1.1 随机事件及其运算

第1章 随机事件与概率

概率论与数理统计研究的对象是随机现象. 概率论研究随机现象的模型(即概率分布)及其性质, 详见前四章, 数理统计研究随机现象的数据收集、处理及统计推断, 详见后四章. 下面从随机现象开始逐步叙述这些内容.

1.1.1 随机现象

在一定的条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象,如抛一枚硬币与掷一颗骰子.随机现象有两个特点: (1) 结果不止一个; (2) 哪一个结果出现,人们事先并不知道. 只有一个结果的现象称为确定性现象.例如,太阳从东方升起,水往低处流,异性电荷相吸,一个口袋中有十只完全相同的白球,从中任取一只必然为白球.

例 1.1.1

随机现象的例子. (1) 抛一枚硬币, 有可能正面朝上, 也有可能反面朝上. (2) 掷一颗骰子, 出现的点数. (3) 一天内进入某商场的顾客数. (4) 某种型号电视机的寿命. (5) 测量某物理量(长度、直径等)的误差. 随机现象到处可见. 对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验。也有很多随机现象是不能重复的，例如某场足球赛的输赢是不能重复的，某些经济现象（如失业、经济增长速度等）也不能重复。概率论与数理统计主要研究能大量重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。

1.1.2 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间, 记为 $\Omega =\{\omega \}$ , 其中 $\omega$ 表示基本结果, 又称为样本点. 样本点是今后抽样的最基本单元. 认识随机现象首先要列出它的样本空间. 例1.1.2 下面给出例1.1.1 中随机现象的样本空间. （1）抛一枚硬币的样本空间为 ${\Omega }_1=\left\{{\omega }_1,{\omega }_2\right\}$ ，其中 ${\omega }_1$ 表示正面朝上， ${\omega }_2$ 表示反面朝上. （2）掷一颗骰子的样本空间为 ${\Omega }_2=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_6\}$ ，其中 ${\omega }_i$ 表示出现 $i$ 点， $i=1,2,\cdots ,6$ 。也可更直接明了地记此样本空间为 ${\Omega }_2=\{1,2,\cdots ,6\}$ 。 (3) 一天内进入某商场的顾客数的样本空间为

$${\Omega }_3=\{0,1,2,\dots ,500,\dots ,10^5,\dots \},$$

其中“0”表示“一天内无人进入此商场”，而“ $10^5$ ”表示“一天内有十万人进入此商场”。虽然此两种情况很少发生，但我们无法说此两种情况不可能发生，甚至于我们不能确切地说出一天内进入该商场的最多人数，所以该样本空间用非负整数集表示，既不脱离实际情况，又便于数学上的处理。 （4）电视机寿命的样本空间为 ${\Omega }_4=\{t:t⩾0\}$ ，其中 $t$ 为一台电视机开始工作到首次发生故障的时间间隔. （5）测量误差的样本空间为 ${\Omega }_5=\{x:-\infty <x<\infty \}$ ，其中 $x$ 为测量值 $y$ 与真值 $\mu$ 之间的差，即 $x=y-\mu$ . 需要注意的是： (1) 样本空间中的元素可以是数也可以不是数. （2）随机现象的样本空间至少有两个样本点，如果将确定性现象放在一起考虑，则含有一个样本点的样本空间对应的为确定性现象. （3）从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，譬如以上样本空间 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$ 中样本点的个数为有限个，而 ${\Omega }_3,{\Omega }_4$ 及 ${\Omega }_5$ 中样本点的个数为无限个.但 ${\Omega }_3$ 中样本点的个数为可列个，而 ${\Omega }_4$ 和 ${\Omega }_5$ 中的样本点的个数为不可列无限个.在以后的数学处理上，我们往往将样本点的个数为有限个或可列的情况归为一类，称为离散样本空间.而将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间.由于这两类样本空间有着本质上的差异，故分别称呼之.

1.1.3 随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件,常用大写字母 $A$, $B$, $C$, … 表示.如在掷一颗骰子中, $A=$ “出现奇数点”是一个事件,即 $A=\{1,3,5\}$ ,它是相应样本空间 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ 的一个子集. 在以上事件的定义中,要注意以下几点: (1) 任一事件 $A$ 是相应样本空间的一个子集. 在概率论中常用一个长方形表示样 本空间 $\Omega$ ，用其中一个圆或其他几何图形表示事件 $A$ ，见图 1.1.1，这类图形称为维恩(Venn)图. （2）当子集 $A$ 中某个样本点出现了，就说事件 $A$ 发生了，或者说事件 $A$ 发生当且仅当 $A$ （3）事件可以用集合表示,也可用明白无误的语言描述. 图 1.1.1 事件 （3）事件可以用集合表示,也可用明白无误的语言描述. 图1.1.1 事件 $A$ 的维恩图 （4）由样本空间 $\Omega$ 中的单个元素组成的子集称为基本事件。而样本空间 $\Omega$ 的最大子集（即 $\Omega$ 本身）称为必然事件。样本空间 $\Omega$ 的最小子集（即空集 $\varnothing$ ）称为不可能事件。

例 1.1.3

掷一颗骰子的样本空间为 $\Omega =\{1,2,\cdots ,6\}$ . 事件 A=“出现 1 点”，它由 $\Omega$ 的单个样本点“1”组成. 事件 B=“出现偶数点”，它由 $\Omega$ 的三个样本点“2,4,6”组成. 事件 C=“出现的点数小于 7”，它由 $\Omega$ 的全部样本点“1,2,3,4,5,6”组成，即必然事件 $\Omega$ . 事件 D=“出现的点数大于 6”， $\Omega$ 中任一样本点都不在 $D$ 中，所以 $D$ 是空集，即不可能事件 $\varnothing$ .

1.1.4 随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量,常用大写字母 $X$,$Y$,$Z$ 表示.很多事件都可用随机变量表示,表示时应写明随机变量的含义.而随机变量的含义是人们按需要设置出来的.下面通过一些例子来说明是如何进行设置的.

例 1.1.4

很多随机现象的结果本身就是数, 把这些数看作某特设变量的取值就可获得随机变量. 如掷一颗骰子, 可能出现 1, 2, 3, 4, 5, 6 诸点. 若设置 X = “掷一颗骰子出现的点数”, 则 1, 2, 3, 4, 5, 6 就是随机变量 $X$ 的可能取值, 这时 - 事件“出现3点”可用“ $X=3$ ”表示. - 事件“出现点数超过3点”可用“X>3”表示. - “ $X⩽6$ ”是必然事件 $\Omega$ . - “X=7”是不可能事件∅. 在这个随机现象中,若再设 Y=“掷一颗骰子 6 点出现的次数”,则 $Y$ 是仅取 0 或 1 两个值的随机变量,这是与 $X$ 不同的另一个随机变量.这时 - “Y=0”表示事件“没有出现6点”. - “Y=1”表示事件“出现6点”. - “ $Y⩽1$ ”是必然事件 $\Omega$ . - “ $Y⩾2$ ”是不可能事件 $\varnothing$ . 上述讨论表明: 在同一个随机现象中, 不同的设置可获得不同的随机变量, 如何设置可按需要进行.

例 1.1.5

有些随机现象的结果虽然不是数,但仍可根据需要设计出有意义的随机变量.如检验一件产品的可能结果有两个:合格品与不合格品.若我们把注意点放在不合格品上,则设置 X=“检查一件产品所得的不合格品数”,$X$ 是仅取 0 与 1 的随机变量,且“X=0”表示事件“出现合格品”;“X=1”表示事件“出现不合格品”. 若检查 10 件产品, 其中不合格品数 $Y$ 是一个随机变量, 它仅可能取 0, 1, 2, …, 10 等 11 个值, 且 - 事件“不合格品数不多于1件”可用“ $Y⩽1$ ”表示. - “Y=0”表示事件“全是合格品”. - “Y=10”表示事件“全是不合格品”. - “Y<0”是不可能事件∅. - “ $Y⩽10$ ”是必然事件 $\Omega$ . 由此可见,随机变量是人们根据研究和需要设置出来的,若把它用等号或不等号与某些实数联结起来就可以表示很多事件.这种表示方法形式简洁、含义明确、使用方便.今后遇到的大量事件都将用随机变量表示,这里关键在于随机变量的设置要事先说明.

1.1.5 事件间的关系

下面的讨论总是假设在同一个样本空间 $\Omega$ （即同一个随机现象）中进行.事件间的关系与集合间的关系一样，主要有以下几种：

一、包含关系

如果属于 $A$ 的样本点必属于 $B$ , 则称 $A$ 被包含在 $B$ 中 (见图 1.1.2), 或称 $B$ 包含 $A$ , 记为 $A\subset B$ , 或 $B\supset A$ . 用概率论的语言说: 事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生. 譬如掷一颗骰子,事件 A=“出现 4 点”的发生必然导致事件 B=“出现偶数点”的发生,故 $A\subset B$ . 又如电视机的寿命 $T$ 超过 10 000 h（记为事件 $A=\{T>10000\}$ ）和 $T$ 超过 20 000 h（记为事件 $B=\{T>20000\}$ ，见图 1.1.3.$A\supset B$ ，见图 1.1.3.

图1.1.2 $A\subset B$

图1.1.3 $\{T>10000\}\supset \{T>20000\}$

对任一事件 $A$, 必有 $\varnothing \subset A\subset \Omega$ .

二、相等关系

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 满足: 属于 $A$ 的样本点必属于 $B$, 而且属于 $B$ 的样本点必属于 $A$, 即 $A\subset B$ 且 $B\subset A$ , 则称事件 $A$ 与 $B$ 相等, 记为 A = B. 从集合论观点看,两个事件相等就意味着这两事件是同一个集合.下例说明:有时不同语言描述的事件也可能是同一事件.

例 1.1.6

掷两颗骰子, 以 $A$ 记事件“两颗骰子的点数之和为奇数”, 以 $B$ 记事件“两颗骰子的点数为一奇一偶”. 很容易证明: $A$ 发生必然导致 $B$ 发生, 而且 $B$ 发生也必然导致 $A$ 发生, 所以 A = B.

例 1.1.7

口袋中有 $a$ 个黑球, $b$ 个白球 ($a$ 与 $b$ 都大于零), 从中不返回地一个一个摸球, 直到摸完为止. 以 $A$ 记事件“最后摸出的几个球全是黑球”, 以 $B$ 记事件“最后摸出的一个球是黑球”. 对于此题粗看好像是 $A\ne B$ , 但只要设想将球全部摸完为止, 则明显有: $A$ 发生必然会导致 $B$ 发生, 即 $A\subset B$ ; 反之注意到事件 $A$ 中所述的“几个”最少是 1 个, 也可以是 2 个, …, 最多为 $a$ 个, 则 $B$ 发生时 $A$ 也必然会发生 (对于这点请读者仔细体会), 即 $B\subset A$ , 由此得 A = B.

三、互不相容

如果 $A$ 与 $B$ 没有相同的样本点(见图 1.1.4)，则称 $A$ 与 $B$ 互不相容。用概率论的语 言说: $A$ 与 $B$ 互不相容就是事件 $A$ 与事件 $B$ 不可能同时发生. 如在电视机寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生.

图1.1.4 $A$ 与 $B$ 互不相容

1.1.6 事件间的运算

事件的运算与集合的运算相当,有并、交、差和余四种运算.

一、事件 $A$ 与 $B$ 的并

记为 $A\cup B$ . 其含义为“由事件 $A$ 与 $B$ 中所有的样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”（见图 1.1.5）. 或用概率论的语言说“事件 $A$ 与 $B$ 中至少有一个发生”. 如在掷一颗骰子的试验中, 记事件 $A=$ “出现奇数点” $=\{1,3,5\}$ , 记事件 $B=$ “出现的点数不超过 $3"=\{1,2,3\}$ , 则 $A$ 与 $B$ 的并为 $A\cup B=\{1,2,3,5\}$ .

二、事件 $A$ 与 $B$ 的交

记为 $A\cap B$ , 或简记为 $AB$ . 其含义为“由事件 $A$ 与 $B$ 中公共的样本点组成的新事件”（见图 1.1.6）. 或用概率论的语言说“事件 $A$ 与 $B$ 同时发生”.

图1.1.5 $A$ 与 $B$ 的并

图1.1.6 $A$ 与 $B$ 的交

如在掷一颗骰子的试验中,记事件 A=“出现奇数点”= $\{1,3,5\}$ ,记事件 B=“出现的点数不超过 3”= $\{1,2,3\}$ ,则 $A$ 与 $B$ 的交为 $AB=\{1,3\}$ . 若事件 $A$ 与 $B$ 互不相容, 则其交必为不可能事件, 即 $AB=\varnothing$ , 反之亦然. 这表明: $AB=\varnothing$ 就意味着 $A$ 与 $B$ 是互不相容事件. 事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件,譬如有事件 $A_1,A_2,\cdots$ ,则 ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i$ 称为有限并, ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i$ 称为可列并, ${\bigcap }_{i=1}^n{A}_i$ 称为有限交, ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i$ 称为可列交.

三、事件 $A$ 对 $B$ 的差

记为 A-B. 其含义为“由在事件 $A$ 中而不在 $B$ 中的样本点组成的新事件”（见图 1.1.7）. 或用概率论的语言说“事件 $A$ 发生而 $B$ 不发生”. 如在掷一颗骰子的试验中,记事件 A=“出现奇数点”= $\{1,3,5\}$ ,记事件 B=“出现的点数不超过 3”= $\{1,2,3\}$ ,则 $A$ 对 $B$ 的差为 $A-B=\{5\}$ .
($a$) $A-B$

图1.1.7

($b$) $A-B(A\supset B)$ 若设 $X$ 为随机变量, 则有

$$\{X=a\}=\{X⩽a\}-\{X<a\},\{a<X⩽b\}=\{X⩽b\}-\{X⩽a\}.$$

四、对立事件

事件 $A$ 的对立事件, 记为 $A$ , 即“由在 $\Omega$ 中而不在 $A$ 中的样本点组成的新事件” (见图 1.1.8), 或用概率论的语言说“ $A$ 不发生”, 即 $\overline{A}=\Omega -A$ . 注意, 对立事件是相互的, 即 $A$ 的对立事件是 $\overline{A}$ , 而 $\overline{A}$ 的对立事件是 $A$ , 即 $\overline{\overline{A}}=A$ . 必然事件 $\Omega$ 与不可能事件 $\varnothing$ 互为对立事件, 即 $\overline{\Omega }=\varnothing ,\overline{\varnothing }=\Omega$ . 如在掷一颗骰子的试验中,事件 A=“出现奇数点”= $\{1,3,5\}$ 的对立事件是 $\overline{A}=\{2,4,6\}$ ,事件 B=“出现的点数不超过 $3=\{1,2,3\}$ 的对立事件是 $\overline{B}=\{4,5,6\}$ . $A$ 与 $B$ 互为对立事件的充要条件是: $A\cap B=\varnothing$ . 图 1.1.8 A 的对立事件 $A\cup B=\Omega$ . 图 1.1.8 A 的对立事件 $\overline{A}$ 此性质也可作为对立事件的另一种定义,即如果事件 $A$ 与 $B$ 满足: $A\cap B=\varnothing$ , 且 $A\cup B=\Omega$ , 则称 $A$ 与 $B$ 互为对立事件, 记为 $\overline{A}=B,\overline{B}=A$ . 需要注意的是： （1）对立事件一定是互不相容的事件，即 $A\cap \overline{A}=\varnothing$ 。但互不相容的事件不一定是对立事件。 (2) A-B 可以记为 $A\overline{B}$ .

例 1.1.8

从数字 $1,2,\cdots ,9$ 中可重复地任取 $n$ 次 ( $n⩾2$ )，以 $A$ 表示事件“所取的 $n$ 个数字的乘积能被 10 整除”。因为乘积能被 10 整除必须既取到数字 5，又要取到偶数，所以 $A$ 的对立事件 $\overline{A}$ 为“所取的 $n$ 个数字中或者没有 5，或者没有偶数”。如果记 B = “所取的 $n$ 个数字中没有 5”，C = “所取的 $n$ 个数字中没有偶数”，则 $\overline{A}=B\cup C$ 。

例 1.1.9

设 $A$, $B$, $C$ 是某个随机现象的三个事件, 则 (1) 事件“$A$ 与 $B$ 发生, $C$ 不发生”可表示为: $AB\overline{C}=AB-C$ . (2) 事件“$A$, $B$, $C$ 中至少有一个发生”可表示为: $A\cup B\cup C$ . (3) 事件“$A$, $B$, $C$ 中至少有两个发生”可表示为: $AB\cup AC\cup BC$ . (4) 事件“$A$, $B$, $C$ 中恰好有两个发生”可表示为: $AB\overline{C}\cup A\overline{B}C\cup \overline{A}BC.$ (5) 事件“$A$, $B$, $C$ 同时发生”可表示为: ABC. (6) 事件“$A$, $B$, $C$ 都不发生”可表示为: $\overline{A}\overline{B}\overline{C}$ . (7) 事件“$A$, $B$, $C$ 不全发生”可表示为: $\overline{A}\cup \overline{B}\cup \overline{C}$ .

五、事件的运算性质

1. 交换律

$$A\cup B=B\cup A,AB=BA.\text{\hspace{1em}(1.1.1)}$$

2. 结合律

$$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),\text{\hspace{1em}(1.1.2)}$$ $$(AB)C=A(BC).\text{\hspace{1em}(1.1.3)}$$

3. 分配律

$$(A\cup B)\cap C=AC\cup BC,\text{\hspace{1em}(1.1.4)}$$ $$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C).\text{\hspace{1em}(1.1.5)}$$

4. 对偶律(德摩根公式)

$$\text{ 事件并的对立等于对立的交: }\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B},\text{\hspace{1em}(1.1.6)}$$ $$\text{ 事件交的对立等于对立的并: }\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}.\text{\hspace{1em}(1.1.7)}$$

事件运算的对偶律是很有用的公式.这些性质是不难证明的,在此我们用集合论的语言证明其中的(1.1.6)式. (1.1.6)式的证明 设 $\omega \in \overline{A\cup B}$ , 即 $\omega \notin A\cup B$ , 这表明 $\omega$ 既不属于 $A$ , 也不属于 $B$ , 这意味着 $\omega \notin A$ 和 $\omega \notin B$ 同时成立, 所以 $\omega \in \overline{A}$ 与 $\omega \in \overline{B}$ 同时成立, 于是有 $\omega \in \overline{A}\cap \overline{B}$ , 这说明

$$\overline{A\cup B}\subset \overline{A}\cap \overline{B}.$$

反之, 设 $\omega \in \overline{A}\cap \overline{B}$ , 即同时有 $\omega \in \overline{A}$ 和 $\omega \in \overline{B}$ , 从而同时有 $\omega \notin A$ 和 $\omega \notin B$ , 这意味着 $\omega$ 不属于 $A$ 与 $B$ 中的任一个, 即 $\omega \notin A\cup B$ , 也就是有 $\omega \in \overline{A\cup B}$ , 这说明

$$\overline{A\cup B}\supset \overline{A}\cap \overline{B}.$$

综合上述两方面,可得

$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}.$$

(1.1.6)式得证. 德摩根公式可推广到多个事件及可列个事件场合：

$$\overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}=\bigcap _{i=1}^n{\overline{A}}_i,\overline{\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }{\overline{A}}_i,\text{\hspace{1em}(1.1.8)}$$ $$\overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}=\bigcup _{i=1}^n{\overline{A}}_i,\overline{\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{\overline{A}}_i.\text{\hspace{1em}(1.1.9)}$$

1.1.7 事件域

在此我们要给出的“事件域”概念,目的是为下一节定义事件的概率作准备. 所谓的“事件域”从直观上讲就是一个样本空间中某些子集及其运算(并、交、差、对立)结果而组成的集合类,以后记事件域为 $\mathcal{F}$ . 这里“某些子集”可以是全体子集,也可以是部分子集.这要看样本空间的性质而定. 对离散样本空间,用其所有子集的全体就可构成所需的事件域.而对连续样本空间,构造事件域就不那么简单.如当样本空间是实数轴上的一个区间时,可以人为地构造出无法测量其长度的子集,这样的子集常被称为不可测(不可度量)集.如果将这些不可测集也看成是事件,那么这些事件将无概率可言,这是我们不希望出现的现象,为了避免这种现象出现,我们没有必要将连续样本空间的所有子集都看成是事件,只需将我们可“度量”的子集(又称可测集)看成是事件即可. 现在的问题是:我们应该对哪些子集感兴趣,或换句话说, $\mathcal{F}$ 中应该有哪些元素?首先 $\mathcal{F}$ 应该包括 $\Omega$ 和 $\varnothing$ ,其次应该保证事件经过前面所定义的各种运算(并、交、差、对立)后仍然是事件,特别,对可列并和可列交运算也有封闭性,总之, $\mathcal{F}$ 要对集合的运算都有封闭性.经过研究人们发现 - 交的运算可通过并与对立来实现(德摩根公式). - 差的运算可通过对立与交来实现 $(A-B=A\overline{B})$ 这样一来，并与对立是最基本的运算，于是可给出事件域的定义如下.

定义 1.1.1

设 $\Omega$ 为一样本空间, $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 的某些子集所组成的集合类. 如果 $\mathcal{F}$ 满足: (1) $\Omega \in \mathcal{F}$ ; (2) 若 $A\in F$ ，则对立事件 $\overline{A}\in F$ ; (3) 若 $A_n\in F,n=1,2,\cdots$ ，则可列并 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in F$ ，则称 $F$ 为一个事件域，又称为 $\sigma$ 域或 $\sigma$ 代数. 在概率论中,又称 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 为可测空间,在可测空间上才可定义概率.这时$F$中都是有概率可言的事件.

例 1.1.10

常见的事件域 （1）若样本空间只含两个样本点 $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2\}$ ，记 $A=\{{\omega }_1\},\overline{A}=\{{\omega }_2\}$ ，则其事件域为 $\mathcal{F}=\{\varnothing ,A,\overline{A},\Omega \}$ . （2）若样本空间含有 $n$ 个样本点 $\Omega =\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right\}$ ，则其事件域 $F$ 是由空集 $\varnothing$ 、$n$ 个单元素集、 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 个双元素集、 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)$ 个三元素集……和 $\Omega$ 组成的集合类，这时 $F$ 中共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+\cdots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=2^n$ 个事件. （3）若样本空间含有可列个样本点 $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n,\cdots \}$ ，则其事件域 $F$ 是由空集 $\varnothing$ 、可列个单元素集、可列个双元素集……可列个 $n$ 元素集……和 $\Omega$ 组成的集合类，这时 $F$ 由可列个的可列个（仍为可列个）元素（事件）组成. （4）若样本空间含有全体实数 $\Omega =(-\infty ,\infty )=\mathbf{R}$ . 这时事件域 $\mathcal{F}$ 中的元素无法一一列出，而是由一个基本集合类逐步扩展形成，具体操作如下： - 取基本集合类 $\mathcal{P}=$ “全体半直线组成的类”，即

$$\mathcal{P}=\left\{\left(-\infty ,x\right)\mid -\infty <x<\infty \right\}.$$

- 利用事件域的要求,首先把有限的左闭右开区间扩展进来 $[a,b)=(-\infty ,b)-(-\infty ,a)$ ，其中 $a,b$ 为任意实数. - 再把闭区间、单点集、左开右闭区间、开区间扩展进来

$$[a,b]=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left[a,b+\frac{1}{n}\right),$$$$\{b\}=[a,b]-[a,b),$$$$(a,b]=[a,b]-\{a\},$$$$(a,b)=[a,b)-\{a\}.$$

- 最后用(有限个或可列个)并运算和交运算把实数集中一切有限集、可列集、开集、闭集都扩展进来. 经过上述几步扩展所得之集的全体就是人们希望得到的事件域 $\mathcal{F}$ , 因为它满足事件域的定义. 这样的事件域 $\mathcal{F}$ 又称为博雷尔 (Borel) 事件域, 域中的每个元素 (集合) 又称为博雷尔集, 或称为可测集, 这种可测集都是有概率可言的事件.

定义 1.1.2 样本空间的分割

对样本空间 $\Omega$ ，如果有 $n$ 个事件 $D_1,D_2,\cdots ,D_n$ 满足：

$$\text{ 诸 }{D}_i\text{ 互不相容,且 }\bigcup _{i=1}^n{D}_i=\Omega .$$

则称 $D_1,D_2,\cdots ,D_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一组分割. 也可以是可列个互不相容的事件 $D_1,D_2,\cdots ,D_n,\cdots$ 组成 $\Omega$ 的一个分割. 分割常在概率与统计研究中使用,因为它可以化简被研究的问题(具体可见1.4.3节的全概率公式).譬如,电视机的彩色浓度$x$是重要的质量指标,它的目标值是$m$.彩色浓度过大或过小都是不适当的,由于随机性,要在生产中把彩色浓度控制在点$m$上也是不可能的.因为没有必要对彩色浓度的每个可能出现的值进行考察,所以常把彩色浓度按顾客可接受的情况分为如下几档(其中$a$为某个常数):

$$\begin{array}{rl}& D_1=\{\mid x-m\mid ⩽a\}(\text{一等品}),\\ & D_2=\{a<|x-m|⩽2a\}(\text{二等品}),\\ & D_3=\{2a<|x-m|⩽3a\}(\text{三等品}),\\ & D_4=\{\mid x-m\mid >3a\}(\text{不合格品}).\end{array}$$

这样就把彩色浓度的样本空间 $\Omega =(-\infty ,\infty )$ 划分成四个互不相容的事件，产生一个分割 $\mathcal{D}=\{D_1,D_2,D_3,D_4\}$ . 这时人们的研究只要限制在由分割 $\mathcal{D}=\{D_1,D_2,D_3,D_4\}$ 中一切可能的并及空集 $\varnothing$ 组成的事件域上，因此该事件域称为由分割 $\mathcal{D}$ 产生的事件域，记为 $\sigma (\mathcal{D})$ . 该事件域仅含 $2^4=16$ 个不同的事件，研究就简化了. 一般场合, 若分割 $D=\{D_1,D_2,\cdots ,D_n\}$ 由 $n$ 个事件组成, 则其产生的事件域 $\sigma (\mathcal{D})$ 共含有 $2^n$ 个不同的事件. 分割方法常在一些问题的研究中被采用, 它可使事件域得以简化.

习题1.1

1. 写出下列随机试验的样本空间： (1) 抛三枚硬币； (2) 抛三颗骰子； (3) 连续抛一枚硬币, 直至出现正面为止; (4) 口袋中有黑、白、红球各一个, 先从中任取出一个, 放回后再任取出一个; (5) 口袋中有黑、白、红球各一个, 先从中任取出一个, 不放回后再任取出一个.
2. 先抛一枚硬币, 若出现正面 (记为 $Z$ ), 则再掷一颗骰子, 试验停止; 若出现反面 (记为 $F$ ), 则再抛一次硬币, 试验停止. 那么该试验的样本空间 $\Omega$ 是什么?
3. 设 $A,B,C$ 为三事件，试表示下列事件： (1) A, $B$, $C$ 都发生或都不发生； (2) $A,B,C$ 中不多于一个发生； (3) A, $B$, $C$ 中不多于两个发生； (4) A, $B$, $C$ 中至少有两个发生.
4. 指出下列事件等式成立的条件： (1) $A\cup B=A$ ; (2) $AB=A$ ; (3) $A-B=A$ .
5. 设 $X$ 为随机变量, 其样本空间为 $\Omega =\{0⩽X⩽2\}$ , 记事件 $A=\{0.5<X⩽1\},B=\{0.25⩽X<1.5\}$ , 写出下列各事件: (1) $\overline{A}B$ ; (2) $\overline{A}\cup B$ ; (3) $\overline{AB}$ ; (4) $\overline{A\cup B}$ .
6. 检查三件产品, 只区分每件产品是合格品 (记为 0) 与不合格品 (记为 1), 设 $X$ 为三件产品中的不合格品数, 指出下列事件所含的样本点:

$$A=\text{ “ }X=1\text{ ” },B=\text{ “ }X>2\text{ ” },C=\text{ “ }X=0\text{ ” },D=\text{ “ }X=4\text{ ” }.$$

7. 试问下列命题是否成立？ (1) $A-(B-C)=(A-B)-C;$ (2) 若 $AB=\varnothing$ 且 $C\subset A$ ，则 $BC=\varnothing$ ; (3) $(A\cup B)-B=A$ (4) $(A-B)\cup B=A$ .
8. 若事件 $ABC=\varnothing$ ，是否一定有 $AB=\varnothing$ ？
9. 请叙述下列事件的对立事件： (1) A = “掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=“射击三次,皆命中目标”; (3) $C=$ “加工四个零件,至少有一个合格品”.
10. 证明下列事件的运算公式： (1) $A=AB\cup A\overline{B}$ ; (2) $A\cup B=A\cup \overline{A}B.$
11. 设 $\mathcal{F}$ 为一事件域, 若 $A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$ , 试证: (1) $\varnothing \in \mathcal{F}$ ; (2) 有限并 ${\bigcup }_{i=1}{A}_i\in \mathcal{F}$ , $n⩾1$ ; (3) 有限交 ${\bigcap }_{i=1}^n{A}_i\in \mathcal{F}$ , $n⩾1$ ; (4) 可列交 ${\bigcap }_{i=1}{A}_i\in F$ ; (5) 差运算 $A_1-A_2\in \mathcal{F}$ .