第1章习题参考答案 · 《概率论与数理统计教程（第三版）》

习题参考答案

习题1.1 答案

(1) $\Omega = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}$ ，其中 0 表示反面， 1 表示正面．

(2) $\Omega=\left\{(x,y,z)\mid x,y,z=1,2,3,4,5,6\right\}$ .

(3) $\Omega=\left\{(1),(0,1),(0,0,1),(0,0,0,1),\cdots\right\}$

(4) $\Omega=\{BB,BW,BR,WB,WW,WR,RB,RW,RR\}$ ，其中 $B$ 表示黑球， $W$ 表示白球， $R$ 表示红球．

(5) $\Omega=\{BW,BR,WB,WR,RB,RW\}$ ，其中 $B$ 表示黑球， $W$ 表示白球， $R$ 表示红球．

$\Omega=\{Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,FF,FZ\}$ .
(1) $ABC \cup \overline{A}\overline{B}\overline{C}$ ; (2) $\overline{A}\overline{B}\overline{C} \cup A\overline{B}\overline{C} \cup \overline{A}B\overline{C} \cup \overline{A}\overline{B}C$ ; (3) $\overline{ABC} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$ ;

(4) $AB \cup AC \cup BC$ .

(1) $A \supset B$ ; (2) $B \supset A$ ; (3) $AB = \varnothing$ .
(1) $\bar{A} B = \{x \mid 0.25 \leqslant x \leqslant 0.5\} \cup \{x \mid 1 < x < 1.5\}$ ;

(2) $\bar{A} \cup B = \Omega = \{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 2\}$ ;

(3) $\overline{AB} = \overline{A} = \{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 0.5\} \cup \{1 < x \leqslant 2\}$ ;

(4) $\overline{A \cup B} = \bar{B} = \{x \mid 0 \leqslant x < 0.25\} \cup \{x \mid 1.5 \leqslant x \leqslant 2\}$ .

$A = \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ $B = \{(1,1,1)\} ,$ $C = \{(0,0,0)\} ,$ $D = \emptyset .$
成立的为(2)，不成立的为(1)(3)(4). 8. 不一定．

9.（1） $\bar{A}=$ “掷两枚硬币，至少有一反面”；（2） $\bar{B}=$ “射击三次，至少一次不命中目标”；

(3) $\bar{C}=$ “加工四个零件，全部为不合格品”.

10—11. 略．

习题 1.2

略 2. $\frac{7}{8}$ . 3. $\frac{1}{2}$ . 4. (1) $\frac{5}{36}$ ; (2) $\frac{15}{36}$ ; (3) $\frac{11}{36}$ . 5. $p = \frac{19}{36}$ , $q = \frac{1}{18}$ .
(1) 0.0026; (2) 0.0106; (3) 0.1055; (4) 0.1104. 7. $\frac{7}{12}, \frac{7}{18}, \frac{1}{36}$ .
(1) $\frac{8}{15}$ ; (2) $\frac{7}{15}$ . 9. $\frac{19}{40}$ . 10. $\frac{\mathrm{C}_{k-1}^{1}\mathrm{C}_{n-k}^{1}}{\mathrm{C}_{n}^{2}}$ 11. (1) $\frac{1}{21}$ ; (2) $\frac{2}{105}$ .
(1) $\frac{5^3}{6^3}$ ; (2) $\frac{5^3 - 4^3}{6^3}$ . 13. $\frac{1}{30}$ . 14. $\frac{2}{n - 1}$ . 15. 略． 16. $\frac{8}{15}$ . 17. $\frac{n + 1}{C_{2n}^n}$ .
$\frac{X}{P}$ $\frac{0}{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{\frac{8}{15}}$ $\frac{2}{\frac{2}{15}}$ 19. $\frac{\mathrm{C}_{n + 1}^{m}}{\mathrm{C}_{n + m}^{m}}.$
$\frac{X}{P}$ $\frac{1}{\frac{3}{8}}$ $\frac{2}{\frac{9}{16}}$ $\frac{3}{\frac{1}{16}}$ 21.0.212.
(1) $\frac{\binom{N + n - k - 2}{n - k}}{\binom{N + n - 1}{n}}, \quad 0 \leqslant k \leqslant n;$ (2) $\frac{\binom{N}{m}\binom{n - 1}{N - m - 1}}{\binom{N + n - 1}{n}}, \quad N - n \leqslant m \leqslant N - 1;$

(3) $\frac{\binom{m+j-1}{m-1}\binom{N-m+n-j-1}{n-j}}{\binom{N+n-1}{n}},\quad 1\leqslant m\leqslant N,0\leqslant j\leqslant n.$

0.82. 24. 0.879. 25. $\frac{a + b + c}{d\pi}$ . 26. 0.866. 27. $\frac{2}{3}$ . 28. 0.596 6. 29—30. 略．

习题 1.3

(1) 0.8; (2) 0; (3) 0.3. 2. (4)(6) 是正确的． 3. $\frac{1}{9}$ .
(1) $\frac{7}{15}$ ; (2) $\frac{14}{15}$ ; (3) $\frac{7}{30}$ . 5. (1) $0.05$ ; (2) $0.25$ ; (3) $0.40$ ; (4) $0.60$ .
$\frac{10}{13}$ . 7. $p_1 = 0.5177$ , $p_2 = 0.4914$ . 8. $1 - \frac{8^n + 5^n - 4^n}{9^n}$ .
$1 - \frac{(n - 1)^{k - 1}}{n^k}$ 10.略． 11.0.5. 12.（1） $\frac{1}{25}$ （2） $\frac{12}{25}$ 13.0.6181.
$1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n!}.$
(1) $P(AB) = P(A)$ 时， $P(AB)$ 达到最大值0.6; (2) $P(A \cup B) = 1$ 时， $P(AB)$ 达到最小值0.4. 16. 1-p. 17. 0.7. 18—23. 略．

习题 1.4

(1) 0.25; (2) 0.4. 2. $\frac{12}{19}$ . 3. $P(A|B) = \frac{1}{15}$ , $P(B|A) = \frac{1}{3}$ . 4. $\frac{5}{8}$ .
0.125. 6. $\frac{n - m - 1}{n + m - 1}$ . 7. $P(B|A) = \frac{13}{30}$ , $P(A|B) = \frac{13}{15}$ . 8. $\frac{3}{4}$ .
0.25. 10. $\frac{7}{12}$ . 11. (1) $\frac{1}{n+1}$ ; (2) $\frac{1}{n(n+1)}$ . 12. $\frac{4}{5}$ .
(1) $\frac{a(n + 1) + bn}{(a + b)(n + m + 1)}$ ; (2) $\frac{a(a - 1)(n + 2) + 2ab(n + 1) + b(b - 1)n}{(a + b)(a + b - 1)(n + m + 2)}$ . 14. $\frac{a}{a + b}$ .
0.51. 16. (1) 0.96; (2) 0.5. 17. (1) 0.5; (2) 0.5068.
(1) 0.8; (2) 0.5. 19. 0.954 4. 20. $\frac{2}{3}$ . 21. $\frac{1}{(2n-1)!!}$ .
$\frac{1}{m}\left[1-\left(\frac{-1}{m-1}\right)^{n-2}\right], n=2,3,\cdots.$ 23. $\frac{1}{2}\left[1+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right], n=2,3,\cdots.$
$\frac{1}{2}\left[1+\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right], n=1,2,\cdots.$ 25. $\frac{1}{2}\left[1+(2p-1)^{n-1}\right], n=2,3,\cdots.$

26—33. 略．

习题 1.5

$\frac{3}{5}$ . 2. (1) 0.72; (2) 0.98; (3) 0.26. 3. 0.851.
(1) 0.552; (2) 0.012; (3) 0.328.
(1) 0.003; (2) 0.388; (3) 0.059. 6. (1) $\frac{26}{27}$ ; (2) $\frac{2}{9}$ ; (3) $\frac{7}{27}$ .
1. 1. (1) 0.5; (2) $\frac{5}{6}$ ; (3) 0.9. 9. (1) 0.5; (2) 0.25.
$P(A) = P(B) = 0.5$ . 11. $\frac{3}{4}$ . 12. 13门． 13. 4. 14. $\frac{2}{3}$ . 15. 5. 16. 0.75.
(1) 0.3324; (2) 149位． 18. (1) 0.0507; (2) 0.0341.
五局三胜制对甲更有利．
甲得冠军的概率 $\frac{5}{14}$ ，乙得冠军的概率 $\frac{5}{14}$ ，丙得冠军的概率 $\frac{2}{7}$ .

21.（1）甲得全部赌本的 $\frac{1}{2}$ ，乙得全部赌本的 $\frac{1}{2}$ ；（2）甲得全部赌本的 $\frac{11}{16}$ ，乙得全部赌本的 $\frac{5}{16}$ ；

（3）记 $a = \mathrm{C}_{n + m - 1}^{0} + \mathrm{C}_{n + m - 1}^{1} + \dots +\mathrm{C}_{n + m - 1}^{m - 1},b = \mathrm{C}_{n + m - 1}^{m} + \mathrm{C}_{n + m - 1}^{m + 1} + \dots +\mathrm{C}_{n + m - 1}^{n + m - 1}$ ，则甲得全部赌本的 $\frac{a}{2^{n + m - 1}}$ ，乙得全部赌

本的 $\frac{b}{2^{n + m - 1}}$

0.668 2. 23—25. 略．