3.2 边际分布与随机变量的独立性

二维联合分布函数(二维联合分布列、二维联合密度函数也一样)含有丰富的信息，主要有以下三方面信息: - 每个分量的分布(每个分量的所有信息),即边际分布． - 两个分量之间的关联程度，在 §3.4 中用协方差和相关系数来描述． - 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布． 我们的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，本节先讨论边际分布．

3.2.1 边际分布函数

如果在二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 中令 $y\to \infty$ ，由于 $\{Y<\infty \}$ 为必然事件，故可得

lim _ y → ∞ F (x, y) = P (X ≤slant x, Y < ∞) = P (X ≤slant x),$$\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)=P(X⩽x,Y<\infty )=P(X⩽x),$$

这是由 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 求得的 $X$ 的分布函数，被称为 $X$ 的边际分布，记为

F _ x (x) = F (x, ∞). (3.2.1)$$F_x(x)=F(x,\infty ).\text{\hspace{1em}(3.2.1)}$$

类似地，在 $F(x,y)$ 中令 $x\to \infty$ ，可得 $Y$ 的边际分布

F _ Y (y) = F (∞ , y). (3.2.2)$$F_Y(y)=F(\infty ,y).\text{\hspace{1em}(3.2.2)}$$

在三维随机变量 $(X,Y,Z)$ 的联合分布函数 $F(x,y,z)$ 中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数：

l F _ X (x) = F (x, ∞ , ∞), F _ Y (y) = F (∞ , y, ∞), F _ Z (z) = F (∞ , ∞ , z), F _ X, Y (x, y) = F (x, y, ∞), F _ X, Z (x, z) = F (x, ∞ , z), F _ Y, Z (y, z) = F (∞ , y, z).$$\begin{array}{l}{F}_X(x)=F(x,\infty ,\infty ),\\ F_Y(y)=F(\infty ,y,\infty ),\\ F_Z(z)=F(\infty ,\infty ,z),\\ F_{X,Y}(x,y)=F(x,y,\infty ),\\ F_{X,Z}(x,z)=F(x,\infty ,z),\\ F_{Y,Z}(y,z)=F(\infty ,y,z).\end{array}$$

在更高维的场合，也可类似地从联合分布函数获得其低维的边际分布函数．譬如，五维联合分布有5个一维边际分布、10个二维边际分布,10个三维边际分布和5个四维边际分布．

例 3.2.1

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

F (x, y) = { l l 1 - e ^ - x - e ^ - y + e ^ - x - y - λ x y, & x > 0, y > 0. 0, & text 其他. .$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-y}+{\mathrm{e}}^{-x-y-\lambda xy},& x>0,y>0.\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这个分布被称为二维指数分布，其中参数 $\lambda >0$ . 由此联合分布函数 $F(x,y)$ ，容易获得 $X$ 与 $Y$ 的边际分布函数为

l F _ X (x) = F (x, ∞) = { l l 1 - e ^ - x, & x > 0, 0, & x ≤slant 0. . F _ Y (y) = F (∞ , y) = { l l 1 - e ^ - y, & y > 0, 0, & y ≤slant 0. .$$\begin{array}{l}{F}_X(x)=F(x,\infty )=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}\\ F_Y(y)=F(\infty ,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-y},& y>0,\\ 0,& y⩽0.\end{array}\end{array}$$

它们都是一维指数分布．不同的 $\lambda >0$ 对应不同的二维指数分布，但它们的两个边际分布与参数 $\lambda >0$ 无关．这说明: 二维联合分布不仅含有每个分量的概率分布，而且还含有两个变量 $X$ 与 $Y$ 间关系的信息，这正是人们要研究多维随机变量的原因．

3.2.2 边际分布列

在二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列 $\{P(X=x_i,Y=y_j)\}$ 中，对 $j$ 求和所得的分布列

∑_ j = 1 ^ ∞ P (X = x _ i, Y = y _ j) = P (X = x _ i), i = 1, 2, … (3.2.3)$$\sum _{j=1}^{\infty }P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i),i=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.2.3)}$$

被称为 $X$ 的边际分布列．类似地，对 $i$ 求和所得的分布列

∑_ i = 1 ^ ∞ P (X = x _ i, Y = y _ j) = P (Y = y _ j), j = 1, 2, … (3.2.4)$$\sum _{i=1}^{\infty }P(X=x_i,Y=y_j)=P(Y=y_j),j=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.2.4)}$$

被称为 $Y$ 的边际分布列．

例 3.2.2

设二维随机变量 $(X,Y)$ 有如下的联合分布列

X	Y
	1	2	3
0	0.09	0.21	0.24
1	0.07	0.12	0.27

求 $X$ 与 $Y$ 的边际分布列．

解

在上述联合分布列中，对每一行求和得 0.54 与 0.46, 并把它们写在对应行的右侧，这就是 $X$ 的边际分布列．再对每一列求和，得 0.16, 0.33 和 0.51, 并把它们写在对应列的下侧，这就是 $Y$ 的边际分布列．

X	Y			P(X=i)
	1	2	3
0	0.09	0.21	0.24	0.54
1	0.07	0.12	0.27	0.46
P(Y=j)	0.16	0.33	0.51	1

3.2.3 边际密度函数

如果二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$ ，因为

F _ χ (x) = F (x, ∞) = ∫_ - ∞ ^ x (∫_ - ∞ ^ ∞ p (u, v) d v) d u = ∫_ - ∞ ^ x p _ χ (u) d u,$$F_{\chi }(x)=F(x,\infty )={\int }_{-\infty }^x\left({\int }_{-\infty }^{\infty }p(u,v)\mathrm{d}v\right)\mathrm{d}u={\int }_{-\infty }^x{p}_{\chi }(u)\mathrm{d}u,$$ F _ Y (y) = F (∞ , y) = ∫_ - ∞ ^ y (∫_ - ∞ ^ ∞ p (u, v) d u) d v = ∫_ - ∞ ^ y p _ Y (v) d v,$$F_Y(y)=F(\infty ,y)={\int }_{-\infty }^y\left({\int }_{-\infty }^{\infty }p(u,v)\mathrm{d}u\right)\mathrm{d}v={\int }_{-\infty }^y{p}_Y(v)\mathrm{d}v,$$

其中 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ 分别为

p _ x (x) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d y, (3.2.5)$$p_x(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y,\text{\hspace{1em}(3.2.5)}$$ p _ Y (y) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d x. (3.2.6)$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.2.6)}$$

它们恰好处于密度函数位置，故称上式给出的 $p_X(x)$ 为 $X$ 的边际密度函数，$p_Y(y)$ 为 $Y$ 的边际密度函数． 由联合密度函数求边际密度函数时，要注意积分区域的确定．

例 3.2.3

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

p (x, y) = { l l 1, & 0 < x < 1, | y | < x, 0, & text 其他. .$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,|y|<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：（1）边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ；(2) $P(X<1/2)$ 及 $P(Y>1/2)$ .

解

首先识别 $p(x,y)$ 的非零区域，它如图 3.2.1所示． (1) 求 $p_x(x)$ . 当 $x⩽0$ ，或 $x⩾1$ 时，有 $p_x(x)=0.$ 而当 $0<x<1$ 时，有

p _ X (x) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d y = ∫_ - x ^ x d y = 2 x.$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y={\int }_{-x}^x\mathrm{d}y=2x.$$

所以 $X$ 的边际密度函数为（见图 3.2.2）

p _ X (x) = { l l 2 x, & 0 < x < 1, 0, & text 其他. .$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

再求 $p_Y(y)$ 当 $y⩽-1$ ，或 $y⩾1$ 时，有 $p_Y(y)=0$．而当 $-1<y<0$ 时，有

p _ Y (y) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d x = ∫_ - y ^ 1 d x = 1 + y,$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x={\int }_{-y}^1\mathrm{d}x=1+y,$$

图3.2.1 $p(x,y)$ 的非零区域

图 3.2.2 X 的边际密度函数( $Be(2,1)$ )

当 $0<y<1$ 时，有

p _ Y (y) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d x = ∫_ y ^ 1 d x = 1 - y.$$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}x={\int }_y^1\mathrm{d}x=1-y.$$

所以 $Y$ 的边际密度函数为（见图 3.2.3）

p _ Y (y) = { l l 1 + y, & - 1 < y < 0, 1 - y, & 0 < y < 1, 0, & text 其他. .$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1+y,& -1<y<0,\\ 1-y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

图 3.2.3 Y 的边际密度函数(三角形分布)

(2) 要求的概率分别为

P (X < frac 12) = ∫_ - ∞ ^ 1 / 2 p _ X (x) d x = ∫_ 0 ^ 1 / 2 2 x d x = frac 14.$$P\left(X<\frac{1}{2}\right)={\int }_{-\infty }^{1/2}{p}_X(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1/2}2x\mathrm{d}x=\frac{1}{4}.$$P (Y > frac 12) = ∫_ 1 / 2 ^ ∞ p _ Y (y) d y = ∫_ 1 / 2 ^ 1 (1 - y) d y = frac 18.$$P\left(Y>\frac{1}{2}\right)={\int }_{1/2}^{\infty }{p}_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{1/2}^1(1-y)\mathrm{d}y=\frac{1}{8}.$$

例 3.2.4

三项分布的一维边际分布为二项分布 三项分布 $M(n,p_1,p_2,p_3)$ 实质上是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布，其联合分布列为

P (X = i, Y = j) = frac n !i ! j ! (n - i - j) ! p _ 1 ^ i p _ 2 ^ j (1 - p _ 1 - p _ 2) ^ n - i - j, i, j = 0, 1, 2, … , n, i + j ≤slant n.$$P(X=i,Y=j)=\frac{n!}{i!j!(n-i-j)!}{p}_1^i{p}_2^j{\left(1-p_1-p_2\right)}^{n-i-j},i,j=0,1,2,\dots ,n,i+j⩽n.$$

对上式分别乘和除以 $(1-p_1{)}^{n-i}/(n-i)!$ ，再对 $j$ 从0到 $n-i$ 求和，并记 $p_2^{\prime }=p_2/(1-p_1)$ ，则可得

r l ∑_ j = 0 ^ n - i P (X = i, Y = j) & = frac n !i ! (n - i) ! p _ 1 ^ i (1 - p _ 1) ^ n - i · & ∑_ j = 0 ^ n - i binom n - i j (frac p _ 21 - p _ 1) ^ j (1 - frac p _ 21 - p _ 1) ^ n - i - j & = frac n !i ! (n - i) ! p _ 1 ^ i (1 - p _ 1) ^ n - i [ p _ 2 ^ prime + (1 - p _ 2 ^ prime) ] ^ n - i$$\begin{array}{rl}{\sum }_{j=0}^{n-i}P(X=i,Y=j)& =\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}\cdot \\ & {\sum }_{j=0}^{n-i}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{j}\right){\left(\frac{p_2}{1-p_1}\right)}^j{\left(1-\frac{p_2}{1-p_1}\right)}^{n-i-j}\\ & =\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}[p_2^{\prime }+(1-p_2^{\prime }){]}^{n-i}\end{array}$$= frac n !i ! (n - i) ! p _ 1 ^ i (1 - p _ 1) ^ n - i.$$=\frac{n!}{i!(n-i)!}{p}_1^i(1-p_1{)}^{n-i}.$$

所以 $X\sim b(n,p_1)$．同理可证 $Y\sim b(n,p_2)$ . 用类似的方法可以证明: $r$ 项分布 $M(n,p_1,p_2,\cdots ,p_r)$ 的最低阶边际分布是 $r$ 个二项分布 $b(n,p_i),i=1,2,\cdots ,r$ .

例 3.2.5

二维正态分布的边际分布为一维正态分布 设二维随机变量 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$．先把(3.1.8)式二维正态密度函数 $p(x,y)$ 的指数部分

- frac 12 (1 - ρ^ 2) [ frac (x - μ_ 1) ^ 2σ_ 1 ^ 2 - 2 ρ frac (x - μ_ 1) (y - μ_ 2)σ_ 1 σ_ 2 + frac (y - μ_ 2) ^ 2σ_ 2 ^ 2 ]$$-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]$$

改写成

- frac 12 (ρ frac x - μ_ 1σ_ 1 sqrt 1 - ρ^ 2 - frac y - μ_ 2σ_ 2 sqrt 1 - ρ^ 2) ^ 2 - frac (x - μ_ 1) ^ 22 σ_ 1 ^ 2.$$-\frac{1}{2}{\left(\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\right)}^2-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}.$$

再对积分

∫_ - ∞ ^ ∞ exp {- frac 12 (ρ frac x - μ_ 1σ_ 1 sqrt 1 - ρ^ 2 - frac y - μ_ 2σ_ 2 sqrt 1 - ρ^ 2) ^ 2 } d y$${\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\right)}^2\right\}dy$$

作变换(注意把 $x$ 看作常量)

t = ρ frac x - μ_ 1σ_ 1 sqrt 1 - ρ^ 2 - frac y - μ_ 2σ_ 2 sqrt 1 - ρ^ 2,$$t=\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}-\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}},$$

则

r l p _ X (x) & = ∫_ - ∞ ^ ∞ p (x, y) d y & = frac 12 π σ_ 1 σ_ 2 sqrt 1 - ρ^ 2 exp {- frac (x - μ_ 1) ^ 22 σ_ 1 ^ 2 } σ_ 2 sqrt 1 - ρ^ 2 ∫_ - ∞ ^ ∞ exp {- frac t ^ 22 } d t.$$\begin{array}{rl}{p}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y\\ & =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\right\}{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{t^2}{2}\right\}\mathrm{d}t.\end{array}$$

意到上式中的积分恰好等于 $\sqrt{2\pi }$ ，所以有

p _ X (x) = frac 1sqrt 2 π σ_ 1 exp {- frac (x - μ_ 1) ^ 22 σ_ 1 ^ 2 }.$$p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}\exp \left\{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\right\}.$$

这正是一维正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ 的密度函数，即 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$．同理可证 $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$．由此可见 - 二维正态分布的边际分布中不含参数 $\rho$ . - 这说明二维正态分布 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,0.1)$ 与 $N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,0.2)$ 的边际分布是相同的． - 具有相同边际分布的多维联合分布可以是不同的．

3.2.4 随机变量间的独立性

在多维随机变量中，各分量的取值有时会相互影响，但有时会毫无影响．譬如一个人的身高 $X$ 和体重 $Y$ 就会相互影响，但与收入 $Z$ 一般无影响．当两个随机变量的取值互不影响时，就称它们是相互独立的．

定义 3.2.1

设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数为 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ ， $F_i(x_i)$ 为 $X_i$ 的边际分布函数。如果对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，有

F (x _ 1, x _ 2, … , x _ n) = ∏_ i = 1 ^ n F _ i (x _ i), (3.2.7)$$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.7)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立． 在离散随机变量场合，如果对其任意 $n$ 个取值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有

P (X _ 1 = x _ 1, X _ 2 = x _ 2, … , X _ n = x _ n) = ∏_ i = 1 ^ n P (X _ i = x _ i), (3.2.8)$$P(X_1=x_1,X_2=x_2,\dots ,X_n=x_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i=x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.8)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立． 在连续随机变量场合，如果对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有

p (x _ 1, x _ 2, … , x _ n) = ∏_ i = 1 ^ n p _ i (x _ i), (3.2.9)$$p(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{p}_i(x_i),\text{\hspace{1em}(3.2.9)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立． 在前面的讨论中我们知道:由联合分布可以求出边际分布，但由边际分布不一定能求出联合分布．现在如果知道了随机变量间是相互独立的，则由边际分布的乘积就可求出联合分布．

例 3.2.6

从 $(0,1)$ 中任取两个数，求下列事件的概率: (1) 两数之和小于 1.2; (2) 两数之积小于 $1/4$ .

解

分别记这两个数为 $X$ 和 $Y$，则 $X$ 和 $Y$ 都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，由于 $X$ 与 $Y$ 的取值相互没有任何影响，故 $X$ 与 $Y$ 相互独立，故其联合密度函数为

p (x, y) = p _ X (x) p _ Y (y) = { l l 1, & 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0, & text 其他. .$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

利用此联合密度函数可以计算(1)与(2)的概率，具体如下: (1) 事件 $\{X+Y<1.2\}$ 的非零区域如图 3.2.4($a$) 所示，其概率为

P (X + Y < 1. 2) = ∫_ 0 ^ 0. 2 ∫_ 0 ^ 1 d y d x + ∫_ 0. 2 ^ 1 ∫_ 0 ^ 1. 2 - x d y d x = 0.68.$$P(X+Y<1.2)={\int }_0^{0.2}{\int }_0^1\mathrm{d}y\mathrm{d}x+{\int }_{0.2}^1{\int }_0^{1.2-x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\mathrm{0.68.}$$

(2) 事件 $\{XY<1/4\}$ 的非零区域如图 3.2.4($b$) 所示，其概率为

P (X Y < 1 / 4) = ∫_ 0 ^ 1 / 4 ∫_ 0 ^ 1 d y d x + ∫_ 1 / 4 ^ 1 ∫_ 0 ^ 1 / 4 x d y d x = 0.5966.$$P(XY<1/4)={\int }_0^{1/4}{\int }_0^1\mathrm{d}y\mathrm{d}x+{\int }_{1/4}^1{\int }_0^{1/4x}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\mathrm{0.5966.}$$

(a) $\{x+y<1.2,0<x,y<1\}$

(b) $\{xy<\frac{1}{4},0<x,y<1\}$

图 3.2.4 $p(x,y)$ 的非零区域与有关事件的交集部分

这个例子告诉我们，由独立性立即用乘法获得联合密度函数，然后就可求涉及两个随机变量的一些事件的概率．

例 3.2.7

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

p (x, y) = { l l 8 x y, & 0 ≤slant x ≤slant y ≤slant 1, 0, & text 其他. .$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0⩽x⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立？

解

为判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立，只需看边际密度函数的乘积是否等于联合密度函数．为此先求边际密度函数． 当 $x<0$ 或 $x>1$ 时， $p_X(x)=0$．而当 $0⩽x⩽1$ 时，有

p _ x (x) = ∫_ x ^ 1 8 x y d y = 8 x (frac 12 - frac x ^ 22) = 4 x (1 - x ^ 2).$$p_x(x)={\int }_x^{1}8xy\mathrm{d}y=8x\left(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}\right)=4x(1-x^2).$$

因此

p _ X (x) = { l l 4 x (1 - x ^ 2), & 0 ≤slant x ≤slant 1, 0, & text 其他. .$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}4x(1-x^2),& 0⩽x⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

同样，当 $y<0$ 或 $y>1$ 时， $p_Y(y)=0$ 。而当 $0⩽y⩽1$ 时，有

p _ Y (y) = ∫_ 0 ^ y 8 x y d x = 4 y ^ 3.$$p_Y(y)={\int }_0^{y}8xy\mathrm{d}x=4y^3.$$

因此

p _ Y (y) = { l l 4 y ^ 3, & 0 ≤slant y ≤slant 1, 0, & text 其他. .$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}4y^3,& 0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由此可见： $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$ ，故 $X$ 与 $Y$ 不独立，即相依． 直观上看，联合密度函数 $p(x,y)$ 似乎可分离变量，但由于其非零区域相互交织，$X$ 的取值受 $Y$ 的取值影响 $(0⩽x⩽y)$ , $Y$ 的取值也受 $X$ 的取值的影响 $(x⩽y⩽1)$，最后导致 $p(x,y)$ 的变量不能分离，从而 $X$ 与 $Y$ 不可能相互独立．

例 3.2.8

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数 $p(x,y)$ 如下所示，判定 $X$ 与 $Y$ 的独立性．

(1) p (x, y) = { l l 6 x y ^ 2, & 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0, & text 其他; .$$(1)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x{y}^2,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$(2) p (x, y) = { l l 1 2 y ^ 2, & 0 ≤slant y ≤slant x ≤slant 1, 0, & text 其他; .$$(2)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}12y^2,& 0⩽y⩽x⩽1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$(3) p (x, y) = { l l 6 exp {- 2 x - 3 y }, & x > 0, y > 0, 0, & text 其他; .$$(3)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6\exp \{-2x-3y\},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$(4) p (x, y) = { l l x ^ 2 + x y / 3, & 0 < x < 1, 0 < y < 2, 0, & text 其他. .$$(4)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+xy/3,& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

解

（1）边际分布为

l p _ X (x) = 2 x, x ∈ D _ X = (0, 1), p _ Y (y) = 3 y ^ 2, y ∈ D _ Y = (0, 1),$$\begin{array}{l}{p}_X(x)=2x,x\in D_X=(0,1),\\ p_Y(y)=3y^2,y\in D_Y=(0,1),\end{array}$$

故有 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),(x,y)\in \{(x,y):x\in D_X,y\in D_Y\}$ ，所以 $X$ 与 $Y$ 相互独立．这种状态称为变量 $X$ 与 $Y$ 可分离，它有两方面含义，一是指 $p(x,y)=p_X(x)\cdot p_Y(y)$，二是指 $p(x,y)$ 的非零区域亦可分解为两个一维区域的乘积空间． (2) 因 $X$ 的取值与 $Y$ 的取值相互影响，故 $p(x,y)$ 不可分离，所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立． (3) 边际分布为

l p _ X (x) = 2 e ^ - 2 x, x ∈ D _ X = {x > 0 }, p _ Y (y) = 3 e ^ - 3 y, y ∈ D _ Y = {y > 0 },$$\begin{array}{l}{p}_X(x)=2{\mathrm{e}}^{-2x},x\in D_X=\{x>0\},\\ p_Y(y)=3{\mathrm{e}}^{-3y},y\in D_Y=\{y>0\},\end{array}$$

且有 $p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),(x,y)\in \{(x,y):x\in D_X,y\in D_Y\}$ ，故 $X$ 与 $Y$ 可分离，即 $X$ 与 $Y$ 相互独立． (4) 边际分布为

p _ x (x) = 2 x ^ 2 + frac 23 x, x ∈ D _ x = (0, 1),$$p_x(x)=2x^2+\frac{2}{3}x,x\in D_x=(0,1),$$p _ Y (y) = frac 13 + frac 16 y, y ∈ D _ Y = (0, 2),$$p_Y(y)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}y,y\in D_Y=(0,2),$$

由于 $p(x,y)\ne p_X(x)p_Y(y)$ ，即 $X$ 与 $Y$ 不可分离，所以 $X$ 与 $Y$ 不相互独立．

习题3.2

1. 设二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的可能取值为

(0, 0), (- 1, 1), (- 1, 2), (1, 0),$$(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0),$$

且取这些值的概率依次为 $1/6,1/3,1/12,5/12$ ，试求 $X$ 与 $Y$ 各自的边际分布列． 2. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为

F (x, y) = { l l 1 - e ^ - λ_ 1 x - e ^ - λ_ 2 y + e ^ - λ_ 1 x - λ_ 2 y - λ_ 1 2 max {x, y }, & x > 0, y > 0, 0, & text 其他. .$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}1-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x}-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{2}y}+{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x-{\lambda }_{2}y-{\lambda }_{12}\max \{x,y\}},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $X$ 和 $Y$ 各自的边际分布函数． 3. 试求以下二维均匀分布的边际分布：

p ( x , y ) = { l l frac 1π , & x ^ 2 + y ^ 2 ≤slant 1 , 0 , & text 其他. .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

4. 设平面区域 $D$ 由曲线 $y=1/x$ 及直线 $y=0,x=1,x={\mathrm{e}}^2$ 所围成，二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，试求 $X$ 的边际密度函数．
5. 求以下给出的 $(X,Y)$ 的联合密度函数的边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ : (1) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$

(2) p (x, y) = { l l frac 54 (x ^ 2 + y), & 0 < y < 1 - x ^ 2, 0, & text 其他; .$$(2)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{4}(x^2+y),& 0<y<1-x^2,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$

(3) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$ 6. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

p ( x , y ) = { l l 6, & 0 < x ^ 2 < y < x < 1 , 0, & text 其他. .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}6,& 0<x^2<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求边际密度函数 $p_x(x)$ 和 $p_y(y)$ . 7. 试验证: 以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．

p ( x , y ) = { l l x + y , & 0 ≤slant x ≤slant 1 , 0 ≤slant y ≤slant 1 , 0 , & text 其他 ; .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}x+y,& 0⩽x⩽1,0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$g (x, y) = { l l (0. 5 + x) (0. 5 + y), & 0 ≤slant x ≤slant 1, 0 ≤slant y ≤slant 1, 0, & text 其他. .$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}(0.5+x)(0.5+y),& 0⩽x⩽1,0⩽y⩽1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

8. 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且

P (X = - 1) = P (Y = - 1) = P (X = 1) = P (Y = 1) = frac 12.$$P(X=-1)=P(Y=-1)=P(X=1)=P(Y=1)=\frac{1}{2}.$$

试求 $P(X=Y)$ . 9. 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示甲和乙的命中次数，试求 $P(X⩽Y)$ . 10. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其联合分布列为

X	Y
	$y_1$	$y_2$	$y_3$
$x_1$	a	1/9	c
$x_2$	1/9	b	1/3

试求联合分布列中的 $a$, $b$, $c$. 11. 设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，$X\sim U(0,1)$ , $Y\sim Exp(1)$．试求: (1) X 与 $Y$ 的联合密度函数； (2) $P(Y⩽X)$ ; (3) $P(X+Y⩽1)$ . 12. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

p (x, y) = { l l 3 x, & 0 < y < x < 1, 0, & text 其他. .$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ; (2) X 与 $Y$ 是否独立? 13. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

p ( x, y ) = { l l 1 , & | x | < y , 0 < y < 1 , 0 , & text 其他. .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1,& \mid x\mid <y,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 边际密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ; (2) X 与 $Y$ 是否独立? 14. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数如下，试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立? (1) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}x{\mathrm{e}}^{-(x+y)},& x>0,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$ (2) $p(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)},-\infty <x,y<\infty$ (3) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}2,& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$ (4) $p(x,y)=\{\begin{array}{ll}24xy,& 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,\\ 0,& \text{其他;}\end{array}$

(5) p (x, y) = { l l 1 2 x y (1 - x), & 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0, & text 其他; .$$(5)p(x,y)=\{\begin{array}{ll}12xy(1-x),& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$$p (x, y) = { l l frac 2 14 x ^ 2 y, & x ^ 2 < y < 1, 0, & text 其他. .$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{21}{4}{x}^{2}y,& x^2<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

15. 在长为 $a$ 的线段的中点的两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于 a/3 的概率．
16. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域

D = {(x, y): a ≤slant x ≤slant b, c ≤slant y ≤slant d }$$D=\{(x,y):a⩽x⩽b,c⩽y⩽d\}$$

上的均匀分布，试证 $X$ 与 $Y$ 相互独立．