2.7 分布的其他特征数

数学期望和方差是随机变量最重要的两个特征数．此外，随机变量还有一些其他的特征数，以下逐一给出它们的定义，且解释它们的含义．

2.7.1 $k$ 阶矩

定义 2.7.1

设 $X$ 为随机变量，$k$ 为正整数．如果以下的数学期望都存在，则称

μ_ k = E (X ^ k) (2.7.1)$${\mu }_k=E(X^k)\text{\hspace{1em}(2.7.1)}$$

为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩．称

ν_ k = E (X - E (X)) ^ k (2.7.2)$${\nu }_k=E(X-E(X){)}^k\text{\hspace{1em}(2.7.2)}$$

为 $X$ 的 $k$ 阶中心矩． 显然，一阶原点矩就是数学期望，二阶中心矩就是方差．由于 $|X{|}^{k-1}⩽|X{|}^k+1$，故$k$阶矩存在时， k-1阶矩也存在，从而低于$k$的各阶矩都存在． 中心矩和原点矩之间有一个简单的关系，事实上

ν_ _ k = E (X - E (X)) ^ k = E (X - μ_ _ 1) ^ k = ∑_ i = 0 ^ k binom k i μ_ _ i (- μ_ _ 1) ^ k - i,$${\nu }_{{}_k}=E{\left(X-E(X)\right)}^k=E{\left(X-{\mu }_{{}_1}\right)}^k=\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right){\mu }_{{}_i}(-{\mu }_{{}_1}{)}^{k-i},$$

故前四阶中心矩可分别用原点矩表示如下：

l ν_ 1 = 0, ν_ 2 = μ_ 2 - μ_ 1 ^ 2, ν_ 3 = μ_ 3 - 3 μ_ 2 μ_ 1 + 2 μ_ 1 ^ 3, ν_ 4 = μ_ 4 - 4 μ_ 3 μ_ 1 + 6 μ_ 2 μ_ 1 ^ 2 - 3 μ_ 1 ^ 4.$$\begin{array}{l}{\nu }_1=0,\\ {\nu }_2={\mu }_2-{\mu }_1^2,\\ {\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^3,\\ {\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4.\end{array}$$

例 2.7.1

设随机变量 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$ ，则

μ_ k = E (X ^ k) = frac 1sqrt 2 π σ ∫_ - ∞ ^ ∞ x ^ k exp {- frac x ^ 22 σ^ 2 } d x = frac σ^ ksqrt 2 π ∫_ - ∞ ^ ∞ u ^ k exp {- frac u ^ 22 } d u.$${\mu }_k=E(X^k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^k\exp \left\{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}\right\}dx=\frac{{\sigma }^k}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{u}^k\exp \left\{-\frac{u^2}{2}\right\}du.$$

在 $k$ 为奇数时，上述被积函数是奇函数，故

μ_ k = 0, k = 1, 3, 5, … .$${\mu }_k=0,k=1,3,5,\dots .$$

在 $k$ 为偶数时，上述被积函数是偶函数，再利用变换 $z=u^2/2$ ，可得

r l μ_ k & = sqrt frac 2π σ^ k 2 ^ (k - 1) / 2 ∫_ 0 ^ ∞ z ^ (k - 1) / 2 e ^ - z d z = sqrt frac 2π σ^ k 2 ^ (k - 1) / 2 Γ (frac k + 12) & = σ^ k (k - 1) (k - 3) … 1. k = 2, 4, 6, … .$$\begin{array}{rl}{\mu }_k& =\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\sigma }^k{2}^{(k-1)/2}{\int }_0^{\infty }{z}^{(k-1)/2}{\mathrm{e}}^{-z}\mathrm{d}z=\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\sigma }^k{2}^{(k-1)/2}\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)\\ & ={\sigma }^k(k-1)(k-3)\dots 1.k=2,4,6,\dots .\end{array}$$

故 $N(0,{\sigma }^2)$ 分布的前四阶原点矩为

μ_ 1 = 0, μ_ 2 = σ^ 2, μ_ 3 = 0, μ_ 4 = 3 σ^ 4.$${\mu }_1=0,{\mu }_2={\sigma }^2,{\mu }_3=0,{\mu }_4=3{\sigma }^4.$$

又因为 $E(X)=0$ ，所以有原点矩等于中心矩，即 ${\mu }_k={\nu }_k,k=1,2,\cdots$

2.7.2 变异系数

方差(或标准差)反映了随机变量取值的波动程度，但在比较两个随机变量的波动大小时，如果仅看方差(或标准差)的大小有时会产生不合理的现象．这有两个原因:(1)随机变量的取值有量纲，不同量纲的随机变量用其方差(或标准差)去比较它们的波动大小不太合理．(2)在取值的量纲相同的情况下，取值的大小有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差(或标准差)也允许大一些． 所以要比较两个随机变量的波动大小时，在有些场合使用以下定义的变异系数来进行比较，更具可比性．

定义 2.7.2

设随机变量 $X$ 的二阶矩存在，则称比值

C _ v (X) = frac sqrt operatornameVar (X)E (X) = frac σ (X)E (X) (2.7.3)$$C_v(X)=\frac{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}{E(X)}=\frac{\sigma (X)}{E(X)}\text{\hspace{1em}(2.7.3)}$$

为 $X$ 的变异系数． 因为标准差的量纲与数学期望的量纲是一致的，所以变异系数是一个无量纲的量，从而消除量纲对波动的影响．

例 2.7.2

用 $X$ 表示某种同龄树的高度，其量纲是米($m$), 用 $Y$ 表示某年龄段儿童的身高，其量纲也是米($m$). 设 $E(X)=10$ , $\mathrm{Var}(X)=1$ , $E(Y)=1$ , $\mathrm{Var}(Y)=0.04$，是否可以从 $\mathrm{Var}(X)=1$ 和 $\mathrm{Var}(Y)=0.04$ 就认为 $Y$ 的波动小? 这就有一个取值相对大小的问题．在此用变异系数进行比较是恰当的．因为 $X$ 的变异系数为

C _ v (X) = frac σ (X)E (X) = frac 11 0 = 0. 1,$$C_v(X)=\frac{\sigma (X)}{E(X)}=\frac{1}{10}=0.1,$$

而 $Y$ 的变异系数为

C _ v (Y) = frac σ (Y)E (Y) = frac sqrt 0 . 0 41 = 0. 2,$$C_v(Y)=\frac{\sigma (Y)}{E(Y)}=\frac{\sqrt{0.04}}{1}=0.2,$$

这说明 $Y$ (儿童身高) 的波动比 $X$ (同龄树高) 的波动大．

2.7.3 分位数

定义 2.7.3

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $p(x)$．对任意 $p\in (0,1)$，称满足条件

F (x _ p) = ∫_ - ∞ ^ x _ p p (x) d x = p (2.7.4)$$F(x_p)={\int }_{-\infty }^{x_p}p(x)\mathrm{d}x=p\text{\hspace{1em}(2.7.4)}$$

的 $x_p$ 为此分布的 $p$ 分位数，又称下侧 $p$ 分位数． 很多概率统计问题最后都归结为求解满足概率不等式 $F(x)⩽p$ 的最大 $x$，其解可用分位数 $x_p$ 表示．为此人们对常用分布 (如正态分布、 $t$ 分布、 ${\chi }^2$ 分布等) 编制了各种分位数表 (见本书附表) 供实际使用． 分位数 $x_n$ 是把密度函数下的面积分为两块，左侧面积恰好为 p (见图 2.7.1($a$)). 同理我们称满足条件

1 - F (x _ p ^ prime) = ∫_ x _ p ^ prime ^ ∞ p (x) d x = p (2.7.5)$$1-F(x_p^{\prime })={\int }_{x_p^{\prime }}^{\infty }p(x)\mathrm{d}x=p\text{\hspace{1em}(2.7.5)}$$

的 $x_p^{\prime }$ 为此分布的上侧 $p$ 分位数． 上侧分位数 $x_p^{\prime }$ 也是把密度函数下的面积分为两块，但右侧面积恰好为 $p$ （见图 2.7.1($b$)).

(a) 下侧分位数

(b) 上侧分位数

图2.7.1 分位数与上侧分位数的区别

要善于区分分位数(即下侧分位数)与上侧分位数的差别，本书指定用分位数表(即下侧分位数表),而有一些书使用的是上侧分位数表，无论用什么表，书中都有说明． 分位数与上侧分位数是可以相互转换的，其转换公式如下．

x _ p ^ prime = x _ 1 - p, x _ p = x _ 1 - p ^ prime.$$x_p^{\prime }=x_{1-p},x_p=x_{1-p}^{\prime }.$$

例 2.7.3

标准正态分布 $N(0,1)$ 的 $p$ 分位数记为 $u_p$，它是方程

Φ (u _ p) = p (2.7.6)$$\Phi (u_p)=p\text{\hspace{1em}(2.7.6)}$$

的唯一解，其解为 $u_p={\Phi }^{-1}(p)$，其中 ${\Phi }^{-1}(\cdot )$ 是标准正态分布函数的反函数．利用标准正态分布函数表 (见附表 2), 我们可由 $p$ 查得 $u_p$．譬如 $u_{0.975}=1.96$．常用的标准正态分布的 $p$ 分位数并不多，现列于表 2.7.1 上．由于标准正态分布的密度函数是偶函数，故其分位数有如下性质: - 当 $p<0.5$ 时，$u_p<0$ . - 当 $p>0.5$ 时，$u_p>0$ . - 当 $p=0.5$ 时， $u_{0.5}=0$ . - 当 $p_1<p_2$ 时， $u_{p_1}<u_{p_2}$ - 对任意的 $p$ ，有 $u_p=-u_{1-p}$ ，如 $u_{0.001}=-u_{0.999}=-3.090$ . 表 2.7.1 标准正态分布 $p$ 分位数表 (部分)

$p$	0.999	0.995	0.990	0.975	0.950	0.900	0.850	0.800
$u_p$	3.090	2.576	2.326	1.960	1.645	1.282	1.037	0.842

又由定理2.5.1可知：一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 $p$ 分位数 $x_p$ 是方程

Φ (frac x _ p - μσ) = p$$\Phi \left(\frac{x_p-\mu }{\sigma }\right)=p$$

的解，所以由

frac x _ _ p - μσ = u _ _ p$$\frac{x_{{}_p}-\mu }{\sigma }=u_{{}_p}$$

可得 $x_p$ 与 $u_p$ 的关系式

x _ p = μ + σ u _ p. (2.7.7)$$x_p=\mu +\sigma u_p.\text{\hspace{1em}(2.7.7)}$$

譬如正态分布 $N(10,2^2)$ 的0.975分位数为

x _ 0. 9 7 5 = 1 0 + 2 u _ 0. 9 7 5 = 1 0 + 2 × 1. 9 6 = 1 3. 9 2.$$x_{0.975}=10+2u_{0.975}=10+2\times 1.96=\mathrm{13.92.}$$

例 2.7.4

记某种轴承的寿命为 $T$, $t_p$ 为此寿命分布的 $p$ 分位数，则 $t_{0.1}=1000h$ 表明此种轴承中约有 90% 寿命超过 1 000 h. 若记另一种轴承的寿命为 $Z$, $p$ 分位数为 $z_p$．则当 $z_{0.1}=1500h$ 时，从 0.1 的分位数上说明后者的质量比前者更高一些:

2.7.4 中位数

定义 2.7.4

设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，密度函数为 $p(x)$．称 $p=0.5$ 时的 $p$ 分位数 $x_{0.5}$ 为此分布的中位数，即 $x_{0.5}$ 满足

F (x _ 0. 5) = ∫_ - ∞ ^ x _ 0. 5 p (x) d x = 0. 5. (2.7.8)$$F(x_{0.5})={\int }_{-\infty }^{x_{0.5}}p(x)\mathrm{d}x=\mathrm{0.5.}\text{\hspace{1em}(2.7.8)}$$

中位数的位置常在分布的中部，见图 2.7.2.

图2.7.2 连续随机变量的中位数

对离散分布也可以同样引入分位数和中位数的概念，但遗憾的是:此时对给定的$p$，有可能 $x_p$ 不存在或不唯一．所以在离散分布场合很少使用分位数，在这里我们不再予以讨论． 中位数与均值一样都是随机变量位置的特征数，但在某些场合可能中位数比均值更能说明问题．譬如，某班级学生的考试成绩的中位数为80分，则表明班级中有一半同学的成绩低于80分，另一半同学的成绩高于80分．而如果考试成绩的均值是80分，则无法得出如此明确的结论． 又譬如，记 $X$ 为 $\mathbf{A}$ 国人的年龄，$Y$ 为 $\mathbf{B}$ 国人的年龄，$x_{0.5}$ 和 $y_{0.5}$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的中位数，则 $x_{0.5}=40$ 岁说明 $\mathbf{A}$ 国约有一半的人年龄小于等于 40 岁、一半的人年龄大于等于 40 岁．而 $y_{0.5}=50$ 岁则说明 $\mathbf{B}$ 国更趋于老龄化．

例 2.7.5

指数分布 $Exp(\lambda )$ 的中位数 $x_{0,5}$ 是方程

1 - e ^ - λ x _ 0. 5 = 0. 5$$1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x_{0.5}}=0.5$$

的解，解之得

x _ 0. 5 = frac ln 2λ.$$x_{0.5}=\frac{\ln 2}{\lambda }.$$

假如，某城市电话的通话时间 X (以 min 计) 服从均值 $E(X)=2(\min )$ 的指数分布，此时由 $\lambda =0.5$ 可得中位数为

x _ 0. 5 = frac ln 20 . 5 = 1. 3 9 (min).$$x_{0.5}=\frac{\ln 2}{0.5}=1.39(\min ).$$

它表明: 该城市中约有一半的电话在 1.39 min 内结束，另一半的通话时间超过 1.39 min.

例 2.7.6

设连续随机变量 $X$ 的密度函数为

p (x) = { l l 4 x ^ 3, & 0 < x < 1, 0, & text 其他. .$$p(x)=\{\begin{array}{ll}4x^3,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求此分布的 0.95 分位数 $x_{0.95}$ 和中位数 $x_{0.5}$ .

解

因为 $X$ 的分布函数为

F (x) = { l l 0, & x < 0, x ^ 4, & 0 ≤slant x < 1, 1, & 1 ≤slant x. .$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ x^4,& 0⩽x<1,\\ 1,& 1⩽x.\end{array}$$

所以由 $F(x_{0.95})=0.95$ 可得： $x_{0.95}^4=0.95$ ，由此得 $x_{0.95}=\sqrt[4]{0.95}=0.9873$．同理由 $F(x_{0.5})=0.5$ 得 $x_{0.5}^4=0.5$ ，从中解得 $x_{0.5}=\sqrt[4]{0.5}=0.8409$ .

2.7.5 偏度系数

定义 2.7.5

设随机变量 $X$ 的前三阶矩存在，则比值

β_ s = frac ν_ 3ν_ 2 ^ 3 / 2 = frac E (X - E (X)) ^ 3[ operatornameVar (X) ] ^ 3 / 2$${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{E(X-E(X){)}^3}{[\mathrm{Var}(X){]}^{3/2}}$$

称为 $X$ （或分布）的偏度系数，简称偏度．当 ${\beta }_s>0$ 时，称该分布为正偏，又称右偏；当 ${\beta }_s<0$ 时，称该分布为负偏，又称左偏． 偏度 ${\beta }_s$ 是描述分布偏离对称性程度的一个特征数，这可从以下几方面来认识． （1）当密度函数 $p(x)$ 关于数学期望对称时，即有 $p(E(X)-x)=p(E(X)+x)$ ，则其三阶中心矩 ${\nu }_3$ 必为0，从而 ${\beta }_s=0$ 。这表明关于 $E(X)$ 对称的分布其偏度为0。譬如，正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 关于 $E(X)=\mu$ 是对称的，故任意正态分布的偏度皆为0。 （2）当偏度 ${\beta }_s\ne 0$ 时，该分布为偏态分布，偏态分布常有不对称的两个尾部，重尾在右侧（变量在高值处比低值处有较大的偏离中心趋势）必导致 ${\beta }_s>0$ ，故此分布又称为右偏分布；重尾在左侧（变量在低值处比高值处有较大的偏离中心趋势）必导致 ${\beta }_s<0$ ，故又称为左偏分布，参见图 2.7.3.

图 2.7.3 两个密度函数，(a) 为左偏，(b) 为右偏

（3）偏度 ${\beta }_s$ 是以各自的标准差的三次方 $[\sigma (X){]}^3$ 为单位来度量三阶中心矩大小的，从而消去了量纲，使其更具有可比性．简单地说，分布的三阶中心矩 ${\nu }_3$ 决定偏度的符号，而分布的标准差 $\sigma (X)$ 决定偏度的大小．

例 2.7.7

讨论三个贝塔分布 $Be(2,8)$ , $Be(8,2)$ 和 $Be(5,5)$ 的偏度．

解

设随机变量 $X$ 服从贝塔分布 $Be(a,b)$，则可算得其前三阶原点矩:

E (X) = frac aa + b,$$E(X)=\frac{a}{a+b},$$E (X ^ 2) = frac a (a + 1)(a + b) (a + b + 1),$$E(X^2)=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)},$$E (X ^ 3) = frac a (a + 1) (a + 2)(a + b) (a + b + 1) (a + b + 2).$$E(X^3)=\frac{a(a+1)(a+2)}{(a+b)(a+b+1)(a+b+2)}.$$

以下为简化 ${\beta }_s$ 的计算，特用 $a+b=10,b=10-a$ 代入可算得前三阶中心矩．

E (X) = frac a1 0, operatornameVar (X) = frac a (1 0 - a)1 0 ^ 2 × 1 1, E (X - E (X)) ^ 3 = frac a (1 0 - a) (5 - a)1 0 ^ 3 × 1 1 × 3.$$E(X)=\frac{a}{10},\mathrm{Var}(X)=\frac{a(10-a)}{10^2\times 11},E(X-E(X){)}^3=\frac{a(10-a)(5-a)}{10^3\times 11\times 3}.$$

可得贝塔分布的偏度为

β_ s = frac E (X - E (X)) ^ 3[ operatornameVar (X) ] ^ 3 / 2 = frac sqrt 1 1 (5 - a)3 sqrt a (1 0 - a),$${\beta }_s=\frac{E(X-E(X){)}^3}{[\mathrm{Var}(X){]}^{3/2}}=\frac{\sqrt{11}(5-a)}{3\sqrt{a(10-a)}},$$

把 a=2,5,8 分别代入可得 $Be(2,8)$ 的 ${\beta }_s=\sqrt{11}/4=0.8292$ ，右偏（正偏）， $Be(5,5)$ 的 ${\beta }_s=0$ ，对称， $Be(8,2)$ 的 ${\beta }_s=-\sqrt{11}/4=-0.8292$ ，左偏（负偏）.

2.7.6 峰度系数

定义 2.7.6

设随机变量 $X$ 的前四阶矩存在，则

β_ k = frac ν_ 4ν_ 2 ^ 2 - 3 = frac E (X - E (X)) ^ 4[ operatornameVar (X) ] ^ 2 - 3$${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{E(X-E(X){)}^4}{[\mathrm{Var}(X){]}^2}-3$$

称为 X（或分布）的峰度系数，简称峰度． 峰度是描述分布尖峭程度和(或)尾部粗细的一个特征数，这可从以下几方面来认识． （1）正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的 ${\nu }_2={\sigma }^2,{\nu }_4=3{\sigma }^4$ ，故按上述定义，任一正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的峰度 ${\beta }_k=0$ 。可见这里谈论的“峰度”不是指一般密度函数的峰值高低，因为正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的峰值为 $(\sqrt{2\pi }\sigma {)}^{-1}$ ，它与正态分布标准差 $\sigma$ 成反比， $\sigma$ 愈小，正态分布的峰值愈高，可这里的“峰度”与 $\sigma$ 无关。 （2）假如在上述定义中，分子与分母各除以 $[\sigma (X){]}^4$ ，并记 $X$ 的标准化变量为 $X^{\ast }=\frac{X-E(X)}{\sigma (X)}$ ，则 ${\beta }_k$ 可改写成

β_ k = frac E (X ^ *) ^ 4[ E (X ^ * 2) ] ^ 2 - 3 = E (X ^ * 4) - E (U ^ 4),$${\beta }_k=\frac{E(X^{\ast }{)}^4}{[E(X^{\ast 2}){]}^2}-3=E(X^{\ast 4})-E(U^4),$$

其中 $E(X^{\ast 2})=\mathrm{Var}(X^{\ast })=1$ , $U$ 为标准正态变量，$E(U^4)=3$ . 上式表明:峰度 ${\beta }_k$ 是相对于正态分布而言的超出量，即峰度 ${\beta }_k$ 是 $X$ 的标准化变量与标准正态变量的四阶原点矩之差，并以标准正态分布为基准确定其大小． - ${\beta }_k>0$ 表示标准化后的分布比标准正态分布更尖峭和(或)尾部更粗(见图 2.7.4($b$ 表示标准化后的分布比标准正态分布更平坦和(或)尾部更细(见图 2.7.4) (${\beta }_k<0$ 表示标准化后的分布比标准正态分布更平坦和(或)尾部更细(见图2.7.4) ($a$), 图中方形的曲线是均匀分布). - ${\beta }_k=0$ 表示标准化后的分布与标准正态分布的尖峭程度与尾部粗细相当．

图2.7.4 两个密度函数与标准正态分布密度函数的比较

它们的均值相等、方差相等、偏度皆为0(对称分布)，而峰度有很大差别 （3）偏度与峰度都是描述分布形状的特征数，它们的设置都是以正态分布为基准，正态分布的偏度与峰度皆为0。在实际中一个分布的偏度与峰度皆为0或近似为0时，常认为该分布为正态分布或近似为正态分布。 （4）表2.7.2上列出了几种常见分布的偏度与峰度，其中伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的偏度与峰度只与 $\alpha$ 有关，而与 $\lambda$ 无关，故 $\alpha$ 常称为形状参数，而 $\lambda$ 不能称为形状参数。均匀分布 $U(a,b)$ 与指数分布 $Exp(\lambda )$ 的偏度与峰度都与其所含参数无关，故均匀分布 $U(a,b)$ 中的参数 $a$ 与 $b$ 、指数分布中的参数 $\lambda$ 均不能称为形状参数。进一步的研究会发现，贝塔分布 $Be(a,b)$ 的偏度与峰度与其参数 $a$ 与 $b$ 都有关，它们都可以称为形状参数。 表 2.7.2 几种常见分布的偏度与峰度

分布	均值	方差	偏度	峰度
均匀分布 $U(a,b)$	$(a+b)/2$	$(b-a{)}^2/12$	0	-1.2
正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mu$	${\sigma }^2$	0	0
指数分布 $Exp(\lambda )$	$1/\lambda$	$1/{\lambda }^2$	2	6
伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$	$\alpha /\lambda$	$\alpha /{\lambda }^2$	$2/\sqrt{\alpha }$	$6/\alpha$

例 2.7.8

计算伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的偏度与峰度．

解

首先计算伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的 $k$ 阶原点矩：

μ_ k = E (X ^ k) = α (α + 1) … (α + k - 1) / λ^ k.$${\mu }_k=E\left(X^k\right)=\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)/{\lambda }^k.$$

当 $k=1,2,3,4$ 时可得前四阶原点矩

l μ_ 1 = α / λ , μ_ 2 = α (α + 1) / λ^ 2, μ_ 3 = α (α + 1) (α + 2) / λ^ 3, μ_ 4 = α (α + 1) (α + 2) (α + 3) / λ^ 4.$$\begin{array}{l}{\mu }_1=\alpha /\lambda ,\\ {\mu }_2=\alpha (\alpha +1)/{\lambda }^2,\\ {\mu }_3=\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)/{\lambda }^3,\\ {\mu }_4=\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)/{\lambda }^4.\end{array}$$

由此可得 2、3、4 阶中心矩

l ν_ 2 = μ_ 2 - μ_ 1 ^ 2 = α / λ^ 2, ν_ 3 = μ_ 3 - 3 μ_ 2 μ_ 1 + 2 μ_ 1 ^ 2 = 2 α / λ^ 3,$$\begin{array}{l}{\nu }_2={\mu }_2-{\mu }_1^2=\alpha /{\lambda }^2,\\ {\nu }_3={\mu }_3-3{\mu }_2{\mu }_1+2{\mu }_1^2=2\alpha /{\lambda }^3,\end{array}$$ν_ 4 = μ_ 4 - 4 μ_ 3 μ_ 1 + 6 μ_ 2 μ_ 1 ^ 2 - 3 μ_ 1 ^ 4 = 3 α (α + 2) / λ^ 4.$${\nu }_4={\mu }_4-4{\mu }_3{\mu }_1+6{\mu }_2{\mu }_1^2-3{\mu }_1^4=3\alpha (\alpha +2)/{\lambda }^4.$$

最后可得伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的偏度与峰度

β_ s = frac ν_ 3ν_ 2 ^ 3 / 2 = frac 2sqrt α,$${\beta }_s=\frac{{\nu }_3}{{\nu }_2^{3/2}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha }},$$β_ k = frac ν_ 4ν_ 2 ^ 2 - 3 = frac 6α.$${\beta }_k=\frac{{\nu }_4}{{\nu }_2^2}-3=\frac{6}{\alpha }.$$

可见，伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ 的偏度与 $\sqrt{\alpha }$ 成反比．峰度与 $\alpha$ 成反比．只要 $\alpha$ 较大，可使 ${\beta }_s$ 与 ${\beta }_k$ 接近于 0,从而伽马分布也愈来愈近似正态分布．

习题2.7

1. 设随机变量 $X\sim U(a,b)$，对 $k=1,2,3,4$，求 ${\mu }_k=E(X^k)$ 与 ${\nu }_k=E(X-E(X){)}^k$．进一步求此分布的偏度系数和峰度系数．
2. 设随机变量 $X\sim U(0,a)$，求此分布的变异系数．
3. 求以下分布的中位数： (1) 区间 $(a,b)$ 上的均匀分布； (2) 正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ; (3) 对数正态分布 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$ .
4. 设随机变量 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$，对 $k=1,2,3$，求 ${\mu }_k=E(X^k)$ 与 ${\nu }_k=E(X-E(X){)}^k$ .
5. 设随机变量 $X\sim Exp(\lambda )$，对 $k=1,2,3,4$，求 ${\mu }_k=E(X^k)$ 与 ${\nu }_k=E(X-E(X){)}^k$．进一步求此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数．
6. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(10,9)$ ，试求 $x_{0.1}$ 和 $x_{0.9}$ .
7. 设随机变量 $X$ 服从双参数韦布尔分布，其分布函数为

F (x) = 1 - exp {- (frac xη) ^ m }, x > 0,$$F(x)=1-\exp \left\{-{\left(\frac{x}{\eta }\right)}^m\right\},x>0,$$

其中 $\eta >0,m>0$．试写出该分布的 $p$ 分位数 $x_p$ 的表达式，且求出当 $m=1.5,\eta =1000$ 时的 $x_{0.1},x_{0.5},x_{0.8}$ 的值． 8. 自由度为 2 的 ${\chi }^2$ 分布的密度函数为

p (x) = frac 12 e ^ - frac x2, x > 0.$$p(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}},x>0.$$

试求出其分布函数及分位数 $x_{0.1},x_{0.5},x_{0.8}$ . 9. 设随机变量 $X$ 的分布密度函数 $p(x)$ 关于直线 $x=c$ 是对称的，且 $E(X)$ 存在，试证： (1) 这个对称点 $c$ 既是均值又是中位数，即 $E(X)=x_{0.5}=c$ ; (2) 如果 c=0，则 $x_p=-x_{1-p}$ . 10. 试证随机变量 $X$ 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，即对任意的实数 $a$ , $b(b\ne 0)$ , $Y=a+bX$ 与 $X$ 有相同的偏度系数与峰度系数． 11. 设某项维修时间 T (单位: 分) 服从对数正态分布 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$ . (1) 求 $p$ 分位数 $t_p$ ; (2) 若 $\mu =4.1271$ ，求该分布的中位数； (3) 若 $\mu =4.1271,\sigma =1.0364$ ，求完成 95% 维修任务的时间． 12. 某种绝缘材料的使用寿命 T (单位: 小时) 服从对数正态分布 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$．若已知分位数 $t_{0.2}=$ 5 000 小时，$t_{0.8}=65000$ 小时，求 $\mu$ 和 $\sigma$ . 13. 某厂决定按过去生产状况对月生产额最高的 $5\%$ 的工人发放高产奖．已知过去每人每月生产额 $X$ (单位: 千克) 服从正态分布 $N(4000,60^2)$，试问高产奖发放标准应把生产额定为多少?