1.5 独立性 · 《概率论与数理统计教程（第三版）》

独立性是概率论中又一个重要概念，利用独立性可以简化概率的计算．下面先讨论两个事件之间的独立性，然后讨论多个事件之间的相互独立性，最后讨论试验之间的独立性．

1.5.1 两个事件的独立性

两个事件之间的独立性是指:一个事件的发生不影响另一个事件的发生．这在实际问题中是很多的，譬如在掷两颗骰子的试验中，记事件 $A$ 为“第一颗骰子的点数为1”,记事件 $B$ 为“第二颗骰子的点数为4”.则显然 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的．另外，从概率的角度看，事件 $A$ 的条件概率 $P(A \mid B)$ 与无条件概率 $P(A)$ 的差别在于:事件 $B$ 的发生改变了事件 $A$ 发生的概率，也即事件 $B$ 对事件 $A$ 有某种“影响”.如果事件 $A$ 与 $B$ 的发生是相互不影响的，则有 $P(A \mid B) = P(A)$ 和 $P(B \mid A) = P(B)$ ，它们都等价于

P (A B) = P (A) P (B).\tag{1.5.1}

另外对 $P(B) = 0$ ，或 $P(A) = 0$ ，(1.5.1)式仍然成立．为此，我们用(1.5.1)式作为两个事件相互独立的定义．

定义 1.5.1

如果(1.5.1)式成立，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，简称 $A$ 与 $B$ 独立．否则称 $A$ 与 $B$ 不独立或相依．在许多实际问题中，两个事件相互独立大多是根据经验(相互有无影响)来判断的，如上述掷两颗骰子问题中 $A$ 与 $B$ 的独立性．但在有些问题中，有时也用(1.5.1)式来判断两个事件间的独立性．

例 1.5.1

事件独立的例子（1）从一副52张的扑克牌中任取1张，以 $A$ 记事件“取到黑桃”，以 $B$ 记事件“取到 $J$ ”.则因为 $P(A) = 1 / 4, P(B) = 4 / 52 = 1 / 13$ ，而 $AB$ 表示“取到黑桃 $J$ ”，故 $P(AB) = 1 / 52$ ，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立． (2) 考虑有三个小孩的家庭，并设所有 8 种情况

b b b, \quad b b g, \quad b g b, \quad g b b, \quad b g g, \quad g b g, \quad g g b, \quad g g g

是等可能的，其中 $b$ 表示男孩， $g$ 表示女孩．以 $A$ 记事件“家中男女孩都有”, 以 $B$ 记事件“家中至多一个女孩”. 则因为 $P(A) = 6 / 8$ , $P(B) = 4 / 8$ ，而 $AB$ 表示“家中恰有一个女孩”, 故 $P(AB) = 3 / 8$ ，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立． (3) 当考察的家庭有两个小孩时，样本空间只含 4 个样本点，它们是

b b, \quad b g, \quad g b, \quad g g.

若事件 $A, B$ 仍如 (2) 所设，则 $P(A) = 2/4$ , $P(B) = 3/4$ ，而 $P(AB) = 2/4$ ，由于 $P(AB) \neq P(A)P(B)$ ，所以 $A$ 与 $B$ 不独立．

性质 1.5.1

若事件 $A$ 与 $B$ 独立，则 $A$ 与 $\overline{B}$ 独立， $\overline{A}$ 与 $B$ 独立， $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 独立．

证明

由概率的性质知

P (A \overline {{B}}) = P (A) - P (A B).

又由 $A$ 与 $B$ 的独立性知

P (A B) = P (A) P (B),

所以

P (A \overline {{B}}) = P (A) - P (A) P (B) = P (A) [ 1 - P (B) ] = P (A) P (\overline {{B}}),

这表明 $A$ 与 $\overline{B}$ 独立．类似可证 $\overline{A}$ 与 $B$ 独立， $\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 独立．对于性质1.5.1 的直观理解也是容易的: 因为 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $A$ 的发生不影响 $B$ 的发生，那么 $A$ 的发生也不会影响 $B$ 的不发生， $A$ 的不发生也不会影响 $B$ 的发生， $A$ 的不发生也不会影响 $B$ 的不发生．

1.5.2 多个事件的相互独立性

首先研究三个事件的相互独立性，对此我们先给出以下的定义

定义 1.5.2

设 $A$ , $B$ , $C$ 是三个事件，如果有

\left\{ \begin{array}{l} P (A B) = P (A) P (B), \\ P (A C) = P (A) P (C), \\ P (B C) = P (B) P (C), \end{array} \right.\tag{1.5.2}

则称 $A$ , $B$ , $C$ 两两独立．若还有

P (A B C) = P (A) P (B) P (C),\tag{1.5.3}

则称 $A$ , $B$ , $C$ 相互独立．

有例子可以证明由(1.5.2)式推不出(1.5.3)式，同样有例子可以证明由(1.5.3)式推不出(1.5.2)式．由此我们可以定义三个以上事件的相互独立性．

定义 1.5.3

设有 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ ，对任意的 $1 \leqslant i < j < k < \cdots \leqslant n$ ，如果以下等式均成立

\left\{ \begin{array}{l} P (A _ {i} A _ {j}) = P (A _ {i}) P (A _ {j}), \\ P (A _ {i} A _ {j} A _ {k}) = P (A _ {i}) P (A _ {j}) P (A _ {k}), \\ \dots \dots \\ P (A _ {1} A _ {2} \dots A _ {n}) = P (A _ {1}) P (A _ {2}) \dots P (A _ {n}), \end{array} \right.\tag{1.5.4}

则称此 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 相互独立．从上述定义可以看出， $n$ 个相互独立的事件中的任意一部分内仍是相互独立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的．与性质1.5.1类似，可以证明:将相互独立事件中的任一部分换为对立事件，所得的诸事件仍为相互独立的．

例 1.5.2

设 $A$ , $B$ , $C$ 三事件相互独立，试证 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立．

证明

因为

\begin{array}{r l} P ((A \cup B) C) & = P (A C \cup B C) = P (A C) + P (B C) - P (A B C) \\ & = P (A) P (C) + P (B) P (C) - P (A) P (B) P (C) \\ & = (P (A) + P (B) - P (A) P (B)) P (C) = P (A \cup B) P (C), \end{array}

所以 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立．仿照此题的证明，可很容易推得:AB与 $C$ 独立， A-B与 $C$ 独立．

若 $A$ , $B$ , $C$ 间只有两两独立，则不能证明 $A \cup B$ 与 $C$ 独立，也不能证明 AB 与 $C$ 独立， A-B 与 $C$ 独立．

例 1.5.3

两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率是多少?

解

记 $A$ 为事件“甲射中目标”， $B$ 为事件“乙射中目标”。注意到事件“目标被击中”=A∪B，故

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A) P (B) = 0. 9 + 0. 8 - 0. 9 \times 0. 8 = 0. 9 8.

此题也可用对立事件公式求解，具体是

\begin{array}{r l} P (A \cup B) & = 1 - P (\overline {{A \cup B}}) = 1 - P (\overline {{A}} \overline {{B}}) \\ & = 1 - P (\overline {{A}}) P (\overline {{B}}) = 1 - (1 - 0. 9) (1 - 0. 8) \\ & = 1 - 0. 1 \times 0. 2 = 0. 9 8. \end{array}

例 1.5.4

某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3,0.2,0.1;第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3,0.2.试问: (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些? (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时，情况又如何?

解

以 $A_{i}$ 记事件“用第 $i$ 种工艺加工得到合格品”， $i = 1,2$ . (1) 由于各道工序可看作是独立工作的，所以

P (A _ {1}) = 0. 7 \times 0. 8 \times 0. 9 = 0. 5 0 4,

P (A _ {2}) = 0. 7 \times 0. 8 = 0. 5 6,

即第二种工艺得到合格品的概率较大些．这个结果也是可以理解的，因为第二种工艺前两道工序出现不合格品的概率与第一种工艺相同，但少了一道工序，所以减少了出现不合格品的机会． (2) 当第二种工艺的两道工序出现不合格品的概率都是 0.3 时，

P (A _ {2}) = 0. 7 \times 0. 7 = 0. 4 9,

即第一种工艺得到合格品的概率较大些．

例 1.5.5

有两名选手比赛射击，轮流对同一目标进行射击，甲命中目标的概率为 $\alpha$ ，乙命中目标的概率为 $\beta$ ．甲先射，谁先命中谁得胜．问甲、乙两人获胜的概率各为多少?

解法一

记事件 $A_{i}$ 为“第 $i$ 次射击命中目标”， $i=1,2,\cdots$ 。因为甲先射，所以事件“甲获胜”可以表示为

A _ {1} \cup \overline {{{A}}} _ {1} \overline {{{A}}} _ {2} A _ {3} \cup \overline {{{A}}} _ {1} \overline {{{A}}} _ {2} \overline {{{A}}} _ {3} \overline {{{A}}} _ {4} A _ {5} \cup \dots .

又因为各次射击是独立的，所以得

\begin{array}{r l} { P \{\text {甲获胜} \}} & {= \alpha + (1 - \alpha) (1 - \beta) \alpha + (1 - \alpha) ^ {2} (1 - \beta) ^ {2} \alpha + \dots} \\ & {= \alpha \sum_ {i = 0} ^ {\infty} (1 - \alpha) ^ {i} (1 - \beta) ^ {i}} \\ & {= \frac {\alpha}{1 - (1 - \alpha) (1 - \beta)}.} \end{array}

同理可得

\begin{array}{r l} { P \{\text {乙获胜} \}} & {= P (\overline {{{A}}} _ {1} A _ {2} \cup \overline {{{A}}} _ {1} \overline {{{A}}} _ {2} \overline {{{A}}} _ {3} A _ {4} \cup \dots)} \\ & {= (1 - \alpha) \beta + (1 - \alpha) (1 - \beta) (1 - \alpha) \beta + \dots} \\ & {= \beta (1 - \alpha) \sum_ {i = 0} ^ {\infty} (1 - \alpha) ^ {i} (1 - \beta) ^ {i}} \\ & {= \frac {\beta (1 - \alpha)}{1 - (1 - \alpha) (1 - \beta)}.} \end{array}

此题在等比级数求和时，应该有条件:公比 $\left|(1-\alpha)(1-\beta)\right|<1$ ．这一点不难从题目的实际意义中得到．因为对本题而言， $\alpha,\beta$ 取值为零或1均是无意义的．

解法二

因为

P (\text { 甲获胜 }) = \alpha + (1 - \alpha) (1 - \beta) P (\text { 甲获胜 })

由此解得

P (\text { 甲获胜 }) = \frac {\alpha}{1 - (1 - \alpha) (1 - \beta)} = \frac {\alpha}{\alpha + \beta - \alpha \beta}.

而

P (\text { 乙 获 胜 }) = 1 - P (\text { 甲 获 胜 }) = \frac {\alpha + \beta - \alpha \beta - \alpha}{\alpha + \beta - \alpha \beta} = \frac {\beta (1 - \alpha)}{1 - (1 - \alpha) (1 - \beta)}.

例 1.5.6

系统由多个元件组成，且所有元件都独立地工作．设每个元件正常工作的概率都为 p=0.9,试求以下系统正常工作的概率． (1) 串联系统 $S_{1}$

\boxed {1} \boxed {2}

(2) 并联系统 $S_{2}$ (3) 5个元件组成的桥式系统 $S_{3}$

解

设 $S_{i}$ = “第 $i$ 个系统正常工作”, $A_{i}$ = “第 $i$ 个元件正常工作”. （1）对串联系统而言，“系统正常工作”相当于“所有元件正常工作”，即 $S_{1}=A_{1}A_{2}$ ，所以

P (S _ {1}) = P (A _ {1} A _ {2}) = P (A _ {1}) P (A _ {2}) = p ^ {2} = 0. 8 1.

这也可看出:两个正常工作概率为0.9的元件组成的串联系统，其系统正常工作的概率下降为0.81. （2）对并联系统而言，“系统正常工作”相当于“至少一个元件正常工作”，即 $S_{2} = A_{1}\cup A_{2}$ ，所以

P \left(S _ {2}\right) = P \left(A _ {1} \cup A _ {2}\right) = P \left(A _ {1}\right) + P \left(A _ {2}\right) - P \left(A _ {1} A _ {2}\right) = p + p - p ^ {2} = 0. 9 9.

或

\begin{array}{r l} P (S _ {2}) & = 1 - P (\overline {{S}} _ {2}) = 1 - P (\overline {{A _ {1} \cup A _ {2}}}) = 1 - P (\overline {{A}} _ {1} \cap \overline {{A}} _ {2}) \\ & = 1 - P (\overline {{A}} _ {1}) P (\overline {{A}} _ {2}) = 1 - (1 - p) ^ {2} = 0. 9 9. \end{array}

这也可看出:两个正常工作概率为0.9的元件组成的并联系统，其系统正常工作的概率提高至0.99. (3) 在桥式系统中，第 3 个元件是关键，我们先用全概率公式得

P (S _ {3}) = P (A _ {3}) P (S _ {3} \mid A _ {3}) + P (\overline {{A}} _ {3}) P (S _ {3} \mid \overline {{A}} _ {3}).

因为在“第3个元件正常工作”的条件下，系统成为先并后串系统(见图 1.5.1).所以

\begin{array}{r l} P (S _ {3} \mid A _ {3}) & = P ((A _ {1} \cup A _ {4}) (A _ {2} \cup A _ {5})) = P (A _ {1} \cup A _ {4}) P (A _ {2} \cup A _ {5}) \\ & = [ 1 - (1 - p) ^ {2} ] ^ {2} = 0. 9 8 0 1. \end{array}

又因为在“第3个元件不正常工作”的条件下，系统成为先串后并系统(见图 1.5.2).所以

P (S _ {3} \mid \overline {{{A}}} _ {3}) = P (A _ {1} A _ {2} \cup A _ {4} A _ {5}) = 1 - (1 - p ^ {2}) ^ {2} = 0. 9 6 3 9.

图 1.5.2 先串后并系统最后我们得

\begin{array}{r l} P (S _ {3}) & = p [ 1 - (1 - p) ^ {2} ] ^ {2} + (1 - p) [ 1 - (1 - p ^ {2}) ^ {2} ] \\ & = 0. 9 \times 0. 9 8 0 1 + 0. 1 \times 0. 9 6 3 9 = 0. 9 7 8 5. \end{array}

1.5.3 试验的独立性

利用事件的独立性可以定义两个或更多个试验的独立性．

定义 1.5.4

设有两个试验 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ ，假如试验 $E_{1}$ 的任一结果（事件）与试验 $E_{2}$ 的任一结果（事件）都是相互独立的事件，则称这两个试验相互独立。例如掷一枚硬币(试验 $E_{1}$ )与掷一颗骰子(试验 $E_{2}$ )是相互独立的试验．类似地可以定义 $n$ 个试验 $E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{n}$ 的相互独立性: 如果 $E_{1}$ 的任一结果、 $E_{2}$ 的任一结果、……、 $E_{n}$ 的任一结果都是相互独立的事件，则称试验 $E_{1}, E_{2}, \cdots, E_{n}$ 相互独立．如果这 $n$ 个独立试验还是相同的，则称其为 $n$ 重独立重复试验．如果在 $n$ 重独立重复试验中，每次试验的可能结果为两个: $A$ 或 $\overline{A}$ ，则称这种试验为 $n$ 重伯努利 (Bernoulli) 试验．例如掷 $n$ 枚硬币、掷 $n$ 颗骰子、检查 $n$ 个产品等，都是 $n$ 重独立重复试验．

例 1.5.7

某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的．若你每周买一张彩票，坚持十年(每年52周)之久，你从未中奖的可能性是多少?

解

按假设，每次中奖的可能性是 $10^{-5}$ ，于是每次不中奖的可能性是 $1-10^{-5}$ ．另外，十年中你共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的，相当于进行了520次独立重复试验．记 $A_{i}$ 为“第 $i$ 次开奖不中奖”, $i=1,2,\cdots,520$ ，则 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{520}$ 相互独立，由此得十年中你从未中奖的可能性是

P (A _ {1} A _ {2} \dots A _ {5 2 0}) = (1 - 1 0 ^ {- 5}) ^ {5 2 0} = 0. 9 9 4 8.

这个概率表明十年中你从未中奖是很正常的事．如果将上例中每次中奖机会改成“万分之一”，则十年中从未中奖的可能性还是很大的，为0.9493.

习题1.5

三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 $1 / 5, 1 / 4, 1 / 3$ ，求此密码被译出的概率．
有甲乙两批种子，发芽率分别为 0.8 和 0.9, 在两批种子中各任取一粒，求: (1) 两粒种子都能发芽的概率； (2) 至少有一粒种子能发芽的概率； (3) 恰好有一粒种子能发芽的概率．
甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.8 和 0.7, 现已知目标被击中，求它是甲射中的概率．
设电路由 $A$ , $B$ , $C$ 三个元件组成，若元件 $A$ , $B$ , $C$ 发生故障的概率分别是 0.3, 0.2, 0.2, 且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率: (1) A, $B$ , $C$ 三个元件串联； (2) A, $B$ , $C$ 三个元件并联； (3) 元件 $A$ 与两个并联的元件 $B$ 及 $C$ 串联．
在一周内甲，乙，丙三台机床需维修的概率分别是 0.9, 0.8 和 0.85, 求一周内 (1) 没有一台机床需要维修的概率； (2) 至少有一台机床不需要维修的概率； (3) 至多只有一台机床需要维修的概率．
设 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 相互独立，且 $P(A_{i}) = 2 / 3, i = 1, 2, 3.$ 试求 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 中 (1) 至少出现一个的概率； (2) 恰好出现一个的概率； (3) 最多出现一个的概率．
若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立且互不相容，试求 $\min \{P(A), P(B)\}$ .
假设 $P(A) = 0.4, P(A \cup B) = 0.9$ ，在以下情况下求 $P(B)$ ： (1) A, $B$ 不相容； (2) A, $B$ 独立； (3) $A \subset B$ .
设 $A$ , $B$ , $C$ 两两独立，且 ABC = ∅. (1) 如果 $P(A)=P(B)=P(C)=x$ ，试求 $x$ 的最大值； (2) 如果 $P(A)=P(B)=P(C)<1/2$ ，且 $P(A\cup B\cup C)=9/16$ ，求 $P(A)$ .
事件 $A, B$ 独立，两个事件仅 $A$ 发生的概率或仅 $B$ 发生的概率都是 $1/4$ ，求 $P(A)$ 及 $P(B)$ .
一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第 $i$ 个零件是不合格品的概率为 $p_i = 1 / (i + 1), i = 1,2,3$ ，以 $X$ 表示3个零件中合格品的个数，求 $P(X \leqslant 2)$ .
每门高射炮击中飞机的概率为 0.3, 独立同时射击时，要以 99% 的把握击中飞机，需要几门高射炮?
投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为 6 的概率大于 $1/2$ ?
一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80/81, 试求该射手进行一次射击的命中率．
每次射击命中率为 0.5, 试求: 射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于 0.95?
设猎人在距离猎物 100 米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为 0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距 150 米．若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距 200 米．若第三枪还未命中，则猎物逃脱．假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率．
某血库急需 AB 型血，要从身体合格的献血者中获得，根据经验，每百名身体合格的献血者中只有 2 名是 AB 型血的． (1) 求在 20 名身体合格的献血者中至少有一人是 AB 型血的概率； (2) 若要以 $95\%$ 的把握至少能获得一份AB型血，需要多少位身体合格的献血者?
一个人的血型为 $A$ , $B$ , AB, $O$ 型的概率分别为 0.37, 0.21, 0.08, 0.34. 现任意挑选四个人，试求： (1) 此四人的血型全不相同的概率； (2) 此四人的血型全部相同的概率．
甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为 0.6, 乙胜的概率为 0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？
甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军．而每次比赛双方取胜的概率都是 $1 / 2$ ，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．
甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是 1/2. 两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本: (1) 甲、乙两个赌徒都各需赢 $k$ 局才能获胜； (2) 甲赌徒还需赢 2 局才能获胜，乙赌徒还需赢 3 局才能获胜; (3) 甲赌徒还需赢 $n$ 局才能获胜，乙赌徒还需赢 $m$ 局才能获胜．
一辆重型货车去边远山区送货．修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是 0.1, 后面四个轮胎损坏的概率都是 0.2. 你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗?
设 $0 < P(B) < 1$ ，试证事件 $A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A \mid B) = P(A \mid \overline{B})$ .
设 $0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1, P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1$ ，试证 $A$ 与 $B$ 独立．
若 $P(A) > 0, P(B) > 0$ ，如果 $A, B$ 相互独立，试证 $A, B$ 相容。