1.3 概率的性质 · 《概率论与数理统计教程（第三版）》

利用概率的公理化定义(非负性、正则性和可列可加性), 可以导出概率的一系列性质．以下我们逐个给出概率的一些常用性质．首先，在概率的正则性中说明了必然事件 $\Omega$ 的概率为 1.那么可想而知，不可能事件 $\varnothing$ 的概率应该为0,下面性质正说明了这一点．

性质 1.3.1

$P(\varnothing)=0.$

证明

由于任何事件与不可能事件之并仍是此事件本身，所以

\Omega = \Omega \cup \varnothing \cup \varnothing \dots \cup \varnothing \cup \dots .

因为不可能事件与任何事件是互不相容的，故由可列可加性公理得

P (\Omega) = P (\Omega) + P (\varnothing) + \dots + P (\varnothing) + \dots ,

从而由 $P(\Omega) = 1$ 得

P (\emptyset) + P (\emptyset) + \dots = 0,

再由非负性公理，必有

P (\varnothing) = 0.

结论得证．

1.3.1 概率的可加性

概率的可列可加性说明了对可列个互不相容的事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots$ ，其可列并的概率可以分别求之再相加，那么对有限个互不相容的事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ ，其有限并的概率是否也可以分别求之再相加呢？下面性质回答了这个问题。

性质 1.3.2 有限可加性

若有限个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 互不相容，则有

P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}).\tag{1.3.1}

证明

对 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}, \varnothing, \varnothing, \cdots$ 应用可列可加性，得

\begin{array}{r l} P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n}) & = P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n} \cup \emptyset \cup \emptyset \cup \dots) \\ & = P (A _ {1}) + P (A _ {2}) + \dots + P (A _ {n}) + P (\emptyset) + P (\emptyset) + \dots \\ & = P (A _ {1}) + P (A _ {2}) + \dots + P (A _ {n}). \end{array}

结论得证．由有限可加性，我们就可以得到以下求对立事件概率的公式．

性质 1.3.3

对任一事件 $A$ ，有

P (\overline {{{A}}}) = 1 - P (A).\tag{1.3.2}

证明

因为 $A$ 与 $\overline{A}$ 互不相容，且 $\Omega = A \cup \overline{A}$ ．所以由概率的正则性和有限可加性得 $1 = P(A) + P(\overline{A})$ ．由此得 $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ . 有些事件直接考虑较为复杂，而考虑其对立事件则相对比较简单．对此类问题就可以利用性质1.3.3,见下面例子．

例 1.3.1

36 只大小、形状相同的灯泡中 4 只是 6 W, 其余都是 4 W 的．现从中任取 3 只，求至少取到一只 6 W 灯泡的概率．

解

记事件 $A$ 为“取出的 3 只中至少有一只 6 W”，则 $A$ 包括三种情况：取到一只 6 W 两只 4 W，或取到两只 6 W 一只 4 W，或取到三只 6 W。而 $A$ 的对立事件 $\overline{A}$ 只包括一种情况，即“取出的 3 只全部是 4 W”，由例1.2.3 抽样模型可知

P (\overline {{{A}}}) = \frac {\binom {3 2} {3}}{\binom {3 6} {3}} = \frac {2 4 8}{3 5 7} = 0. 6 9 5.

所以

P (A) = 1 - P (\overline {{{A}}}) = \frac {1 0 9}{3 5 7} = 0. 3 0 5.

例 1.3.2

抛一枚硬币 5 次，求既出现正面又出现反面的概率．

解

记事件 $A$ 为“抛5次硬币中既出现正面又出现反面”，则 $A$ 的情况较复杂，因为出现正面的次数可以是1次至4次，而 $A$ 的对立事件 $\overline{A}$ 则相对简单：5次全部是正面（记为 $B$ ），或5次全部是反面（记为 $C$ ），即 $\overline{A} = B \cup C$ ，其中 $B$ 与 $C$ 互不相容，所以由对立事件公式和概率的有限可加性得

\begin{array}{r l} P (A) & = 1 - P (\overline {{A}}) = 1 - P (B \cup C) = 1 - P (B) - P (C) \\ & = 1 - \frac {1}{2 ^ {5}} - \frac {1}{2 ^ {5}} = \frac {1 5}{1 6}. \end{array}

1.3.2 概率的单调性

可以想象: 当 $B$ 被 $A$ 包含时(即 $B$ 发生必然导致 $A$ 发生), 说明事件 $A$ 比事件 $B$ 更容易发生，那么 $A$ 的概率应该比 $B$ 的概率大，这可由以下性质1.3.4 的推论说明．

性质 1.3.4

给出了两个有包含关系事件差的概率公式，而性质1.3.5 给出了任意两个事件差的概率公式．

性质 1.3.4

若 $A \supset B$ ，则

P (A - B) = P (A) - P (B).\tag{1.3.3}

证明

因为 $A \supset B$ ，所以

A = B \cup (A - B),

且 $B$ 与 A-B 互不相容，由有限可加性得

P (A) = P (B) + P (A - B),

即得

P (A - B) = P (A) - P (B).

结论得证．推论(单调性) 若 $A \supset B$ ，则 $P(A) \geqslant P(B)$ . 很容易举例说明:以上推论的逆命题不成立，即由 $P(A) \geqslant P(B)$ 无法推出 $A \supset B$ .

性质 1.3.5

对任意两个事件 $A$ , $B$ ，有

P (A - B) = P (A) - P (A B).\tag{1.3.4}

证明

因为 $A - B = A - AB$ ，且 $AB \subset A$ ，所以由性质1.3.4得

P (A - B) = P (A - A B) = P (A) - P (A B).

结论得证．利用性质1.3.4, 我们可以求一些较为复杂的事件的概率．

例 1.3.3

口袋中有编号为 $1,2,\cdots,n$ 的 $n$ 个球，从中有放回地任取 $m$ 次，求取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ 的概率．

解

记事件 $A_{k}$ 为“取出的 $m$ 个球的最大号码为 $k$ ”. 如果直接考虑事件 $A_{k}$ ，则比较复杂，因为“最大号码为 $k$ ”可以包括取到 1 次 $k$ 、取到 2 次 $k$ 、……、取到 $m$ 次 $k$ . 为此我们记事件 $B_{i}$ 为“取出的 $m$ 个球的最大号码小于等于 $i$ ”， $i=1,2,\cdots,n$ ，则 $B_{i}$ 发生只需每次从 $1,2,\cdots,i$ 号球中取球即可，所以由古典概率知

P (B _ {i}) = \frac {i ^ {m}}{n ^ {m}}, \quad i = 1, 2, \dots , n.

又因为 $A_{k} = B_{k} - B_{k - 1}$ ，且 $B_{k - 1}\subset B_k$ ，由性质1.3.4得

\begin{array}{r l} P (A _ {k}) & = P (B _ {k} - B _ {k - 1}) = P (B _ {k}) - P (B _ {k - 1}) \\ & = \frac {k ^ {m} - (k - 1) ^ {m}}{n ^ {m}}, \quad k = 1, 2, \dots , n. \end{array}

譬如， $n = 6, m = 3, k = 4$ ，可算得

P (A _ {4}) = \frac {4 ^ {3} - 3 ^ {3}}{6 ^ {3}} = \frac {3 7}{2 1 6} = 0. 1 7 1 3.

其他的 $P(A_{k})$ 也都可算出，现列表如下：

k	1	2	3	4	5	6	和
P(Ak)	0.0046	0.0324	0.0880	0.1713	0.2824	0.4213	1.0000

这表明:掷三颗骰子，最大点数

k

是随机变量，

k

取 6 的概率是 0.4213,且

P (k \leqslant 3) = 0. 0 0 4 6 + 0. 0 3 2 4 + 0. 0 8 8 0 = 0. 1 2 5 0.

即掷三颗骰子，最大点数不超过3的概率仅为0.1250.

1.3.3 概率的加法公式

当事件之间互不相容时，有限可加性或可列可加性给出了求事件并的概率的公式．那么对一般的事件(不一定互不相容),又如何求事件并的概率?以下性质1.3.6中(1.3.5)式给出求任意两个事件并的概率加法公式，(1.3.6)式给出求任意 $n$ 个事件并的概率加法公式．这些性质在计算概率时是非常有用的．

性质 1.3.6 加法公式

对任意两个事件 $A$ , $B$ ，有

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B).\tag{1.3.5}

对任意 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ ，有

\begin{array}{r l} P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) & = \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}) - \sum_ {1 \leqslant i < j \leqslant n} P (A _ {i} A _ {j}) + \\ & \sum_ {1 \leqslant i < j < k \leqslant n} P (A _ {i} A _ {j} A _ {k}) + \dots + (- 1) ^ {n - 1} P (A _ {1} A _ {2} \dots A _ {n}). \end{array}\tag{1.3.6}

证明

先证(1.3.5)式．因为

A \cup B = A \cup (B - A B),

且 $A$ 与 B-AB 互不相容，所以由有限可加性和性质1.3.5 得

P (A \cup B) = P (A) + P (B - A B) = P (A) + P (B) - P (A B).

下面用归纳法证明(1.3.6)式．当 n=2 时，(1.3.6)式即为(1.3.5)式．设(1.3.6)式对 n-1 成立，则对 $n$ ，先对两个事件 $(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n-1})$ 与 $A_{n}$ 用(1.3.5)式，

\begin{array}{r l} P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n}) & = P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n - 1}) + P (A _ {n}) - \\ & \quad P ((A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n - 1}) \cap A _ {n}) \\ & = P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n - 1}) + P (A _ {n}) - \\ & \quad P ((A _ {1} A _ {n}) \cup (A _ {2} A _ {n}) \cup \dots \cup (A _ {n - 1} A _ {n})). \end{array}

然后由归纳假设，对

P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n - 1}) \quad \text {及} \quad P ((A _ {1} A _ {n}) \cup (A _ {2} A _ {n}) \cup \dots \cup (A _ {n - 1} A _ {n}))

进行展开，经过整理合并即可知:(1.3.6)式对 $n$ 也成立，结论得证．推论(半可加性) 对任意两个事件 $A$ , $B$ ，有

P (A \cup B) \leqslant P (A) + P (B).\tag{1.3.7}

对任意 $n$ 个事件 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ ，有

P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) \leqslant \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}).\tag{1.3.8}

例 1.3.4

已知事件 $A$ , $B$ , $A \cup B$ 的概率分别为 0.4, 0.3, 0.6. 求 $P(A \overline{B})$ .

解

由加法公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$ 及题设条件知

0. 6 = 0. 4 + 0. 3 - P (A B),

由此解得 $P(AB)=0.1$ ，所以再由(1.3.4)式得

P (A \overline {{B}}) = P (A - B) = P (A) - P (A B) = 0. 4 - 0. 1 = 0. 3.

例 1.3.5

已知 $P(A)=P(B)=P(C)=1/4$ , $P(AB)=0$ , $P(AC)=P(BC)=1/16$ ．则 $A$ , $B$ , $C$ 中至少发生一个的概率是多少? A, $B$ , $C$ 都不发生的概率是多少?

解

因为 $P(AB) = 0$ ，且 $ABC \subset AB$ ，所以由概率的单调性知 $P(ABC) = 0$ 。再由加法公式，得 $A, B, C$ 中至少发生一个的概率为

\begin{array}{r l} P (A \cup B \cup C) & = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) \\ & = \frac {3}{4} - \frac {2}{1 6} = \frac {5}{8}. \end{array}

又因为“ $A$ , $B$ , $C$ 都不发生”的对立事件为“ $A$ , $B$ , $C$ 中至少发生一个”，所以由对立事件的概率公式得

P (A, B, C \text { 都不发生 }) = 1 - \frac {5}{8} = \frac {3}{8}.

一般而言，求“至少有一个发生”的概率时，用对立事件公式去求较为方便．但下面例1.3.6的配对问题却不能用对立事件去求解，而一定要将事件“至少有一个发生”表示成事件的并，然后用一般事件的加法公式去求解．

例 1.3.6 配对问题

在一个有 $n$ 个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同．晚会期间各人从放在一起的 $n$ 件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少?

解

以 $A_{i}$ 记事件“第 $i$ 个人自己抽到自己的礼物”， $i = 1,2,\dots,n$ ．所求概率为 $P(A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n})$ ．因为

P (A _ {1}) = P (A _ {2}) = \dots = P (A _ {n}) = \frac {1}{n},

\begin{array}{l} {P (A _ {1} A _ {2}) = P (A _ {1} A _ {3}) = \dots = P (A _ {n - 1} A _ {n}) = \frac {1}{n (n - 1)},} \\ {P (A _ {1} A _ {2} A _ {3}) = P (A _ {1} A _ {2} A _ {4}) = \dots = P (A _ {n - 2} A _ {n - 1} A _ {n}) = \frac {1}{n (n - 1) (n - 2)},} \end{array}

P (A _ {1} A _ {2} \dots A _ {n}) = \frac {1}{n !}.

所以由概率的加法公式(1.3.6)得

P (A _ {1} \cup A _ {2} \cup \dots \cup A _ {n}) = 1 - \frac {1}{2 !} + \frac {1}{3 !} - \frac {1}{4 !} + \dots + (- 1) ^ {n - 1} \frac {1}{n !}.

譬如，当 $n=5$ 时，此概率为 0.6333; 当 $n \to \infty$ 时，此概率的极限为 $1 - e^{-1} = 0.632$ ．这表明: 即使参加晚会的人很多 (譬如 100 人以上), 事件 “至少有一个人自己抽到自己礼物” 也不是必然事件．

1.3.4 概率的连续性

为了讨论概率的连续性，我们先对事件序列的极限给出如下的定义．

定义 1.3.1 1

对 $F$ 中任一单调不减的事件序列 $F_{1} \subset F_{2} \subset \cdots \subset F_{n} \subset \cdots$ ，称可列并 $\bigcup_{n=1}^{\infty} F_{n}$ 为 $\{F_{n}\}$ 的极限事件，记为

\lim _ {n \rightarrow \infty} F _ {n} = \bigcup_ {n = 1} ^ {\infty} F _ {n}.\tag{1.3.9}

（2）对 $\mathcal{F}$ 中任一单调不增的事件序列 $E_{1} \supset E_{2} \supset \dots \supset E_{n} \supset \dots$ ，称可列交 $\bigcap_{n=1}^{\infty} E_{n}$ 为 $\{E_{n}\}$ 的极限事件，记为

\lim _ {n \rightarrow \infty} E _ {n} = \bigcap_ {n = 1} ^ {\infty} E _ {n}.\tag{1.3.10}

有了以上极限事件的定义，我们就可给出如下概率函数的连续性定义．

定义 1.3.2

对 $\mathcal{F}$ 上的一个概率 $P$ (1) 若它对 $F$ 中任一单调不减的事件序列 $\{F_{n}\}$ 均成立

\lim _ {n \to \infty} P (F _ {n}) = P (\lim _ {n \to \infty} F _ {n}),

则称概率 $P$ 是下连续的． (2) 若它对 $F$ 中任一单调不增的事件序列 $\{E_{n}\}$ 均成立

\lim _ {n \to \infty} P (E _ {n}) = P \left(\lim _ {n \to \infty} E _ {n}\right),

则称概率 $P$ 是上连续的．有了以上的定义，我们就可以证明概率的连续性了．

性质 1.3.7 概率的连续性

若 $P$ 为事件域 $F$ 上的概率，则 $P$ 既是下连续的，又是上连续的．

证明

先证 $P$ 的下连续性．设 $\{F_n\}$ 是 $\mathcal{F}$ 中一个单调不减的事件序列，即

\bigcup_ {i = 1} ^ {\infty} F _ {i} = \lim _ {n \rightarrow \infty} F _ {n}.

若定义 $F_{0} = \emptyset$ ，则

\bigcup_ {i = 1} ^ {\infty} F _ {i} = \bigcup_ {i = 1} ^ {\infty} (F _ {i} - F _ {i - 1}).

由于 $F_{i - 1}\subset F_i$ ，显然诸 $(F_{i} - F_{i - 1})$ 两两不相容，再由可列可加性得

P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {\infty} F _ {i}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} P (F _ {i} - F _ {i - 1}) = \lim _ {n \to \infty} \sum_ {i = 1} ^ {n} P (F _ {i} - F _ {i - 1}).

又由有限可加性得

\sum_ {i = 1} ^ {n} P (F _ {i} - F _ {i - 1}) = P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} (F _ {i} - F _ {i - 1})\right) = P (F _ {n}).

所以

P (\lim _ {n \rightarrow \infty} F _ {n}) = \lim _ {n \rightarrow \infty} P (F _ {n}).

这就证得了 $P$ 的下连续性．再证 $P$ 的上连续性．设 $\{E_n\}$ 是单调不增的事件序列，则 $\{\overline{E}_n\}$ 为单调不减的事件序列，由概率的下连续性得

\begin{array}{r l} 1 - \lim _ {n \to \infty} P (E _ {n}) & = \lim _ {n \to \infty} [ 1 - P (E _ {n}) ] = \lim _ {n \to \infty} P (\overline {{E}} _ {n}) \\ & = P \left(\bigcup_ {n = 1} ^ {\infty} \overline {{E}} _ {n}\right) = P \left(\overline {{\bigcap_ {n = 1} ^ {\infty} E _ {n}}}\right) \\ & = 1 - P \left(\bigcap_ {n = 1} ^ {\infty} E _ {n}\right). \end{array}

最后第二个等式用了德摩根公式．至此得

\lim _ {n \to \infty} P (E _ {n}) = P \left(\bigcap_ {n = 1} ^ {\infty} E _ {n}\right).

这就证得了 $P$ 的上连续性．下面我们对可列可加性作进一步讨论．从上面的讨论可知，由可列可加性可推出有限可加性和下连续性，但由有限可加性不能推出可列可加性．这意味着要由有限可加性去推可列可加性，还缺少条件．下面性质说明:所缺少的条件就是下连续性．

性质 1.3.8

若 $P$ 是 $\mathcal{F}$ 上满足 $P(\Omega) = 1$ 的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件是 (1) 它是有限可加的; (2) 它是下连续的．

证明

必要性可从性质1.3.2 和性质1.3.7 获得．下证充分性．设 $A_{i} \in F, i = 1, 2, \cdots$ 是两两不相容的事件序列，由有限可加性可知：对任意有限的 $n$ 都有

P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}).

这个等式的左边不超过1,因此正项级数 $\sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$ 收敛，即

\lim _ {n \to \infty} P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) = \lim _ {n \to \infty} \sum_ {i = 1} ^ {n} P (A _ {i}) = \sum_ {i = 1} ^ {\infty} P (A _ {i}).\tag{1.3.11}

记

F _ {n} = \bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i},

则 $\{F_{n}\}$ 为单调不减的事件序列，所以由下连续性得

\lim _ {n \to \infty} P \left(\bigcup_ {i = 1} ^ {n} A _ {i}\right) = \lim _ {n \to \infty} P (F _ {n}) = P \left(\bigcup_ {n = 1} ^ {\infty} F _ {n}\right) = P \left(\bigcup_ {n = 1} ^ {\infty} A _ {n}\right).\tag{1.3.12}

综合(1.3.11)和(1.3.12)式，即得可列可加性．从性质1.3.8 可以看出: 在概率的公理化定义中，可以将可列可加性换成有限可加性和下连续性．

习题1.3

设事件 $A$ 和 $B$ 互不相容，且 $P(A) = 0.3$ , $P(B) = 0.5$ ，求以下事件的概率: (1) A 与 $B$ 中至少有一个发生； (2) $A$ 和 $B$ 都发生； (3) $A$ 发生但 $B$ 不发生．
设 $P(AB) = 0$ ，则下列说法哪些是正确的? (1) $A$ 和 $B$ 不相容； (2) $A$ 和 $B$ 相容； (3) $AB$ 是不可能事件； (4) $AB$ 不一定是不可能事件； (5) $P(A) = 0$ ，或 $P(B) = 0$ (6) $P(A - B) = P(A)$ .
一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率。
从 0,1,2,…,9 等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率: (1) $A_{1}=\{$ 三个数字中不含0和5\}; (2) $A_{2} = \{\text{三个数字中不含} 0 \text{ 或 } 5\}$ ; (3) $A_{3} = \{$ 三个数字中含0但不含5\}.
某城市中共发行 3 种报纸 $A$ , $B$ , $C$ ．在这城市的居民中有 25% 订阅 $A$ 报、20% 订阅 $B$ 报、15% 订阅 $C$ 报，10% 同时订阅 $A$ 报 $B$ 报、8% 同时订阅 $A$ 报 $C$ 报、5% 同时订阅 $B$ 报 $C$ 报、3% 同时订阅 $A$ , $B$ , $C$ 报．求以下事件的概率： (1) 只订阅 $A$ 报的； (2) 只订阅一种报纸的； (3) 至少订阅一种报纸的； (4) 不订阅任何一种报纸的．
某工厂一个班组共有男工 9 人、女工 5 人，现要选出 3 个代表，问选的 3 个代表中至少有 1 个女工的概率是多少?
一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何?
从数字 $1,2,\dots ,9$ 中可重复地任取 $n$ 次，求 $n$ 次所取数字的乘积能被10整除的概率．
口袋中有 $n - 1$ 个黑球和 1 个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一个黑球．问第 $k$ 次摸球时，摸到黑球的概率是多少?
若 $P(A) = 1$ ，证明：对任一事件 $B$ ，有 $P(AB) = P(B)$ .
掷 $2n + 1$ 次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．
有三个人，每个人都以同样的概率 $1 / 5$ 被分配到 5 个房间中的任一间中，试求: (1) 三个人都分配到同一个房间的概率； (2) 三个人分配到不同房间的概率．
一间宿舍内住有 5 位同学，求他们之中至少有 2 个人的生日在同一个月份的概率．
某班 $n$ 个战士各有 1 支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了 1 支枪，求至少有 1 人拿到自己的枪的概率．
设 $A, B$ 是两事件，且 $P(A) = 0.6, P(B) = 0.8$ ，问： (1) 在什么条件下 $P(AB)$ 取到最大值，最大值是多少? (2) 在什么条件下 $P(AB)$ 取得最小值，最小值是多少?
已知事件 $A, B$ 满足 $P(AB) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$ ，记 $P(A) = p$ ，试求 $P(B)$ .
已知 $P(A) = 0.7, P(A - B) = 0.4$ ，试求 $P(\overline{AB})$ .
设 $P(A) = \alpha, P(B) = 1 - \alpha$ ，试证 $P(AB) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$ .
对任意的事件 $A, B, C$ ，证明: (1) $P(AB) + P(AC) - P(BC) \leqslant P(A)$ ; (2) $P(AB) + P(AC) + P(BC) \geqslant P(A) + P(B) + P(C) - 1.$
设 $A, B, C$ 为三个事件，且 $P(A) = a, P(B) = 2a, P(C) = 3a, P(AB) = P(AC) = P(BC) = b.$ 证明： $a \leqslant 1/4, b \leqslant 1/4.$
设事件 $A, B, C$ 的概率都是 $1/2$ ，且 $P(ABC) = P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})$ ，证明:

2 P (A B C) = P (A B) + P (A C) + P (B C) - \frac {1}{2}.

证明： (1) $P(AB) \geqslant P(A) + P(B) - 1$ ; (2) $P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})\geqslant P(A_{1}) + P(A_{2}) + \dots +P(A_{n}) - (n - 1).$
证明：

\left| P (A B) - P (A) P (B) \right| \leqslant \frac {1}{4}.