2.6 随机变量函数的分布

设 $y=g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的一个函数，$X$ 是一个随机变量，那么 $Y=g(X)$ 作为 $X$ 的函数，同样也是一个随机变量．在实际问题中，我们经常感兴趣的问题是: 已知随机变量 $X$ 的分布，如何求出另一个随机变量 $Y=g(X)$ 的分布． 寻求随机变量函数的分布，是概率论的基本技巧，在概率论与数理统计中经常要用到这些技巧．下面对离散和连续两种场合分别讨论随机变量函数的分布．

2.6.1 离散随机变量函数的分布

离散随机变量函数的分布是比较容易求得的．设 $X$ 是离散随机变量，$X$ 的分布列为

X	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$	…
P	$p(x_1)$	$p(x_2)$	…	$p(x_n)$	…

显然 $Y=g(X)$ 也是一个离散随机变量，此时 $Y$ 的分布列就可以很简单地表示为

c c c c c c Y & g (x _ 1) & g (x _ 2) & … & g (x _ n) & … hline P & p (x _ 1) & p (x _ 2) & … & p (x _ n) & …$$\begin{array}{cccccc}Y& g(x_1)& g(x_2)& \dots & g(x_n)& \dots \\ P& p(x_1)& p(x_2)& \dots & p(x_n)& \dots \end{array}$$

当 $g(x_1),g(x_2),\cdots ,g(x_n),\cdots$ 中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可．

例 2.6.1

已知随机变量 $X$ 的分布列如下，求 $Y=X^2+X$ 的分布列．

X	-2	-1	0	1	2
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

解

$Y=X^2+X$ 的分布列为

Y	2	0	0	2	6
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

再对相等的值合并，得

Y	0	2	6
P	0.2	0.5	0.3

2.6.2 连续随机变量函数的分布

离散随机变量的函数仍是一个离散随机变量．但连续随机变量 $X$ 的函数 $Y=g(X)$ 不一定为连续随机变量，以下我们分几种情况讨论 $Y=g(X)$ 的分布．

一、当 $Y=g(X)$ 为离散随机变量

在这种情况下，只须将 $Y$ 的可能取值一一列出，再将 $Y$ 取各种可能值的概率求出即可．例如，设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ,

Y = { l l 0, & X < μ , 1, & X ≥slant μ . .$$Y=\{\begin{array}{ll}0,& X<\mu ,\\ 1,& X⩾\mu .\end{array}$$

则很容易计算得: $Y$ 服从 p=0.5 的 0-1 分布．

二、当 $g(x)$ 为严格单调函数时

在这种情况下有以下定理：

定理 2.6.1

设 $X$ 是连续随机变量，其密度函数为 $p_X(x)$ . $Y=g(X)$ 是另一个连续随机变量．若 $y=g(x)$ 严格单调，其反函数 $h(y)$ 有连续导函数，则 $Y=g(X)$ 的密度函数为

p _ _ Y (y) = { l l p _ _ X [ h (y) ] | h ^ prime (y) |, & a < y < b, 0, & text 其他. . (2.6.1)$$p_{{}_Y}(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_{{}_X}[h(y)]|h^{\prime }(y)|,& a<y<b,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6.1)}$$

其中 $a=\min \{g(-\infty ),g(\infty )\},b=\max \{g(-\infty ),g(\infty )\}$ .

证明

不妨设 $g(x)$ 是严格单调增函数，这时它的反函数 $h(y)$ 也是严格单调增函数，且 $h^{\prime }(y)>0$．记 $a=g(-\infty ),b=g(\infty )$，这意味着 $y=g(x)$ 仅在区间 $(a,b)$ 取值，于是 当 $y<a$ 时，

F _ _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = 0;$$F_{{}_Y}(y)=P(Y⩽y)=0;$$

当 $y>b$ 时，

F _ _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = 1;$$F_{{}_Y}(y)=P(Y⩽y)=1;$$

当 $a⩽y⩽b$ 时，

F _ _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = P (g (X) ≤slant y) = P (X ≤slant h (y)) = ∫_ - ∞ ^ h (y) p _ _ X (x) d x.$$F_{{}_Y}(y)=P(Y⩽y)=P(g(X)⩽y)=P(X⩽h(y))={\int }_{-\infty }^{h(y)}{p}_{{}_X}(x)\mathrm{d}x.$$

由此得 $Y$ 的密度函数为

p _ Y (y) = { l l p _ X [ h (y) ] h ^ prime (y), & a < y < b, 0, & text 其他. .$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{p}_X[h(y)]h^{\prime }(y),& a<y<b,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

同理可证当 $g(x)$ 是严格单调减函数时，结论也成立．但此时要注意 $h^{\prime }(y)<0$ ，故要加绝对值符号，这时 $a=g(\infty ),b=g(-\infty )$．综上所述，定理得证． 利用以上定理，我们来证明几个很有用的结论，并用定理形式表示．

定理 2.6.2

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则当 $a\ne 0$ 时，有 $Y=aX+b\sim N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$ .

证明

当 $a>0$ 时，$Y=aX+b$ 是严格增函数，仍在 $(-\infty ,\infty )$ 上取值，其反函数为 $X=(Y-b)/a$，由定理2.6.1可得

r l p _ Y (y) & = p _ X (frac y - ba) frac 1a = frac 1sqrt 2 π σ exp {- frac 12 σ^ 2 (frac y - ba - μ) ^ 2 } frac 1a & = frac 1sqrt 2 π (a σ) exp {- frac (y - a μ - b) ^ 22 a ^ 2 σ^ 2 }.$$\begin{array}{rl}{p}_Y(y)& =p_X\left(\frac{y-b}{a}\right)\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\left(\frac{y-b}{a}-\mu \right)}^2\right\}\frac{1}{a}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }(a\sigma )}\exp \left\{-\frac{(y-a\mu -b{)}^2}{2a^2{\sigma }^2}\right\}.\end{array}$$

这就是正态分布 $N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$ 的密度函数． 当 $a<0$ 时，$Y=aX+b$ 是严格减函数，仍在 $(-\infty ,\infty )$ 上取值，其反函数为 $X=(Y-b)/a$，由定理2.6.1可得

p _ Y (y) = frac 1sqrt 2 π | a | σ exp {- frac (y - a μ - b) ^ 22 a ^ 2 σ^ 2 }.$$p_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }|a|\sigma }\exp \left\{-\frac{(y-a\mu -b{)}^2}{2a^2{\sigma }^2}\right\}.$$

这是正态分布 $N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$ 的密度函数，结论得证． 这个定理表明: 正态变量的线性变换仍为正态变量，其数学期望和方差可直接从线性变换求得．若取 $a=1/\sigma ,b=-\mu /\sigma$，则 $Y=aX+b\sim N(0,1)$，此即上一节的定理2.5.1.

例 2.6.2 1

设随机变量 $X\sim N(10,2^2)$ ，试求 $Y=3X+5$ 的分布； (2) 设随机变量 $X\sim N(0,2^2)$ ，试求 Y = -X 的分布．

解

（1）由定理2.6.2知 $Y$ 仍是正态变量，其数学期望和方差分别为

E (Y) = E (3 X + 5) = 3 × 1 0 + 5 = 3 5,$$E(Y)=E(3X+5)=3\times 10+5=35,$$operatornameVar (Y) = operatornameVar (3 X + 5) = 9 × 2 ^ 2 = 3 6.$$\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(3X+5)=9\times 2^2=36.$$

所以 $Y=3X+5$ 的分布为 $N(35,6^2)$ . (2) $Y$ 仍是正态变量，其数学期望和方差分别为

E (Y) = E (- X) = 0,$$E(Y)=E(-X)=0,$$operatornameVar (Y) = operatornameVar (- X) = 2 ^ 2.$$\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(-X)=2^2.$$

所以 $Y=-X$ 的分布仍为 $N(0,2^2)$．这表明 $X$ 与 $-X$ 有相同的分布，但这两个随机变量是不相等的．所以我们要明确，分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念．

定理 2.6.3 对数正态分布

设随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $Y=e^X$ 的概率密度函数为

p _ Y (y) = { l l frac 1sqrt 2 π y σ exp {- frac (ln y - μ) ^ 22 σ^ 2 }, & y > 0, 0, & y ≤slant 0. . (2.6.2)$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }y\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left(\ln y-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},& y>0,\\ 0,& y⩽0.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6.2)}$$

证明

$y={\mathrm{e}}^x$ 是严格增函数，它仅在 $(0,\infty )$ 上取值，其反函数为 $x=\ln y$，由定理2.6.1可得 当 $y⩽0$ 时， $F_y(y)=0$ ，从而 $p_y(y)=0$ . 当 y>0 时，$Y$ 的密度函数为

p _ Y (y) = frac 1sqrt 2 π σ exp {- frac (ln y - μ) ^ 22 σ^ 2 } frac 1y = frac 1sqrt 2 π y σ exp {- frac (ln y - μ) ^ 22 σ^ 2 }.$$p_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left(\ln y-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }y\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left(\ln y-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}.$$

定理得证． 这个分布被称为对数正态分布，记为 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$，其中 $\mu$ 称为对数均值，${\sigma }^2$ 称为对数方差．对数正态分布 $LN(\mu ,{\sigma }^2)$ 是一个偏态分布，也是一个常用分布，实际中有不少随机变量服从对数正态分布，譬如 - 绝缘材料的寿命服从对数正态分布． - 设备故障的维修时间服从对数正态分布． - 家中仅有两个小孩的年龄差服从对数正态分布．

定理 2.6.4

设随机变量 $X$ 服从伽马分布 $Ga(\alpha ,\lambda )$ ，则当 k > 0 时，有 $Y=kX\sim Ga(\alpha ,\lambda /k)$ .

证明

因为 $k>0$ ，所以 $y=kx$ 是严格增函数，它仍在 $(0,\infty )$ 上取值，其反函数为 $x=y/k$ ，由定理2.6.1可得 当 y<0 时， $p_y(y)=0$ . 当 $y⩾0$ 时，

p _ Y (y) = p _ X (frac yk) frac 1k = frac λ^ αk Γ (α) (frac yk) ^ α - 1 exp {- λ frac yk } = frac (λ / k) ^ αΓ (α) y ^ α - 1 exp {- frac λk y }.$$p_Y(y)=p_X\left(\frac{y}{k}\right)\frac{1}{k}=\frac{{\lambda }^{\alpha }}{k\Gamma (\alpha )}{\left(\frac{y}{k}\right)}^{\alpha -1}\exp \left\{-\lambda \frac{y}{k}\right\}=\frac{(\lambda /k{)}^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{y}^{\alpha -1}\exp \left\{-\frac{\lambda }{k}y\right\}.$$

此即 $Ga(\alpha ,\lambda /k)$ 的密度函数，结论得证． 这个结论是很有用的，譬如当 $X\sim Ga(\alpha ,\lambda )$，则 $2\lambda X\sim Ga(\alpha ,1/2)={\chi }^2(2\alpha )$，即任一伽玛分布可转化为 ${\chi }^2$ 分布．

定理 2.6.5

若随机变量 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 为严格单调增的连续函数，其反函数 $F_X^{-1}(y)$ 存在，则 $Y=F_X(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布 $U(0,1)$ .

证明

下求 $Y=F_x(X)$ 的分布函数．由于分布函数 $F_x(x)$ 仅在 $[0,1]$ 区间上取值，故当 $y<0$ 时，因为 $\{F_x(X)⩽y\}$ 是不可能事件，所以

F _ _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = P (F _ _ X (X) ≤slant y) = 0.$$F_{{}_Y}(y)=P(Y⩽y)=P(F_{{}_X}(X)⩽y)=0.$$

当 $0⩽y<1$ 时，有

F _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = P (F _ X (X) ≤slant y) = P (X ≤slant F _ X ^ - 1 (y)) = F _ X (F _ X ^ - 1 (y)) = y.$$F_Y(y)=P(Y⩽y)=P(F_X(X)⩽y)=P(X⩽F_X^{-1}(y))=F_X(F_X^{-1}(y))=y.$$

当 $y⩾1$ 时，因为 $\{F_x(X)⩽y\}$ 是必然事件，所以

F _ _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = P (F _ _ X (X) ≤slant y) = 1.$$F_{{}_Y}(y)=P(Y⩽y)=P(F_{{}_X}(X)⩽y)=1.$$

综上所述，$Y=F_x(X)$ 的分布函数为

F _ y (y) = { l l 0, & y < 0, y, & 0 ≤slant y < 1, 1, & y ≥slant 1. .$$F_y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ y,& 0⩽y<1,\\ 1,& y⩾1.\end{array}$$

这正是(0,1)上均匀分布的分布函数，所以 $Y\sim U(0,1)$ . 这个定理表明:均匀分布在连续分布类中占有特殊地位．任一个连续随机变量 $X$ 都可通过其分布函数 $F(x)$ 与均匀分布随机变量 $U$ 发生关系．譬如 $X$ 服从指数分布 $Exp(\lambda )$ ，其分布函数为 $F(x)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}$ ，当 $x$ 换为 $X$ 后，有

U = 1 - e ^ - λ X text 或 X = frac 1λ ln frac 11 - U.$$U=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda X}\text{或}X=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{1}{1-U}.$$

后一式表明:由均匀分布 $U(0,1)$ 的随机数(伪观察值) $u_i$ 可得指数分布 $Exp(\lambda )$ 的随机数 $x_i=\frac{1}{\lambda }\ln \frac{1}{1-u_i},i=1,2,\cdots ,n,\cdots$．而均匀分布随机数在任一个统计软件中都可产生，从而指数分布(继而其他分布)随机数也可获得．而各种分布随机数的获得是进行随机模拟法(又称蒙特卡罗法)的基础．

三、当 $g(x)$ 为其他形式时

当使用定理2.6.1寻求连续随机变量 $Y=g(X)$ 的分布有困难时，可直接由 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P(g(X)⩽y)$ 出发，按函数 $g(x)$ 的特点作个案处理，具体见下面例子．

例 2.6.3

设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，试求 $Y=X^2$ 的分布．

解

先求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$．由于 $Y=X^2⩾0$，故当 $y⩽0$ 时，有 $F_Y(y)=0$，从而 $p_Y(y)=0$．当 $y>0$ 时，有

F _ Y (y) = P (Y ≤slant y) = P (X ^ 2 ≤slant y) = P (- sqrt y ≤slant X ≤slant sqrt y) = 2 Φ (sqrt y) - 1.$$F_Y(y)=P(Y⩽y)=P(X^2⩽y)=P(-\sqrt{y}⩽X⩽\sqrt{y})=2\Phi (\sqrt{y})-1.$$

因此 $Y$ 的分布函数为

F _ Y (y) = { l l 2 Φ (sqrt y) - 1, & y > 0, 0, & y ≤slant 0. .$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2\Phi (\sqrt{y})-1,& y>0,\\ 0,& y⩽0.\end{array}$$

再用求导的方法求出 $Y$ 的密度函数

p _ Y (y) = { l l φ (sqrt y) y ^ - frac 12, & y > 0, 0, & y ≤slant 0 . = { l l frac 1sqrt 2 π y ^ - frac 12 e ^ - frac y2, & y > 0, 0, & y ≤slant 0. .$$p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\phi (\sqrt{y})y^{-\frac{1}{2}},& y>0,\\ 0,& y⩽0\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}},& y>0,\\ 0,& y⩽0.\end{array}$$

对照 ${\chi }^2$ 分布的密度函数，可以看出 $Y\sim {\chi }^2(1)$ .

例 2.6.4

设随机变量 $X$ 的密度函数为

p _ X (x) = { l l frac 2 xπ^ 2, & 0 < x < π , 0, & text 其他. .$$p_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x}{{\pi }^2},& 0<x<\pi ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $Y=\sin X$ 的密度函数 $p_y(y)$

解

由于随机变量 $X$ 在 $(0,\pi )$ 内取值，所以 $Y=\sin X$ 的可能取值区间为 $(0,1]$．在 $Y$ 的可能取值区间外， $p_Y(y)=0$ . 当 $0<y⩽1$ 时，使 $\{Y⩽y\}$ 的 $x$ 取值范围为两个互不相交的区间，见图 2.6.1.

图2.6.1 $y=\sin x$ 的图形

Δ_ 1 (y) = [ 0, x _ 1 ] = [ 0, arcsin y ],$${\Delta }_1(y)=[0,x_1]=[0,\arcsin y],$$Δ_ 2 (y) = [ x _ 2, π ] = [ π - arcsin y, π ].$${\Delta }_2(y)=[x_2,\pi ]=[\pi -\arcsin y,\pi ].$$

于是

r l {Y ≤slant y } & = {X ∈ Δ_ 1 (y) } ∪ {X ∈ Δ_ 2 (y) } & = {0 ≤slant X ≤slant arcsin y } ∪ {π - arcsin y ≤slant X ≤slant π },$$\begin{array}{rl}\{Y⩽y\}& =\{X\in {\Delta }_1(y)\}\cup \{X\in {\Delta }_2(y)\}\\ & =\{0⩽X⩽\arcsin y\}\cup \{\pi -\arcsin y⩽X⩽\pi \},\end{array}$$

故

r l F _ Y (y) & = P (Y ≤slant y) = ∫_ 0 ^ arcsin y p _ X (x) d x + ∫_ π - arcsin y ^ π p _ X (x) d x & = ∫_ 0 ^ arcsin y frac 2 xπ^ 2 d x + ∫_ π - arcsin y ^ π frac 2 xπ^ 2 d x,$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(Y⩽y)={\int }_0^{\arcsin y}{p}_X(x)\mathrm{d}x+{\int }_{\pi -\arcsin y}^{\pi }{p}_X(x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\arcsin y}\frac{2x}{{\pi }^2}\mathrm{d}x+{\int }_{\pi -\arcsin y}^{\pi }\frac{2x}{{\pi }^2}\mathrm{d}x,\end{array}$$

在上式两端对 $y$ 求导，得

p _ Y (y) = frac 2 arcsin yπ^ 2 sqrt 1 - y ^ 2 + frac 2 (π - arcsin y)π^ 2 sqrt 1 - y ^ 2 = frac 2π sqrt 1 - y ^ 2, 0 < y ≤slant 1.$$p_Y(y)=\frac{2\arcsin y}{{\pi }^2\sqrt{1-y^2}}+\frac{2(\pi -\arcsin y)}{{\pi }^2\sqrt{1-y^2}}=\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}},0<y⩽1.$$

习题2.6

1. 已知离散随机变量 $X$ 的分布列为

   X	-2	-1	0	1	3
   P	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{11}{30}$

   试求 $Y=X^2$ 与 $Z=|X|$ 的分布列．
2. 已知随机变量 $X$ 的密度函数为

p (x) = frac 2π · frac 1e ^ x + e ^ - x, - ∞ < x < ∞ .$$p(x)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{1}{e^x+e^{-x}},-\infty <x<\infty .$$

试求随机变量 $Y=g(X)$ 的概率分布，其中

g (x) = { l l - 1, & text 当 x < 0, 1, & text 当 x ≥slant 0. .$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{当}x<0,\\ 1,& \text{当}x⩾0.\end{array}$$

3. 设随机变量 $X$ 服从 $(-1,2)$ 上的均匀分布，记

Y = { l l 1, & X ≥slant 0, - 1, & X < 0. .$$Y=\{\begin{array}{ll}1,& X⩾0,\\ -1,& X<0.\end{array}$$

试求 $Y$ 的分布列． 4. 设随机变量 $X\sim U(0,1)$，试求 $1-X$ 的分布． 5. 设随机变量 $X$ 服从 $(-\pi /2,\pi /2)$ 上的均匀分布，求随机变量 $Y=\cos X$ 的密度函数 $p(y)$ . 6. 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布，求圆的面积的密度函数． 7. 设随机变量 $X$ 服从区间 $(1,2)$ 上的均匀分布，试求 $Y=e^{2X}$ 的密度函数． 8. 设随机变量 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布． (1) 求 $Y=X^2$ 的密度函数；(2) 求 $P(Y<2)$ . 9. 设随机变量 $X$ 服从区间 $(-1,1)$ 上的均匀分布，求： (1) $P\left(|X|>\frac{1}{2}\right)$ ; (2) $Y=|X|$ 的密度函数． 10. 设随机变量 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，试求以下 $Y$ 的密度函数: (1) $Y=-2\ln X;$ (2) $Y=3X+1;$ (3) $Y={\mathrm{e}}^X$ ; (4) $Y=|\ln X|$ . 11. 设随机变量 $X$ 的密度函数为

p _ x (x) = { l l frac 32 x ^ 2, & - 1 < x < 1, 0, & text 其他. .$$p_x(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{2}{x}^2,& -1<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求下列随机变量的分布： (1) $Y_1=3X$ ; (2) $Y_2=3-X$ ; (3) $Y_3=X^2$ . 12. 设随机变量 $X\sim N(0,{\sigma }^2)$，求 $Y=X^2$ 的分布． 13. 设随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，求 $Y=e^X$ 的数学期望与方差． 14. 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，试求以下 $Y$ 的密度函数: (1) $Y=|X|$ ; (2) $Y=2X^2+1$ . 15. 设随机变量 $X$ 的密度函数为

p ( x ) = { l l e ^ - x , & text 若 x > 0 , 0 , & text 若 x ≤slant 0. .$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& \text{若}x>0,\\ 0,& \text{若}x⩽0.\end{array}$$

试求以下 $Y$ 的密度函数： (1) $Y=2X+1$ ; (2) $Y=e^X$ ; (3) $Y=X^2$ . 16. 设随机变量 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，试证 $Y_1={\mathrm{e}}^{-2X}$ 和 $Y_2=1-{\mathrm{e}}^{-2X}$ 都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布． 17. 设随机变量 $X\sim LN(\mu ,{\sigma }^2)$，试证: $Y=\ln X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ . 18. 设随机变量 $Y\sim LN(5,0.12^2)$，试求 $P(Y<188.7)$ .