3.2 微积分基本公式与基本定理

本节将在讲解微积分基本公式(即 Newton-Leibniz 公式)与基本定理的基础上,阐述微分与积分的关系,将定积分的计算问题转化为求被积函数的原函数或不定积分的问题,说明求积分是求微分的逆运算.

2.1 微积分基本公式

为了寻求计算定积分简便易行的方法,我们再来讨论已知速度求位移问题.第一节中已经讲过,如果已知变速直线运动的速度 $v=v(t)$ ,那么物体从时刻 t = a 到时刻

$t=b$ 所通过的位移为

$$s={\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t.$$

另一方面,如果已知物体运动的位移函数 $s=s(t)$ ,那么在时间区间 $[a,b]$ 内物体所通过的位移也可表示为

$$s=s(b)-s(a).$$

因此,如果能从速度函数 $v(t)$ 求出位移函数 $s(t)$ ,那么就有

$${\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t=s(b)-s(a).$$

这样, 定积分 ${\int }_a^{b}v(t)dt$ 的值就可由函数 $s=s(t)$ 在 t = b 与 t = a 的值之差得到. 问题的关键在于如何从 $v(t)$ 求得 $s(t)$ . 由于 $s^{\prime }(t)=v(t)$ , 所以由 $v(t)$ 求 $s(t)$ 是求导运算的逆运算.

受上述问题的启发,人们得到计算定积分的一个基本公式.为了建立这个公式,先引入下面的概念:

定义 2.1 原函数

如果在区间 $I$ 上, $F^{\prime }(x)=f(x)$ , 那么称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数.

由定义2.1 易知, 位移函数 $s(t)$ 是速度函数 $v(t)$ 的一个原函数. 从而, 就可以从上述物理模型抽象出下面的著名公式:

定理 2.1 Newton-Leibniz 公式

设 $f\in R[a,b]$ ，且 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有一个原函数 $F$，则

共性常寓于个性之中,从某些特例出发,分析、发掘某些共性和规律,探索它是否具有一般性及可否被推广,是一种“合情推理”的思想方法.“合情推理”常用于“发现问题”,是研究数学的一种重要方法.但是这种“合情推理”是否正确,在数学中尚要通过逻辑推理来加以验证.本小段就采用了这种思想方法.

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b.}\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

证明

在区间 $[a,b]$ 内任意插入 $n-1$ 个分点

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b,$$

那么， $[a,b]$ 就被分割为 $n$ 个子区间 $\left[x_{k-1},x_k\right](k=1,2,\cdots ,n)$ . 根据 Lagrange 中值定理，必存在 ${\xi }_k\in (x_{k-1},x_k)$ ，使

$$F(x_k)-F(x_{k-1})=F^{\prime }({\xi }_k)\Delta x_k.$$

所以

$$F(b)-F(a)=\sum _{k=1}^n[F(x_k)-F(x_{k-1})]$$$$=\sum _{k=1}^n{F}^{\prime }({\xi }_k)\Delta x_k=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k.$$

由于 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ ，在上式中令 $d={\max }_{1⩽k⩽n}\{\Delta x_k\}\to 0$ ，即得

$$F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

Newton-Leibniz 公式(2.1)将定积分的计算问题归结为求被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的一个原函数问题,而求 $f$ 在 $[a,b]$ 上的原函数 $F$ 是求导运算的逆运算,因此,该公式将定积分的计算与求导运算联系了起来,常称为微积分基本公式.

例 2.1

求下列定积分：

(1) ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2};$ (2) ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\frac{x}{2}dx.$

解

（1）由于 $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ ，所以 $\arctan x$ 是 $\frac{1}{1+x^2}$ 的一个原函数。根据 Newton-Leibniz 公式，

$${\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$

（2）由于 ${\sin }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos x)$ ，并且， $\frac{1}{2}(x-\sin x)$ 是 $\frac{1}{2}(1-\cos x)$ 的一个原函数，故由Newton-Leibniz公式，得

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-\cos x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}(x-\sin x){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-1\right).\end{array}$$

为了求出例1.4中的平均电流 $\overline{I}$ 必须计算定积分 ${\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}\sin \omega t\mathrm{d}t.$ 由于 ${\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega t\right)}^{\prime }=\sin \omega t,$

所以 $-\frac{1}{\omega }\cos \omega t$ 是 $\sin \omega t$ 的一个原函数.根据Newton-Leibniz公式，得知

$$\bar{I}=\frac{\omega I_{\mathrm{m}}}{\pi }\left(-\frac{1}{\omega }\cos \omega t\right){|}_0^{\frac{\pi }{\omega }}=\frac{2}{\pi }{I}_{\mathrm{m}}.$$

为了利用 Newton-Leibniz 公式计算定积分, 被积函数 $f$ 必须有原函数存在并且能求出它的一个原函数. 自然要问: $f$ 满足什么条件才有原函数? 如何求 $f$ 的原函数? 首先讨论第一个问题.

2.2 微积分基本定理

设函数 $f:[a,b]\to \mathbf{R}$ 可积，则对任意的 $x\in [a,b]$ ， $f$ 在 $[a,x]$ 上也可积。对于区间 $[a,b]$ 上任取一值 $x$ ，定积分 ${\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x$ 就有唯一确定的值与它相对应。因此，该积分在区间 $[a,b]$ 上确定了一个函数 $\Phi :[a,b]\to \mathbf{R}$ ，即

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x.$$

该积分的上限 $x$ 与积分变量 $x$ 的含义不同.积分上限 $x$ 表示积分区间 $[a,x]$ 的右端点,而积分变量 $x$ 则在区间 $[a,x]$ 中变化.为避免混淆,常把积分变量改用其他字母表示.例如换成 $t$,则上式变为

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t,x\in [a,b],\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

通常称它为变上限积分.

定理 2.2 微积分第一基本定理

设 $f\in C[a,b]$ ，则由（2.2）式所确定的函数 $\Phi :[a,b]\to R$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且

$${\Phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

若其中的 $x$ 为区间 $[a,b]$ 的端点，则 ${\Phi }^{\prime }(x)$ 是单侧导数.

证明

设 $x\in (a,b)$ , 由于

数字资源 3.2.1·微积分第一基本定理的重要意义

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$$\begin{array}{rl}\Delta \Phi & =\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t+{\int }_x^{a}f(t)\mathrm{d}t={\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t,\end{array}$$

根据积分中值定理,在 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间(含 $x$ 和 $x+\Delta x$ ) 至少存在一个 $\xi$ , 使得

$$\Delta \Phi =f(\xi )\Delta x.$$

已知$f$是 $[a,b]$ 上的连续函数,所以

$${\Phi }^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \Phi }{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }f(\xi )=f(x).$$

若 $x$ 是区间 $[a,b]$ 的端点，则可类似地证明.

定理2.2 的重要意义在于它建立了微分(导数)与积分之间的联系. 它表明, 变上限积分是上限的一个函数, 该积分对上限的导数等于被积函数在上限处的值. 由这个定理立即得到原函数存在的一个充分条件.

数字资源 3.2.2·函数的连续性、可积性与其原函数的存在性之间的联系

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推论 2.1

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上必有原函数，且变上限积分 (2.2) 就是它的一个原函数.

例 2.2

设 $\Phi (x)={\int }_0^{\sqrt{x}}\cos t^2\mathrm{d}t$ ，求 ${\Phi }^{\prime }(x)$ .

解

由于函数 $\Phi (x)$ 可以看作 $g(u)={\int }_0^u\cos t^2\mathrm{d}t$ 与 $u=\phi (x)=\sqrt{x}$ 的复合函数, 根据链式法则与定理2.2 得

$${\Phi }^{\prime }(x)=g^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\left({\int }_0^u\cos t^2\mathrm{d}t\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\cos u^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos x.$$

一般地，若 $\phi (x)$ 与 $\psi (x)$ 是可导函数， $f$ 连续，不难证明：

$$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}({\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)\mathrm{d}t)\\ & =f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)-f(\psi (x)){\psi }^{\prime }(x).\end{array}$$

例 2.3

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{{\int }_{\cos x}^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t}{{\sin }^{2}x}.$

(2.4)

解

此题为 $\frac{0}{0}$ 型不定式, 可用 $L$’Hospital 法则计算. 由公式(2.4),

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left({\int }_{\cos x}^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\right)=-{\mathrm{e}}^{-{\cos }^{2}x}(-\sin x)=\sin x{\mathrm{e}}^{-{\cos }^{2}x}.$$

变上限积分对上限的导数并不等于被积函数, 而是等于被积函数在上限处的值. 例如 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(x^2)}{\int }_0^{x^2}{\mathrm{e}}^t\mathrm{d}t={\mathrm{e}}^{x^2}$ , 这从定理2.2 的证明中容易看出. 事实上, 该定理在证明的最后一个等式 ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(\xi )=f(x)$ 中的 $x$ 是积分 ${\int }_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t$ 的下限, 也就是原积分 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 的上限.

所以

$$\text{ 原式 }=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x{\mathrm{e}}^{-{\cos }^{2}x}}{2\sin x\cos x}=\frac{1}{2\mathrm{e}}.$$

根据原函数的定义,如果 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数,$C$ 是任意常数,那么 $F+C$ 也是 $f$ 在 $I$ 上的原函数.因此,若 $f$ 在 $I$ 上有原函数,则其原函数就不止一个.由于 $C$ 的任意性,$f$ 的原函数有无穷多个.试问, $F+C$ ($C$ 为任意常数)是否包含了 $f$ 的所有原函数呢?下面的定理回答了这个问题.

定理 2.3 微积分第二基本定理

设 $F$ 是 $f$ 在区间 $I$ 上的一个原函数, $C$ 为任意常数, 则 $F+C$ 就是 $f$ 在 $I$ 上的所有原函数.

证明

用 $A$ 表示 $f$ 在 $I$ 上的一切形如 $F+C$ 的原函数构成的集合, 即

$A=\{F+C\mid F\text{ 是 }f\text{ 在 }I\text{ 上的一个原函数, }C\text{ 为任意常数}\}$ ,

$B$ 表示 $f$ 在 $I$ 上所有原函数构成的集合, 即

$$B=\{G\mid G^{\prime }(x)=f(x),x\in I\}.$$

为证明此定理,只需证明 A=B.事实上, $A\subseteq B$ 是显然的,下面证明 $B\subseteq A$ .任取 $G\in B$ ,由于

$$[G(x)-F(x){]}^{\prime }=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=0,x\in I,$$

由Lagrange定理的推论4.2，可知 $G(x)-F(x)$ 在 $I$ 上是一个常数，即

$$G(x)-F(x)=C,x\in I,$$

或 $G(x)=F(x)+C$ , 故 $G\in A$ , 从而 $B\subseteq A$ .

根据集合相等的定义知 A=B.

微积分第二基本定理给出了 $f$ 在 $I$ 上所有原函数的一般表达式. 只要求出 $f$ 的一个原函数 $F$, 其他原函数都可由表达式 $F+C$ 通过适当选择常数 $C$ 得到.

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例 2.4

求 $f(x)=2x$ 的一个原函数 $F(x)$ ，使它满足条件 $F(0)=1$ .

解

由于 $x^2$ 是 $2x$ 的一个原函数, 所以 $2x$ 的所有原函数可表示为

$$F(x)=x^2+C(C\text{为任意常数}).$$

代入条件 $F(0)=1$ ，得 C=1，故所求原函数为

$$F(x)=x^2+1.$$

二维码 3.2.3 能否用 Newton-Leibniz 公式求分段连续函数的定积分.

应当注意,如果被积函数$f$在区间 $[a,b]$ 上是分段连续的(即除去有限个第一类间断点外,$f$在 $[a,b]$ 上连续),那么,虽然$f$在 $[a,b]$ 上可积,但是,可以证明它在 $[a,b]$ 上不存在原函数(参见二维码3.2.2).因此,Newton-Leibniz公式不能直接应用.在这种情况下,先利用 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的间断点将该区间分为若干个子区间,在使$f$连续的每个子区间上分别用Newton-Leibniz公式,再利用定积分对区间的可加性,把每个子区间上的积分值相加便可得到 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分.

例 2.5

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\in [0,1),\\ 1+x,& x\in [1,2],\end{array}$ 求 ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x.$

(1) $\frac{1}{3}{x}^3$ 是例2.5中的 $f(x)$ 在[0,1]区间上的原函数吗？

解

由于 x=1 是该函数的跳跃间断点, 所以, $f$ 是 $[0,2]$ 上的分段连续函数, 不能直接应用 Newton-Leibniz 公式, 而要用上述方法来计算.

(2) 等式 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1$ 为什么成立？

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x& ={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x+{\int }_1^2(1+x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}{x}^3{|}_0^1+\left(x+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=2\frac{5}{6}.\end{array}$$

2.3 不定积分

定义 2.2 不定积分

函数 $f$ 在区间 $I$ 上的所有原函数的一般表达式称为 $f$ 在 $I$ 上的不定积分，记作 $\int f(x)dx$ ，其中 $f$ 称为被积函数， $f(x)dx$ 称为被积式.

若 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数，则

$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C,$$

其中任意常数 $C$ 称为积分常数.例如，

$$\int 2x\mathrm{d}x=x^2+C,\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C.$$

我们已经知道,求导数与求不定积分(或原函数)是两种互逆运算,前者是由原函数求导函数,后者是由导函数求原函数.以变速直线运动为例,前者是已知物体的运动规律(位移函数 $s=s(t)$ )求变化率(速度函数 $v=v(t)$ ),而后者则是已知变化率求运动规律.不定积分的下述性质(证明留给读者)进一步揭示了这种互逆性.

性质 2.1

$${\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=f(x)\text{或}\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(2.5)}$$$$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C\text{或}\int \mathrm{d}f(x)=f(x)+C.\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

根据积分和微分(或导数)的这种互逆关系,可以在求导公式和运算法则(有理运算与复合求导运算法则)的基础上反过来得到对应的积分公式和运算法则.

$|x|$ 是分段函数 $f(x)=\{\begin{array}{rl}-1,x& <0,\\ 1,x& ⩾0\end{array}$

首先,由基本导数表可得基本积分表:

的原函数吗？

$\int k\mathrm{d}x=kx+C$ (k为常数)	$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (a>0,a≠1)
$\int x^{\alpha }\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$ (α≠-1)	$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$
$\int \frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln |x|+C$	$\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C$

$\begin{array}{l}\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ \int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\\ \int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C\\ \int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C\end{array}$

这些基本积分公式是求不定积分的基础,读者必须熟记,切想一想: 不可与求导公式混淆. 怎样理解积分公式

其次,与导数的线性运算法则对应,有不定积分的线性运算法则. $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C?$

性质 2.2

设 $f$ 与 $g$ 在区间 $I$ 上的原函数存在, 则

$$\int \left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x,\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

其中 $\alpha$ 与 $\beta$ 为任意常数.

证明

根据不定积分的定义, 只要证明等式(2.7)两边求导后所得到的函数相同即可. 事实上, 由性质2.1,

$${\left(\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha f(x)+\beta g(x).$$

又

$${\left(\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha {\left(\int f(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }+\beta {\left(\int g(x)\mathrm{d}x\right)}^{\prime }=\alpha f(x)+\beta g(x),$$

故

$$\int \left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm{d}x=\alpha \int f(x)\mathrm{d}x+\beta \int g(x)\mathrm{d}x.$$

例 2.6

求 $\int \frac{2x+\sqrt{x}+1}{x}\mathrm{d}x.$

解

由性质2.2和基本积分表得

$$\begin{array}{rl}\int \frac{2x+\sqrt{x}+1}{x}\mathrm{d}x& =2\int \mathrm{d}x+\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}+\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ & =2x+2\sqrt{x}+\ln |x|+C.\end{array}$$

例 2.7

求 $\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x.$

例2.6 中的积分被分为三项后,每一个不定积分的结果中都应有一任意常数.由于三个任意常数之和仍是一个任意常数,所以最后的结果只写一个任意常数就行了.今后遇到这种情况均照此办理,不再一一说明,但应切记千万不能丢掉任意常数 C!

解

由于 $1+2x^2=x^2+(1+x^2)$ ，所以

$$\int \frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\arctan x-\frac{1}{x}+C.$$

例 2.8

求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$ .

解

根据三角恒等式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 得

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}=\int \frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x+\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x-\cot x+C.$$

由于定积分与不定积分的计算都归结为求被积函数的原函数,因此,求定积分与不定积分的方法统称为积分法.

3.2 微积分基本公式与基本定理 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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