有 $\Vert x\Vert ⩽M$ , 则称 $A$ 是有界集, 否则称为无界集. 显然, 有界集的几何含义是它能包含在 ${\mathbf{R}}^n$ 中一个以原点 $0$ 为中心、 $M$ 为半径的闭球 $\overline{U}(0,M)$ 中.

定义 1.6

设 $A$ 是 $R^n$ 中的一个点集, 若 $A$ 是有界闭集, 则称 $A$ 为紧集.

根据 Bolzano-Weierstrass 定理, 若 $A$ 是 $R^n$ 中的紧集, 则 $A$ 中任何点列都有收敛于 $A$ 中点的子列.

定义 1.7

设 $A\subseteq R^n$ 是一个点集, 如果 $A$ 中的任意两点 $x$ 与 $y$ 都能用完全属于 $A$ 的有限个线段 ^① 联结起来, 则称 $A$ 是连通集. 连通的开集称为区域. 区域与它的边界之并称为闭区域 ^② .

显然, $R^2$ 中的开圆盘是区域,闭圆盘是闭区域,图 5.4($a$ 的点集是区域,图 5.4($R^2$ 的点集是区域,图5.4($b$)所示点集不是区域,在开圆盘中去掉任意一条直径后所得到的集合也不是区域,因为它们都破坏了集合的连通性。

(a)

(b)

图 5.4

设 $A\subseteq {\mathbf{R}}^n$ ，若联结 $A$ 中任意两点的线段都属于 $A$ ，即若 $x_1,x_2\in A$ ，则 $\forall t\in [0,1]$ ， $t{x}_1+(1-t)x_2\in A$ ，则称 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的凸集。由定义1.7 得知，任何凸集都是连通的，因而任何凸开集都是区域。

$$\left\{t\mathbf{a}+(1-t)\mathbf{b}\mid t\in \mathbf{R},0⩽t⩽1\right\}$$

5.1 n 维Euclid空间 \mathbf{R}^n 中点集的初步知识 课后真题与自测练习

习题与真题

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