第3章 习题参考答案

习题参考答案

习题3.1 答案

1. (1) $p_{ij}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{5-i-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{5}\right)},i+j⩽5;$

(2) $p_{ij}=\frac{5!}{i!j!(5-i-j)!}(0.5{)}^i(0.3{)}^j(0.2{)}^{5-i-j},i+j⩽5.$

2. $\frac{9}{35}.$

$X_1$	$X_2$	$X_3$	P
0	0	0	0.195 8
0	0	1	0.163 2
0	1	0	0.163 2
1	0	0	0.163 2
0	1	1	0.093 2
1	0	1	0.093 2
1	1	0	0.093 2
1	1	1	0.035 0

(2)

$X_1$	$X_2$
	0	1
0	$\frac{14}{39}$	$\frac{10}{39}$
1	$\frac{10}{39}$	$\frac{5}{39}$

4. 0. 5. (1) $\frac{1}{8}$ ; (2) $\frac{3}{8}$ ; (3) $\frac{27}{32}$ ; (4) $\frac{2}{3}$ .

5. (1) 12; (2) $F(x,y)=(1-e^{-3x})(1-e^{-4y})$ , $x>0,y>0$ ; (3) $1-e^{-3}-e^{-8}+e^{-11}$ .

6. (1) $\frac{15}{64}$ . (2) 0; (3) 0.5; (4) $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\text{, 或 }y<0,\\ x^2{y}^2,& 0⩽x<1,0⩽y<1,\\ x^2,& 0⩽x<1,1⩽y,\\ y^2,& 1⩽x,0⩽y<1,\\ 1,& x⩾1,y⩾1.\end{array}$ 8. $\frac{\pi }{4}$ .

7. (1) 6; (2) $\frac{1}{2}$ , 0.664 2.

8. (1) $\frac{1}{8}$ ; (2) $\frac{7}{8},\frac{1}{2}$ ; (3) $\frac{3}{4}$ . 11. $X_1$ $\begin{array}{ccc}& X_2& \\ & 0& 1\\ 0& 1-e^{-1}& 0\\ 1& e^{-1}-e^{-2}& e^{-2}\end{array}$

9. $\frac{65}{72}$ . 13. 0.580 9. 14. $\frac{5}{8}$ . 15. 0.044.

习题 3.2

X	-1	0	1	Y	0	1	2
P	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{12}$	P	$\frac{7}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{12}$

2. $F_x(x)=1-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{1}x},x>0,F_y(y)=1-{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{2}y},y>0.$

3. $p_X(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi },-1<x<1,p_Y(y)=\frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi },-1<y<1.$

$$p(x,y)=\frac{1}{2},1<x<e^2,0<y<\frac{1}{x},p_X(x)=\frac{1}{2x},1<x<e^2.$$

5. (1) $p_x(x)={\mathrm{e}}^{-x},x>0,p_y(y)=y{\mathrm{e}}^{-y},y>0;$

(2) $p_x(x)=\frac{5(1-x^4)}{8},-1<x<1,p_y(y)=\frac{5\sqrt{1-y}(1+2y)}{6},0<y<1;$

(3) $p_x(x)=1,0<x<1,p_y(y)=-\ln y,0<y<1.$

6. $p_X(x)=6(x-x^2)$ ， $0<x<1$ ， $p_Y(y)=6(\sqrt{y}-y)$ ， $0<y<1.$ 7.略.8.0.5.

7. 0.89. 10. $a=\frac{1}{18},b=\frac{2}{9},c=\frac{1}{6}$ .

8. (1) $p(x,y)={\mathrm{e}}^{-y}$ , $0<x<1$ , $y>0$ ; (2) ${\mathrm{e}}^{-1}$ ; (3) ${\mathrm{e}}^{-1}$ .

9. (1) $p_x(x)=3x^2$ , $0<x<1$ , $p_y(y)=3(1-y^2)/2$ , $0<y<1$ ; (2) 不独立.

10. (1) $p_X(x)=\{\begin{array}{ll}1+x,& -1<x<0,\\ 1-x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}{p}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2y,& 0<y<1,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$ (2) 不独立.

11. (1)(2)(5) 独立, (3)(4)(6) 不独立.

12. $\frac{2}{9}$ . 16. 略.

习题 3.3

1.	U	1	2	3	V	0	1	2
	P	0.12	0.37	0.51	P	0.40	0.44	0.16

2. $P(Z=1)=\frac{\lambda }{\lambda +\mu },P(Z=0)=\frac{\mu }{\lambda +\mu }$ . 3. $\frac{Z}{P}\begin{array}{ccc}& 0& 1\\ 0.25& 0.75& \end{array}$ .

3. (1) $\frac{Z}{P}|\begin{array}{cc}0& 1\\ 0.25& 0.75\end{array};$ (2) $(1-p{)}^{i-1}p[2-(1-p{)}^{i-1}-(1-p{)}^i],i=1,2,\dots .$

4. $\frac{5}{7}$ . 6. (1) $p_Z(z)=4z{e}^{-2z}$ , $z>0$ ; (2) $p_Z(z)=\frac{e^{-|z|}}{2}$ , $-\infty <z<\infty$ .

5. $p_z(z)=\frac{3(1-z^2)}{2},0<z<1.$

6. (1) $p_2(x)=x^3{\mathrm{e}}^{-x}/6,x>0;$ (2) $p_3(x)=x^5{\mathrm{e}}^{-x}/120,x>0.$

7. (1) $p_z(z)=\{\begin{array}{rl}z,& 0⩽z<1,\\ 2-z,& 1⩽z<2,\\ 0,& \text{其他};\end{array}$ (2) $p_z(z)=\{\begin{array}{rl}1-{\mathrm{e}}^{-z},& 0<z<1,\\ (\mathrm{e}-1){\mathrm{e}}^{-z},& z>1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

8. (1) $p_Z(z)=1-\left(1+\frac{1}{z}\right){\mathrm{e}}^{-1/z},z>0;$ (2) $p_Z(z)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{({\lambda }_{1}z+{\lambda }_2{)}^2},z>0.$

9. 0.5. 12. $p_z(z)=\frac{4}{3}{z}^3-4z+\frac{8}{3},0<z<1$ . 13. $p_T(t)=3\lambda e^{-3\lambda t},t>0$ .

10. $p_z(z)=(\ln 2-\ln z)/2,0<z<2.$ 15. $p(r,\theta )=\frac{r}{\pi },0<r<1,0<\theta <2\pi .$

11. (1) $p(u,v)=u{e}^{-u}$ , $u>0$ , $0<v<1$ ; (2) 独立. 17—21. 略.

习题 3.4

1. $\frac{91}{36}$ . 2. $E(X)=\frac{7n}{2}$ , $\mathrm{Var}(X)=\frac{35n}{12}$ . 3. $\frac{n+2}{3}$ .

2. $\frac{n-1}{n+1}$ . 5. $\frac{2n-1}{n-1}$ . 6. 0.25. 7. $\frac{4}{3},\frac{1}{18}$ . 8—9. 略. 10. $2{\sigma }^2$ .

3. $\frac{5}{8}$ . 12. $p_Y(y)=10y^9,0<y<1,E(Y)=\frac{10}{11},\mathrm{Var}(Y)=\frac{5}{726}$ .

4. (1) $\frac{1}{n\lambda }$ ; (2) $\frac{n}{\lambda }-C_n^2\left(\frac{1}{2\lambda }\right)+C_n^3\left(\frac{1}{3\lambda }\right)+\cdots +(-1{)}^{n-1}\left(\frac{1}{n\lambda }\right)$ .

5. $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ . 15. $E(Y)=\frac{n\theta }{n+1},E(Z)=\frac{\theta }{n+1}$ .

6. 2. 17. 14 166.67 元. 18. 略. 19. -0.02. 20. $-\frac{n}{36},-\frac{1}{5}$ . 21. 0. 22. $-\frac{2}{3}$ .

7. $-\frac{n}{4},-1.$ 24. $\frac{3}{5}$ . 25. $1,1$ . 26. $\frac{1}{12}$ . 27. $\frac{2}{3},0,0$ .

8. $\frac{3}{\sqrt{57}}$ . 29. $\rho$ . 30. 0.569 2. 31. $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ . 32. (1) $\sqrt{\frac{(1-\rho )}{\pi }}$ ; (2) 0,0.

9. $\frac{1}{36},\frac{1}{2}$ . 34. $-\frac{1}{147},-\frac{\sqrt{5}}{23}$ . 35. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . 36. (1) $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{18}& 0\\ 0& \frac{3}{80}\end{array}\right)$ ; (2) $\left(\begin{array}{cc}\frac{11}{36}& -\frac{1}{36}\\ -\frac{1}{36}& \frac{11}{36}\end{array}\right)$ .

10. a=0.5 时, $X$ 与 $Y$ 不相关.

11. 当 $d\ne 0$ 时, ${\rho }_{12}={\rho }_{13}={\rho }_{23}=1$ , 当 $d=0$ 时, ${\rho }_{12}=\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab},{\rho }_{13}=\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac},{\rho }_{23}=\frac{a^2-b^2-c^2}{2bc}$ . 39—49. 略.

习题 3.5

1. $\frac{n!}{m!(n-m)!}{\left(\frac{7.14}{14}\right)}^m{\left(\frac{6.86}{14}\right)}^{n-m},m=0,1,\cdots ,n.$

2. $P(X=m,Y=n)=(1-p{)}^{n-2}{p}^2,m=1,2,\cdots ,n-1,n=2,3,\cdots ,$

$$P(Y=n\mid X=m)=(1-p{)}^{n-m-1}p,m=1,2,\dots ,n-1,n=2,3,\dots .$$

3. (1) $\frac{Y=1}{P}$ $\begin{array}{ccc}X& & X\\ 1& 2& \\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \end{array}$ , $Y=2$ $\begin{array}{ccc}X& & \\ 1& 2& \\ P& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}$ ; (2) 不独立.

4. (1) $P(X=k\mid X+Y=m)=\frac{1}{m-1},k=1,2,\cdots ,m-1;$

$$P(X=k\mid X+Y=m)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{m}\right)},k=0,1,\dots ,\min \{n,m\}.$$

5. 当 $0<x<1$ 时, $p(y|x)=\frac{1}{x}$ , $0<y<x$ . 6. 当 $-1<y<1$ 时, $p(x|y)=\frac{1}{(1-|y|)}$ , $|y|<x<1$ .

6. $\frac{7}{15}$ . 8. $\frac{47}{64}$ . 9. 略. 10. $E(X|Y=2)=\frac{78}{25},E(Y|X=0)=2$ .

7. $\frac{n{\lambda }_1}{({\lambda }_1+{\lambda }_2)}$ . 12. $\frac{7}{12}$ . 13. $\frac{(2y+1)}{3}$ . 14—15. 略. 16. $\frac{(\lambda +9)}{(2\lambda )}$ . 17—18. 略.