5.2 样本数据的整理与显示

5.2.1 经验分布函数

设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是取自总体分布函数为 $F(x)$ 的样本，若将样本观测值由小到大进行排列，记为 $x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}$ ，则 $x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}$ 称为有序样本，用有序样本定义如下函数

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{当}x<x_{(1)},\\ k/n,& \text{当}{x}_{(k)}⩽x<x_{(k+1)},k=1,2,\dots ,n-1,\\ 1,& \text{当}x⩾x_{(n)},\end{array}$$

则 $F_n(x)$ 是一非减右连续函数，且满足

$$F_n(-\infty )=0\text{ 和 }{F}_n(\infty )=1.$$

由此可见， $F_n(x)$ 是一个分布函数，称 $F_n(x)$ 为该样本的经验分布函数.

例 5.2.1

某食品厂生产听装饮料, 现从生产线上随机抽取 5 听饮料, 称得其净重 (单位: $g$) 为

$$\begin{array}{ccccc}351& 347& 355& 344& 351\end{array}$$

这是一个容量为 5 的样本, 经排序可得有序样本:

$$x_{(1)}=344,x_{(2)}=347,x_{(3)}=351,x_{(4)}=351,x_{(5)}=355,$$

其经验分布函数(其图形如图 5.2.1 所示)为

$$F_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<344,\\ 0.2,& 344⩽x<347,\\ 0.4,& 347⩽x<351,\\ 0.8,& 351⩽x<355,\\ 1,& x⩾355.\end{array}$$

图5.2.1 经验分布函数

对每一固定的 $x,F_n(x)$ 是样本中事件 $\{x_i⩽x\}$ 发生的频率. 当 $n$ 固定时, $F_n(x)$ 是样本的函数, 它是一个随机变量. 若对任意给定的实数 $x$ , 定义

$$I_i(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x_i⩽x,\\ 0,& x_i>x,\end{array}$$

则由经验分布函数的定义可以看出,对任意给定的实数 $x$

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_i(x).$$

意到诸 $I_i(x)$ 是独立同分布的随机变量，其共同分布为 $b(1,F(x))$ ，由伯努利大数定律：只要 $n$ 相当大， $F_n(x)$ 依概率收敛于 $F(x)$ . 更深刻的结果也是存在的，这就是格利文科定理，下面我们不加证明地加以介绍.

定理 5.2.1 格利文科(Glivenko

定理) 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是取自总体分布函数为 $F(x)$ 的样本， $F_n(x)$ 是其经验分布函数，当 $n\to \infty$ 时，有

$$P\left(\underset{-\infty <x<\infty }{\sup }|F_n(x)-F(x)|\to 0\right)=1.$$

定理5.2.1 表明, 当 $n$ 相当大时, 经验分布函数是总体分布函数 $F(x)$ 的一个良好的近似. 经典统计学中一切统计推断都以样本为依据, 其理由就在于此.

5.2.2 频数频率表

样本数据的整理是统计研究的基础,整理数据的最常用方法之一是给出其频数表或频率表.我们从一个例子开始介绍.

例 5.2.2

为研究某厂工人生产某种产品的能力,我们随机调查了 20 位工人某天生产的该种产品的数量,数据如下

160	196	164	148	170
175	178	166	181	162
161	168	166	162	172
156	170	157	162	154

对这 20 个数据(样本)进行整理,具体步骤如下: （1）对样本进行分组.首先确定组数 $k$ ，作为一般性的原则，组数通常在5~20个，对容量较小的样本，通常将其分为5组或6组，容量为100左右的样本可分7到10组，容量为200左右的样本可分9到13组，容量为300左右及以上的样本可分12到20组,目的是使用足够的组来表示数据的变异.本例中只有20个数据,我们将之分为5组,即k=5. (2) 确定每组组距. 每组区间长度可以相同也可以不同, 实用中常选用长度相同的区间以便于进行比较, 此时各组区间的长度称为组距, 其近似公式为 组距 $d=(\text{样本最大观测值}-\text{样本最小观测值})/\text{组数}.$ 本例中,数据最大观测值为 196,最小观测值为 148,故组距近似为

$$d=\frac{196-148}{5}=9.6,$$

方便起见,取组距为 10. （3）确定每组组限.各组区间端点为 $a_0,a_0+d=a_1,a_0+2d=a_2,\cdots ,a_0+kd=a_k$ ，形成如下的分组区间

$$\left(a_0,a_1\right],\left(a_1,a_2\right],\dots ,\left(a_{k-1},a_k\right],$$

其中 $a_0$ 略小于最小观测值， $a_k$ 略大于最大观测值，本例中可取 $a_0=147,a_5=197$ ，于是本例的分组区间为：

$$(147,157],(157,167],(167,177],(177,187],(187,197],$$

通常可用每组的组中值来代表该组的变量取值, 组中值 = (组上限 + 组下限) / 2. （4）统计样本数据落入每个区间的个数——频数，并列出其频数频率表.本例的频数频率表见表5.2.1.从表中可以读出很多信息，如： $40\%$ 的工人产量在157到167之间；产量少于167个的有12人，占 $60\%$ ；产量高于177的有3人，占 $15\%$ 表 5.2.1 例5.2.2 的频数频率表

组序	分组区间	组中值	频数	频率	累计频率/%
1	(147,157]	152	4	0.20	20
2	(157,167]	162	8	0.40	60
3	(167,177]	172	5	0.25	85
4	(177,187]	182	2	0.10	95
5	(187,197]	192	1	0.05	100
合计			20	1

5.2.3 样本数据的图形显示

前面我们介绍了频数频率分布的表格形式,它也可以用图形表示,这在许多场合更直观.

一、直方图

频数分布最常用的图形表示是直方图,它在组距相等场合常用宽度相等的长条矩形表示,矩形的高低表示频数的大小.在图形上,横坐标表示所关心变量的取值区间,纵坐标表示频数,这样就得到频数直方图,图5.2.2画出了例5.2.2的频数直方图.若把 纵轴改成频率就得到频率直方图. 为使诸长条矩形面积和为1,可将纵轴取为频率/组距,如此得到的直方图称为单位频率直方图,或简称频率直方图.凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择,直方图本身并无变化.

二、茎叶图

除直方图外,另一种常用的方法是茎叶图,下面我们从一个例子谈起.

图5.2.2 例5.2.2的频数直方图

例 5.2.3

某公司对应聘人员进行能力测 试,测试成绩总分为150分.下面是50位应聘人员的测试成绩(已经过排序):

64	67	70	72	74	76	76	79	80	81
82	82	83	85	86	88	91	91	92	93
93	93	95	96	96	97	97	99	100	100
102	104	106	106	107	108	108	112	112	114
116	118	119	119	122	123	125	126	128	133

我们用这批数据给出一个茎叶图.把每一个数值分为两部分,前面一部分(百位和十位)称为茎,后面部分(个位)称为叶,如

数值		分开		茎	和	叶
112	$\to$	1112	$\to$	11	和	2

然后画一条竖线，在竖线的左侧写上茎，右侧写上叶，就形成了茎叶图.应聘人员测试成绩的茎叶图见图 5.2.3. 茎叶图的外观很像横放的直方图,但茎叶图中叶增加了具体的数值,使我们对数据的具体取值一目了然,从而保留了数据中全部的信息. 在要比较两组样本时,可画出它们的背靠背的茎叶图,这是一个简单直观而有效的对比方法. 6 | 47 7 | 024669 8 | 01223568 9 | 112333566779 10 | 002466788 11 | 2246899 12 | 23568 13 | 3

例5.2.4 下面的数据是某厂两个车间某天各 40 名员工生产的产品数量(表 5.2.2).为对其进行比较,我们将这些数据放到一个背靠背茎叶图上(图 5.2.4).

图 5.2.4 两车间产量的背靠背茎叶图

图 5.2.3 测试成绩的茎叶图

表 5.2.2 某厂两个车间 40 名员工的产量

	甲车间					乙车间
50	52	56	61	61	62	56	66	67	67	68	68
64	65	65	65	67	67	72	72	74	75	75	75
67	68	71	72	74	74	75	76	76	76	76	78
76	76	77	77	78	82	78	79	80	81	81	83
83	85	86	86	87	88	83	83	84	84	84	86
90	91	92	93	93	97	86	87	87	88	92	92
100	100	103	105			93	95	98	107

在图 5.2.4 中, 茎在中间, 左边表示甲车间的数据, 右边表示乙车间的数据. 从茎叶图可以看出, 甲车间员工的产量偏于上方, 而乙车间员工的产量大多位于中间, 乙车间的平均产量要高于甲车间, 乙车间各员工的产量比较集中, 而甲车间员工的产量则比较分散.

习题5.2

1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的 10 名工人一周内生产的产品数

$$\begin{array}{llllllllll}149& 156& 160& 138& 149& 153& 153& 169& 156& 156\end{array}$$

试由这批数据构造经验分布函数并作图. 2. 下表是经过整理后得到的分组样本：

组序	1	2	3	4	5
分组区间	(38,48]	(48,58]	(58,68]	(68,78]	(78,88]
频数	3	4	8	3	2

试写出此分组样本的经验分布函数.

3. 假若某地区 30 名 2018 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：

   9 090	10 860	11 200	9 990	13 200	10 910
   10 710	10 810	11 300	13 360	9 670	15 720
   8 250	9 140	9 920	12 320	9 500	7 750
   12 030	10 250	10 960	8 080	12 240	10 440
   8 710	11 640	9 710	9 500	8 660	7 380

   (1) 构造该批数据的频率分布表(分 $6$ 组); (2) 画出直方图.

4. 某公司对其 250 名职工上班所需时间 (单位: $extmin$) 进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:

   所需时间	频率
   $0\sim 10$	$0.10$
   $10\sim 20$	$0.24$
   $20\sim 30$
   $30\sim 40$	$0.18$
   $40\sim 50$	$0.14$

   (1) 试将频率分布表补充完整； (2) 该公司上班所需时间在半小时以内的有多少人？

5. 40 种刊物的月发行量(单位: 百册)如下:

   5 954	5 022	14 667	6 582	6 870	1 840	2 662	4 508
   1 208	3 852	618	3 008	1 268	1 978	7 963	2 048
   3 077	993	353	14 263	1 714	11 127	6 926	2 047
   714	5 923	6 006	14 267	1 697	13 876	4 001	2 280
   1 223	12 579	13 588	7 315	4 538	13 304	1 615	8 612

   (1) 建立该批数据的频数分布表, 取组距为 $1700$ (百册); (2) 画出直方图.

6. 对下列数据构造茎叶图：

   472	425	447	377	341	369	412	399
   400	382	366	425	399	398	423	384
   418	392	372	418	374	385	439	408
   429	428	430	413	405	381	403	479
   381	443	441	433	399	379	386	387

7. 根据调查,某集团公司的中层管理人员的年薪(单位:万元)数据如下:

   40.6	39.6	37.8	36.2	38.8
   38.6	39.6	40.0	34.7	41.7
   38.9	37.9	37.0	35.1	36.7
   37.1	37.7	39.2	36.9	38.3

   试画出茎叶图.