2.2 随机变量的数学期望 · 《概率论与数理统计教程（第三版）》

我们已经知道，每个随机变量都有一个分布(分布列、密度函数或分布函数),不同的随机变量可能拥有不同的分布，也可能拥有相同的分布．分布全面地描述了随机变量取值的统计规律性，由分布可以算出有关随机事件的概率．除此以外由分布还可以算得相应随机变量的均值、方差、分位数等特征数．这些特征数各从一个侧面描述了分布的特征．譬如，初生婴儿的体重是一个随机变量，其平均值就从一个侧面描述了体重的特征．已知随机变量的分布，如何求其均值，是本节需要研究的问题．本节将介绍随机变量最重要的特征数:数学期望．

2.2.1 数学期望的概念

“期望”在我们日常生活中常指心中期盼的愿望，而在概率论中，数学期望源于历史上一个著名的分赌本问题．

例 2.2.1 分赌本问题

17 世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡(Pascal,1623—1662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技不相上下，各出赌注50法郎，每局中无平局．他们约定，谁先赢三局，则得全部赌本100法郎．当甲赢了二局、乙赢了一局时，因故(国王召见)要中止赌博．现问这100法郎如何分才算公平? 这个问题引起了不少人的兴趣．首先大家都认识到:平均分对甲不公平，全部归甲对乙不公平．合理的分法是，按一定的比例，甲多分些，乙少分些．所以问题的焦点在于:按怎样的比例来分?以下有两种分法: （1）甲得 100 法郎中的 2/3, 乙得 100 法郎中的 1/3. 这是基于已赌局数: 甲赢了二局、乙赢了一局． (2) 1654 年帕斯卡提出如下的分法: 设想再赌下去，则甲最终所得 $X$ 为一个随机变量，其可能取值为 0 或 100. 再赌两局必可结束，其结果不外乎以下四种情况之一:

\mathrm{甲甲、甲乙、乙甲、乙乙}

其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜．在这四种情况中有三种可使甲获100法郎，只有一种情况(乙乙)下甲获0法郎．因为赌技不相上下，所以甲获得100法郎的可能性为3/4,获得0法郎的可能性为1/4,即 $X$ 的分布列为

X	0	100
P	0.25	0.75

经上述分析，帕斯卡认为，甲的“期望”所得应为:

0\times0.25+100\times0.75=75

(法郎).即甲得75法郎，乙得25法郎．这种分法不仅考虑了已赌局数，而且还包括了对再赌下去的一种“期望”,它比(1)的分法更为合理．这就是数学期望这个名称的由来，其实这个名称称为“均值”更形象易懂．对上例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢75法郎．现在我们来逐步分析如何由分布来求“均值”. （1）算术平均如果有

n

个数

x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}

，那么求这

n

个数的算术平均是很简单的事，只需将此

n

个数相加后除

n

即可．（2）加权平均如果这

n

个数中有相同的，不妨设其中有

n_{i}

个取值为

x_{i}, i=1, 2, \cdots, k

．将其列表为

取值	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{k}$
频数	$n_{1}$	$n_{2}$	…	$n_{k}$
频率	$n_{1}/n$	$n_{2}/n$	…	$n_{k}/n$

则其“均值”应为

\frac {1}{n} \sum_ {i = 1} ^ {k} n _ {i} x _ {i} = \sum_ {i = 1} ^ {k} \frac {n _ {i}}{n} x _ {i}.

其实这个加权平均的“权数” $\frac{n_{i}}{n}$ 就是出现数值 $x_{i}$ 的频率，而频率在 $n$ 很大时，就稳定在其概率附近．（3）对于一个离散随机变量 $X$ ，如果其可能取值为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ．若将这 $n$ 个数相加后除 $n$ 作为“均值”，则肯定是不妥的．其原因在于 $X$ 取各个值的概率一般是不同的，概率大的出现的机会就大，则在计算中其权也应该大．而上例分配赌本问题启示我们：用取值的概率作为一种“权数”作加权平均是十分合理的．经以上分析，我们就可以给出数学期望的定义．

2.2.2 数学期望的定义

定义 2.2.1

设离散随机变量 $X$ 的分布列为

p \left(x _ {i}\right) = P \left(X = x _ {i}\right), i = 1, 2, \dots , n, \dots .

如果

\sum_ {i = 1} ^ {\infty} \mid x _ {i} \mid p (x _ {i}) < \infty ,

则称

E (X) = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} x _ {i} p (x _ {i})\tag{2.2.1}

为随机变量 $X$ 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．若级数 $\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|p(x_i)$ 不收敛，则称 $X$ 的数学期望不存在．以上定义中，要求级数绝对收敛的目的在于使数学期望唯一．因为随机变量的取值可正可负，取值次序可先可后，由无穷级数的理论知道，如果此无穷级数绝对收敛，则可保证其和不受次序变动的影响．由于有限项的和不受次序变动的影响，故取有限个可能值的随机变量的数学期望总是存在的．连续随机变量数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量场合，只要将求和改为求积分即可．

定义 2.2.2

设连续随机变量 $X$ 的密度函数为 $p(x)$ ．如果

\int_ {- \infty} ^ {\infty} | x | p (x) \mathrm{d} x < \infty ,

则称

E (X) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} x p (x) \mathrm{d} x\tag{2.2.2}

为 $X$ 的数学期望，或称为该分布 $p(x)$ 的数学期望，简称期望或均值．若 $\int_{-\infty}^{\infty}|x|p(x)\mathrm{d}x$ 不收敛，则称 $X$ 的数学期望不存在．数学期望 $E(X)$ 的物理解释是重心．若把概率 $p(x_{i}) = P(X = x_{i})$ 看作点 $x_{i}$ 上的质量，概率分布看作质量在 $x$ 轴上的分布，则 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 就是该质量分布的重心所在位置，详见图 2.2.1.

图 2.2.1 概率质量模型: 同时抛五颗骰子， 6 点出现个数 X 的数学期望 $E(X) = 5/6$ 就是重心所在的位置

数学期望的理论意义是深刻的，它是消除随机性的主要手段，这在本书以后各章中会清楚地看出．数学期望在实际中应用广泛， $E(X)$ 常作为 $X$ 的分布的代表(一种统计指标)参与同类指标的比较．如一盘磁带上的缺陷数有多有少，有随机性，不好比较，但多盘磁带上的平均缺陷数(期望值)可以比较，其越少越好．下面的实际例子将告诉人们数学期望应用的广泛性．

例 2.2.2

在一个人数为 $N$ 的人群中普查某种疾病，为此要抽验 $N$ 个人的血．如果将每个人的血分别检验，则共需检验 $N$ 次．为了能减少工作量，一位统计学家提出一种方法:按 $k$ 个人一组进行分组，把同组 $k$ 个人的血样混合后检验，如果混合血样呈阴性反应，就说明这 $k$ 个人的血都呈阴性反应，这 $k$ 个人都无此疾病，因而这 $k$ 个人只要检验 1 次就够了，相当于每个人检验 1/k 次，检验的工作量明显减少了．如果混合血样呈阳性反应，就说明这 $k$ 个人中至少有一人的血呈阳性反应，则再对这 $k$ 个人的血样分别进行检验，因而这 $k$ 个人的血要检验 1+k 次，相当于每个人检验 1+1/k 次，这时增加了检验次数．假设该疾病的发病率为 $p$ ，且得此疾病相互独立．试问此种方法能否减少平均检验次数?

解

令 $X$ 为该人群中每个人需要的验血次数，则 $X$ 的分布列为

X	1/k	1+1/k
P	$(1-p)^k$	$1-(1-p)^k$

所以每人平均验血次数为

E (X) = \frac {1}{k} (1 - p) ^ {k} + \left(1 + \frac {1}{k}\right) [ 1 - (1 - p) ^ {k} ] = 1 - (1 - p) ^ {k} + \frac {1}{k}.

由此可知，只要选择 $k$ 使

1 - ( 1 - p ) ^ {k} + \frac {1}{k} < 1 \quad \text {或} \quad ( 1 - p ) ^ {k} > \frac {1}{k},

就可减少验血次数，而且还可适当选择 $k$ 使 $E(X)$ 达到最小．譬如，当 $p = 0.1$ 时，对不同的 $k,E(X)$ 的值如表2.2.1所示．从表中可以看出:当 $k\geqslant 34$ 时，平均验血次数超过1,即比分别检验的工作量还大;而当 $k\leqslant 33$ 时，平均验血次数在不同程度上得到了减少，特别在 $k = 4$ 时，平均验血次数最少，验血工作量可减少 $40\%$ . 表 2.2.1 $p = {0.1}$ 时的 $E\left( X\right)$ 值

k	2	3	4	5	8	10	30	33	34
E(X)	0.690	0.604	0.594	0.610	0.695	0.751	0.991	0.999 4	1.001 6

我们也可以对不同的发病率

p

计算出最佳的分组人数

k_0

，见下表2.2.2.从表中也可以看出：发病率

p

越小，则分组检验的效益越大。譬如在

p = 0.01

时，若取11人为一组进行验血，则验血工作量可减少

80\%

左右。这正是美国二战期间大量征兵时，对新兵验血所采用的减少工作量的措施。表 2.2.2 不同发病率

p

时的最佳分组人数

k_{0}

及其

E(X)

$p$	0.14	0.10	0.08	0.06	0.04	0.02	0.01
$k_0$	3	4	4	5	6	8	11
$E(X)$	0.697	0.594	0.534	0.466	0.384	0.274	0.196

例 2.2.3

每张福利彩票售价 5 元，各有一个兑奖号．每售出 100 万张设一个开奖组，用摇奖器当众摇出一个 6 位数的中奖号码 (可以认为从 000 000 到 999 999 的每个数都等可能出现), 兑奖规则如下: (1) 兑奖号与中奖号码的最后一位相同者获六等奖，奖金 10 元．
(2) 兑奖号与中奖号码的最后二位相同者获五等奖，奖金 50 元． (3) 兑奖号与中奖号码的最后三位相同者获四等奖，奖金 500 元．
(4) 兑奖号与中奖号码的最后四位相同者获三等奖，奖金 5000 元．
(5) 兑奖号与中奖号码的最后五位相同者获二等奖，奖金 50 000 元．
（6）兑奖号与中奖号码全部相同者获一等奖，奖金500 000元．另外规定，只领取其中最高额的奖金．试求每张彩票的平均所得奖金额

解

以 $X$ 记一张彩票的奖金额，则 $X$ 的分布列如下:

X	500 000	50 000	5 000	500	50	10	0
P	0.000 001	0.000 009	0.000 09	0.000 9	0.009	0.09	0.9

所以每张彩票的平均所得为

E (X) = 0. 5 + 0. 4 5 + 0. 4 5 + 0. 4 5 + 0. 4 5 + 0. 9 + 0 = 3. 2.

这也意味:每一开奖组把筹得的500万元中的320万元以奖金形式返回给彩民，其余180万元则可用于福利事业及管理费用．从这个例子也可以看出，彩票中奖与否是随机的，但一种彩票的平均所得是可以预先算出的，计算平均所得是设计一种彩票的基础．在我国，彩票发行由民政部门管理，只有当收益主要用于公益事业才被允许发行彩票．发行任一种彩票事先都要进行周密设计．

例 2.2.4

设 $X$ 服从区间 $(a, b)$ 上的均匀分布，求 $E(X)$ .

解

由例2.1.7知 $X$ 的密度函数为

p (x) = \left\{ \begin{array}{c l} { \frac {1}{b - a},} & {a < x < b,} \\ {0,} & {\text {其他}.} \end{array} \right.

所以

E (X) = \int_ {a} ^ {b} x \cdot \frac {1}{b - a} \mathrm{d} x = \frac {1}{b - a} \cdot \frac {x ^ {2}}{2} \Bigg | _ {a} ^ {b} = \frac {a + b}{2}.

这个结果是可以理解的，因为 $X$ 在区间 $(a, b)$ 上的取值是均匀的，所以它的平均取值当然应该是 $(a, b)$ 的“中点”, 即 $(a + b)/2$ .

例 2.2.5

柯西分布的数学期望不存在．因为柯西分布的密度函数为

p (x) = \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + x ^ {2}}, - \infty < x < \infty .

所以由

\int_ {- \infty} ^ {\infty} | x | \cdot \frac {1}{\pi} \frac {1}{1 + x ^ {2}} \mathrm{d} x = \infty ,

知 $E(X)$ 不存在．

2.2.3 数学期望的性质

按照随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 的定义， $E(X)$ 由其分布唯一确定．若要求随机变量 $X$ 的一个函数 $g(X)$ (仍是随机变量) 的数学期望，当然要先求出 $Y = g(X)$ 的分布，再用此分布来求 $E(Y)$ ．这一过程可用下面例子说明．

例 2.2.6

已知随机变量 $X$ 的分布列如下:

X	-2	-1	0	1	2
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

要求

Y=X^{2}

的数学期望，为此要分两步进行: 第一步，先求

Y=X^{2}

的分布，这可从

X

的分布导出，即

$X^{2}$	$(-2)^{2}$	$(-1)^{2}$	$0^{2}$	$1^{2}$	$2^{2}$
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

然后对相等的值进行合并，并把对应的概率相加，可得

$X^{2}$	0	1	4
P	0.1	0.4	0.5

第二步，利用

X^{2}

的分布求

E(X^{2})

，即得

E (X ^ {2}) = 0 \times 0. 1 + 1 \times 0. 4 + 4 \times 0. 5 = 2. 4.

假如我们用等值合并前的分布求 $E(X^2)$ ，可得相同的结果

E \left(X ^ {2}\right) = (- 2) ^ {2} \times 0. 2 + (- 1) ^ {2} \times 0. 1 + 0 ^ {2} \times 0. 1 + 1 ^ {2} \times 0. 3 + 2 ^ {2} \times 0. 3 = 2. 4.

这两种算法本质上是一回事，但后者的计算实质上是在 $X$ 的分布 $(-2,-1,0,1,2)$ 基础上、而将取值改为 $((-2)^{2},(-1)^{2},0^{2},1^{2},2^{2})$ 计算出来的．由此启发我们:若进一步要求 $E(X^{3})$ 和 $E(X^{4})$ ，我们不需要先求 $X^{3}$ 的分布和 $X^{4}$ 的分布，而直接用 $X$ 的分布来求，具体如下:

E \left(X ^ {3}\right) = (- 2) ^ {3} \times 0. 2 + (- 1) ^ {3} \times 0. 1 + 0 ^ {3} \times 0. 1 + 1 ^ {3} \times 0. 3 + 2 ^ {3} \times 0. 3 = 1.

E (X ^ {4}) = (- 2) ^ {4} \times 0. 2 + (- 1) ^ {4} \times 0. 1 + 0 ^ {4} \times 0. 1 + 1 ^ {4} \times 0. 3 + 2 ^ {4} \times 0. 3 = 8. 4.

一般场合，有如下定理．

定理 2.2.1

若随机变量 $X$ 的分布用分布列 $p(x_{i})$ 或用密度函数 $p(x)$ 表示，则 $X$ 的某一函数 $g(X)$ 的数学期望为

E \left[ g (X) \right] = \left\{ \begin{array}{l l} { \sum_ {i} g (x _ {i}) p (x _ {i}),} & {\text {在离散场合},} \\ { \int_ {- \infty} ^ {\infty} g (x) p (x) \mathrm{d} x,} & {\text {在连续场合}.} \end{array} \right.\tag{2.2.3}

这里所涉及的数学期望都假定存在．这个定理的证明涉及更多的工具，在此省略了．现基于这个定理来证明数学期望的几个常用性质，以下均假定所涉及的数学期望是存在的．

性质 2.2.1

若 $c$ 是常数，则 $E(c) = c$ .

证明

如果将常数 $c$ 看作仅取一个值的随机变量 $X$ ，则有 $P(X = c) = 1$ ，从而其数学期望 $E(c) = E(X) = c \times 1 = c$ .

性质 2.2.2

对任意常数 $a$ ，有

E (a X) = a E (X).\tag{2.2.4}

证明

在(2.2.3)式中令 $g(x) = ax$ ，然后把 $a$ 从求和号或积分号中提出来即得．

性质 2.2.3

对任意的两个函数 $g_{1}(x)$ 和 $g_{2}(x)$ ，有

E \left[ g _ {1} (X) \pm g _ {2} (X) \right] = E \left[ g _ {1} (X) \right] \pm E \left[ g _ {2} (X) \right].\tag{2.2.5}

证明

在(2.2.3)式中令 $g(x) = g_{1}(x) \pm g_{2}(x)$ ，然后把和式分解成两个和式，或把积分分解成两个积分即得．

例 2.2.7

某公司经销某种原料，根据历史资料表明:这种原料的市场需求量 X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布．每售出 1 吨该原料，公司可获利 1.5(千元);若积压 1 吨，则公司损失 0.5(千元).问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大?

解

设公司组织该货源 $a$ 吨．则显然应该有 $300 \leqslant a \leqslant 500$ ．又记 $Y$ 为在 $a$ 吨货源的条件下的收益额 (单位: 千元), 则收益额 $Y$ 为需求量 $X$ 的函数，即 $Y = g(X)$ ．由题设条件知: 当 $X \geqslant a$ 时，则此 $a$ 吨货源全部售出，共获利 1.5a. 当 $X < a$ 时，则售出 $X$ 吨 (获利 1.5X), 且还有 $a - X$ 吨积压 (获利 $-0.5(a - X)$ ), 所以共获利 $1.5X - 0.5(a - X)$ ，由此知

g (X) = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 5 a, & \text {若} X \geqslant a, \\ 1. 5 X - 0. 5 (a - X), & \text {若} X < a \end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l l} 1. 5 a, & \text {若} X \geqslant a, \\ 2 X - 0. 5 a, & \text {若} X < a. \end{array} \right.

由定理2.2.1和均匀分布可得

E (Y) = \int_ {- \infty} ^ {\infty} g (x) p _ {X} (x) \mathrm{d} x = \int_ {3 0 0} ^ {5 0 0} g (x) \frac {1}{2 0 0} \mathrm{d} x

\begin{array}{l} { = \frac {1}{2 0 0} \Big (\int_ {a} ^ {5 0 0} 1. 5 a \mathrm{d} x + \int_ {3 0 0} ^ {a} (2 x - 0. 5 a) \mathrm{d} x \Big)} \\ { = \frac {1}{2 0 0} (- a ^ {2} + 9 0 0 a - 3 0 0 ^ {2}).} \end{array}

上述计算表明 $E(Y)$ 是 $a$ 的二次函数，用通常求极值的方法可以求得: 当 a = 450 吨时，能使 $E(Y)$ 达到最大，即公司应该组织货源 450 吨．

习题2.2

设离散型随机变量 $X$ 的分布列为
X -2 0 2
P 0.4 0.3 0.3
试求 $E(X)$ 和 $E(3X + 5)$ .
某商店根据历年销售资料得知:一位顾客在商店中消费的金额 X(百元) 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.10 0.33 0.31 0.13 0.09 0.04
试求顾客在商店的平均消费金额．
某地区一个月内发生重大交通事故数 $X$ 服从如下分布：
X 0 1 2 3 4 5 6
P 0.301 0.362 0.216 0.087 0.026 0.006 0.002
试求该地区发生重大交通事故的月平均数．
一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了．若从中随机抽取8桶，记 $X$ 为8桶中被污染的桶数，试求 $X$ 的分布列，并求 $E(X)$ .
用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(单位: $g$ ):(甲)1,2,2,5,10;(乙)1,2,3,4,10;(丙)1,1,2,5,10,称重时只能使用一组砝码．问:若物品的质量为 $1\mathrm{g}, 2\mathrm{g}, \cdots, 10\mathrm{g}$ 的概率是相同的，用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?
假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品．装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只; 如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望．
对一批产品进行检查，如查到第 $a$ 件全为合格品，就认为这批产品合格; 若在前 $a$ 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格．设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是 $p$ ．问每批产品平均要查多少件?
某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题，他可以自行决定回答这两个问题的顺序。如果他先回答问题 $i (i = 1,2)$ ，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题。如果他有 $60\%$ 的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有 $80\%$ 的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励。问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大？
某人想用 10 000 元投资于某股票，该股票当前的价格是 2 元/股，假设一年后该股票等可能地为 1 元/股和 4 元/股．而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买;若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买．试问理财顾问的建议是否正确？为什么？
保险公司的某险种规定: 如果某个事件 $A$ 在一年内发生了，则保险公司应付给投保户金额 $a$ 元，而事件 $A$ 在一年内发生的概率为 $p$ ．如果保险公司向投保户收取的保费为 ka, 则问 $k$ 为多少，才能使保险公司期望收益达到 $a$ 的 10%?
某厂推土机发生故障后的维修时间 $T$ 是一个随机变量(单位: $h$ )，其密度函数为

p (t) = \left\{ \begin{array}{l l} 0. 0 2 e ^ {- 0. 0 2 t}, & t > 0, \\ 0, & t \leqslant 0, \end{array} \right.

试求平均维修时间． 12. 某新产品在未来市场上的占有率 $X$ 是在区间 $(0,1)$ 上取值的随机变量，它的密度函数为

p \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l l} {4 \left( 1 - x \right) ^ {3},} & {0 < x < 1 ,} \\ {0 ,} & {\text {其他} ,} \end{array} \right.

试求平均市场占有率． 13. 设随机变量 $X$ 的密度函数如下，试求 $E(2X + 5)$ .

p (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \mathrm{e} ^ {- x}, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0. \end{array} \right.

设随机变量 $X$ 的分布函数如下，试求 $E(X)$ .

F (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\mathrm{e} ^ {x}}{2}, & x < 0, \\ \frac {1}{2}, & 0 \leqslant x < 1, \\ 1 - \frac {1}{2} \mathrm{e} ^ {- \frac {1}{2} (x - 1)}, & x \geqslant 1. \end{array} \right.

设随机变量 $X$ 的密度函数为

p \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l l} a + b x ^ {2} , & 0 \leqslant x \leqslant 1 , \\ 0 , & \text {其他} , \end{array} \right.

如果 $E(X) = \frac{2}{3}$ ，求 $a$ 和 $b$ . 16. 某工程队完成某项工程的时间 $X$ (单位: 月) 是一个随机变量，它的分布列为

X	10	11	12	13
P	0.4	0.3	0.2	0.1

(1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数； (2) 设该工程队所获利润为

Y=50(13-X)

，单位为万元，试求工程队的平均利润； (3) 若该工程队调整安排，完成该项工程的时间

X_{1}

(单位: 月) 的分布为

$X_1$	10	11	12
P	0.5	0.4	0.1

则其平均利润可增加多少？ 17. 设随机变量

X

的概率密度函数为

p \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l l} { \frac {1}{2} \mathrm{cos} \frac {x}{2} ,} & {0 \leqslant x \leqslant \pi ,} \\ {0 ,} & {\text {其他} ,} \end{array} \right.

对 $X$ 独立重复观察4次， $Y$ 表示观察值大于 $\pi / 3$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望． 18. 设随机变量 $X$ 的密度函数为

p \left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l l} { \frac {3}{8} x ^ {2} ,} & {0 < x < 2 ,} \\ {0 ,} & {\text {其他} ,} \end{array} \right.

试求 $\frac{1}{X^{2}}$ 的数学期望． 19. 设 $X$ 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明: (1) $E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X \geqslant k)$ ; (2) $\sum_{k=0}^{\infty} kP(X > k) = \frac{1}{2}(E(X^2) - E(X))$ . 20. 设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，且数学期望存在，证明：

E (X) = \int_ {0} ^ {\infty} [ 1 - F (x) ] \mathrm{d} x - \int_ {- \infty} ^ {0} F (x) \mathrm{d} x.

设 $X$ 为非负连续随机变量，若 $E(X^n)$ 存在，试证明: (1) $E(X) = \int_{0}^{\infty}P(X > x)\mathrm{d}x;$ (2) $E(X^n) = \int_0^\infty nx^{n - 1}P(X > x)\mathrm{d}x.$

X	0	1	2	3	4	5
P	0.10	0.33	0.31	0.13	0.09	0.04

X	0	1	2	3	4	5	6
P	0.301	0.362	0.216	0.087	0.026	0.006	0.002