8.3 方差齐性检验

在单因子试验中 $r$ 个水平的指标可以用 $r$ 个正态分布 $N(\mu_{i}, \sigma_{i}^{2}) (i = 1, 2, \cdots, r)$ 表示，在进行方差分析时要求 $r$ 个方差相等，这称为方差齐性。而方差齐性不一定自然具有。理论研究表明，当正态性假定不满足时对均值相等的 $F$ 检验影响较小，即 $F$ 检验对正态性的偏离具有一定的稳健性，而 $F$ 检验对方差齐性的偏离较为敏感。所以 $r$ 个方差的齐性检验就显得十分必要。所谓方差齐性检验是对如下一对假设作出检验：

H _ {0}: \sigma_ {1} ^ {2} = \sigma_ {2} ^ {2} = \dots = \sigma_ {r} ^ {2} \quad \mathrm{vs} \quad H _ {1}: \text { 诸 } \sigma_ {i} ^ {2} \text { 不全相等. }\tag{8.3.1}

很多统计学家提出了一些很好的检验方法,这里介绍几个最常用的检验,它们是:

哈特利(Hartley)检验,仅适用于样本量相等的场合. - 巴特利特(Bartlett)检验,可用于样本量相等或不等的场合,但是每个样本量不得低于5. - 修正的巴特利特检验,在样本量较小或较大、相等或不等场合均可使用. 下面分别来叙述它们.

8.3.1 哈特利检验

当各水平下试验重复次数相等时,即

m _ {1} = m _ {2} = \dots = m _ {r} = m,

哈特利提出检验方差相等的检验统计量

H = \frac {\max \left\{s _ {1} ^ {2} , s _ {2} ^ {2} , \cdots , s _ {r} ^ {2} \right\}}{\min \left\{s _ {1} ^ {2} , s _ {2} ^ {2} , \cdots , s _ {r} ^ {2} \right\}}.\tag{8.3.2}

它是 $r$ 个样本方差的最大值与最小值之比. 这个统计量的分布尚无明显的表达式, 但在诸方差相等条件下, 可通过随机模拟方法获得 $H$ 分布的分位数, 该分布依赖于水平数 $r$ 和样本方差的自由度 $f = m - 1$ , 因此该分布可记为 $H(r, f)$ , 其分位数表见附表 10. 直观上看, 当 $H_{0}$ 成立, 即诸方差相等 ( $\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \cdots = \sigma_{r}^{2}$ ) 时, $H$ 的值应接近于 1, $H$ 愈大, 诸方差间的差异就愈大, 这时应拒绝 (8.3.1) 中的 $H_{0}$ . 由此可知, 对给定的显著性水平 $\alpha$ , 检验 $H_{0}$ 的拒绝域为

W = \left\{H \geqslant H _ {1 - \alpha} (r, f) \right\},\tag{8.3.3}

其中 $H_{1-\alpha}(r,f)$ 为 $H$ 分布的 $1-\alpha$ 分位数, 见附表 10.

例 8.3.1

有四种不同牌号的铁锈防护剂(简称防锈剂), 现要比较其防锈能力. 为此, 制作 40 个大小形状相同的铁块(试验样品), 然后把它们随机分为四组, 每组 10 件样品. 在每一组样品上涂上同一牌号的防锈剂, 最后把 40 个样品放在一个广场上让其经受日晒、风吹和雨打. 一段时间后再行观察其防锈能力. 由于防锈能力无测量仪器, 只能请专家评分. 五位受聘专家对评分标准进行讨论, 取得共识. 样品上无锈迹的评 100 分, 全锈了评 0 分. 他们在不知牌号的情况下进行独立评分. 最后把一个样品的 5 位专家所给分数的平均值作为该样品的防锈能力. 数据列于表 8.3.1 上. 表 8.3.1 防锈能力数据及计算表

因子A(防锈剂)		$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$
数据 $y_{ij}$	1	43.9	89.8	68.4	36.2
	2	39.0	87.1	69.3	45.2
	3	46.7	92.7	68.5	40.7
	4	43.8	90.6	66.4	40.5
	5	44.2	87.7	70.0	39.3
	6	47.7	92.4	68.1	40.3
	7	43.6	86.1	70.6	43.2
	8	38.9	88.1	65.2	38.7
	9	43.6	90.8	63.8	40.9
	10	40.0	89.1	69.2	39.7
和 $T_i$		431.4	894.4	679.5	404.7
均值 $\bar{y}_i$ .		43.14	89.44	67.95	40.47
组内平方和 $Q_i$		81.00	44.28	42.33	53.42

这是一个重复次数相等的单因子试验.我们考虑用方差分析方法对之进行比较分析,为此,首先要进行方差齐性检验. 本例中, 四个样本方差可由表 8.3.1 中诸

Q_{i}

求出, 即

s _ {1} ^ {2} = \frac {8 1 . 0 0}{9} = 9. 0 0, s _ {2} ^ {2} = \frac {4 4 . 2 8}{9} = 4. 9 2,

s _ {3} ^ {2} = \frac {4 2 . 3 3}{9} = 4. 7 0, s _ {4} ^ {2} = \frac {5 3 . 4 2}{9} = 5. 9 4.

由此可得统计量 $H$ 的值

H = \frac {9 . 0 0}{4 . 7 0} = 1. 9 1.

在 $\alpha=0.05$ 时，由附表 10 查得 $H_{0.95}(4,9)=6.31$ ，由于 H<6.31，所以应该接受原假设 $H_{0}$ ，即认为四个总体方差间无显著差异. 进一步,在正态性检验通过(用正态概率图)的情况下,我们可用方差分析方法对四种不同牌号的防锈剂比较其防锈能力.由表8.3.1的数据可以算出 $T=T_{1}+\cdots+T_{4}=2\ 410$ ,从而求得三个偏差平方和分别为

S _ {T} = 4 3. 9 ^ {2} + 3 9. 0 ^ {2} + \dots + 4 0. 9 ^ {2} + 3 9. 7 ^ {2} - \frac {2 4 1 0 ^ {2}}{4 0} = 1 6 1 7 4. 5 0, f _ {T} = 3 9,

S _ {A} = \frac {1}{1 0} (4 3 1. 4 ^ {2} + 8 9 4. 4 ^ {2} + 6 7 9. 5 ^ {2} + 4 0 4. 7 ^ {2}) - \frac {2 4 1 0 ^ {2}}{4 0} = 1 5 9 5 3. 4 7, f _ {A} = 3,

S _ {e} = S _ {T} - S _ {A} = 2 2 1. 0 3, \quad f _ {e} = 3 6.

把上述各项移到方差分析表上,可继续计算各均方与 $F$ 比、 $p$ 值,具体见表8.3.2. 表 8.3.2 防锈能力的方差分析表

来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
因子A	15 953.47	3	5 317.82	866.09	0.000 0
误差e	221.03	36	6.14
总和T	16 174.50	39

若给定显著性水平

\alpha=0.05

，查表可得

F_{0.95}(3,36)=2.87

，由于 F>2.87，故因子

A

显著，即四种防锈剂的防锈能力有显著差异。这里

p

值为 0.0000 表示

p\leqslant0.0001

。各种防锈剂的防锈能力均值估计分别为

\hat {\mu} _ {1} = 4 3. 1 4, \quad \hat {\mu} _ {2} = 8 9. 4 4, \quad \hat {\mu} _ {3} = 6 7. 9 5, \quad \hat {\mu} _ {4} = 4 0. 4 7,

第二种牌号的防锈剂的防锈能力最强. 此外,试验误差的方差 $\sigma^{2}$ 的估计为 $\hat{\sigma}^{2}=6.14,\sigma$ 的估计为 $\hat{\sigma}=\sqrt{6.14}=2.48.$ 由于第二种牌号的防锈剂的防锈能力最强,我们还可求出其均值 $\mu_{2}$ 的 95% 的置信区间,此处 $t_{1-\alpha/2}(f_{e})=t_{0.975}(36)=2.028\ 1,\hat{\sigma}=2.48,m=10,\hat{\mu}_{2}=\bar{y}_{2}.=89.44$ ,则

\bar {y} _ {2}. \pm t _ {1 - \alpha / 2} (f _ {e}) \hat {\sigma} / \sqrt {m} = 8 9. 4 4 \pm 1. 5 9,

即 $\mu_{2}$ 的 95% 的置信区间为 [87.85, 91.03].

8.3.2 巴特利特检验

在单因子方差分析中有 $r$ 个样本, 设第 $i$ 个样本方差为

s _ {i} ^ {2} = \frac {1}{m _ {i} - 1} \sum_ {j = 1} ^ {m _ {i}} (y _ {i j} - \overline {{y}} _ {i.}) ^ {2} = \frac {Q _ {i}}{f _ {i}}, \quad i = 1, 2, \dots , r,

其中 $m_{i}$ 为第 $i$ 个样本的容量（即试验重复次数）， $Q_{i} = \sum_{j=1}^{m_{i}} (y_{ij} - \overline{y}_{i.})^{2}$ 与 $f_{i} = m_{i} - 1$ 为该样本的偏差平方和及自由度。由于误差均方

M S _ {e} = \frac {1}{f _ {e}} \sum_ {i = 1} ^ {r} Q _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {r} \frac {f _ {i}}{f _ {e}} s _ {i} ^ {2},

它是 $r$ 个样本方差 $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, \cdots, s_{r}^{2}$ 的（加权）算术平均数。而相应的 $r$ 个样本方差的几何平均数记为 $GMS_{e}$ ，它是

G M S _ {e} = \left[ \left(s _ {1} ^ {2}\right) ^ {f _ {1}} \left(s _ {2} ^ {2}\right) ^ {f _ {2}} \dots \left(s _ {r} ^ {2}\right) ^ {f _ {r}} \right] ^ {1 / f _ {e}},

其中 $f_{e} = f_{1} + f_{2} + \dots +f_{r} = \sum_{i = 1}^{r}(m_{i} - 1) = n - r.$ 由于几何平均数总不会超过算术平均数,故有

G M S _ {e} \leqslant M S _ {e},

其中等号成立当且仅当诸 $s_i^2$ 彼此相等，若诸 $s_i^2$ 间的差异愈大，则此两个平均值相差也愈大.由此可见，当诸总体方差相等时，其样本方差间不应相差较大，从而比值 $MS_{e} /$ $GMS_{e}$ 接近于1.反之，在比值 $MS_{e} / GMS_{e}$ 较大时，就意味着诸样本方差差异较大，从而反映诸总体方差差异也较大.这个结论对此比值的对数也成立.从而检验(8.3.1)的拒绝域可以表示为

W = \{\ln (M S _ {e} / G M S _ {e}) > d \}.\tag{8.3.4}

巴特利特证明了: 在大样本场合, $\ln(MS_{e}/GMS_{e})$ 的某个函数近似服从自由度为 r-1 的 $\chi^{2}$ 分布. 具体是

B = \frac {f _ {e}}{C} (\ln M S _ {e} - \ln G M S _ {e}) \dot {\sim} \chi^ {2} (r - 1),\tag{8.3.5}

其中

C = 1 + \frac {1}{3 (r - 1)} \left(\sum_ {i = 1} ^ {r} \frac {1}{f _ {i}} - \frac {1}{f _ {e}}\right),\tag{8.3.6}

且 $C$ 通常会大于1. 根据上述结论,可取

B = \frac {1}{C} \left(f _ {e} \ln M S _ {e} - \sum_ {i = 1} ^ {r} f _ {i} \ln s _ {i} ^ {2}\right)\tag{8.3.7}

作为检验统计量,对给定的显著性水平 $\alpha$ , 检验的拒绝域为

W = \{B \geqslant \chi_ {1 - \alpha} ^ {2} (r - 1) \}.\tag{8.3.8}

由于这里 $\chi^{2}$ 分布是近似分布, 使用上述检验通常要求诸样本量 $m_{i}$ 均不小于 5.

例 8.3.2

茶是世界上最为广泛的一种饮料,但很少人知其营养价值.任一种茶叶都含有叶酸,它是一种维生素 $B$ .如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法.为研究各产地的绿茶的叶酸含量是否有显著差异,特选四个产地的绿茶,其中用 $A_{1}$ 制作了 7 个样品,用 $A_{2}$ 制作了 5 个样品,用 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 各制作了 6 个样品,共有 24 个样品,按随机次序测试其叶酸含量(单位:mg),测试结果如表 8.3.3 所示. 表 8.3.3 绿茶的叶酸含量试验数据

水平	数据							重复数 $m_{i}$	和 $T_{i}$	均值 $\bar{y}_{i.}$	组内平方和 $Q_{i}$
$A_{1}$	7.9	6.2	6.6	8.6	8.9	10.1	9.6	7	57.9	8.27	12.83
$A_{2}$	5.7	7.5	9.8	6.1	8.4			5	37.5	7.50	11.30
$A_{3}$	6.4	7.1	7.9	4.5	5.0	4.0		6	34.9	5.82	12.03
$A_{4}$	6.8	7.5	5.0	5.3	6.1	7.4		6	38.1	6.35	5.62
$n=24$ $T=168.4$

平方和计算如下：

S _ {T} = (7. 9 ^ {2} + 6. 2 ^ {2} + \dots + 6. 1 ^ {2} + 7. 4 ^ {2}) - \frac {1 6 8 . 4 ^ {2}}{2 4} = 6 5. 2 7, f _ {T} = 2 3,

S _ {A} = \frac {5 7 . 9 ^ {2}}{7} + \frac {3 7 . 5 ^ {2}}{5} + \frac {3 4 . 9 ^ {2}}{6} + \frac {3 8 . 1 ^ {2}}{6} - \frac {1 6 8 . 4 ^ {2}}{2 4} = 2 3. 5 0, f _ {A} = 3,

S _ {e} = 6 5. 2 7 - 2 3. 5 0 = 4 1. 7 7, f _ {e} = 2 0.

方差分析表见表 8.3.4. 表 8.3.4 绿茶叶酸含量的方差分析表

来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
因子A	23.50	3	7.83	3.75	0.0275
误差e	41.77	20	2.09
总和T	65.27	23

若取显著性水平

\alpha = 0.05

. 查表可得

F_{0.95}(3,20) = 3.10

, 由于

F = 3.75 > 3.10

, 故应拒绝原假设

H_0

, 即认为四种绿茶的叶酸平均含量有显著差异. 其

p

值为 0.0275, 小于

\alpha

, 故拒绝原假设. 为说明上述方差分析合理,需要对其作方差齐性检验.从表8.3.3中数据可查得

Q _ {1} = 1 2. 8 3, \quad Q _ {2} = 1 1. 3 0, \quad Q _ {3} = 1 2. 0 3, \quad Q _ {4} = 5. 6 2,

f _ {1} = 6, \qquad f _ {2} = 4, \qquad f _ {3} = 5, \qquad f _ {4} = 5.

从而用公式 $s_i^2 = Q_i / f_i$ 可求得

s _ {1} ^ {2} = 2. 1 4, \quad s _ {2} ^ {2} = 2. 8 3, \quad s _ {3} ^ {2} = 2. 4 1, \quad s _ {4} ^ {2} = 1. 1 2.

再从表 8.3.4 上查得 $MS_{e}=2.09$ ，由（8.3.6）式，可求得

C = 1 + \frac {1}{3 (4 - 1)} \left[ \left(\frac {1}{6} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} + \frac {1}{5}\right) - \frac {1}{2 0} \right] = 1. 0 8 5 2,

再由(8.3.7)式,还可求得巴特利特检验统计量的值

\begin{array}{r l} B & = \frac {1}{1 . 0 8 5 2} [ 2 0 \times \ln 2. 0 9 - (6 \times \ln 2. 1 4 + 4 \times \ln 2. 8 3 + 5 \times \ln 2. 4 1 + 5 \times \ln 1. 1 2) ] \\ & = 0. 9 7 0. \end{array}

对给定的显著性水平 $\alpha=0.05$ ，查表知 $\chi_{0.95}^{2}(4-1)=7.8147$ 。由于 B=0.970<7.8147，故应接受原假设 $H_{0}$ ，即可认为诸水平下的方差间无显著差异。

8.3.3 修正的巴特利特检验

针对样本量低于 5 时不能使用巴特利特检验的缺点, 博克斯(Box) 提出修正的巴特利特检验统计量

B ^ {\prime} = \frac {f _ {2} B C}{f _ {1} (A - B C)},\tag{8.3.9}

其中 $B$ 与 $C$ 如(8.3.7)与(8.3.6)所示,且

f _ {1} = r - 1, \quad f _ {2} = \frac {r + 1}{(C - 1) ^ {2}}, \quad A = \frac {f _ {2}}{2 - C + 2 / f _ {2}}.

在原假设 $H_{0}:\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\cdots=\sigma_{r}^{2}$ 成立下，博克斯还证明了统计量 $B'$ 的近似分布是自由度为 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的 $F$ 分布，对给定的显著性水平 $\alpha$ ，该检验的拒绝域为

W = \left\{B ^ {\prime} \geqslant F _ {1 - \alpha} (f _ {1}, f _ {2}) \right\},\tag{8.3.10}

其中 $f_{2}$ 的值可能不是整数，这时可通过对 $F$ 分布的分位数表施行内插法得到近似分位数.

例 8.3.3

对例8.3.2 中的绿茶叶酸含量的数据, 我们用修正的巴特利特检验再一次对方差齐性作出检验. 在例8.3.2中已求得

C = 1. 0 8 5 2, \qquad B = 0. 9 7 0,

还可求得

f _ {1} = 4 - 1 = 3,

f _ {2} = \frac {4 + 1}{(1 . 0 8 5 2 - 1) ^ {2}} = 6 8 8. 8,

A = \frac {6 8 8 . 8}{2 - 1 . 0 8 5 2 + 2 / 6 8 8 . 8} = 7 5 0. 6,

B ^ {\prime} = \frac {6 8 8 . 8 \times 0 . 9 7 0 \times 1 . 0 8 5 2}{3 (7 5 0 . 6 - 0 . 9 7 0 \times 1 . 0 8 5 2)} = 0. 3 2 2.

对给定的显著性水平 $\alpha=0.05$ ，在 $F$ 分布的分位数表上可查得

F _ {0. 9 5} (3, 6 8 8. 8) = F _ {0. 9 5} (3, \infty) = 2. 6 1,

由于 $B' = 0.322 < 2.61$ ，故接受原假设 $H_{0}$ ，即认为四个水平下的方差间无显著差异。

习题8.3

采用例8.1.1的数据，在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下用哈特利检验考察三个总体方差是否彼此相等.
在安眠药试验(见习题 8.1 第 5 题)中已求得四个样本方差

s _ {1} ^ {2} = 0. 0 2, \quad s _ {2} ^ {2} = 0. 0 8, \quad s _ {3} ^ {2} = 0. 0 3 6, \quad s _ {4} ^ {2} = 0. 1 3 0 7.

请用哈特利检验在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下考察四个总体方差是否彼此相等. 3. 在生产力提高的指数研究中(见习题 8.2 第 4 题)已求得三个样本方差, 它们是

s _ {1} ^ {2} = 0. 6 6 3, \quad s _ {2} ^ {2} = 0. 5 7 4, \quad s _ {3} ^ {2} = 0. 7 5 2.

请用巴特利特检验在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下考察三个总体方差是否彼此相等. 4. 在入户推销效果研究中（见习题8.1第8题），分别用哈特利检验和巴特利特检验在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下对五个总体作方差齐性检验. 5. 在对粮食含水率的研究中(见习题8.1第7题)已求得3个水平下的组内平方和:

Q _ {1} = 1. 1 4 8, \quad Q _ {2} = 2. 2 3 7, \quad Q _ {3} = 2. 4 0 7.

请用修正的巴特利特检验在显著性水平 $\alpha = 0.05$ 下考察三个总体方差是否彼此相等. 6. 针对食品包装研究的数据(见例8.1.4)，请用修正的巴特利特检验在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下考察四个总体是否满足方差齐性假定.

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