3.1 定积分的概念、存在条件与性质

本节通过几个实例引出定积分的定义、几何意义以及定积分的存在条件,最后介绍定积分的几个常用性质.

1.1 定积分问题举例

在绪论中已经讲过求变速直线运动物体的位移问题.由于变速直线运动中位移随时间 $t$ 的变化是非均匀的.为了在均匀变化的基础上求从 $a$ 到 $b$ 这段时间内物体通过的位移,先将时间区间 $[a,b]$ 任意划分为若干小区间;在每个小区间内将位移随时间的变化近似看成均匀的,用小区间上任一点 ${\xi }_k$ 处的速度作为物体在该小区间上速度的近似值,求出位移的近似值;再将各小区间内通过的位移近似值相加,求得区间 $[a,b]$ 内总位移的近似值;然后,令最大小区间的长度 $d\to 0$ ,通过取极限,将求物体在 $[a,b]$ 内通过的总位移的精确值 $s$ 归结为求下面的极限:

$$s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}v({\xi }_k)\Delta t_k.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

在实际问题中,还有很多几何量与物理量的计算都归结为求与(1.1)式具有同

样形式的极限,下面再举两个例子:

例 1.1

曲边梯形的面积问题 如何计算曲边形的面积是一个古老而有实际意义的问题. 大家知道, 由平面上任一闭曲线所围成的曲边形(图 3.1)都可用一些互相垂直的直线将它划分为若干个如图 3.2 所示的所谓曲边梯形, 即由曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形①(其中 $f$ 是 $[a,b]$ 上的非负连续函数). 因此, 求曲边形面积的问题就归结为求曲边梯形的面积问题.

图3.1

图3.2

如果在区间 $[a,b]$ 上， $f(x)=H$ （ $H$ 为正常数），那么曲边梯形便是一个高为 $H$ 的长方形，它的面积 $A$ 的大小仅与底边长度有关，随底边长度的变化而均匀变化。因此，只要用乘法就能求得面积 $A$ ：

$$A=\text{ 底 }\times \text{ 高 }=(b-a)H.\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

然而,如果 $f(x)\ne$ 常数,那么曲边梯形的“高” $f(\text{的面积随底边长度的变化是非均匀的(即在不同点}x\text{处,底边长度的改变量}\Delta x\text{相同时,相应的曲边梯形面积的改变量}\Delta A\text{不尽相同})$ ,不能直接用公式(1.2)来计算.怎么办呢?经过众多数学家的长期努力,终于找到了一种解决方法.这种方法的基本思路是:将曲边梯形任意分割成若干小曲边梯形(图 3.2),从而 $[a,b]$ 也被分割为若干子区间.由于$f$在 $[a,b]$ 上连续,所以在每个小曲边梯形中,“高” $f(x)$ 随$x$的变化很小,可以近似地看成常数.在每个小曲边梯形的底边上任取一点,以 $f(x)$ 在该点的值为高$x$) 随 $x$ 的变化而变化, 因此, 它注: 早在公元前 3 世纪古希腊著名数学家 Archimedes 就采用内接多边形来逼近曲边形的方法计算由曲线 $y=x^2$ 、直线 x = 1 和 $x$ 轴围成的曲边三角形的面积, 他的方法已接近于现在的积分法. 但他用的是等分底边 [0, 1] 为若干个小区间, 取函数 $y=x^2$ 在每小区间右端点的值为小矩形的高, 具有很大的特殊性和局限性.

作小矩形.这样,每个小曲边梯形就可近似地看成面积随底边长度均匀变化的小矩形,于是可利用由乘法求得的小矩形面积作为小曲边梯形面积的近似值.从而,所求曲边梯形的面积就近似地等于所有小矩形面积之和.而且, $[a,b]$ 被分割得越细,近似的程度就越好.当 $[a,b]$ 被无限细分,每个小曲边梯形底边的长度都趋于零时,这个近似值的极限就规定为曲边梯形的面积.具体步骤如下:

分 在区间 $(a,b)$ 内任意插入 $n-1$ 个分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,$$

则区间 $[a,b]$ 被分割成 $n$ 个子区间. 第 $k$ 个子区间的长度为

$$\Delta x_k=x_k-x_{k-1},k=1,2,\dots ,n.$$

过各分点作平行 $y$ 轴的直线, 曲边梯形就被分成 $n$ 个小曲边梯形;

匀 在第 $k$ 个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上任取一点 ${\xi }_k$ ，将对应小曲边梯形的面积 $\Delta A_k$ 用底为 $\Delta x_k$ 、高为 $f({\xi }_k)$ 的小矩形面积近似替代（图 3.2），则有

$$\Delta A_k\approx f({\xi }_k)\Delta x_k,k=1,2,\dots ,n;$$

合 将所有小曲边梯形面积的近似值相加得到曲边梯形面积 $A$ 的近似值

$$A=\sum _{k=1}^n\Delta A_k\approx \sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k;$$

精 当 $n$ 越大并且每个子区间的长度越小时, 上面的表达式越精确. 因此, 当所有子区间长度的最大值 $d={\max }_{1⩽k⩽n}\left\{\Delta x_k\right\}$ 趋于零时, 上述和式的极限就规定为曲边梯形的面积 $A$, 即

$$A=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k.\text{I}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

例 1.2

质量非均匀分布的细棒质量问题 设有一质量非均匀分布的细棒, 长为 $l$. 若已知细棒上各点的线密度 $\rho$ , 试求该细棒的质量 $m$.

如果质量在细棒上的分布是均匀的, 就是说, 细棒上各点的线密度 $\rho$ 是常数, 那么细棒的质量可以用乘法求得, 即

$$m=\text{ 线密度 }\times \text{ 棒长 }=\rho l.$$

现在,问题的困难在于质量是非均匀分布的,即密度 $\rho$ 不是常数.为了利用均匀分布情况的上述乘法公式来解决这个问题,先建立坐标系如

图3.3

图 3.3.此时, $\rho =\rho (x)$ ,并设它在 上是连续函数.类似于例1.1的思路,将 上是连续函数.类似于例1.1的思路,将 $[0,l]$ 任意分割为若干子区间,在每个子区间上线密度 的精确值.求解步骤与例1.1类似. 的变化很小,可以近似地看成是常数.因此,可用每个子区间上任一点的密度作为该子区间上密度的近似值,就是说,质量的分布可近似看成均匀的.从而可以利用乘法求出在每个子区间内细棒质量的近似值,相加并通过取极限便可得到质量$m$的精确值.求解步骤与例1.1类似.

分 在 $(0,l)$ 内任意插入 $n-1$ 个分点

$$0=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=l,$$

则 $[0,l]$ 被分割成 $n$ 个子区间. 第 $k$ 个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 的长度为

$$\Delta x_k=x_k-x_{k-1},k=1,2,\dots ,n;$$

匀 任取 ${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k]$ ，则该段细棒质量 $\Delta m_k$ 的近似值为

$$\Delta m_k\approx \rho ({\xi }_k)\Delta x_k,k=1,2,\dots ,n;$$

合 将各段细棒质量的近似值相加,得到所求细棒总质量 $m$ 的近似值

$$m\approx \sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k)\Delta x_k;$$

精 令 $d={\max }_{1⩽k⩽n}\{\Delta x_k\}\to 0$ ，上述和式的极限就规定为细棒的质量，即

$$m=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\rho ({\xi }_k)\Delta x_k.\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

尽管上述各例中问题的实际意义完全不同,但解决问题的思想方法和步骤却是一样的,而且,都归结为求一个具有相同数学结构的和式极限,如(1.1),(1.3)和(1.4)式所示.抛开各个问题的具体含义,仅保留其数学结构,便抽象出定积分的定义.

1.2 定积分的定义

定义 1.1 定积分

设函数 $f$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的有界函数，在区间 $(a,b)$ 内任意插入 n-1 个分点

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b,$$

把 $[a,b]$ 分割成$n$个子区间,第$k$个子区间的长度为

$$\Delta x_k=x_k-x_{k-1},k=1,2,\dots ,n.$$

任取 ${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k]$ ，作乘积 $f({\xi }_k)\Delta x_k$ （ $k=1,2,\cdots ,n$ ），把所有这些乘积相加得到和式

$$\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k.$$

如果无论区间 $[a,b]$ 怎样分割，无论点 ${\xi }_k$ 怎样选取，当 $d={\max }_{1⩽k⩽n}\{\Delta x_k\}\to 0$ 时，该和式都趋于同一个常数，那么称函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且称此常数为 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分。记作 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ ，即

定积分定义中之所以要假设$f$在 $[a,b]$ 上有界,是因为若$f$无界,则和式极限(1.5)必不存在.事实上若$f$在 $[a,b]$ 上无界,则对任一给定的划分,$f$必在某一子区间上无界,不妨设其为 $[x_0,x_1]$ ,而在其余子区间上$f$均有界.于是,对于给定的任意大的常数M>0,可选取 ${\xi }_1\in [x_0,x_1]$ ,使 $|f({\xi }_1)\Delta x_1|>M$ .于是

$\left|f({\xi }_1)\Delta x_1+{\sum }_{k=2}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k\right|$ $⩾\left|f({\xi }_1)\Delta x_1\right|-\left|{\sum }_{k=2}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k\right|$ 由于上式右端第二项是一个有限数，而第一项可任意大，因此 $\left|{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k\right|$ 可任意大，从而极限不存在.所以可证(1.5)式也不存在.

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\Delta x_k.\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

称 $f$ 为被积函数， $x$ 为积分变量， $f(x)\mathrm{d}x$ 为被积式， $[a,b]$ 为积分区间， $a,b$ 分别称为积分下限与上限， $\int$ 是积分符号.

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对这个定义,还应注意以下几点:

（1）在定义中，当所有子区间长度的最大值 $d\to 0$ 时，则子区间的个数 $n$ 必然趋于无穷大。但不能用 $n\to +\infty$ 来代替 $d\to 0$ ，因为对区间的分割是任意的， $n\to \infty$ 不能保证 $d\to 0$ 。

（2）在构造定义中的和式时，包含了两个任意性，即对区间的分割与 ${\xi }_k$ 的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割和 ${\xi }_k$ 的不同选取，得到的和式一般并非相同。定义要求无论区间如何分割以及点 ${\xi }_k$ 怎样选取，只有得到的不同和式当 $d\to 0$ 时都要趋于同一个数，这样才说函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。换句话说，如果对区间的某两种不同分割或 ${\xi }_k$ 的两种不同选取得到的和式趋于不同的数，或者存在一个和式不能趋于一个确定的数，那么 $f$ 在该区间上必不可积。例如，Dirichlet函数

数字资源 3.1.1·定积分定义中的和式极限与函数极限有什么不同

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$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{为有理数},\\ 0,& x\text{为无理数}\end{array}$$

为什么定积分定义中要强调两个任意性.

在区间 $[0,1]$ 上不可积.事实上，将区间 $[0,1]$ 任意分割为 $n$ 个子区间.若取 ${\xi }_k$ 为子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 中的有理数，则 $D({\xi }_k)=1$ ，从而有

$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}D({\xi }_k)\Delta x_k=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n\Delta x_k=1;$$

此例还表明有界是函数可积的必要条件, 而不是充分条件.

若取 ${\xi }_k$ 为 $[x_{k-1},x_k]$ 中的无理数，则 $D({\xi }_k)=0$ ，从而有

$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}D({\xi }_k)\Delta x_k=0.$$

因此, $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不可积.

（3）函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 是一个确定的数，它的值仅与被积函数 $f$ 和积分区间 $[a,b]$ 有关，而与积分变量 $x$ 无关。因此，若积分变量 $x$ 改用其他字母（例如用 $t$ ）表示，它的值不会改变，即

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t.$$

根据定积分的定义,例1.1 中的曲边梯形的面积与例1.2 中细棒的质量可分别

表示为定积分

$$A={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x,m={\int }_0^l\rho (x)\mathrm{d}x,$$

做变速直线运动物体在时间区间 $[a,b]$ 内通过的位移也可表示为定积分

$$s={\int }_a^{b}v(t)\mathrm{d}t.$$

最后,对定积分再作两点补充规定:

(1) 当积分上限 $b$ 小于下限 $a$ 时, 规定

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x,$$

这就是说,互换定积分的上、下限,它的值要改变正负号.

在定义1.1 的和式中, $\Delta x_k$ 表示子区间的长度, 故 $\Delta x_k>0$ . 但当作了补充规定(1)之后, 积分和式中的 $\Delta x_k$ 可正可负, 故从 $a$ 到 $b$ 与从 $b$ 到 $a$ 的积分是不同的, 相差一个符号!

(2) 当 a=b 时, 规定 ${\int }_a^{a}f(x)dx=0.$

这样,对定积分上、下限的大小就没有什么限制了.

定积分的几何意义 由例1.1可知,当在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩾0$ 时,定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于由曲线 $y=f(x)$轴围成的曲边梯形的面积(图 3.4($x$轴围成的曲边梯形的面积(图3.4($a$)),即

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=A.$$

($a$)

($b$)
图 3.4

($c$)

如果在 $[a,b]$ 上 $f(x)⩽0$ ，那么由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形位于 $x$ 轴下方（图 3.4($b$)). 此时， $f({\xi }_k)\Delta x_k$ 的值为负，它的绝对值表示第 $k$ 个子区间上小曲边梯形面积的近似值. 由于曲边梯形的面积总是正的，所以

利用定积分的几何意义 求下列定积分的值:

(1) ${\int }_0^1(x+1)\mathrm{d}x$

(2) ${\int }_0^{\pi }\cos x\mathrm{d}x$

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-A.$$

(3) ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx.$

当 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上变号时,以图 3.4($c$)为例,从直观上不难看出,定积分 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 的值等于三个曲边梯形面积的代数和①,即

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=A_1-A_2+A_3.$$

1.3 定积分的存在条件

下面讨论定义在区间 $[a,b]$ 上函数的可积条件.

由定积分定义知， $f$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的有界函数。将 $[a,b]$ 任意分割为 $n$ 个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ （ $k=1,2,\cdots ,n$ ）， $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分就是形如(1.5)式的和式极限。设 $f$ 在子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上的上、下确界分别为 $M_k$ 与 $m_k$ ，即

$$M_k=\sup \left\{f(x)\mid x\in \left[x_{k-1},x_k\right]\right\},m_k=\inf \left\{f(x)\mid x\in \left[x_{k-1},x_k\right]\right\},$$

称 ${\omega }_k=M_k-m_k$ 为 $f$ 在子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上的振幅，和式

$$S_n=\sum _{k=1}^n{M}_k\Delta x_k,s_n=\sum _{k=1}^n{m}_k\Delta x_k$$

分别称为 $f$ 关于该分割的 Darboux 大和与 Darboux 小和. 如果在 $[a,b]$ 上, $f(x)⩾0$ , 那么 Darboux 大和 $S_n$ 在几何上就表示在子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上以 $M_k$ 为高所作的 $n$ 个小矩形构成的阶梯形的面积, Darboux 小和则表示在 $[x_{k-1},x_k]$ 上以 $m_k$ 为高所作的 $n$ 个小矩形构成的阶梯形的面积, 分别是以曲线 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的外包与内含的两个阶梯形的面积. 它们的差

$$S_n-s_n=\sum _{k=1}^n{\omega }_k\Delta x_k$$

就是图3.5中的阴影部分面积.根据定义1.1，函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，在几何上就表示该曲边梯形的面积可以求得，并且等于当 $[a,b]$ 被无限细分时上述外包与内含两个阶梯形面积的共同极限.因此，这两个阶梯形面积之差的极限应为零；反之也成立.由此启发，得到如下定理.

图3.5

定理 1.1 可积的充要条件

设函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积的充要条件是： $\forall \epsilon >0,\exists \epsilon >0$ ，当 $d<\delta$ 时，

$$\sum _{k=1}^n{\omega }_k\Delta x_k<\epsilon \text{\hspace{1em}(1.6)}$$

(证明从略).

仔细分析不难发现, 当 $f$ 属于下面两种情况之一时, (1.6) 式成立, 从而 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

第一种情况.任意分割 $[a,b]$ ,使最大子区间的长度 $d$ 充分小, $f$ 在每个子区间上的振幅 ${\omega }_k$ 都能任意小,小于任意给定的 $\epsilon >0$ .例如,当 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数时就属于这种情况.事实上,我们有

定理 1.2

若 $f\in C[a,b]$ ，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

证明

因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以它在 $[a,b]$ 上想一想：

一致连续. 从而 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ , 使得 $\forall x^{(1)},x^{(2)}\in [a,$ 一致连续性在定理1.2的证明中 $b]$ , 当 $|x^{(1)}-x^{(2)}|<\delta$ 时, 必有 起什么作用呢?

$$\left|f\left(x^{(1)}\right)-f\left(x^{(2)}\right)\right|<\epsilon .$$

任意分割 $[a,b]$ 为$n$个子区间 $[x_{k-1},x_k]$ （ $k=1,2,\cdots ,n$ ），使 $d<\delta$ 。根据闭区间上连续函数的性质， $\exists {\xi }_k^{(1)},{\xi }_k^{(2)}\in [x_{k-1},x_k]$ ，使

$$f({\xi }_k^{(1)})=M_k,f({\xi }_k^{(2)})=m_k,$$

从而有

$${\omega }_k=f\left({\xi }_k^{(1)}\right)-f\left({\xi }_k^{(2)}\right)<\epsilon ,\forall k=1,2,\dots ,n.$$

故当 $d<\delta$ 时，必有

$$\sum _{k=1}^n{\omega }_k\Delta x_k<\epsilon \sum _{k=1}^n\Delta x_k=\epsilon (b-a),$$

由定理1.1 知, $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

第二种情况. 当 $d$ 充分小时, 虽然不能保证 $f$ 在每个子区间上的振幅 ${\omega }_k$ 都任意小, 但使 ${\omega }_k$ 不能任意小的所有子区间长度之和可以小于任意给定的正数. 例如, $f$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点或者 $f$ 是 $[a,b]$ 上的单调函数都属于这种情况. 事实上, 可以证明下面的定理 (证明从略).

定理 1.3

如果有界函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点或者在 $[a,b]$ 上单调，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.

如果 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上可积, 那么在用定义计算它的定积分时, 可对 $[a,b]$ 采用某些特殊的分割方法, ${\xi }_k$ 也可选用某些特殊点.

例 1.3

用定义计算定积分 ${\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x$

解

由于 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上连续,因而可积.将 $[0,1]$ 等分为$n$个子区间

$[x_{k-1},x_k]$ , 取 ${\xi }_k$ 为每个子区间的右端点, 则有

$$\Delta x_k=\frac{1}{n},{\xi }_k=\frac{k}{n}(k=1,2,\dots ,n).$$

所以

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}x& ={\lim }_{d\to 0}{\sum }_{k=1}^n{\xi }_k^2\Delta x_k={\lim }_{n\to +\infty }{\sum }_{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\frac{1}{n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+\cdots +n^2)\\ & ={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}.\end{array}$$

在例1.3 中, 尽管被积函数 $f$ 相当简单, 然而计算过程仍然比较复杂. 可见, 利用定义计算定积分是相当困难的. 因而, 研究定积分的性质, 寻求简单可行的积分方法, 就是本章的主要任务之一.

1.4 定积分的性质

定积分的上述定义是由德国数学家 Riemann 给出的, 因而称为 Riemann 积分, 简称 $R$ 积分. 为书写简便起见, 将在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 (即 Riemann 积分存在) 的函数全体构成的集合记作 $\mathcal{R}[a,b]$ . 下面介绍 $R$ 积分的几个常用的重要性质.

性质 1.1 线性性质

设 $f,g\in \mathcal{R}[a,b],\alpha ,\beta \in \mathbf{R}$ ，则 $\alpha f+\beta g\in \mathcal{R}[a,b]$ ，并且

$${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\beta {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

这个性质可由定积分的定义和极限的运算法则直接得到.

性质 1.2 单调性

设 $f,g\in \mathcal{R}[a,b]$ ，且 $f(x)⩽g(x),\forall x\in [a,b]$ ，则

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

这个性质也可由定积分的定义直接得到,由此还可立即得到下面的推论:

推论 1.1

设 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ , 且

$$m⩽f(x)⩽M,\forall x\in [a,b],$$

其中 $m,M$ 是常数，则 $m(b-a)⩽{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)$ .

性质 1.3

设 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ , 则 $|f|\in \mathcal{R}[a,b]$ , 且

$$\left|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

想一想

试证明定积分的线性性质和单调性.

给定一个 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ ，对应一个积分值 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ ，这就定义了 $\mathcal{R}[a,b]$ 到$R$的一个映射，即定义了 $\mathcal{R}[a,b]$ 上的一个泛函，记作

$$F(f)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

此时,性质1.2可表示为,设 $f,g\in$ $R[a,b]$ ，且 $f⩽g$ ，则

$$F(f)⩽F(g),$$

即 $F(f)$ 单调增.

证明

首先,我们证明 $\left|f\right|$ 在 $[a,b]$ 上也可积.任意分割区间 $[a,b]$ ,用 ${\omega }_k(f)$ 与 ${\omega }_k(\left|f\right|)$ 分别表示 $f$ 与 $\left|f\right|$ 在子区间 $[x_{k-1},x_k]$ 上的振幅.由于

$$\mid \mid f(x)\mid -\mid f(y)\mid \mid ⩽\mid f(x)-f(y)\mid ,\forall x,y\in [x_{k-1},x_k],$$

并且不难证明

$${\omega }_k(f)=\sup \left\{\mid f(x)-f(y)\mid \mid ,x,y\in \left[x_{k-1},x_k\right]\right\},$$

所以 ${\omega }_k(|f|)⩽{\omega }_k(f)$ ，从而有

$$\sum _{k=1}^n{\omega }_k(|f|)\Delta x_k⩽\sum _{k=1}^n{\omega }_k(f)\Delta x_k.$$

又因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，由定理1.1知， $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，当 $d<\delta$ 时，必有 ${\sum }_{k=1}^n{\omega }_k(f)\Delta x_k<\epsilon$ ，从而

$$\sum _{k=1}^n{\omega }_k(|f|)\Delta x_k<\epsilon ,$$

故 $|f|$ 在 $[a,b]$ 上可积.

为了证明不等式(1.8)，只要注意到不等式

$$-|f(x)|⩽f(x)⩽|f(x)|,\forall x\in [a,b],$$

再利用性质1.2即得

$$-{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x,$$

从而知(1.8)式成立.

性质 1.4 对区间的可加性

设 $I$ 是一个有限闭区间, $a,b,c\in I$ . 若 $f$ 在 $I$ 上可积, 则 $f$ 在 $I$ 的任一闭子区间都可积, 且

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

证明

利用定理1.1 不难证明 $f$ 在区间 $I$ 的任一个闭子区间上可积, 下面证明等式(1.9).

设 $c$ 在 $(a,b)$ 内. 由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 根据定义, 任意分割区间 $[a,b]$ 所作的积分和式都趋于同一个数. 因此, 可以始终把 $c$ 作为一个分点. 这样, $f$ 在 $[a,b]$ 上的和式就等于它在 $[a,c]$ 上的和式与 $[c,b]$ 上的和式之和, 即

$$\sum _{[a,b]}f({\xi }_k)\Delta x_k=\sum _{[a,c]}f({\xi }_k)\Delta x_k+\sum _{[c,b]}f({\xi }_k)\Delta x_k.$$

由于$f$在子区间 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上也可积,所以令 $d\to 0$ 就得到等式(1.9).

若 $c$ 在 $[a,b]$ 外，不妨设 $a<b<c$ ，则由上面已证明的结论有

$${\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x,$$

从而得

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_b^{c}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

对于其他情况,可用同样方法证明.

利用定理1.1, 还可证明(从略)

性质 1.5 乘积性质

设 $f,g\in \mathcal{R}[a,b]$ ，则 $fg\in \mathcal{R}[a,b]$ .

性质 1.6 积分中值定理

设 $f\in C[a,b],g\in \mathcal{R}[a,b]$ ，且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号.则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$ ，使注意：由于 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号，

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

证明

设在 $[a,b]$ 上 $g(x)⩾0,M={\max }_{x\in [a,b]}\{f(x)\}$ , $m={\min }_{x\in [a,b]}\{f(x)\}$ , 则 $m⩽f(x)⩽M,\forall x\in [a,b]$ . 从而

$$mg(x)⩽f(x)g(x)⩽Mg(x),\forall x\in [a,b].$$

故由性质1.2 与性质1.5, 得[$a$,$b$], 且 $g$ 在 [$a$,$b$] 上不变号.

由于 $g$ 在 [$a$,$b$] 上不变号, 不妨设 $g⩾0$ . 若 $g(x)\equiv 0,x\in [a,b]$ , (1.10) 式显然成立; 若 $g(x)\ne 0,x\in [a,b]$ , 则 ${\int }_a^{b}g(x)dx>0$ . 因此, 证明的主要思想在于证明 $\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x}$ 介于 $f$ 在区间 [$a$,$b$]上的最大值与最小值之间, 再利用连续函数的介值定理即可得结论.

$$m{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x⩽M{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x>0$ ，上式两边同除以 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x,$

得

$$m⩽\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x}⩽M.$$

由连续函数的介值定理知, 至少存在一点 $\xi \in [a,b]$ , 使

$$f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x},$$

即

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$

若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x=0$ ，则由（1.11）式， ${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=0$ 。因此，对于任何 $\xi \in [a,b]$ ，等式（1.10）都成立。综合上述情况，定理得证。

数字资源 3.1.3·改进积分中值定理(推论1.2)

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在性质1.6 中取 $g(x)=1$ 即得下面的推论.

推论 1.2

设 $f\in C[a,b]$ , 则至少存在一点 $\xi \in [a,b]$ , 使

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a).\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

当 $f(x)⩾0$ 时,推论1.2有着简单的几何意义(图3.6).它表明,若$f$在 $[a,b]$ 上连续,则在区间 $[a,b]$ 中至少有一点 $\xi$ ,使得高为 $f(\xi )$ 底边长为b-a的矩形面积恰好等于以 $y=f(x)$ 为曲边的曲边梯形的面积.

图3.6

通常称

$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

为函数$f$在区间 $[a,b]$ 上的积分中值.因此,很多书上也称推论1.2为积分中值定理,而把性质1.6称为广义积分中值定理.

积分中值也叫积分均值,它是有限个数的算术平均值概念对连续函数的推广.大家知道,$n$个数 $y_1$ , $y_2,\cdots ,y_n$ 的算术平均值为

(1) 积分中值是有限个数的算术平均值概念对连续函数在 $[a,b]$ 上平均值的推广;(2) 积分中值定理(推论1.2)告诉我们, 连续函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值一定可由该函数在 $[a,b]$ 上的某一点 $\xi$ 取得;(3) 推出(1)中结论的方法也可用于推得可积函数在 $[a,b]$ 上的平均值, 因此, 对于可积函数也可定义积分中值的概念.

$$\overline{y}=\frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{y}_k.$$

但是,在很多实际问题中,还需要求出函数 $y=f(x)$ 在某一区间 $[a,b]$ 上的平均值.例如,求一周内的平均气温、一段时间内气体的平均压强、交流电的平均电流等.如何定义并求出连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值呢?

设 $f\in C[a,b]$ ，则 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ . 将 $[a,b]$ 分割为 $n$ 个等长的子区间

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b,$$

每个子区间的长度为 $\Delta x_k=\frac{b-a}{n}$ . 取 ${\xi }_k$ 为各子区间的右端点 $x_k$ （ $k=1,2,\cdots ,n$ ），则对应的 $n$ 个函数值 $y_k=f(x_k)$ 的算术平均值为

$${\bar{y}}_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{y}_k=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)$$ $$=\frac{1}{b-a}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\frac{b-a}{n}=\frac{1}{b-a}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x_k.$$

显然， $n$ 增大， ${\overline{y}}_n$ 就表示函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上更多个点处函数值的平均值.令 $n\to \infty ,{\overline{y}}_n$ 的极限自然就定义为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值 $\overline{y}$ ，即

$$\overline{y}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\overline{y}}_n=\frac{1}{b-a}\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x_k=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

因此,连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值就等于该函数在 $[a,b]$ 上的积分中值.

例 1.4

求正弦交流电流 $i(t)=I_{\mathrm{m}}\sin \omega t$ 在它的半个周期（即从 t=0 到 $t=\frac{\pi }{\omega }$ ）内的平均值.

解

根据(1.13)式,电流的平均值为

$$\bar{I}=\frac{1}{\frac{\pi }{\omega }-0}{\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}i(t)\mathrm{d}t=\frac{\omega I_{\mathrm{m}}}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{\omega }}\sin \omega t\mathrm{d}t.$$

为了求得 $\bar{I}$ 的具体数值, 必须计算右端的定积分. 但是, 利用定义来求此定积分是比较复杂的 (读者可尝试在 $\omega =1$ 的情况下用定义来计算). 因此, 寻求简洁的积分法势在必行!

3.1 定积分的概念、存在条件与性质 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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