3.2 边际分布与随机变量的独立性

二维联合分布函数(二维联合分布列、二维联合密度函数也一样)含有丰富的信息,主要有以下三方面信息: - 每个分量的分布(每个分量的所有信息),即边际分布. - 两个分量之间的关联程度,在 §3.4 中用协方差和相关系数来描述. - 给定一个分量时,另一个分量的分布,即条件分布. 我们的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来,本节先讨论边际分布.

3.2.1 边际分布函数

如果在二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 中令 $y\to \infty$ ，由于 $\{Y<\infty \}$ 为必然事件，故可得

$$\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)=P(X⩽x,Y<\infty )=P(X⩽x),$$

这是由 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 求得的 $X$ 的分布函数，被称为 $X$ 的边际分布，记为

$$F_x(x)=F(x,\infty ).\text{\hspace{1em}(3.2.1)}$$

类似地，在 $F(x,y)$ 中令 $x\to \infty$ ，可得 $Y$ 的边际分布

$$F_Y(y)=F(\infty ,y).\text{\hspace{1em}(3.2.2)}$$

在三维随机变量 $(X,Y,Z)$ 的联合分布函数 $F(x,y,z)$ 中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数：

$$\begin{array}{l}{F}_X(x)=F(x,\infty ,\infty ),\\ F_Y(y)=F(\infty ,y,\infty ),\\ F_Z(z)=F(\infty ,\infty ,z),\\ F_{X,Y}(x,y)=F(x,y,\infty ),\\ F_{X,Z}(x,z)=F(x,\infty ,z),\\ F_{Y,Z}(y,z)=F(\infty ,y,z).\end{array}$$

在更高维的场合,也可类似地从联合分布函数获得其低维的边际分布函数.譬如,五维联合分布有5个一维边际分布、10个二维边际分布,10个三维边际分布和5个四维边际分布.

例 3.2.1

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-y}+{\mathrm{e}}^{-x-y-\lambda xy},& x>0,y>0.\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这个分布被称为二维指数分布,其中参数 $\lambda >0$ . 由此联合分布函数 $F(x,y)$ ，容易获得 $X$ 与 $Y$ 的边际分布函数为

$$\begin{array}{l}{F}_X(x)=F(x,\infty )=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}\\ F_Y(y)=F(\infty ,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-y},& y>0,\\ 0,& y⩽0.\end{array}\end{array}$$

它们都是一维指数分布. 不同的 $\lambda >0$ 对应不同的二维指数分布, 但它们的两个边际分布与参数 $\lambda >0$ 无关. 这说明: 二维联合分布不仅含有每个分量的概率分布, 而且还含有两个变量 $X$ 与 $Y$ 间关系的信息, 这正是人们要研究多维随机变量的原因.

3.2.2 边际分布列

在二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列 $\{P(X=x_i,Y=y_j)\}$ 中，对 $j$ 求和所得的分布列

$$\sum _{j=1}^{\infty }P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i),i=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.2.3)}$$

被称为 $X$ 的边际分布列. 类似地, 对 $i$ 求和所得的分布列

$$\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_i,Y=y_j)=P(Y=y_j),j=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.2.4)}$$

被称为 $Y$ 的边际分布列.

例 3.2.2

设二维随机变量 $(X,Y)$ 有如下的联合分布列

X	Y
	1	2	3
0	0.09	0.21	0.24
1	0.07	0.12	0.27

求 $X$ 与 $Y$ 的边际分布列.

解

在上述联合分布列中, 对每一行求和得 0.54 与 0.46, 并把它们写在对应行的右侧, 这就是 $X$ 的边际分布列. 再对每一列求和, 得 0.16, 0.33 和 0.51, 并把它们写在对应列的下侧, 这就是 $Y$ 的边际分布列.

X	Y			P(X=i)
	1	2	3
0	0.09	0.21	0.24	0.54
1	0.07	0.12	0.27	0.46
P(Y=j)	0.16	0.33	0.51	1

3.2.3 边际密度函数

如果二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$ ，因为

$$F_{\chi }(x)=F(x,\infty )={\int }_{-\infty }^x\left({\int }_{-\infty }^{\infty }p(u,v)\mathrm{d}v\right)\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^x{p}_{\chi }(u)\mathrm{d}u,$$ $$F_Y(y)=F(\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y\left({\int }_{-\infty }^{\infty }p(u,v)\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v={\int }_{-\infty }^y{p}_Y(v)\mathrm{d}v,$$

其中 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ 分别为

$$p_x(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y,\text{\hspace{1em}(3.2.5)}$$ $$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.2.6)}$$

它们恰好处于密度函数位置,故称上式给出的 $p_X(x)$ 为 $X$ 的边际密度函数, $p_Y(y)$ 为 $Y$ 的边际密度函数. 由联合密度函数求边际密度函数时,要注意积分区域的确定.

例 3.2.3

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,|y|<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：（1）边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ；(2) $P(X<1/2)$ 及 $P(Y>1/2)$ .

解

首先识别 $p(x,y)$ 的非零区域, 它如图 3.2.1所示. (1) 求 $p_x(x)$ . 当 $x⩽0$ ，或 $x⩾1$ 时，有 $p_x(x)=0.$ 而当 $0<x<1$ 时，有

$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{-x}^x\mathrm{d}y=2x.$$

所以 $X$ 的边际密度函数为（见图 3.2.2）

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

再求 $p_Y(y)$ 当 $y⩽-1$ ，或 $y⩾1$ 时，有 $p_Y(y)=0$ . 而当 $-1<y<0$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x={\int }_{-y}^1\mathrm{d}x=1+y,$$

图3.2.1 $p(x,y)$ 的非零区域

图 3.2.2 X 的边际密度函数( $Be(2,1)$ )

当 $0<y<1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x={\int }_y^1\mathrm{d}x=1-y.$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为（见图 3.2.3）

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1+y,& -1<y<0,\\ 1-y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

图 3.2.3 Y 的边际密度函数(三角形分布)

(2) 要求的概率分别为

$$P\left(X<\frac{1}{2}\right)={\int }_{-\infty }^{1/2}{p}_X(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1/2}2x\mathrm{d}x=\frac{1}{4}.$$$$P\left(Y>\frac{1}{2}\right)={\int }_{1/2}^{\infty }{p}_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{1/2}^1(1-y)\mathrm{d}y=\frac{1}{8}.$$

例 3.2.4

三项分布的一维边际分布为二项分布 三项分布 $M(n,p_1,p_2,p_3)$ 实质上是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布，其联合分布列为

$$P(X=i,Y=j)=\frac{n!}{i!j!(n-i-j)!}{p}_1^i{p}_2^j{\left(1-p_1-p_2\right)}^{n-i-j},i,j=0,1,2,\dots ,n,i+j⩽n.$$

对上式分别乘和除以 $(1-p_1{)}^{n-i}/(n-i)!$ ，再对 $j$ 从0到 $n-i$ 求和，并记 $p_2^{\prime }=p_2/(1-p_1)$ ，则可得

$$\begin{array}{rl}{\sum }_{j=0}^{n-i}P(X=i,Y=j)& =\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}\cdot \\ & {\sum }_{j=0}^{n-i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j}\right){\left(\frac{p_2}{1-p_1}\right)}^j{\left(1-\frac{p_2}{1-p_1}\right)}^{n-i-j}\\ & =\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}[p_2^{\prime }+(1-p_2^{\prime }){]}^{n-i}\end{array}$$$$=\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}.$$

所以 $X\sim b(n,p_1)$ . 同理可证 $Y\sim b(n,p_2)$ . 用类似的方法可以证明: $r$ 项分布 $M(n,p_1,p_2,\cdots ,p_r)$ 的最低阶边际分布是 $r$ 个二项分布 $b(n,p_i),i=1,2,\cdots ,r$ .

例 3.2.5

二维正态分布的边际分布为一维正态分布 设二维随机变量 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ . 先把(3.1.8)式二维正态密度函数 $p(x,y)$ 的指数部分

$$-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]$$

改写成

$$-\frac{1}{2}{\left(\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\right)}^2-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}.$$

再对积分

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\right)}^2\right\}dy$$

作变换(注意把 $x$ 看作常量)

$$t=\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}},$$

则

$$\begin{array}{rl}{p}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\right\}{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{t^2}{2}\right\}\mathrm{d}t.\end{array}$$

意到上式中的积分恰好等于 $\sqrt{2\pi }$ ，所以有

$$p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}\exp \left\{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\right\}.$$

这正是一维正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 的密度函数，即 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ . 同理可证 $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ . 由此可见 - 二维正态分布的边际分布中不含参数 $\rho$ . - 这说明二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,0.1)$ 与 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,0.2)$ 的边际分布是相同的. - 具有相同边际分布的多维联合分布可以是不同的.

3.2.4 随机变量间的独立性

在多维随机变量中,各分量的取值有时会相互影响,但有时会毫无影响.譬如一个人的身高 $X$ 和体重 $Y$ 就会相互影响,但与收入 $Z$ 一般无影响.当两个随机变量的取值互不影响时,就称它们是相互独立的.

定义 3.2.1

设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数为 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ， $F_i(x_i)$ 为 $X_i$ 的边际分布函数。如果对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，有

$$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.7)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立. 在离散随机变量场合,如果对其任意 $n$ 个取值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ,有

$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,\dots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i=x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.8)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立. 在连续随机变量场合,如果对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ , 有

$$p(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{p}_i(x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.9)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立. 在前面的讨论中我们知道:由联合分布可以求出边际分布,但由边际分布不一定能求出联合分布.现在如果知道了随机变量间是相互独立的,则由边际分布的乘积就可求出联合分布.

例 3.2.6

从 $(0,1)$ 中任取两个数,求下列事件的概率: (1) 两数之和小于 1.2; (2) 两数之积小于 $1/4$ .

解

分别记这两个数为 $X$ 和 $Y$ , 则 $X$ 和 $Y$ 都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布, 由于 $X$ 与 $Y$ 的取值相互没有任何影响, 故 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 故其联合密度函数为

$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

利用此联合密度函数可以计算(1)与(2)的概率,具体如下: (1) 事件 $\{X+Y<1.2\}$ 的非零区域如图 3.2.4($a$) 所示, 其概率为

$$P(X+Y<1.2)={\int }_0^{0.2}{\int }_0^1\mathrm{d}y\mathrm{d}x+{\int }_{0.2}^1{\int }_0^{1.2-x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\mathrm{0.68.}$$

(2) 事件 $\{XY<1/4\}$ 的非零区域如图 3.2.4($b$) 所示, 其概率为

$$P(XY<1/4)={\int }_0^{1/4}{\int }_0^1\mathrm{d}y\mathrm{d}x+{\int }_{1/4}^1{\int }_0^{1/4x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\mathrm{0.5966.}$$

(a) $\{x+y<1.2,0<x,y<1\}$

(b) $\{xy<\frac{1}{4},0<x,y<1\}$

图 3.2.4 $p(x,y)$ 的非零区域与有关事件的交集部分

这个例子告诉我们,由独立性立即用乘法获得联合密度函数,然后就可求涉及两个随机变量的一些事件的概率.

例 3.2.7

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0⩽x⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

解

为判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立, 只需看边际密度函数的乘积是否等于联合密度函数. 为此先求边际密度函数. 当 $x<0$ 或 $x>1$ 时， $p_X(x)=0$ . 而当 $0⩽x⩽1$ 时，有

$$p_x(x)={\int }_x^{1}8xy\mathrm{d}y=8x\left(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}\right)=4x(1-x^2).$$

因此

$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}4x(1-x^2),& 0⩽x⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

同样，当 $y<0$ 或 $y>1$ 时， $p_Y(y)=0$ 。而当 $0⩽y⩽1$ 时，有

$$p_Y(y)={\int }_0^{y}8xy\mathrm{d}x=4y^3.$$

因此

$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}4y^3,& 0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由此可见： $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$ ，故 $X$ 与 $Y$ 不独立，即相依. 直观上看, 联合密度函数 $p(x,y)$ 似乎可分离变量, 但由于其非零区域相互交织, $X$ 的取值受 $Y$ 的取值影响 $(0⩽x⩽y)$ , $Y$ 的取值也受 $X$ 的取值的影响 $(x⩽y⩽1)$ , 最后导致 $p(x,y)$ 的变量不能分离, 从而 $X$ 与 $Y$ 不可能相互独立.

例 3.2.8

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数 $p(x,y)$ 如下所示, 判定 $X$ 与 $Y$ 的独立性.

$$(1)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x{y}^2,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$$$(2)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}12y^2,& 0⩽y⩽x⩽1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$$$(3)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6\exp \{-2x-3y\},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$$$(4)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+xy/3,& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解

（1）边际分布为

$$\begin{array}{l}{p}_X(x)=2x,x\in D_X=(0,1),\\ p_Y(y)=3y^2,y\in D_Y=(0,1),\end{array}$$

故有 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),(x,y)\in \{(x,y):x\in D_X,y\in D_Y\}$ ，所以 $X$ 与 $Y$ 相互独立.这种状态称为变量 $X$ 与 $Y$ 可分离, 它有两方面含义, 一是指 $p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$ , 二是指 $p(x,y)$ 的非零区域亦可分解为两个一维区域的乘积空间. (2) 因 $X$ 的取值与 $Y$ 的取值相互影响, 故 $p(x,y)$ 不可分离, 所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立. (3) 边际分布为

$$\begin{array}{l}{p}_X(x)=2{\mathrm{e}}^{-2x},x\in D_X=\{x>0\},\\ p_Y(y)=3{\mathrm{e}}^{-3y},y\in D_Y=\{y>0\},\end{array}$$

且有 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),(x,y)\in \{(x,y):x\in D_X,y\in D_Y\}$ ，故 $X$ 与 $Y$ 可分离，即 $X$ 与 $Y$ 相互独立. (4) 边际分布为

$$p_x(x)=2x^2+\frac{2}{3}x,x\in D_x=(0,1),$$$$p_Y(y)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}y,y\in D_Y=(0,2),$$

由于 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$ ，即 $X$ 与 $Y$ 不可分离，所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立.

习题3.2

1. 设二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值为

$$(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0),$$

且取这些值的概率依次为 $1/6,1/3,1/12,5/12$ ，试求 $X$ 与 $Y$ 各自的边际分布列. 2. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x}-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{2}y}+{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_{12}\max \{x,y\}},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $X$ 和 $Y$ 各自的边际分布函数. 3. 试求以下二维均匀分布的边际分布：

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

4. 设平面区域 $D$ 由曲线 $y=1/x$ 及直线 $y=0,x=1,x={\mathrm{e}}^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，试求 $X$ 的边际密度函数.
5. 求以下给出的 $(X,Y)$ 的联合密度函数的边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ : (1) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$

$$(2)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{4}(x^2+y),& 0<y<1-x^2,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

(3) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$ 6. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}6,& 0<x^2<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求边际密度函数 $p_x(x)$ 和 $p_y(y)$ . 7. 试验证: 以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数.

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}x+y,& 0⩽x⩽1,0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}(0.5+x)(0.5+y),& 0⩽x⩽1,0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

8. 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 且

$$P(X=-1)=P(Y=-1)=P(X=1)=P(Y=1)=\frac{1}{2}.$$

试求 $P(X=Y)$ . 9. 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲和乙的命中次数，试求 $P(X⩽Y)$ . 10. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 其联合分布列为

X	Y
	$y_1$	$y_2$	$y_3$
$x_1$	a	1/9	c
$x_2$	1/9	b	1/3

试求联合分布列中的 $a$, $b$, $c$. 11. 设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的随机变量, $X\sim U(0,1)$ , $Y\sim Exp(1)$ . 试求: (1) X 与 $Y$ 的联合密度函数； (2) $P(Y⩽X)$ ; (3) $P(X+Y⩽1)$ . 12. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ; (2) X 与 $Y$ 是否独立? 13. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \mid x\mid <y,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ; (2) X 与 $Y$ 是否独立? 14. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下, 试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立? (1) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{-(x+y)},& x>0,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$ (2) $p(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)},-\infty <x,y<\infty$ (3) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$ (4) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}24xy,& 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$

$$(5)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}12xy(1-x),& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

15. 在长为 $a$ 的线段的中点的两边随机地各选取一点, 求两点间的距离小于 a/3 的概率.
16. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域

$$D=\{(x,y):a⩽x⩽b,c⩽y⩽d\}$$

上的均匀分布,试证 $X$ 与 $Y$ 相互独立.