1.5 独立性

独立性是概率论中又一个重要概念,利用独立性可以简化概率的计算.下面先讨论两个事件之间的独立性,然后讨论多个事件之间的相互独立性,最后讨论试验之间的独立性.

1.5.1 两个事件的独立性

两个事件之间的独立性是指:一个事件的发生不影响另一个事件的发生.这在实际问题中是很多的,譬如在掷两颗骰子的试验中,记事件$A$为“第一颗骰子的点数为1”,记事件$B$为“第二颗骰子的点数为4”.则显然$A$与$B$的发生是相互不影响的. 另外,从概率的角度看,事件 $A$ 的条件概率 $P(A\mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的差别在于:事件 $B$ 的发生改变了事件 $A$ 发生的概率,也即事件 $B$ 对事件 $A$ 有某种“影响”.如果事件 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的,则有 $P(A\mid B)=P(A)$ 和 $P(B\mid A)=P(B)$ ,它们都等价于

$$P(AB)=P(A)P(B).\text{\hspace{1em}(1.5.1)}$$

另外对 $P(B)=0$ ，或 $P(A)=0$ ，(1.5.1)式仍然成立.为此，我们用(1.5.1)式作为两个事件相互独立的定义.

定义 1.5.1

如果(1.5.1)式成立,则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立,简称 $A$ 与 $B$ 独立.否则称 $A$ 与 $B$ 不独立或相依. 在许多实际问题中,两个事件相互独立大多是根据经验(相互有无影响)来判断的,如上述掷两颗骰子问题中 $A$ 与 $B$ 的独立性.但在有些问题中,有时也用(1.5.1)式来判断两个事件间的独立性.

例 1.5.1

事件独立的例子 （1）从一副52张的扑克牌中任取1张，以 $A$ 记事件“取到黑桃”，以 $B$ 记事件“取到$J$”.则因为 $P(A)=1/4,P(B)=4/52=1/13$ ，而 $AB$ 表示“取到黑桃$J$”，故 $P(AB)=1/52$ ，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立. (2) 考虑有三个小孩的家庭,并设所有 8 种情况

$$bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,gbg,ggb,ggg$$

是等可能的, 其中 $b$ 表示男孩, $g$ 表示女孩. 以 $A$ 记事件“家中男女孩都有”, 以 $B$ 记事件“家中至多一个女孩”. 则因为 $P(A)=6/8$ , $P(B)=4/8$ , 而 $AB$ 表示“家中恰有一个女孩”, 故 $P(AB)=3/8$ , 所以 $A$ 与 $B$ 相互独立. (3) 当考察的家庭有两个小孩时,样本空间只含 4 个样本点,它们是

$$bb,bg,gb,gg.$$

若事件 $A,B$ 仍如 (2) 所设, 则 $P(A)=2/4$ , $P(B)=3/4$ , 而 $P(AB)=2/4$ , 由于 $P(AB)\ne P(A)P(B)$ , 所以 $A$ 与 $B$ 不独立.

性质 1.5.1

若事件 $A$ 与 $B$ 独立, 则 $A$ 与 $\overline{B}$ 独立, $\overline{A}$ 与 $B$ 独立, $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 独立.

证明

由概率的性质知

$$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB).$$

又由 $A$ 与 $B$ 的独立性知

$$P(AB)=P(A)P(B),$$

所以

$$P(A\overline{B})=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(\overline{B}),$$

这表明 $A$ 与 $\overline{B}$ 独立. 类似可证 $\overline{A}$ 与 $B$ 独立, $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 独立. 对于性质1.5.1 的直观理解也是容易的: 因为 $A$ 与 $B$ 相互独立, 则 $A$ 的发生不影响 $B$ 的发生, 那么 $A$ 的发生也不会影响 $B$ 的不发生, $A$ 的不发生也不会影响 $B$ 的发生, $A$ 的不发生也不会影响 $B$ 的不发生.

1.5.2 多个事件的相互独立性

首先研究三个事件的相互独立性,对此我们先给出以下的定义

定义 1.5.2

设 $A$, $B$, $C$ 是三个事件, 如果有

$$\{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)P(B),\\ P(AC)=P(A)P(C),\\ P(BC)=P(B)P(C),\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5.2)}$$

则称 $A$, $B$, $C$ 两两独立. 若还有

$$P(ABC)=P(A)P(B)P(C),\text{\hspace{1em}(1.5.3)}$$

则称 $A$, $B$, $C$ 相互独立.

有例子可以证明由(1.5.2)式推不出(1.5.3)式,同样有例子可以证明由(1.5.3)式推不出(1.5.2)式. 由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性.

定义 1.5.3

设有 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ ，对任意的 $1⩽i<j<k<\cdots ⩽n$ ，如果以下等式 均成立

$$\{\begin{array}{l}P(A_i{A}_j)=P(A_i)P(A_j),\\ P(A_i{A}_j{A}_k)=P(A_i)P(A_j)P(A_k),\\ \dots \dots \\ P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n),\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5.4)}$$

则称此 $n$ 个事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 相互独立. 从上述定义可以看出, $n$ 个相互独立的事件中的任意一部分内仍是相互独立的,而且任意一部分与另一部分也是独立的.与性质1.5.1类似,可以证明:将相互独立事件中的任一部分换为对立事件,所得的诸事件仍为相互独立的.

例 1.5.2

设 $A$, $B$, $C$ 三事件相互独立, 试证 $A\cup B$ 与 $C$ 相互独立.

证明

因为

$$\begin{array}{rl}P((A\cup B)C)& =P(AC\cup BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)\\ & =P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)\\ & =(P(A)+P(B)-P(A)P(B))P(C)=P(A\cup B)P(C),\end{array}$$

所以 $A\cup B$ 与 $C$ 相互独立. 仿照此题的证明,可很容易推得:AB与$C$独立,A-B与$C$独立.

若 $A$, $B$, $C$ 间只有两两独立, 则不能证明 $A\cup B$ 与 $C$ 独立, 也不能证明 AB 与 $C$ 独立, A-B 与 $C$ 独立.

例 1.5.3

两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率是多少?

解

记 $A$ 为事件“甲射中目标”，$B$ 为事件“乙射中目标”。注意到事件“目标被击中”=A∪B，故

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9\times 0.8=\mathrm{0.98.}$$

此题也可用对立事件公式求解,具体是

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =1-P(\overline{A\cup B})=1-P(\overline{A}\overline{B})\\ & =1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-(1-0.9)(1-0.8)\\ & =1-0.1\times 0.2=\mathrm{0.98.}\end{array}$$

例 1.5.4

某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3,0.2,0.1;第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3,0.2.试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些? (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时, 情况又如何?

解

以 $A_i$ 记事件“用第 $i$ 种工艺加工得到合格品”， $i=1,2$ . (1) 由于各道工序可看作是独立工作的, 所以

$$P(A_1)=0.7\times 0.8\times 0.9=0.504,$$$$P(A_2)=0.7\times 0.8=0.56,$$

即第二种工艺得到合格品的概率较大些.这个结果也是可以理解的,因为第二种工艺前两道工序出现不合格品的概率与第一种工艺相同,但少了一道工序,所以减少了出 现不合格品的机会. (2) 当第二种工艺的两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时,

$$P(A_2)=0.7\times 0.7=0.49,$$

即第一种工艺得到合格品的概率较大些.

例 1.5.5

有两名选手比赛射击,轮流对同一目标进行射击,甲命中目标的概率为 $\alpha$ ,乙命中目标的概率为 $\beta$ .甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

解法一

记事件 $A_i$ 为“第 $i$ 次射击命中目标”， $i=1,2,\cdots$ 。因为甲先射，所以事件“甲获胜”可以表示为

$$A_1\cup {\overline{A}}_1{\overline{A}}_2{A}_3\cup {\overline{A}}_1{\overline{A}}_2{\overline{A}}_3{\overline{A}}_4{A}_5\cup \dots .$$

又因为各次射击是独立的,所以得

$$\begin{array}{rl}P\{\text{甲获胜}\}& =\alpha +(1-\alpha )(1-\beta )\alpha +(1-\alpha {)}^2(1-\beta {)}^2\alpha +\dots \\ & =\alpha {\sum }_{i=0}^{\infty }(1-\alpha {)}^i(1-\beta {)}^i\\ & =\frac{\alpha }{1-(1-\alpha )(1-\beta )}.\end{array}$$

同理可得

$$\begin{array}{rl}P\{\text{乙获胜}\}& =P({\overline{A}}_1{A}_2\cup {\overline{A}}_1{\overline{A}}_2{\overline{A}}_3{A}_4\cup \dots )\\ & =(1-\alpha )\beta +(1-\alpha )(1-\beta )(1-\alpha )\beta +\dots \\ & =\beta (1-\alpha ){\sum }_{i=0}^{\infty }(1-\alpha {)}^i(1-\beta {)}^i\\ & =\frac{\beta (1-\alpha )}{1-(1-\alpha )(1-\beta )}.\end{array}$$

此题在等比级数求和时,应该有条件:公比 $\left|(1-\alpha )(1-\beta )\right|<1$ .这一点不难从题目的实际意义中得到.因为对本题而言, $\alpha ,\beta$ 取值为零或1均是无意义的.

解法二

因为

$$P(\text{ 甲获胜 })=\alpha +(1-\alpha )(1-\beta )P(\text{ 甲获胜 })$$

由此解得

$$P(\text{ 甲获胜 })=\frac{\alpha }{1-(1-\alpha )(1-\beta )}=\frac{\alpha }{\alpha +\beta -\alpha \beta }.$$

而

$$P(\text{ 乙 获 胜 })=1-P(\text{ 甲 获 胜 })=\frac{\alpha +\beta -\alpha \beta -\alpha }{\alpha +\beta -\alpha \beta }=\frac{\beta (1-\alpha )}{1-(1-\alpha )(1-\beta )}.$$

例 1.5.6

系统由多个元件组成,且所有元件都独立地工作.设每个元件正常工作的概率都为 p=0.9,试求以下系统正常工作的概率. (1) 串联系统 $S_1$

$$\boxed{1}\boxed{2}$$

(2) 并联系统 $S_2$ (3) 5个元件组成的桥式系统 $S_3$

解

设 $S_i$ = “第 $i$ 个系统正常工作”, $A_i$ = “第 $i$ 个元件正常工作”. （1）对串联系统而言，“系统正常工作”相当于“所有元件正常工作”，即 $S_1=A_1{A}_2$ ，所以

$$P(S_1)=P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)=p^2=\mathrm{0.81.}$$

这也可看出:两个正常工作概率为0.9的元件组成的串联系统,其系统正常工作的概率下降为0.81. （2）对并联系统而言，“系统正常工作”相当于“至少一个元件正常工作”，即 $S_2=A_1\cup A_2$ ，所以

$$P\left(S_2\right)=P\left(A_1\cup A_2\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)-P\left(A_1{A}_2\right)=p+p-p^2=\mathrm{0.99.}$$

或

$$\begin{array}{rl}P(S_2)& =1-P({\overline{S}}_2)=1-P(\overline{A_1\cup A_2})=1-P({\overline{A}}_1\cap {\overline{A}}_2)\\ & =1-P({\overline{A}}_1)P({\overline{A}}_2)=1-(1-p{)}^2=\mathrm{0.99.}\end{array}$$

这也可看出:两个正常工作概率为0.9的元件组成的并联系统,其系统正常工作的概率提高至0.99. (3) 在桥式系统中, 第 3 个元件是关键, 我们先用全概率公式得

$$P(S_3)=P(A_3)P(S_3\mid A_3)+P({\overline{A}}_3)P(S_3\mid {\overline{A}}_3).$$

因为在“第3个元件正常工作”的条件下,系统成为先并后串系统(见图 1.5.1).所以

$$\begin{array}{rl}P(S_3\mid A_3)& =P((A_1\cup A_4)(A_2\cup A_5))=P(A_1\cup A_4)P(A_2\cup A_5)\\ & =[1-(1-p{)}^2{]}^2=\mathrm{0.9801.}\end{array}$$

又因为在“第3个元件不正常工作”的条件下,系统成为先串后并系统(见图 1.5.2).所以

$$P(S_3\mid {\overline{A}}_3)=P(A_1{A}_2\cup A_4{A}_5)=1-(1-p^2{)}^2=\mathrm{0.9639.}$$

图 1.5.1 先并后串系统

图 1.5.2 先串后并系统 最后我们得

$$\begin{array}{rl}P(S_3)& =p[1-(1-p{)}^2{]}^2+(1-p)[1-(1-p^2{)}^2]\\ & =0.9\times 0.9801+0.1\times 0.9639=\mathrm{0.9785.}\end{array}$$

1.5.3 试验的独立性

利用事件的独立性可以定义两个或更多个试验的独立性.

定义 1.5.4

设有两个试验 $E_1$ 和 $E_2$ ，假如试验 $E_1$ 的任一结果（事件）与试验 $E_2$ 的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。 例如掷一枚硬币(试验 $E_1$ )与掷一颗骰子(试验 $E_2$ )是相互独立的试验. 类似地可以定义 $n$ 个试验 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 的相互独立性: 如果 $E_1$ 的任一结果、 $E_2$ 的任一结果、……、 $E_n$ 的任一结果都是相互独立的事件, 则称试验 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$ 相互独立. 如果这 $n$ 个独立试验还是相同的, 则称其为 $n$ 重独立重复试验. 如果在 $n$ 重独立重复试验中, 每次试验的可能结果为两个: $A$ 或 $\overline{A}$ , 则称这种试验为 $n$ 重伯努利 (Bernoulli) 试验. 例如掷 $n$ 枚硬币、掷 $n$ 颗骰子、检查 $n$ 个产品等, 都是 $n$ 重独立重复试验.

例 1.5.7

某彩票每周开奖一次,每次提供十万分之一的中奖机会,且各周开奖是相互独立的.若你每周买一张彩票,坚持十年(每年52周)之久,你从未中奖的可能性是多少?

解

按假设,每次中奖的可能性是 $10^{-5}$ ,于是每次不中奖的可能性是 $1-10^{-5}$ .另外,十年中你共购买彩票520次,每次开奖都是相互独立的,相当于进行了520次独立重复试验.记 $A_i$ 为“第$i$次开奖不中奖”, $i=1,2,\cdots ,520$ ,则 $A_1,A_2,\cdots ,A_{520}$ 相互独立,由此得十年中你从未中奖的可能性是

$$P(A_1{A}_2\dots A_{520})=(1-10^{-5}{)}^{520}=\mathrm{0.9948.}$$

这个概率表明十年中你从未中奖是很正常的事. 如果将上例中每次中奖机会改成“万分之一”，则十年中从未中奖的可能性还是很大的，为0.9493.

习题1.5

1. 三人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为 $1/5,1/4,1/3$ , 求此密码被译出的概率.
2. 有甲乙两批种子, 发芽率分别为 0.8 和 0.9, 在两批种子中各任取一粒, 求: (1) 两粒种子都能发芽的概率； (2) 至少有一粒种子能发芽的概率； (3) 恰好有一粒种子能发芽的概率.
3. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.8 和 0.7, 现已知目标被击中, 求它 是甲射中的概率.
4. 设电路由 $A$, $B$, $C$ 三个元件组成, 若元件 $A$, $B$, $C$ 发生故障的概率分别是 0.3, 0.2, 0.2, 且各元件独立工作, 试在以下情况下, 求此电路发生故障的概率: (1) A, $B$, $C$ 三个元件串联； (2) A, $B$, $C$ 三个元件并联； (3) 元件 $A$ 与两个并联的元件 $B$ 及 $C$ 串联.
5. 在一周内甲, 乙, 丙三台机床需维修的概率分别是 0.9, 0.8 和 0.85, 求一周内 (1) 没有一台机床需要维修的概率； (2) 至少有一台机床不需要维修的概率； (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.
6. 设 $A_1,A_2,A_3$ 相互独立，且 $P(A_i)=2/3,i=1,2,3.$ 试求 $A_1,A_2,A_3$ 中 (1) 至少出现一个的概率； (2) 恰好出现一个的概率； (3) 最多出现一个的概率.
7. 若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立且互不相容, 试求 $\min \{P(A),P(B)\}$ .
8. 假设 $P(A)=0.4,P(A\cup B)=0.9$ ，在以下情况下求 $P(B)$ ： (1) A, $B$ 不相容； (2) A, $B$ 独立； (3) $A\subset B$ .
9. 设 $A$, $B$, $C$ 两两独立，且 ABC = ∅. (1) 如果 $P(A)=P(B)=P(C)=x$ ，试求 $x$ 的最大值； (2) 如果 $P(A)=P(B)=P(C)<1/2$ ，且 $P(A\cup B\cup C)=9/16$ ，求 $P(A)$ .
10. 事件 $A,B$ 独立, 两个事件仅 $A$ 发生的概率或仅 $B$ 发生的概率都是 $1/4$ , 求 $P(A)$ 及 $P(B)$ .
11. 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第 $i$ 个零件是不合格品的概率为 $p_i=1/(i+1),i=1,2,3$ ，以 $X$ 表示3个零件中合格品的个数，求 $P(X⩽2)$ .
12. 每门高射炮击中飞机的概率为 0.3, 独立同时射击时, 要以 99% 的把握击中飞机, 需要几门高射炮?
13. 投掷一枚骰子,问需要投掷多少次,才能保证至少有一次出现点数为 6 的概率大于 $1/2$ ?
14. 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为 80/81, 试求该射手进行一次射击的命中率.
15. 每次射击命中率为 0.5, 试求: 射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于 0.95?
16. 设猎人在距离猎物 100 米处对猎物打第一枪, 命中猎物的概率为 0.5. 若第一枪未命中, 则猎人继续打第二枪, 此时猎物与猎人已相距 150 米. 若第二枪仍未命中, 则猎人继续打第三枪, 此时猎物与猎人已相距 200 米. 若第三枪还未命中, 则猎物逃脱. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比, 试求该猎物被击中的概率.
17. 某血库急需 AB 型血, 要从身体合格的献血者中获得, 根据经验, 每百名身体合格的献血者中只有 2 名是 AB 型血的. (1) 求在 20 名身体合格的献血者中至少有一人是 AB 型血的概率； (2) 若要以 $95\%$ 的把握至少能获得一份AB型血, 需要多少位身体合格的献血者?
18. 一个人的血型为 $A$, $B$, AB, $O$ 型的概率分别为 0.37, 0.21, 0.08, 0.34. 现任意挑选四个人，试求： (1) 此四人的血型全不相同的概率； (2) 此四人的血型全部相同的概率.
19. 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛 可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？
20. 甲、乙、丙三人进行比赛, 规定每局两个人比赛, 胜者与第三人比赛, 依次循环, 直至有一人连胜两次为止, 此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是 $1/2$ , 现假定甲、乙两人先比, 试求各人得冠军的概率.
21. 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是 1/2. 两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了, 请问在以下各种情况下, 应如何合理分配赌本: (1) 甲、乙两个赌徒都各需赢 $k$ 局才能获胜； (2) 甲赌徒还需赢 2 局才能获胜, 乙赌徒还需赢 3 局才能获胜; (3) 甲赌徒还需赢 $n$ 局才能获胜, 乙赌徒还需赢 $m$ 局才能获胜.
22. 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机, 由于车上六个轮胎都是旧的, 前面两个轮胎损坏的概率都是 0.1, 后面四个轮胎损坏的概率都是 0.2. 你能告诉司机, 此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗?
23. 设 $0<P(B)<1$ ，试证事件 $A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A\mid B)=P(A\mid \overline{B})$ .
24. 设 $0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A|B)+P(\overline{A}|\overline{B})=1$ ，试证 $A$ 与 $B$ 独立.
25. 若 $P(A)>0,P(B)>0$ ，如果 $A,B$ 相互独立，试证 $A,B$ 相容。