4.1 随机变量序列的两种收敛性

第4章 大数定律与中心极限定理

随机变量序列的收敛性有多种，其中常用的是两种:依概率收敛和按分布收敛．本章讨论的大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理涉及按分布收敛．这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛的应用．本节将给出这两种收敛性的定义及其有关性质，读者应从中吸收其思考问题的方法．

4.1.1 依概率收敛

在第一章用频率确定概率时，我们提出“概率是频率的稳定值”,或“频率稳定于概率”.现在我们来解释“稳定”的含义及其数学表达式． 设有一大批产品，其不合格品率为 $p$．现一个接一个地检查产品的合格性，记前 $n$ 次检查发现 $S_n$ 个不合格品，而 $v_n=S_n/n$ 为不合格品出现的频率．当检查继续下去，我们就发现频率序列 $\{v_n\}$ 有如下两个现象: （1）频率 $v_n$ 对概率 $p$ 的绝对偏差 $\left|v_n-p\right|$ 将随 $n$ 增大而呈现逐渐减小的趋势，但无法说它收敛于零． （2）由于频率的随机性，绝对偏差 $|v_n-p|$ 时大时小。虽然我们无法排除大偏差发生的可能性，但随着$n$不断增大，大偏差发生的可能性会越来越小。这是一种新的极限概念。 下面我们用数学式子将上述概念表达出来．对任意给定的 $\epsilon >0$，事件 $\{|v_n-p|⩾\epsilon \}$ 出现了就认为大偏差发生了．而大偏差发生的可能性越来越小，相当于

P ( | v _ n - p | ≥slant ε) arrow 0, ( n arrow ∞ ).$$P(|v_n-p|⩾\epsilon )\to 0,(n\to \infty ).$$

这时就可称频率序列 $\{v_n\}$ 依概率收敛．这就是“频率稳定于概率”的含义． 下面给出一般的随机变量序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于一个随机变量 $X$ 的定义．

定义 4.1.1

设 $\{X_n\}$ 为一随机变量序列，$X$ 为一随机变量，如果对任意的 $\epsilon >0$，有

P ( | X _ n - X | ≥slant ε) arrow 0 (n arrow ∞), (4.1.1)$$P(|X_n-X|⩾\epsilon )\to 0(n\to \infty ),\text{\hspace{1em}(4.1.1)}$$

则称序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于 $X$ ，记作 $X_n\stackrel{P}{\to }X.$ 依概率收敛的含义是: $X_n$ 对 $X$ 的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着 $n$ 增大而愈来愈小．或者说，绝对偏差 $|X_n-X|$ 小于任一给定量的可能性将随着$n$增大而愈来愈接近于1,即(4.1.1)等价于

P ( | X _ n - X | < ε) arrow 1 (n arrow ∞).$$P(|X_n-X|<\epsilon )\to 1(n\to \infty ).$$

特别当 $X$ 为退化分布时，即 $P(X=c)=1$ ，则称序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于 $c$ ，即 $X_n\stackrel{P}{\to }c.$ 以下我们先给出依概率收敛于常数的四则运算性质．

定理 4.1.1

设 $\{X_n\},\{Y_n\}$ 是两个随机变量序列，$a$, $b$ 是两个常数．如果

X _ n stackrel P longrightarrow a , Y _ n stackrel P longrightarrow b ,$$X_n\stackrel{P}{⟶}a,Y_n\stackrel{P}{⟶}b,$$

则有：(1) $X_n\pm Y_n\stackrel{P}{\to }a\pm b$ ； (2) $X_n\times Y_n\stackrel{P}{\to }a\times b$ ; (3) $X_n÷Y_n\stackrel{P}{\to }a÷b(b\ne 0)$ .

证明

(1) 因为

{| (X _ n + Y _ n) - (a + b) | ≥slant ε } ⊂ {| X _ n - a | ≥slant frac ε2 } ∪ {| Y _ n - b | ≥slant frac ε2 },$$\{\mid (X_n+Y_n)-(a+b)\mid ⩾\epsilon \}\subset \left\{\mid X_n-a\mid ⩾\frac{\epsilon }{2}\right\}\cup \left\{\mid Y_n-b\mid ⩾\frac{\epsilon }{2}\right\},$$

所以

r l&0 ≤slant P (| (X _ n + Y _ n) - (a + b) | ≥slant ε)& ≤slant P (| X _ n - a | ≥slant frac ε2) + P (| Y _ n - b | ≥slant frac ε2) arrow 0 (n arrow ∞),$$\begin{array}{rl}& 0⩽P(|(X_n+Y_n)-(a+b)|⩾\epsilon )\\ & ⩽P(|X_n-a|⩾\frac{\epsilon }{2})+P(|Y_n-b|⩾\frac{\epsilon }{2})\to 0(n\to \infty ),\end{array}$$

即

P ( | ( X _ n + Y _ n ) - ( a + b ) | < ε) → 1 ( n → ∞ ) ,$$P(|(X_n+Y_n)-(a+b)|<\epsilon )\to 1(n\to \infty ),$$

由此得 $X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }a+b.$ 类似可证 $X_n-Y_n\stackrel{P}{\to }a-b.$ (2) 为了证明 $X_n\times Y_n\stackrel{P}{\to }a\times b$ ，我们分几步进行： $i$) 若 $X_n\stackrel{P}{\to }0$，则有 $X_n^2\stackrel{P}{\to }0$．这是因为对任意 $\epsilon >0$，有

P ( | X _ n ^ 2 | ≥slant ε ) = P ( | X _ n | ≥slant sqrt ε ) → 0 ( n → ∞ ) .$$P(|X_n^2|⩾\epsilon )=P(|X_n|⩾\sqrt{\epsilon })\to 0(n\to \infty ).$$

ii）若 $X_n\stackrel{P}{\to }a$ ，则有 $c{X}_n\stackrel{P}{\to }ca.$ 这是因为在 $c\ne 0$ 时，有

P (| c X _ n - c a | ≥slant ε) = P (| X _ n - a | ≥slant ε / | c |) arrow 0 (n arrow ∞),$$P(\mid c{X}_n-ca\mid ⩾\epsilon )=P(\mid X_n-a\mid ⩾\epsilon /\mid c\mid )\to 0(n\to \infty ),$$

而当 c=0 时，结论显然成立． iii）若 $X_n\stackrel{P}{\to }a$ ，则有 $X_n^2\stackrel{P}{\to }{a}^2$．这是因为有以下一系列结论：

X _ n - a xrightarrow P 0, (X _ n - a) ^ 2 xrightarrow P 0, 2 a (X _ n - a) xrightarrow P 0,$$X_n-a\stackrel{P}{\to }0,(X_n-a{)}^2\stackrel{P}{\to }0,2a(X_n-a)\stackrel{P}{\to }0,$$(X _ n - a) ^ 2 + 2 a (X _ n - a) = X _ n ^ 2 - a ^ 2 xrightarrow P 0, text 即 X _ n ^ 2 xrightarrow P a ^ 2.$$(X_n-a{)}^2+2a(X_n-a)=X_n^2-a^2\stackrel{P}{\to }0,\text{即}{X}_n^2\stackrel{P}{\to }{a}^2.$$

iv) 由 iii) 及 (1) 知

X _ n ^ 2 stackrel P longrightarrow a ^ 2, Y _ n ^ 2 stackrel P longrightarrow b ^ 2, (X _ n + Y _ n) ^ 2 stackrel P longrightarrow (a + b) ^ 2.$$X_n^2\stackrel{P}{⟶}{a}^2,Y_n^2\stackrel{P}{⟶}{b}^2,(X_n+Y_n{)}^2\stackrel{P}{⟶}(a+b{)}^2.$$

从而有

X _ n × Y _ n = frac 12 [ (X _ n + Y _ n) ^ 2 - X _ n ^ 2 - Y _ n ^ 2 ] xrightarrow P frac 12 [ (a + b) ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2 ] = a b.$$X_n\times Y_n=\frac{1}{2}[(X_n+Y_n{)}^2-X_n^2-Y_n^2\left]\stackrel{P}{\to }\frac{1}{2}\right[(a+b{)}^2-a^2-b^2]=ab.$$

(3) 为了证明 $X_n/Y_n\stackrel{P}{\to }a/b$ ，我们先证： $1/Y_n\stackrel{P}{\to }1/b$ 。这是因为对任意 $\epsilon >0$ ，有

lP (| frac 1Y _ n - frac 1b | ≥slant ε) = P (| frac Y _ n - bY _ n b | ≥slant ε)= P (| frac Y _ n - bb ^ 2 + b (Y _ n - b) | ≥slant ε , | Y _ n - b | < ε) + P (| frac Y _ n - bb ^ 2 + b (Y _ n - b) | ≥slant ε , | Y _ n - b | ≥slant ε)≤slant P (frac | Y _ n - b |b ^ 2 - ε | b | ≥slant ε) + P (| Y _ n - b | ≥slant ε) = P (| Y _ n - b | ≥slant (b ^ 2 - ε | b |) ε) + P (| Y _ n - b | ≥slant ε) arrow 0 (n arrow ∞).$$\begin{array}{l}P\left(\left|\frac{1}{Y_n}-\frac{1}{b}\right|⩾\epsilon \right)=P\left(\left|\frac{Y_n-b}{Y_{n}b}\right|⩾\epsilon \right)\\ =P\left(\left|\frac{Y_n-b}{b^2+b(Y_n-b)}\right|⩾\epsilon ,|Y_n-b|<\epsilon \right)+P\left(\left|\frac{Y_n-b}{b^2+b(Y_n-b)}\right|⩾\epsilon ,|Y_n-b|⩾\epsilon \right)\\ ⩽P\left(\frac{|Y_n-b|}{b^2-\epsilon |b|}⩾\epsilon \right)+P(\left|Y_n-b\right|⩾\epsilon )=P(\left|Y_n-b\right|⩾(b^2-\epsilon |b|)\epsilon )+P(\left|Y_n-b\right|⩾\epsilon )\to 0(n\to \infty ).\end{array}$$

这就证明了 $1/Y_n\stackrel{P}{\to }1/b$ ，再与 $X_n\stackrel{P}{\to }a$ 结合，利用(2)即得 $X_n/Y_n\stackrel{P}{\to }a/b.$ 这就完成了全部证明． 由此定理可以看出，随机变量序列在概率意义上的极限(即依概率收敛于常数 $a$)在四则运算下仍然成立．这与数学分析中的数列极限十分类似．类似结论对依概率收敛于 X(随机变量)也成立(见习题 4.1 第 2 题).

4.1.2 按分布收敛、弱收敛

我们知道分布函数全面描述了随机变量的统计规律，因此讨论一个分布函数序列 $\{F_n(x)\}$ 收敛到一个极限分布函数 $F(x)$ 是有实际意义的．现在的问题是:如何来定义 $\{F_n(x)\}$ 的收敛性呢?很自然地，由于 $\{F_n(x)\}$ 是实变量函数序列，我们的一个猜想是:对所有的 $x$，要求 $F_n(x)\to F(x)(n\to \infty )$ 都成立，也即数学分析中的点点收敛．然而遗憾的是，以下例子告诉我们这个要求过严了．

例 4.1.1

设随机变量序列 $\{X_n\}$ 服从如下的退化分布

P (X _ n = frac 1n) = 1, n = 1, 2, … ,$$P\left(X_n=\frac{1}{n}\right)=1,n=1,2,\dots ,$$

它们的分布函数分别为

F _ n (x) = { l l 0, & x < frac 1n, 1, & x ≥slant frac 1n. .$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<\frac{1}{n},\\ 1,& x⩾\frac{1}{n}.\end{array}$$

首先我们指出:在点点收敛这个要求下，$\{F_n(x)\}$ 的极限函数

g (x) = { l l 0, & x ≤slant 0, 1, & x > 0. .$$g(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x⩽0,\\ 1,& x>0.\end{array}$$

不满足右连续性，即 $g(x)$ 不是一个分布函数． 这说明对分布函数序列 $\{F_n(x)\}$ 而言，要求其点点收敛到一个极限分布函数太苛刻了．如何把点点收敛这要求减弱一些呢？ 因为 $F_n(x)$ 是在点 $x=\frac{1}{n}$ 处有跳跃，所以当 $n\to \infty$ 时，跳跃点位置趋于0，于是我们很自然地认为 $\{F_n(x)\}$ 应该收敛于点 $x=0$ 处的退化分布，即

F (x) = { l l 0, & x < 0, 1, & x ≥slant 0. .$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1,& x⩾0.\end{array}$$

但是，对任意的 $n$，有 $F_n(0)=0$，而 $F(0)=1$，所以

lim _ n → ∞ F _ n (0) = 0 ≠ 1 = F (0).$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(0)=0\ne 1=F(0).$$

从这个例子我们得到启示:收敛关系不成立的点 x=0 恰好是 $F(x)$ 的间断点．这就启示我们，可以撇开这些间断点而只考虑 $F(x)$ 的连续点．这就是以下给出的关于分布函数列的弱收敛定义．

定义 4.1.2

设随机变量 $X,X_1,X_2,\cdots$ 的分布函数分别为 $F(x),F_1(x),F_2(x),\cdots$．若对 $F(x)$ 的任一连续点 $x$，都有

lim _ n → ∞ F _ n (x) = F (x), (4.1.2)$$\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)=F(x),\text{\hspace{1em}(4.1.2)}$$

则称 $\{F_n(x)\}$ 弱收敛于 $F(x)$ ，记作

F _ n (x) xrightarrow W F (x). (4.1.3)$$F_n(x)\stackrel{W}{\to }F(x).\text{\hspace{1em}(4.1.3)}$$

也称相应的随机变量序列 $\{X_n\}$ 按分布收敛于$X$，记作

X _ n xrightarrow L X. (4.1.4)$$X_n\stackrel{L}{\to }X.\text{\hspace{1em}(4.1.4)}$$

以上定义的“弱收敛”是自然的，因为它比在每一点上都收敛的要求的确“弱”了些．若 $F(x)$ 是直线上的连续函数，则弱收敛就是点点收敛．

在上述定义中，分布函数序列 $\{F_n(x)\}$ 称为弱收敛，而随机变量序列 $\{X_n\}$ 则称为按分布收敛，这是在两种不同场合给出的两个不同名称，但其本质含义是一样的，都要求在 $F(x)$ 的连续点上有(4.1.2)式． 下面的定理说明依概率收敛是一种比按分布收敛更强的收敛性．

定理 4.1.2

$X_n\stackrel{P}{\to }X\Rightarrow X_n\stackrel{L}{\to }X.$

证明

设随机变量 $X,X_1,X_2,\cdots$ 的分布函数分别为 $F(x),F_1(x),F_2(x),\cdots$．为证 $X_n\stackrel{L}{\to }X$，相当于证 $F_n(x)\stackrel{W}{\to }F(x)$，所以只需证: 对所有的 $x$，有

F (x - 0) ≤slant lim _ n arrow ∞ F _ n (x) ≤slant overline lim _ n arrow ∞ F _ n (x) ≤slant F (x + 0). (4.1.5)$$F(x-0)⩽\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x)⩽\overline{\underset{n\to \infty }{\lim }}{F}_n(x)⩽F(x+0).\text{\hspace{1em}(4.1.5)}$$

因为若上式成立，则当 $x$ 是 $F(x)$ 的连续点时，有 $F(x-0)=F(x+0)$，由此即可得 $F_n(x)\stackrel{W}{\to }F(x)$ . 为证(4.1.5)式，先令 $x^{\prime }<x$，则

r l {X ≤slant x ^ prime } & = {X _ n ≤slant x, X ≤slant x ^ prime } ∪ {X _ n > x, X ≤slant x ^ prime } & ⊂ {X _ n ≤slant x } ∪ {| X _ n - X | ≥slant x - x ^ prime },$$\begin{array}{rl}\{X⩽x^{\prime }\}& =\{X_n⩽x,X⩽x^{\prime }\}\cup \{X_n>x,X⩽x^{\prime }\}\\ & \subset \{X_n⩽x\}\cup \{|X_n-X|⩾x-x^{\prime }\},\end{array}$$

从而有

F (x ^ prime) ≤slant F _ n (x) + P (| X _ n - X | ≥slant x - x ^ prime).$$F(x^{\prime })⩽F_n(x)+P(\left|X_n-X\right|⩾x-x^{\prime }).$$

由 $X_n\stackrel{P}{\to }X$ ，得 $P(\mid X_n-X\mid ⩾x-x^{\prime })\to 0(n\to \infty )$．所以有

F (x ^ prime) ≤slant varliminf_ n → ∞ F _ n (x).$$F(x^{\prime })⩽\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{F}_n(x).$$

再令 $x^{\prime }\to x$ ，即得

F (x - 0) ≤slant lim _ n → ∞ F _ n (x).$$F(x-0)⩽\underset{n\to \infty }{\lim }{F}_n(x).$$

同理可证，当 $x^{\prime \prime }>x$ 时，有

varlimsup_ n → ∞ F _ n (x) ≤slant F (x ^ prime prime).$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{F}_n(x)⩽F(x^{\prime \prime }).$$

令 $x^{\prime \prime }\to x$ ，即得

varlimsup_ n arrow ∞ F _ n (x) ≤slant F (x + 0).$$\underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{F}_n(x)⩽F(x+0).$$

这就证明了定理．

以上定理的逆命题不成立，即由按分布收敛无法推出依概率收敛，见下例．

例 4.1.2

设随机变量 $X$ 的分布列为

P (X = - 1) = frac 12, P (X = 1) = frac 12.$$P(X=-1)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{2}.$$

令 $X_n=-X$ ，则 $X_n$ 与 $X$ 同分布，即 $X_n$ 与 $X$ 有相同的分布函数，故 $X_n\stackrel{L}{\to }X.$ 但对任意的 $0<\epsilon <2$ ，有

P ( | X _ n - X | ≥slant ε) = P (2 | X | ≥slant ε) = 1 not → 0,$$P(|X_n-X|⩾\epsilon )=P(2|X|⩾\epsilon )=1\nrightarrow 0,$$

即 $X_n$ 不依概率收敛于 $X$ . 以上例子说明：一般按分布收敛与依概率收敛是不等价的。而下面的定理则说明：当极限随机变量为常数（服从退化分布）时，按分布收敛与依概率收敛是等价的。

定理 4.1.3

若 $c$ 为常数，则 $X_n\stackrel{P}{\to }c$ 的充要条件是: $X_n\stackrel{L}{\to }c$ .

证明

必要性已由定理4.1.2 给出，下证充分性．记 $X_n$ 的分布函数为 $F_n(x),n=1,2,\cdots$ 因为常数 $c$ 的分布函数 (退化分布) 为

F (x) = { l l 0, & x < c, 1, & x ≥slant c. .$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<c,\\ 1,& x⩾c.\end{array}$$

所以对任意的 $\epsilon >0$ ，有

r l P ( | X _ n - c | ≥slant ε) & = P ( X _ n ≥slant c + ε) + P ( X _ n ≤slant c - ε) ≤slant P ( X _ n > c + ε / 2) + P ( X _ n ≤slant c - ε) & = 1 - F _ n ( c + ε / 2) + F _ n ( c - ε).$$\begin{array}{rl}P(|X_n-c|⩾\epsilon )& =P(X_n⩾c+\epsilon )+P(X_n⩽c-\epsilon )⩽P(X_n>c+\epsilon /2)+P(X_n⩽c-\epsilon )\\ & =1-F_n(c+\epsilon /2)+F_n(c-\epsilon ).\end{array}$$

由于 $x=c+\epsilon /2$ 和 $x=c-\epsilon$ 均为 $F(x)$ 的连续点，且 $F_n(x)\stackrel{W}{\to }F(x)$ ，所以当 $n\to \infty$ 时，有

F _ n (c + ε / 2) arrow F (c + ε / 2) = 1, F _ n (c - ε) arrow F (c - ε) = 0.$$F_n(c+\epsilon /2)\to F(c+\epsilon /2)=1,F_n(c-\epsilon )\to F(c-\epsilon )=0.$$

由此得 即 $X_n\stackrel{P}{\to }c.$ 定理证毕．

P ( | X _ n - c | ≥slant ε) → 0.$$P(|X_n-c|⩾\epsilon )\to 0.$$

习题4.1

1. 如果 $X_n\stackrel{P}{\to }X$，且 $X_n\stackrel{P}{\to }Y$．试证: $P(X=Y)=1$ .
2. 如果 $X_n\stackrel{P}{\to }X,Y_n\stackrel{P}{\to }Y$．试证： (1) $X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }X+Y;$ (2) $X_n{Y}_n\stackrel{P}{\to }XY.$
3. 如果 $X_n\stackrel{P}{\to }X,g(x)$ 是直线上的连续函数，试证： $g(X_n)\stackrel{P}{\to }g(X)$ .
4. 如果 $X_n\stackrel{P}{\to }a$ ，则对任意常数 $c$ ，有

c X _ n xrightarrow P c a.$$c{X}_n\stackrel{P}{\to }ca.$$

5. 试证: $X_n\stackrel{P}{\to }X$ 的充要条件为: 当 $n\to \infty$ 时，有

E (frac | X _ n - X |1 + | X _ n - X |)arrow 0.$$E\left(\frac{\mid X_n-X\mid }{1+\mid X_n-X\mid }\right)\to 0.$$

6. 设 $D(x)$ 为退化分布：

D (x) = { l l 0, & x < 0, 1, & x ≥slant 0. .$$D(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ 1,& x⩾0.\end{array}$$

试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中 $n=1,2,\cdots$ ） (1) $\{D(x+n)\}$ ; (2) $\{D(x+1/n)\}$ ; (3) $\{D(x-1/n)\}$ . 7. 设分布函数列 $\{F_n(x)\}$ 弱收敛于连续的分布函数 $F(x)$，试证: $\{F_n(x)\}$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 上一致收敛于分布函数 $F(x)$ . 8. 如果 $X_n\stackrel{L}{\to }X$ ，且数列 $a_n\to a,b_n\to b$．试证： $a_n{X}_n+b_n\stackrel{L}{\to }aX+b$ . 9. 如果 $X_n\stackrel{L}{\to }X,Y_n\stackrel{P}{\to }a$ ，试证： $X_n+Y_n\stackrel{L}{\to }X+a$ . 10. 如果 $X_n\stackrel{L}{\to }X,Y_n\stackrel{P}{\to }0$，试证: $X_n{Y}_n\stackrel{P}{\to }0$ . 11. 如果 $X_n\stackrel{L}{\to }X,Y_n\stackrel{P}{\to }a$，且 $Y_n\ne 0$，常数 $a\ne 0$．试证: $X_n/Y_n\stackrel{L}{\to }X/a$ . 12. 设随机变量 $X_n$ 服从柯西分布，其密度函数为

p _ n (x) = frac nπ (1 + n ^ 2 x ^ 2), - ∞ < x < ∞ .$$p_n(x)=\frac{n}{\pi (1+n^2{x}^2)},-\infty <x<\infty .$$

试证： $X_n\stackrel{P}{\to }0.$ 13. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，其密度函数为

p (x) = { l l 1 / β , & 0 < x < β , 0, & text 其他. .$$p(x)=\{\begin{array}{ll}1/\beta ,& 0<x<\beta ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

其中常数 $\beta >0$ ，令 $Y_n=\max \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ ，试证： $Y_n\stackrel{P}{\to }\beta .$ 14. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，其密度函数为

p (x) = { l l e ^ - (x - α), & x ≥slant α , 0, & x < α . .$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-(x-\alpha )},& x⩾\alpha ,\\ 0,& x<\alpha .\end{array}$$

令 $Y_n=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ ，试证： $Y_n\stackrel{P}{\to }\alpha .$ 15. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，且 $X_i\sim U(0,1)$．令 $Y_n={\left({\prod }_{i=1}^n{X}_i\right)}^{\frac{1}{n}}$ ，试证明： $Y_n\stackrel{P}{\to }c$ ，其中 $c$ 为常数，并求出 $c$ . 16. 设分布函数列 $\{F_n(x)\}$ 弱收敛于分布函数 $F(x)$，且 $F_n(x)$ 和 $F(x)$ 都是连续、严格单调函数，又设 $\xi$ 服从(0,1)上的均匀分布，试证: $F_n^{-1}(\xi )\stackrel{P}{\to }{F}^{-1}(\xi )$ . 17. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，数学期望、方差均存在，且 $E(X_n)=\mu$．试证:

frac 2n (n + 1) ∑_ k = 1 ^ n k · X _ k xrightarrow P μ .$$\frac{2}{n(n+1)}\sum _{k=1}^{n}k\cdot X_k\stackrel{P}{\to }\mu .$$

18. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，数学期望、方差均存在，且

E (X _ n) = 0, operatornameVar (X _ n) = σ^ 2.$$E(X_n)=0,\mathrm{Var}(X_n)={\sigma }^2.$$

试证：

frac 1n ∑_ k = 1 ^ n X _ k ^ 2 xrightarrow P σ^ 2.$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k^2\stackrel{P}{\to }{\sigma }^2.$$

19. 设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，且 $\mathrm{Var}(X_n)={\sigma }^2$ 存在，令

overline X = frac 1n ∑_ i = 1 ^ n X _ i, S _ n ^ 2 = frac 1n ∑_ i = 1 ^ n (X _ i - overline X) ^ 2.$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2.$$

试证： $S_n^2\stackrel{P}{\to }{\sigma }^2.$ 20. 将 $n$ 个编号为 1 至 $n$ 的球放入 $n$ 个编号为 1 至 $n$ 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记

X _ i = { l l 1, & text 编号为 i text 的球放入编号为 i text 的盒子, 0, & text 其他, .$$X_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{编号为}i\text{的球放入编号为}i\text{的盒子},\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

$S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$ ，试证明：

frac S _ n - E (S _ n)n xrightarrow P 0.$$\frac{S_n-E(S_n)}{n}\stackrel{P}{\to }0.$$