2.3 微分

微分是与导数密切相关又有本质区别的一个重要概念.本节主要介绍微分的概念、计算及简单应用,说明在“微小局部”用线性函数代替非线性函数是微积分的基本思想方法之一.

3.1 微分的概念

在很多问题中,常常要研究函数的改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 与自变量改变量 $\Delta x$ 之间的关系,计算函数改变量的大小.我们知道,对于刻画均匀变化的线性函数 $y=kx+b$ 而言, $\Delta y$ 是 $\Delta x$ 的线性函数,即 $\Delta y=k\Delta x$ .对于刻画非均匀变化的非线性函数,一般来说, $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之间的关系要复杂得多.例如,设 $y=x^2$ ,则 $\Delta y=(x_0+\Delta x{)}^2-x_0^2=2x_0\Delta x+(\Delta x{)}^2$ ,它是由关于 $\Delta x$ 的线性函数部分 $2x_0\Delta x$ 和非线性部分 $(\Delta x{)}^2$ 组成的.自然要问,当 $|\Delta x|$ 很小时,能否用 $\Delta x$ 的线性函数部分去近似代替 $\Delta y$ 呢?近似代替后所产生的误差是多大?微分的概念就是在研究此类问题中提出来的.

若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则由本章的(1.11)式，

$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

当 $f^{\prime }(x)\ne 0$ 时, 易见, $\Delta y$ 也是由两部分组成的, 即关于 $\Delta x$ 的线性函数部分 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 和高阶无穷小部分 $o(\Delta x)$ . 若 $|\Delta x|$ 充分小, 第二部分的绝对值比第一部分的绝对值小得多. 因此, $\Delta y$ 的大小主要取决于第一部分, 称它为 $\Delta y$ 的线性主部. 若用线性主部 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$ 近似代替 $\Delta y$ , 则所产生的绝对值误差 $|o(\Delta x)|$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小. 由此就得到微分的概念.

定义 3.1 微分

设有函数 $f:U(x_0)\to R$ . 若存在一个关于 $\Delta x$ 的线性函数 $L(\Delta x)=a\Delta x(a\in \mathbb{R}$ 为与 $\Delta x$ 无关的常数），使

$$f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=a\Delta x+o(\Delta x),\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分 $\mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x_0)=a\Delta x$ 实际上是当 $\Delta x\to 0$ 时的无穷小, 它与函数改变量 $\Delta y$ 之差是 $\Delta x$ 的高阶无穷小, 即 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$ , 当 $dy\ne 0$ 时, dy 与 $\Delta y$ 是当 $\Delta x\to 0$ 时的等价无穷小.

则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，并称 $a\Delta x$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $\mathrm{df}(x_0)=a\Delta x.$ 若函数用 $y=f(x)$ 表示，则可记作

$\mathrm{d}y{|}_{x=x_0}=a\Delta x.$ 若$f$在区间$I$的每一点可微,则称$f$在$I$上可微.

由定义3.1可知, 当 $a\ne 0$ 时, 函数 $f$ 在 $x_0$ 处的微分就是在小区间 $[x_0,x_0+\Delta x]$ (或 $[x_0+\Delta x,x_0]$ ) 上函数改变量 $\Delta y$ 的线性主部 $a\Delta x$ . 现在要问, $f$ 在什么条件下是可微的? 如果可微, 微分中的常数 $a$ 与 $f$ 有怎样的关系? 下面的定理回答了这个问题.

定理 3.1

函数 $f:U(x_0)\to R$ 在 $x_0$ 处可微 $\iff f$ 在 $x_0$ 处可导. 此时, $\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x$ .

证明

不难看出,充分性在定义3.1前面一段中已经证明,下面证明必要性.设$f$在 $x_0$ 处可微,由定义知(3.1)式成立,从而有

$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=a+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}.$$

令 $\Delta x\to 0$ ，得

$$f^{\prime }(x_0)=a,$$

故 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)=a$ ，此时， $\mathrm{df}(x_0)=f^{\prime }(x_0)\Delta x.$

规定自变量的微分等于自变量的改变量, 即 dx = $\Delta x$ . 因此, 函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分可写成 $\mathrm{d}f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$ 或 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x,y=f(x)$ 在区间 $I$ 任一点 $x$ 处的微分可写成

(1) 微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 中的 dx 的含义是什么？它是否要很小？

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

(2) 为什么说, 函数的导数与微分是两个不同的概念?

定理 3.1

告诉我们, 对一元函数来说, 函数可导

性与可微性是两个等价的概念,今后我们不再区分它们.而且,求出函数的导数之后,只要再乘 dx,就得到相应的微分.但是,函数的导数与微分却是两个不同的概念.

用 dx 除(3.2)式两端, 得

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x).$$

这就是说,函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商.因此,导数又称为微商,这正是把导数记作 $\frac{dy}{dx}$ 的一个原因.

微分的几何意义

在图 2.11 中, 函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线 PT 的斜率 $\tan \alpha$ , 因此,

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }\left(x_0\right)\mathrm{d}x=\tan \alpha \cdot PN=NT.$$

这就是说,函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $P$ 处切线上点的纵坐标对应于横坐标改变量 $\Delta x$ 的改变量。

图2.11

又因为 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=NQ$ ，所以用微分近似代替改变量 $\Delta y$ 产生的误差就是 TQ。当 $\left|\Delta x\right|$ 很小时，TQ 比 NT 小得多，故�� (3.1) 式及定理3.1 知，当 $\left|\Delta x\right|=\left|x-x_0\right|$ 很小时，

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

此式表明，用微分近似代替改变量 $\Delta y$ ，实质上就是在 $x_0$ 附近（微小局部）用线性函数 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 近似代替非线性函数 $y=f(x)$ 。在几何上就是在点 $P$ 附近

用切线 PT 近似代替曲线 PQ.

在微小局部用线性函数近似代替非线性函数,或者,在几何上用切线段近似代替曲线段,是微积分的基本思想方法之一,通常称为非线性函数的局部线性化.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中也是常用的.

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微分概念中的局部线性化思想.

3.2 微分的运算法则

前面已经指出,要求微分,只要先求出导数再乘 dx 即可.因此,由

函数的导数公式立即可以得到相应的微分公式,由基本导数表可以得到基本微分表.这里我们不再一一罗列出来,读者自己去默写一遍,像基本导数公式一样,要牢记在心.

同样,由导数的有理运算法则(定理2.1)可以得到微分的有理运算法则:

$$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v,\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v,\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}(v\ne 0).$$

下面介绍复合函数的微分运算法则.设有可微函数 $y=f(u)$ ，若 $u$ 是自变量，根据微分的定义，则有

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u.\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

若 $u$ 又是另一个变量 $x$ 的可微函数 $u=g(x)$ ，则由链式法则易知，复合函数 $y=f(g(x))$ 的微分为

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$$

因为 $g^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ ，故上式也可以写成(3.4)式的形式。这就是说，无论 $u$ 是自变量还是另一个变量的函数，函数 $y=f(u)$ 的微分都保持由(3.4)式所表示的同一形式，这一性质称为微分形式不变性，它是复合函数求导法则在微分中的反映。由此，复合函数的微分既可以利用链式法则求出导数再乘 dx 得到，也可以利用微分形式不变性，由(3.4)式直接求得。

例 3.1

求函数 $y=\sin (2x+1)$ 的微分.

解

令 $u=2x+1$ ，则由(3.4)式，

$$\mathrm{d}y=\cos u\mathrm{d}u=\cos (2x+1)\cdot 2\mathrm{d}x=2\cos (2x+1)\mathrm{d}x.$$

例 3.2

求函数 $y=\ln (1+e^{x^2})$ 的微分.

解

同求复合函数导数一样,利用微分形式不变性求复合函数微分时,也不必写出该复合函数的中间变量直接按如下步骤进行:

$$\mathrm{d}y=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\mathrm{d}(1+{\mathrm{e}}^{x^2})=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\cdot {\mathrm{e}}^{x^2}\mathrm{d}(x^2)=\frac{{\mathrm{e}}^{x^2}}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\cdot 2x\mathrm{d}x=\frac{2x{\mathrm{e}}^{x^2}}{1+{\mathrm{e}}^{x^2}}\mathrm{d}x.$$

由于函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商,因此,可以利用微分形式不变性求复合函数的导数.在例3.2中,由所求得的微分表达式立即可得导数 $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{1+e^{x^2}}{e}^{x^2}$ .

3.3 高阶微分

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上一阶可导，则它的微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ 在区间 $I$ 上仍是 $x$ 的函数。因此，若该函数在 $I$ 上二阶可导，则可再对微分 dy 求微分，得

$$\mathrm{d}(\mathrm{dy})=\mathrm{d}(f^{\prime }(x)\mathrm{dx})=f^{\prime \prime }(x)(\mathrm{dx}{)}^2$$

（其中第二个等式成立是由于 $\mathrm{dx}=\Delta x$ ，与 $x$ 无关），称它为函数 $f$ 在 $I$ 上的二阶微分，记作 ${\mathrm{d}}^{2}f$ 或 ${\mathrm{d}}^{2}y.$ 通常把 $(\mathrm{dx}{)}^2$ 记作 ${\mathrm{dx}}^2$ ，则有

$${\mathrm{d}}^{2}f={\mathrm{d}}^{2}y=f^{\prime \prime }(x)\mathrm{d}{x}^2.$$

此时,称$f$在$I$上二阶可微.

类似地可以定义三阶微分,四阶微分等.一般地,若函数 $f:I\to R^n$ n 阶可导,则定义它在 $I$ 上的 $n$ 阶微分为

$${\mathrm{d}}^{n}y={\mathrm{d}}^{n}f=\mathrm{d}({\mathrm{d}}^{n-1}f)=f^{(n)}(x)\mathrm{d}{x}^n,$$

此时,称$f$在$I$上$n$阶可微.

为统一起见,函数的微分也称为函数的一阶微分,二阶与二阶以上的微分统称为高阶微分.应当注意,高阶微分没有微分形式不变性.

3.4 微分在近似计算中的应用

用微分进行近似计算的基本思想是:在微小局部将给定的函数线性化,即在 $x_0$ 的小邻域内,利用近似等式(3.3)来计算 $f(x)$ 的值.由于该式右端的线性函数之值容易计算,因此,为近似计算函数 $y=f(x)$ 的值提供了方便.

例 3.3

求 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值.

解

为计算 $\sqrt[3]{1.02}$ 的近似值, 取 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ , 则由 (3.3) 式得

$$\sqrt[3]{x}\approx \sqrt[3]{x_0}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x_0^2}}(x-x_0).$$

令 $x_0=1,x=1.02$ ，于是

$$\sqrt[3]{1.02}\approx 1+\frac{1}{3}\times 0.02\approx \mathrm{1.0067.}$$

例 3.4

计算 $\sin 44^{\circ }$ 的近似值.

解

取 $f(x)=\sin x$ ，则由(3.3)式得

$$\sin x\approx \sin x_0+(x-x_0)\cos x_0.$$

令 $x_0=45^{\circ }=\frac{\pi }{4},x=44^{\circ }=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{180}$ , 于是注意:前面曾经指出,微积分中三角函数角度的度量必须用弧度制,因此,在例3.4中必须先将角度的度数转化为弧度,然后再用微分来计算函数值.

$$\sin 44^{\circ }\approx \sin \frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{180}\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi }{180}\frac{\sqrt{2}}{2}\approx \mathrm{0.6948.}$$

在(3.3)式中,取 $x_0=0$ ,当 $|\Delta x|=|x|$ 充分小时,有

$$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)x.$$

由此容易得到下面一些常用的近似公式: 当 $\left|x\right|<<1$ 时,

$${\mathrm{e}}^x\approx 1+x,\sin x\approx x,\tan x\approx x,(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x,\ln (1+x)\approx x.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

例 3.5

计算 $\sqrt[5]{270}$ 的近似值.

解

由于

$$\sqrt[5]{270}=\sqrt[5]{243+27}=3{\left(1+\frac{27}{243}\right)}^{\frac{1}{5}},$$

在近似公式 $(1+x{)}^{\alpha }\approx 1+\alpha x$ 中取 $x=\frac{27}{243},\alpha =\frac{1}{5}$ ，得

$$\sqrt[5]{270}\approx 3\left(1+\frac{1}{5}\cdot \frac{27}{243}\right)\approx \mathrm{3.0667.}$$

2.3 微分 课后真题与自测练习

习题与真题

收录本小节对应期中、期末与精选习题· 提供推导解析、试卷溯源与 LaTeX 导出

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