3.3 多维随机变量函数的分布

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为$n$维随机变量，则 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的函数 $Y=g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是一维随机变量。现在的问题是：如何由 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布，求出$Y$的分布。这是一类技巧性很强的工作，不仅对离散场合和连续场合有不同方法，而且对不同形式的函数 $g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 要采用不同的方法，甚至有些方法只对特殊形式的 $g(\cdot )$ 适用。下面分别介绍一些常用的方法。

3.3.1 多维离散随机变量函数的分布

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为$n$维离散随机变量，则某一函数 $Y=g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是一维离散随机变量.当 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 所有可能取值较少时，可将$Y$的取值一一列出，然后再合并整理就可得出结果，见下例.

例 3.3.1

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列如下所示：

X	Y
	-1	1	2
-1	5/20	2/20	6/20
2	3/20	3/20	1/20

试求：（1） $Z_1=X+Y$ ；（2） $Z_2=X-Y$ ；（3） $Z_3=\max \{X,Y\}$ 的分布列.

解

将 $(X,Y)$ 及各个函数的取值对应列于同一表中：

P	5/20	2/20	6/20	3/20	3/20	1/20
(X,Y)	(-1,-1)	(-1,1)	(-1,2)	(2,-1)	(2,1)	(2,2)
$Z_1=X+Y$	-2	0	1	1	3	4
$Z_2=X-Y$	0	-2	-3	3	1	0
$Z_3=\max \{X,Y\}$	-1	1	2	2	2	2

然后经过合并整理就可得最后结果：

$Z_1=X+Y$	-2	0	1	3	4
P	5/20	2/20	9/20	3/20	1/20

$Z_2=X-Y$	-3	-2	0	1	3
P	6/20	2/20	6/20	3/20	3/20

$Z_3=\max \{X,Y\}$	-1	1	2
P	5/20	2/20	13/20

例 3.3.2 泊松分布的可加性

设随机变量 $X\sim P({\lambda }_1)$ , $Y\sim P({\lambda }_2)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ .

证明

首先指出, $Z=X+Y$ 可取0,1,2,…所有非负整数.而事件 $\{Z=k\}$ 是如下诸互不相容事件

$$\{X=i,Y=k-i\},i=0,1,\dots ,k$$

的并,再考虑到独立性,则对任意非负整数 $k$,有

$$P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i).\text{\hspace{1em}(3.3.1)}$$

这个概率等式被称为离散场合下的卷积公式.利用此公式可得

$$\begin{array}{rl}P(Z=k)& ={\sum }_{i=0}^k\left(\frac{{\lambda }_1^i}{i!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_1}\right)\left(\frac{{\lambda }_2^{k-i}}{(k-i)!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_2}\right)\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\sum }_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}{\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^i{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^{k-i}\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}+\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^k\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)},k=0,1,\dots ,\end{array}$$

这表明 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ , 结论得证. 注意 $X-Y$ 不服从泊松分布. 泊松分布的这个性质可以叙述为:泊松分布的卷积仍是泊松分布,并记为

$$P({\lambda }_1)\ast P({\lambda }_2)=P({\lambda }_1+{\lambda }_2).\text{\hspace{1em}(3.3.2)}$$

这里卷积是指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”.显然这个性质可以推广到有限个独立泊松变量之和的分布上去,即

$$P({\lambda }_1)\ast P({\lambda }_2)\ast \cdots \ast P({\lambda }_n)=P({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n).\text{\hspace{1em}(3.3.3)}$$

特别，当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=\lambda$ 时，有

$$P(\lambda )\ast P(\lambda )\ast \cdots \ast P(\lambda )=P(n\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.4)}$$

这些结论在理论上和应用上都是重要的. 以后我们称性质“同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布”为此类分布具有可加性.上例说明泊松分布具有可加性,下例又说明二项分布具有可加性.

例 3.3.3 二项分布的可加性

设随机变量 $X\sim b(n,p)$ , $Y\sim b(m,p)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独 立,证明 $Z=X+Y\sim b(n+m,p)$ .

证明

首先指出, $Z=X+Y$ 可取0,1,2, $\cdots$ , $n+m$ 等 $n+m+1$ 个不同的值,利用离散场合的卷积公式(3.3.1),可把事件 $\{Z=k\}$ 的概率表示为

$$P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i).$$

因为 $X\sim b(n,p),Y\sim b(m,p)$ ，所以上式中只需考虑： $i⩽n,k-i⩽m$ ，即 $i⩽n,i⩾k-m$ . 因此记

$$a=\max \{0,k-m\},b=\min \{n,k\},$$

则

$$\begin{array}{rl}P(Z=k)& ={\sum }_{i=a}^{b}P(X=i)P(Y=k-i)\\ & ={\sum }_{i=a}^b\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})p^{k-i}(1-p{)}^{m-(k-i)}\\ & =p^k(1-p{)}^{n+m-k}{\sum }_{i=a}^b(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}).\end{array}$$

利用超几何分布可证明：

$$\sum _{i=a}^b\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right)}=1\text{或}\sum _{i=a}^b\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right).$$

由此可得

$$P(Z=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n+m-k},k=0,1,\dots ,n+m.$$

这表明 $Z=X+Y\sim b(n+m,p)$ ，即在参数 $p$ 相同情况下，二项分布的卷积仍是二项分布，即 $b(n,p)\ast b(m,p)=b(n+m,p)$ . 这个性质可以推广到有限个场合，即

$$b\left(n_1,p\right)\ast b\left(n_2,p\right)\ast \cdots \ast b\left(n_k,p\right)=b\left(n_1+n_2+\cdots +n_k,p\right).\text{\hspace{1em}(3.3.5)}$$

特别当 $n_1=n_2=\cdots =n_k=1$ 时，有

$$b(1,p)\ast b(1,p)\ast \cdots \ast b(1,p)=b(k,p),\text{\hspace{1em}(3.3.6)}$$

这表明: 如果 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布, 都服从 $b(1,p)$ 分布, 则其和 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim b(n,p)$ . 或者说, 服从二项分布 $b(n,p)$ 的随机变量可以分解成 $n$ 个相互独立的 0-1 分布的随机变量之和.

3.3.2 最大值与最小值的分布

考察某地区的年降雨量 $X$, 它是一个随机变量, 其分布函数记为 $F(x)$ . 若要研究近五十年内该地区涝灾或干旱发生的可能性, 就需要研究近五十年中该地区最大的年降雨量和最小的年降雨量, 它们可表示为

$$\begin{array}{l}Y=\max \left\{X_1,X_2,\dots ,X_{50}\right\},\\ Z=\min \left\{X_1,X_2,\dots ,X_{50}\right\},\end{array}$$

其中 $X_i$ 表示近五十年中第 $i$ 年的降雨量.由于地区相同，所以诸 $X_i$ 可看成是独立同分布的随机变量.因此研究若干个独立同分布随机变量的最大值 $Y$ 与最小值 $Z$ 的分布是一件很有意义的工作.下面将以例子形式来讨论寻求最大值与最小值的概率分布的方法.

例 3.3.4 最大值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量, 若 $Y=\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ . 试在以下情况下求 $Y$ 的分布: (1) $X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (2) 诸 $X_i$ 同分布, 即 $X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n;$ （3）诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (4) $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n.$

解

（1） $Y=\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}⩽y)=P(X_1⩽y,X_2⩽y,\dots ,X_n⩽y)\\ & =P(X_1⩽y)P(X_2⩽y)\dots P(X_n⩽y)={\prod }_{i=1}^n{F}_i(y).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.7)}$$

(2) 将 $X_i$ 的共同分布函数 $F(x)$ 代入上式得

$$F_y(y)={\left[F(y)\right]}^n.\text{\hspace{1em}(3.3.8)}$$

(3) Y 的分布函数仍为上式, 密度函数可对上式关于 $y$ 求导得

$$p_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=n[F(y){]}^{n-1}p(y).\text{\hspace{1em}(3.3.9)}$$

(4) 将 $Exp(\lambda )$ 的分布函数和密度函数代入 (3.3.8) 式和 (3.3.9) 式得

$$\begin{array}{l}{F}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ (1-{\mathrm{e}}^{-\lambda y}{)}^n,& y⩾0.\end{array}\\ p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ n(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda y}{)}^{n-1}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda y},& y⩾0.\end{array}\end{array}$$

例 3.3.5 最小值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量, 若 $Z=\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ . 试在以下情况下求 $Z$ 的分布: (1) $X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (2) 诸 $X_i$ 同分布, 即 $X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n;$ （3）诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (4) $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n.$

解

（1） $Z=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}⩽z)\\ & =1-P(\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}>z)\\ & =1-P(X_1>z,X_2>z,\dots ,X_n>z)\\ & =1-P(X_1>z)P(X_2>z)\dots P(X_n>z)\\ & =1-{\prod }_{i=1}^n[1-F_i(z)].\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.10)}$$

(2) 将 $X_i$ 的共同分布函数 $F(x)$ 代入上式得

$$F_z(z)=1-{\left[1-F(z)\right]}^n.\text{\hspace{1em}(3.3.11)}$$

(3) Z 的分布函数仍为上式, 密度函数可对上式关于 $z$ 求导得

$$p_z(z)=F_z^{\prime }(z)=n[1-F(z){]}^{n-1}p(z).\text{\hspace{1em}(3.3.12)}$$

(4) 将 $Exp(\lambda )$ 的分布函数和密度函数代入 (3.3.11) 式和 (3.3.12) 式得

$$F_z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-n\lambda z},& z⩾0.\end{array}$$$$p_z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ n\lambda {\mathrm{e}}^{-n\lambda z},& z⩾0.\end{array}$$

由上面例3.3.4 和例3.3.5 可以看出: 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布, $X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则 $\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 不服从指数分布, 而 $\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 仍服从指数分布, 参数为 $n\lambda$ .

例 3.3.6

某段道路原来有 5 个路灯, 道路改建后有 20 个路灯用于此道路的晚间照明. 改建后道路管理人员总认为灯泡更容易坏了, 请解释其中原因.

解

设所有灯泡的使用寿命是相互独立、同分布的随机变量, 其共同分布为指数分布 $Exp(\lambda )$ , 其平均寿命(即期望值)为 ${\lambda }^{-1}=2000$ 小时, 则按例3.3.5, 道路改建前 5 个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间 $T_1=\min \left\{X_1,X_2,X_3,X_4,X_5\right\}$ , 且 $T_1\sim Exp(5\lambda )$ . 若每只灯泡每天用 10 小时, 则 30 天内需换灯泡的概率为

$$P(T_1⩽300)=1-\exp \{-5\lambda \cdot 300\}=1-\exp \left\{-\frac{1500}{2000}\right\}=\mathrm{0.5276.}$$

而道路改建后,20 只灯泡中第一只烧坏的时间 $T_2=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_{20}\right\}$ ，且 $T_2\sim Exp(20\lambda )$ ，则 30 天内需换灯泡的概率为

$$P(T_2⩽300)=1-\exp \{-20\lambda \cdot 300\}=1-\exp \left\{-\frac{6000}{2000}\right\}=\mathrm{0.9502.}$$

这表明:道路改建后,在30天内需要更换灯泡的概率提高了很多.也就是改建后,道路管理人员认为灯泡“更容易坏”的原因. 设想一条道路上有 100 个路灯, 则 30 天内需要换灯泡的概率更大. 为此路灯要使用高寿命(节能)灯泡, 才能减少更换灯泡的次数.

3.3.3 连续场合的卷积公式

定理 3.3.1

设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的连续随机变量, 其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ , 则其和 $Z=X+Y$ 的密度函数为

$$p_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(z-y)p_y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(x)p_y(z-x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.3.13)}$$

证明

$Z=X+Y$ 的分布函数为

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(X+Y⩽z)={\iint }_{x+y⩽z}{p}_X(x)p_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{{\int }_{-\infty }^{z-y}{p}_X(x)\mathrm{d}x\right\}{p}_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^z{p}_X(t-y)p_Y(y)\mathrm{d}t\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\infty }^z\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(t-y)p_Y(y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

由此可得 $Z$ 的密度函数为

$$p_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(z-y)p_y(y)\mathrm{d}y.$$

在上式积分中令 $z-y=x$ ，则可得

$$P_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(x)p_y(z-x)\mathrm{d}x.$$

这就是连续场合下的卷积公式.

卷积公式也可用于 $X$ 与 $Y$ 不独立的情况,此时只要将(3.3.13)式(同理对(3.3.1)式)中的边际分布密度(列)的乘积改写成联合分布密度(列)即可. 下面对正态分布和伽马分布分别使用上述卷积公式.

例 3.3.7 正态分布的可加性

设随机变量 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ , $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$ .

证明

首先指出 $Z=X+Y$ 仍在 $(-\infty ,\infty )$ 上取值，利用卷积公式(3.3.13)可得

$$p_z(z)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{(z-y-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}dy,$$

对上式被积函数中的指数部分按 $y$ 的幂次展开, 再合并同类项, 不难得到

$$\frac{(z-y-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}=A{\left(y-\frac{B}{A}\right)}^2+\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},$$

其中

$$A=\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2},B=\frac{z-{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}.$$

代回原式,可得

$$p_z(z)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}\right\}\cdot {\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{A}{2}{\left(y-\frac{B}{A}\right)}^2\right\}dy.$$

利用正态密度函数的正则性,上式中的积分应为 $\sqrt{2\pi }/\sqrt{A}$ ,于是

$$p_z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)}}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}\right\},$$

这正是均值为 ${\mu }_1+{\mu }_2$ ，方差为 ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ 的正态密度函数. 上述结论表明:两个独立的正态变量之和仍为正态变量,其分布中的两个参数分别对应相加,即

$$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\ast N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)=N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2).\text{\hspace{1em}(3.3.14)}$$

显然,这个结论可以推广到有限个独立正态变量之和的场合. 另外我们知道, 若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ , 则对任意非零实数 $a$ 有 $aX\sim N(a\mu ,a^2{\sigma }^2)$ . 由此我们可得另一个重要结论: 任意 $n$ 个相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量, 即

$$a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n\sim N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),\text{\hspace{1em}(3.3.15)}$$

若 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ , $i=1,2,\cdots ,n$ ，则参数 ${\mu }_0$ 与 ${\sigma }_0^2$ 分别为

$${\mu }_0=\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i,{\sigma }_0^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2.$$

譬如，已知 $X\sim N(-3,1),Y\sim N(2,1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

$$Z=X-2Y+7\sim N(0,5).$$

例 3.3.8 伽马分布的可加性

设随机变量 $X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda )$ , $Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$ .

证明

首先指出 $Z=X+Y$ 仍在 $(0,\infty )$ 上取值，所以当 $z⩽0$ 时， $p_Z(z)=0$ 。而当 $z>0$ 时，可用卷积公式(3.3.13)，此时被积函数 $p_X(z-y)p_Y(y)$ 的非零区域为 $0<y<z$ ，故

$$\begin{array}{rl}{p}_Z(z)& =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\int }_0^z(z-y{)}^{{\alpha }_1-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda (z-y)}\cdot y^{{\alpha }_2-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{\mathrm{e}}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\int }_0^z(z-y{)}^{{\alpha }_1-1}{y}^{{\alpha }_2-1}\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{\mathrm{e}}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{\int }_0^1(1-t{)}^{{\alpha }_1-1}{t}^{{\alpha }_2-1}\mathrm{d}t,\end{array}$$

最后的积分是贝塔函数,它等于 $\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)/\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)$ .代入上式得

$$p_z(z)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda z}.$$

这正是形状参数为 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ ，尺度参数仍为 $\lambda$ 的伽马分布. 这个结论表明:两个尺度参数相同的独立的伽马变量之和仍为伽马变量,其尺度参数不变,而形状参数相加,即

$$Ga({\alpha }_1,\lambda )\ast Ga({\alpha }_2,\lambda )=Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.16)}$$

显然这个结论可推广到有限个尺度参数相同的独立伽马变量之和上. 另外由第二章中我们知道,伽马分布有两个常用的特例:指数分布和卡方分布,即

$$Exp(\lambda )=Ga(1,\lambda ),{\chi }^2(n)=Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right),$$

由此又可以得到另两个结论： (1) m 个独立同分布的指数变量之和为伽马变量, 即

$$\underset{m\text{个}}{\underbrace{Exp(\lambda )\ast Exp(\lambda )\ast \cdots \ast Exp(\lambda )}}=Ga(m,\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.17)}$$

(2) m 个独立的 ${\chi }^2$ 变量之和为 ${\chi }^2$ 变量 ( ${\chi }^2$ 分布的可加性), 即

$${\chi }^2\left(n_1\right)\ast {\chi }^2\left(n_2\right)\ast \cdots \ast {\chi }^2\left(n_m\right)={\chi }^2\left(n_1+n_2+\cdots +n_m\right).\text{\hspace{1em}(3.3.18)}$$

例 3.3.9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立同分布的标准正态变量，证明其平方和 $Y=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布.

证明

由上一章例2.6.3, 我们已经证得: 当 $X_i\sim N(0,1)$ , 有 $X_i^2\sim {\chi }^2(1)$ . 所以再由 ${\chi }^2$ 分布的可加性即可得结论.

由此可见, ${\chi }^2(n)$ 分布中的参数$n$就体现在:$n$是独立的标准正态变量的个数,因此人们称这个参数$n$为自由度.

3.3.4 变量变换法

在此我们仅介绍寻求二维连续随机变量函数的分布的方法,而寻求 $n$ 维连续随机变量函数的分布的方法是类似的.

一、变量变换法

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$ ，如果函数

$$\{\begin{array}{l}u=g_1(x,y),\\ v=g_2(x,y)\end{array}$$

有连续偏导数,且存在唯一的反函数

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\end{array}$$

其变换的雅可比行列式

$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|={\left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right)}^{-1}={\left(\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right|\right)}^{-1}\ne 0.\text{\hspace{1em}(3.3.19)}$$

若

$$\{\begin{array}{l}U=g_1(X,Y),\\ V=g_2(X,Y),\end{array}$$

则 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))\mid J\mid .\text{\hspace{1em}(3.3.20)}$$

这个方法实际上就是二重积分的变量变换法,其证明可参阅数学分析教科书.

例 3.3.10

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ . 记

$$\{\begin{array}{l}U=X+Y,\\ V=X-Y.\end{array}$$

试求 $(U,V)$ 的联合密度函数,且问$U$与$V$是否独立?

解

因为

$$\{\begin{array}{l}u=x+y,\\ v=x-y\end{array}$$

的反函数为

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{u+v}{2},\\ y=\frac{u-v}{2},\end{array}$$

则

$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}.$$

所以得 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))\mid J\mid =p_X\left(\frac{u+v}{2}\right)p_Y\left(\frac{u-v}{2}\right)\left|-\frac{1}{2}\right|$$$$\begin{array}{l}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left[(u+v)/2-\mu \right]}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left[(u-v)/2-\mu \right]}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\\ =\frac{1}{4\pi {\sigma }^2}\exp \left\{-\frac{(u-2\mu {)}^2+v^2}{4{\sigma }^2}\right\}.\end{array}$$

这正是二元正态分布 $N(2\mu ,0,2{\sigma }^2,2{\sigma }^2,0)$ 的密度函数，其边际分布为 $U\sim N(2\mu ,2{\sigma }^2)$ ， $V\sim N(0,2{\sigma }^2)$ ，所以由 $p(u,v)=p_U(u)p_V(v)$ 知 $U$ 与 $V$ 相互独立.

在变量变换法中,并没有要求 $X$ 与 $Y$ 是独立的.所以例3.3.10 可改成 $(X,Y)$ 服从二元正态分布,仍可以计算得 $(U,V)$ 服从二元正态分布.进一步我们可得:多元正态变量经线性变换后仍是多元正态变量.这个结论在统计中经常用到.

二、增补变量法

增补变量法实质上是变量变换法的一种应用:为了求出二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的函数 $U=g(X,Y)$ 的密度函数,增补一个新的随机变量 $V=h(X,Y)$ ,一般令V=X或V=Y.先用变量变换法求出 $(U,V)$ 的联合密度函数 $p(u,v)$ ,再对 $p(u,v)$ 关于$v$积分,从而得出关于$U$的边际密度函数. 下面我们以例子形式,给出两个随机变量的积与商的公式.

例 3.3.11 积的公式

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ . 则 U = XY 的密度函数为

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(3.3.21)}$$

证明

记 $V=Y$ ，则 $\{\begin{array}{l}u=xy,\\ v=y\end{array}$ 的反函数为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{u}{v},\\ y=v,\end{array}$ 雅可比行列式为

$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{v}& -\frac{u}{v^2}\\ 0& 1\end{array}\right|=\frac{1}{v},$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p_X\left(\frac{u}{v}\right)\cdot p_Y(v)|J|=p_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分, 就可得 U=XY 的密度函数为 (3.3.21) 式.

例 3.3.12 商的公式

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ . 则 U = X / Y 的密度函数为

$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(uv)p_Y(v)|v|dv.\text{\hspace{1em}(3.3.22)}$$

证明

记 $V=Y$ ，则 $\{\begin{array}{l}u=x/y,\\ v=y\end{array}$ 的反函数为 $\{\begin{array}{l}x=uv,\\ y=v,\end{array}$ 雅可比行列式为

$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ 0& 1\end{array}\right|=v,$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

$$p(u,v)=p_X(uv)\cdot p_Y(v)|J|=p_X(uv)p_Y(v)|v|.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分, 就可得 U=X/Y 的密度函数为 (3.3.22) 式. 在以上两个例子中, 如果 $X$ 与 $Y$ 不是相互独立的, 则只需在 (3.3.21) 式和 (3.3.22) 式中将边际密度的乘积改写成联合密度即可.

习题3.3

1. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为

   X	Y
   	1	2	3
   0	0.05	0.15	0.20
   1	0.07	0.11	0.22
   2	0.04	0.07	0.09

   试分别求 $U=\max \{X,Y\}$ 和 $V=\min \{X,Y\}$ 的分布列.
2. 设 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量, 且 $X\sim Exp(\lambda ),Y\sim Exp(\mu )$ . 如果定义随机变量

$$Z=\{\begin{array}{ll}1,& \text{当}X⩽Y,\\ 0,& \text{当}X>Y.\end{array}$$

求 $Z$ 的分布列. 3. 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布列分别为

X	-1	0	1
P	1/4	1/2	1/4

Y	0	1
P	1/2	1/2

已知 $P(XY=0)=1$ ，试求 $Z=\max \{X,Y\}$ 的分布列. 4. 设随机变量 $X,Y$ 独立同分布，在以下情况下求随机变量 $Z=\max \{X,Y\}$ 的分布列： (1) X 服从 p=0.5 的 0-1 分布； (2) X 服从几何分布, 即 $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots .$ 5. 设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量, 且

$$P(X⩾0,Y⩾0)=\frac{3}{7},P(X⩾0)=P(Y⩾0)=\frac{4}{7}.$$

试求 $P(\max \{X,Y\}⩾0)$ 6. 设 $X$ 与 $Y$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求以下随机变量的密度函数： (1) $Z=(X+Y)/2$ ; (2) $Z=Y-X$ . 7. 设 $X$ 与 $Y$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<x<1,0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $Z=X-Y$ 的密度函数. 8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其密度函数为

$$p_1(t)=\{\begin{array}{ll}t{e}^{-t},& t>0,\\ 0,& t⩽0.\end{array}$$

设各周的需要量是相互独立的,试求: (1) 两周需要量的密度函数 $p_2(x)$ ; (2) 三周需要量的密度函数 $p_3(x)$ . 9. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 试在以下情况下求 $Z=X+Y$ 的密度函数: (1) $X\sim U(0,1),Y\sim U(0,1)$ ; (2) $X\sim U(0,1),Y\sim Exp(1)$ . 10. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 试在以下情况下求 $Z=X/Y$ 的密度函数: (1) $X\sim U(0,1),Y\sim Exp(1)$ ; (2) $X\sim Exp({\lambda }_1),Y\sim Exp({\lambda }_2)$ . 11. 设 $X_1,X_2,X_3$ 为相互独立的随机变量, 且都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布, 求三者中最大者大于其他两者之和的概率. 12. 设随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立同分布, 其密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $Z=\max \{X_1,X_2\}-\min \{X_1,X_2\}$ 的分布. 13. 设某一设备装有 3 个同类的电器元件, 元件工作相互独立, 且工作时间都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布. 当 3 个元件都正常工作时, 设备才正常工作. 试求设备正常工作时间 $T$ 的密度函数. 14. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在矩形

$$G=\{(x,y):0⩽x⩽2,0⩽y⩽1\}$$

上服从均匀分布,试求边长分别为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $Z$ 的密度函数. 15. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标

$$R=\sqrt{X^2+Y^2},\theta =\arctan (Y/X)$$

的联合密度函数. 16. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 其密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}$$

(1) 求 $U=X+Y$ 与 $V=X/(X+Y)$ 的联合密度函数 $p(u,v)$ ; (2) 以上的 $U$ 与 $V$ 独立吗? 17. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布, 且都服从标准正态分布 $N(0,1)$ , 试证: $U=X^2+Y^2$ 与 $V=X/Y$ 相互独立. 18. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda ),Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$ . 试证： $U=X+Y$ 与 $V=X/(X+Y)$ 相互独立，且 $V\sim Be({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ . 19. 设随机变量 $U_1$ 与 $U_2$ 相互独立, 且都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布, 试证明: (1) $Z_1=-2\ln U_1\sim Exp(1/2),Z_2=2\pi U_2\sim U(0,2\pi )$ (2) $X=\sqrt{Z_1}\cos Z_2$ 和 $Y=\sqrt{Z_1}\sin Z_2$ 是相互独立的标准正态随机变量. 20. 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且 $X_i\sim Exp({\lambda }_i)$ ，试证：

$$P(X_i=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\})=\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}.$$

21. 设连续随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，试证：

$$P(X_n>\max \{X_1,X_2,\dots ,X_{n-1}\})=\frac{1}{n}.$$