3.1 多维随机变量及其联合分布

第3章 多维随机变量及其分布

在有些随机现象中, 对每个样本点 $\omega$ 只用一个随机变量去描述是不够的. 譬如要研究儿童的生长发育情况, 仅研究儿童的身高 $X(\omega )$ 或仅研究其体重 $Y(\omega )$ 都是局部的, 有必要把 $X(\omega )$ 和 $Y(\omega )$ 作为一个整体来考虑, 讨论它们同时变化的统计规律性, 进一步可以讨论 $X(\omega )$ 与 $Y(\omega )$ 之间的关系. 在有些随机现象中, 甚至要同时研究两个以上随机变量. 如何来研究多维随机变量的统计规律性呢？仿一维随机变量，我们先研究联合分布函数，然后研究离散随机变量的联合分布列、连续随机变量的联合密度函数等.

3.1.1 多维随机变量

下面我们先给出 $n$ 维随机变量的定义.

定义 3.1.1

如果 $X_1(\omega )$ , $X_2(\omega )$ , $\cdots$ , $X_n(\omega )$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega =\{\omega \}$ 上的 $n$ 个随机变量, 则称

$$\mathbf{X}(\omega )=\left(X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega )\right)$$

为 $n$ 维(或 $n$ 元)随机变量或随机向量.

多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上,对于不同样本空间 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$ 上的两个随机变量,我们只能在乘积空间 ${\Omega }_1\times {\Omega }_2=\left\{\left({\omega }_1,{\omega }_2\right):{\omega }_1\in {\Omega }_1,{\omega }_2\in {\Omega }_2\right\}$ 及其事件域上讨论它们,这一点在以下讨论中是默认的. 在实际问题中,多维随机变量的情况是经常会遇到的.譬如 - 在研究四岁至六岁儿童的生长发育情况时,我们感兴趣于每个儿童(样本点 $\omega$ ) 的身高 $X_1(\omega )$ 和体重 $X_2(\omega )$ , 这里 $(X_1,X_2)$ 是一个二维随机变量. - 在研究每个家庭的支出情况时,我们感兴趣于每个家庭(样本点 $\omega$ ) 的衣食住行四个方面,若用 $X_1(\omega ),X_2(\omega ),X_3(\omega ),X_4(\omega )$ 分别表示衣食住行的花费占其家庭总收入的百分比,则 $(X_1,X_2,X_3,X_4)$ 就是一个四维随机变量.

3.1.2 联合分布函数

定义 3.1.2

对任意的 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，$n$ 个事件 $\{X_1⩽x_1\},\{X_2⩽x_2\},\cdots ,\{X_n⩽x_n\}$ 同时发生的概率

$$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=P(X_1⩽x_1,X_2⩽x_2,\dots ,X_n⩽x_n)\text{\hspace{1em}(3.1.1)}$$

称为 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数. 本章主要研究二维随机变量, 二维以上的情况可类似讨论. 在二维随机变量 $(X,Y)$ 场合，联合分布函数 $F(x,y)=P(X⩽x,Y⩽y)$ 是事件 $\{X⩽x\}$ 与 $\{Y⩽y\}$ 同时发生（交）的概率。如果将二维随机变量 $(X,Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么联合分布函数 $F(x,y)$ 在 $(x,y)$ 处的函数值就是随机点 $(X,Y)$ 落在以 $(x,y)$ 为顶点的左下无穷直角区域(见图 3.1.1)上的概率.

定理 3.1.1

任一二维联合分布函数 $F(x,y)$ 必具有如下四条基本性质： （1）单调性 $F(x,y)$ 分别对 $x$ 或 $y$ 是单调非减的，即 当 $x_1<x_2$ 时，有 $F(x_1,y)⩽F(x_2,y)$ 当 $y_1<y_2$ 时，有 $F(x,y_1)⩽F(x,y_2)$ （2）有界性 对任意的 $x$ 和 $y$ ，有 $0⩽F(x,y)⩽1$ ，且 图 3.1.1 以 $(x,y)$ 为顶点的左下无穷直角区域

$$\begin{array}{l}F(-\infty ,y)={\lim }_{x\to -\infty }F(x,y)=0,\\ F(x,-\infty )={\lim }_{y\to -\infty }F(x,y)=0,\\ F(\infty ,\infty )={\lim }_{x,y\to \infty }F(x,y)=1.\end{array}$$

(3) 右连续性 对每个变量都是右连续的, 即

$$\begin{array}{l}F(x+0,y)=F(x,y),\\ F(x,y+0)=F(x,y).\end{array}$$

(4) 非负性 对任意的 a<b,c<d 有

$$P(a<X⩽b,c<Y⩽d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)⩾0.$$

证明

（1）因为当 $x_1<x_2$ 时，有 $\{X⩽x_1\}\subset \{X⩽x_2\}$ ，所以对任意给定的 $y$ 有

$$\{X⩽x_1,Y⩽y\}\subset \{X⩽x_2,Y⩽y\},$$

由此可得

$$F(x_1,y)=P(X⩽x_1,Y⩽y)⩽P(X⩽x_2,Y⩽y)=F(x_2,y),$$

即 $F(x,y)$ 关于 $x$ 是单调非减的. 同理可证 $F(x,y)$ 关于 $y$ 是单调非减的. (2) 由概率的性质可知 $0⩽F(x,y)⩽1$ . 又因为对任意的正整数 $n$ 有

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\infty }{\lim }\left\{X⩽x\right\}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\bigcap }_{m=1}^n\left\{X⩽-m\right\}=\varnothing ,\\ & \underset{x\to \infty }{\lim }\left\{X⩽x\right\}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\bigcup }_{m=1}^n\left\{X⩽m\right\}=\Omega ,\end{array}$$

对 $\{Y⩽y\}$ 也类似可得.再由概率的连续性，就可得

$$F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=0,F(\infty ,\infty )=1.$$

（3）固定 $y$ ，仿一维分布函数右连续的证明，就可得知 $F(x,y)$ 关于 $x$ 是右连续的.同样固定 $x$ ，可证得 $F(x,y)$ 关于 $y$ 是右连续的. (4) 只需证: 对 a < b, c < d 有

$$P(a<X⩽b,c<Y⩽d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c).$$

为此记(见图 3.1.2)

$$\begin{array}{ll}A=\{X⩽a\},& B=\{X⩽b\},\\ C=\{Y⩽c\},& D=\{Y⩽d\},\end{array}$$

这里 $A$ 是 $\{X⩽a,Y<\infty \}$ 的简写， $C$ 是 $\{X<\infty ,Y⩽c\}$ 的简写，其他类同. 考虑到

$$\begin{array}{l}\left\{a<X⩽b\right\}=B-A=B\cap \overline{A},\\ \left\{c<Y⩽d\right\}=D-C=D\cap \overline{C},\end{array}$$

图 3.1.2 二维随机变量 $(X,Y)$ 落在矩形中的情况 且 $A\subset B,C\subset D$ ，由此可得

$$\begin{array}{rl}& 0⩽P(a<X⩽b,c<Y⩽d)\\ & =P(B\cap \overline{A}\cap D\cap \overline{C})\\ & =P(BD-(A\cup C))\\ & =P(BD)-P(ABD\cup BCD)\\ & =P(BD)-P(AD\cup BC)\\ & =P(BD)-P(AD)-P(BC)+P(ABCD)\\ & =P(BD)-P(AD)-P(BC)+P(AC)\\ & =F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c).\end{array}$$

还可证明,具有上述四条性质的二元函数 $F(x,y)$ 一定是某个二维随机变量的分布函数. 任一二维分布函数 $F(x,y)$ 必具有上述四条性质, 其中性质(4)是二维场合特有的, 也是合理的. 但性质(4)不能由前三条性质推出, 必须单独列出, 因为存在这样的二元函数 $G(x,y)$ 满足以上性质(1)(2)(3), 但它不满足性质(4), 见下面例子.

例 3.1.1

二元函数

$$G(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& x+y<0,\\ 1,& x+y⩾0\end{array}$$

满足二维分布函数的性质(1)(2)(3)，但它不满足性质(4). 这从 $G(x,y)$ 的定义可看出：若用直线 $x+y=0$ 将平面 $xOy$ 一分为二，则 $G(x,y)$ 在右上半平面 $(x+y⩾0)$ 取值为 $1,G(x,y)$ 在左下半平面 $(x+y<0)$ 取值为 $0,G(x,y)$ 具有非降性、有界性和右连续性，但在正方形区域 $\{(x,y):-1⩽x⩽1,-1⩽y$ $⩽1\}$ 的四个顶点上，右上三个顶点位于右上半闭平面，只有左下顶点 $(-1,-1)$ 位于左下半开平面，故有

$$G(1,1)-G(1,-1)-G(-1,1)+G(-1,-1)=1-1-1+0=-1<0,$$

所以 $G(x,y)$ 不满足性质(4)，故 $G(x,y)$ 不能成为某二维随机变量的分布函数.

3.1.3 联合分布列

定义 3.1.3

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 只取有限个或可列个数对 $(x_i,y_j)$ ，则称 $(X,Y)$ 为二维离散随机变量，称

$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,\dots \text{\hspace{1em}(3.1.2)}$$

为 $(X,Y)$ 的联合分布列,也可用如下表格形式记联合分布列.

X	Y
	$y_1$	$y_2$	…	$y_j$	…
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	…	$p_{1j}$	…
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	…	$p_{2j}$	…
⋮	⋮	⋮		⋮
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	…	$p_{ij}$	…
⋮	⋮	⋮		⋮

性质 3.1.1

联合分布列的基本性质： (1) 非负性 $p_{ij}⩾0.$ (2) 正则性 ${\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1.$ 求二维离散随机变量的联合分布列,关键是写出二维随机变量可能取的数对及其发生的概率.

例 3.1.2

从 1,2,3,4 中任取一数记为 $X$，再从 1,2,…,$X$ 中任取一数记为 $Y$. 求 $(X,Y)$ 的联合分布列及 $P(X=Y)$ .

解

$(X,Y)$ 为二维离散随机变量, 其中 $X$ 的分布列为

$$P(X=i)=1/4,i=1,2,3,4.$$

$Y$ 的可能取值也是 1,2,3,4, 若记 $j$ 为 $Y$ 的取值, 则 当 $j>i$ 时，有 $P(X=i,Y=j)=P(\varnothing )=0$ . 当 $1⩽j⩽i⩽4$ 时，由乘法公式

$$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j\mid X=i)=\frac{1}{4}\times \frac{1}{i}.$$

由此可得 $(X,Y)$ 的联合分布列为

X	Y
	1	2	3	4
1	1/4	0	0	0
2	1/8	1/8	0	0
3	1/12	1/12	1/12	0
4	1/16	1/16	1/16	1/16

由此可算得事件 $\{X=Y\}$ 的概率为

$$P(X=Y)=p_{11}+p_{22}+p_{33}+p_{44}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{25}{48}=\mathrm{0.5208.}$$

3.1.4 联合密度函数

定义 3.1.4

如果存在二元非负函数 $p(x,y)$ ，使得二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 可表示为

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}p(u,v)\mathrm{d}v\mathrm{d}u,\text{\hspace{1em}(3.1.3)}$$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续随机变量，称 $p(u,v)$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度函数 在 $F(x,y)$ 偏导数存在的点上有

$$p(x,y)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}F(x,y).$$

性质 3.1.2

联合密度函数的基本性质： (1) 非负性 $p(x,y)⩾0.$ (2) 正则性 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x=1.$ 给出联合密度函数 $p(x,y)$ , 就可以求有关事件的概率了. 若 $G$ 为平面上的一个区域, 则事件 $\{(X,Y)\in G\}$ 的概率可表示为在 $G$ 上对 $p(x,y)$ 的二重积分

$$P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(3.1.4)}$$

在具体使用上式时,要注意积分范围是 $p(x,y)$ 的非零区域与$G$的交集部分,然后设法化成累次积分,最后计算出结果.计算中要注意如下事实,“直线的面积为零”,故积分区域的边界线是否在积分区域内不影响积分计算结果.

例 3.1.3

设 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6{\mathrm{e}}^{-2x-3y},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求：(1) $P(X<1,Y>1)$ ; (2) $P(X>Y)$ .

解

（1）积分区域见图 3.1.3($a$) 中的阴影部分 $D_1$ ,

$$\begin{array}{rl}P(X<1,Y>1)& =P((X,Y)\in D_1)={\int }_1^{\infty }{\int }_0^{1}6e^{-2x-3y}dxdy\\ & =6{\int }_0^1{e}^{-2x}dx{\int }_1^{\infty }{e}^{-3y}dy\\ & =(1-e^{-2})e^{-3}=\mathrm{0.0430.}\end{array}$$

(a) $\{x<1,y>1\}$ 区域 $D_1$

(b) $\{x>y\}$ 区域 $D_2$

图 3.1.3 $p(x,y)$ 的非零区域与有关事件的交集部分

(2) 积分区域见图 3.1.3($b$) 中的阴影部分 $D_2$ ，从而容易写出累次积分.

$$P(X>Y)=P((X,Y)\in D_2)={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{x}6e^{-2x}{e}^{-3y}dydx={\int }_0^{\infty }2e^{-2x}(1-e^{-3x})dx$$$$=\left(-e^{-2x}+\frac{2}{5}{e}^{-5x}\right){|}_0^{\infty }=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.$$

3.1.5 常用多维分布

下面介绍一些多维随机变量的常用分布.

一、多项分布

多项分布是重要的多维离散分布,它是二项分布的推广. 进行 $n$ 次独立重复试验, 如果每次试验有 $r$ 个互不相容的结果: $A_1,A_2,\cdots ,A_r$ 之一发生, 且每次试验中 $A_i$ 发生的概率为 $p_i=P(A_i),i=1,2,\cdots ,r$ , 且 $p_1+p_2+\cdots +p_r=1$ . 记 $X_i$ 为 $n$ 次独立重复试验中 $A_i$ 出现的次数, $i=1,2,\cdots ,r$ , 则 $(X_1,X_2,\cdots ,X_r)$ 取值 $(n_1,n_2,\cdots ,n_r)$ 的概率, 即 $A_1$ 出现 $n_1$ 次, $A_2$ 出现 $n_2$ 次…… $A_r$ 出现 $n_r$ 次的概率为

$$P(X_1=n_1,X_2=n_2,\dots ,X_r=n_r)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\dots p_r^{n_r},\text{\hspace{1em}(3.1.5)}$$

其中 $n=n_1+n_2+\cdots +n_r$ 这个联合分布列称为 $r$ 项分布, 又称多项分布, 记为 $M(n,p_1,p_2,\cdots ,p_r)$ . 这个概率是多项式 $(p_1+p_2+\cdots +p_r{)}^n$ 展开式中的一项, 故其和为 1. 当 r = 2 时, 即为二项分布.

二项分布是一维随机变量的分布,而在 $r$ 项分布中,因为 $p_1+p_2+\cdots +p_r=1$ ,且 $n_1+n_2+\cdots +n_r=n$ ,所以 $r$ 项分布是 r-1 维随机变量的分布.

例 3.1.4

一批产品共有 100 件, 其中一等品 60 件、二等品 30 件、三等品 10 件. 从这批产品中有放回地任取 3 件, 以 $X$ 和 $Y$ 分别表示取出的 3 件产品中一等品、二等品的件数, 求二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列.

解

因为 $X$ 和 $Y$ 的可能取值都是 0, 1, 2, 3, 所以记 $(X,Y)$ 的联合分布列为

X	Y
	0	1	2	3
0	$p_{00}$	$p_{01}$	$p_{02}$	$p_{03}$
1	$p_{10}$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_{13}$
2	$p_{20}$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_{23}$
3	$p_{30}$	$p_{31}$	$p_{32}$	$p_{33}$

当 $i+j>3$ 时，有 $p_{ij}=0$ ，即

$$p_{13}=p_{22}=p_{23}=p_{31}=p_{32}=p_{33}=0.$$

而当 $i+j⩽3$ 时，事件 $\{X=i,Y=j\}$ 表示：取出的3件产品中有 $i$ 件一等品、 $j$ 件二等品、 $3-i-j$ 件三等品，所以有放回地抽取时，对 $i+j⩽3$ ，有

$$p_{ij}=\frac{3!}{i!j!(3-i-j)!}{\left(\frac{6}{10}\right)}^i{\left(\frac{3}{10}\right)}^j{\left(\frac{1}{10}\right)}^{3-i-j}.$$

由以上公式,就可具体算出 $(X,Y)$ 的联合分布列为

X	Y
	0	1	2	3
0	0.001	0.009	0.027	0.027
1	0.018	0.108	0.162	0
2	0.108	0.324	0	0
3	0.216	0	0	0

有此联合分布列,就可计算有关事件的概率,譬如

$$P(X⩽1,Y⩽1)=0.001+0.009+0.018+0.108=0.136,$$$$P(X=0)=\sum _{j=0}^{3}P(X=0,Y=j)=0.001+0.009+0.027+0.027=\mathrm{0.064.}$$

此例是第二章 §2.4 中的二项分布的推广,差别在于: §2.4 中讨论的是从“合格品”“不合格品”两种情况中抽取,而在此是从一等品、二等品和三等品三种情况中抽取.这里我们称它为三项分布,它是一个二维随机变量的分布.

二、多维超几何分布

以下给出多维超几何分布的描述:袋中有 $N$ 个球,其中有 $N_i$ 个 $i$ 号球, $i=1,2,\cdots ,r$ ,且 $N=N_1+N_2+\cdots +N_r$ .从中任意取出 $n(⩽N)$ 个,若记 $X_i$ 为取出的 $n$ 个球中 $i$ 号球的个数, $i=1,2,\cdots ,r$ ,则

$$P(X_1=n_1,X_2=n_2,\dots ,X_r=n_r)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_1}{n_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_2}{n_2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N_r}{n_r}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},\text{\hspace{1em}(3.1.6)}$$

其中 $n_1+n_2+\cdots +n_r=n,n_i⩽N_i,i=1,2,\cdots ,r.$

例 3.1.5

将例3.1.4 改成不放回抽样, 即从这批产品中不放回地任取 3 件, 记 $X$ 和 $Y$ 分别表示 3 件产品中一等品和二等品的件数, 求二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列.

解

记 $i$ 与 $j$ 分别为 $X$ 与 $Y$ 的取值, 此时对 $i+j>3$ , 有 $p_{ij}=0$ , 即

$$p_{13}=p_{22}=p_{23}=p_{31}=p_{32}=p_{33}=0.$$

对 $i+j⩽3$ ，有

$$p_{ij}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3-i-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)}.$$

由此可得 $(X,Y)$ 的联合分布列,譬如

$$P(X=1,Y=2)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{60}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{3}\right)}=\frac{60\times 30\times 29/2}{100\times 99\times 98/6}=\frac{87}{539}=\mathrm{0.1614.}$$

其他各概率都类似求出,最后得如下联合分布列:

X	Y
	0	1	2	3
0	0.000 7	0.008 3	0.026 9	0.025 1
1	0.016 7	0.111 3	0.161 4	0
2	0.109 5	0.328 4	0	0
3	0.211 6	0	0	0

有此联合分布列,就可计算有关事件的概率,譬如,

$$P(X⩽1,Y⩽1)=0.0007+0.0167+0.0083+0.1113=\mathrm{0.1370.}$$$$P(X=0)=\sum _{j=0}^{3}P(X=0,Y=j)=\mathrm{0.0610.}$$

此例是超几何分布的推广,差别在于:§2.4.3中讨论的是从“合格品”“不合格品”两种情况中作不放回地抽取,而在此是从一等品、二等品和三等品三种情况中作不放回地抽取.这里我们称它为三维超几何分布,它是一种特定的多维超几何分布.

三、多维均匀分布

设 $D$ 为 $R^n$ 中的一个有界区域, 其度量(平面的为面积, 空间的为体积等)为 $S_D$ , 如果多维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& \left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)\in D,\\ 0,& \text{其他},\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1.7)}$$

则称 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 服从$D$上的多维均匀分布，记为 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\sim U(D)$ . 二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域 $D$ 中随机投点, 如果该点坐标 $(X,Y)$ 落在 $D$ 的子区域 $G$ 中的概率只与 $G$ 的面积有关, 而与 $G$ 的位置无关, 则由第一章知这是几何概率. 现在由二维均匀分布来描述, 则

$$P((X,Y)\in G)={\iint }_{G}p(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_G\frac{1}{S_D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{G\text{的面积}}{D\text{的面积}}.$$

这正是几何概率的计算公式.

例 3.1.6

设 $D$ 为平面上以原点为圆心、以 $r$ 为半径的圆内区域, 如今向该圆内随机投点, 其坐标 $(X,Y)$ 服从 $D$ 上的二维均匀分布, 其密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi r^2},& x^2+y^2⩽r^2,\\ 0,& x^2+y^2>r^2.\end{array}$$

试求概率 $P(|X|⩽r/2)$ .

解

$p(x,y)$ 的非零区域与 $\{|X|⩽r/2\}$ 的交集部分见图 3.1.4，因此所求概率为 图 3.1.4 $p(x,y)$ 的非零区域与有关事件的交集部分

$$\begin{array}{rl}P\left(\mid X\mid ⩽\frac{r}{2}\right)& ={\int }_{-r/2}^{r/2}{\int }_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}}\frac{1}{\pi r^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi r^2}{\int }_{-r/2}^{r/2}2\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\pi r^2}\left[x\sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin \frac{x}{r}\right]{|}_{-r/2}^{r/2}\\ & =\frac{1}{\pi r^2}\left(r\sqrt{r^2-\frac{r^2}{4}}+2r^2\arcsin \frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{\pi }\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\mathrm{0.609.}\end{array}$$

四、二元正态分布

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数（见图 3.1.5）为

$$\begin{array}{rl}p(x,y)& =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\},\\ & -\infty <x,y<\infty ,\end{array}\text{\hspace{1em}(3.1.8)}$$

则称 $(X,Y)$ 服从二元正态分布,记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ .其中五个参数的取值范围分别是

$$-\infty <{\mu }_1,{\mu }_2<\infty ,{\sigma }_1,{\sigma }_2>0,-1⩽\rho ⩽1.$$

以后将指出: ${\mu }_1,{\mu }_2$ 分别是$X$与$Y$的均值, ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 分别是$X$与$Y$的方差, $\rho$ 是$X$与$Y$的相关系数.

图 3.1.5 二元正态密度函数

二元正态密度函数的图形很像一顶四周无限延伸的草帽,其中心点在 $({\mu }_1,{\mu }_2)$ 处,其等高线是椭圆.平行xOp平面(或平行yOp平面)的截面显示正态曲线(见图 3.1.5).

例 3.1.7

设二维随机变量 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$ ，求 $(X,Y)$ 落在区域

$$D=\left\{(x,y):\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}⩽{\lambda }^2\right\}$$

内的概率.

解

所求概率为

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{\iint }_D\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}dxdy.\end{array}$$

作变换

$$\{\begin{array}{l}u=\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}-\rho \frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2},\\ v=\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\sqrt{1-{\rho }^2}.\end{array}$$

则可得

$$J^{-1}=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{{\sigma }_1}& -\frac{\rho }{{\sigma }_2}\\ 0& \frac{\sqrt{1-{\rho }^2}}{{\sigma }_2}\end{array}\right|=\frac{\sqrt{1-{\rho }^2}}{{\sigma }_1{\sigma }_2},$$

由此得

$$p=\frac{1}{2\pi (1-{\rho }^2)}{\iint }_{u^2+v^2⩽{\lambda }^2}\exp \left\{-\frac{u^2+v^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}dudv.$$

再作极坐标变换

$$\{\begin{array}{l}u=r\sin \alpha ,\\ v=r\cos \alpha ,\end{array}$$

则可得

$$J^{-1}=\frac{\partial (u,v)}{\partial (r,\alpha )}=\left|\begin{array}{cc}\sin \alpha & r\cos \alpha \\ \cos \alpha & -r\sin \alpha \end{array}\right|=-r({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=-r,$$

最后得

$$\begin{array}{rl}p& =\frac{1}{2\pi (1-{\rho }^2)}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\alpha {\int }_0^{\lambda }r\exp \left\{-\frac{r^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}\mathrm{d}r\\ & ={\int }_0^{\lambda }\exp \left\{-\frac{r^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}\mathrm{d}\left(\frac{r^2}{2(1-{\rho }^2)}\right)\\ & =-\exp \left\{-\frac{r^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}{|}_0^{\lambda }=1-\exp \left\{-\frac{{\lambda }^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}.\end{array}$$

习题3.1

1. 100件产品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品。从中任取5件，以 $X,Y$ 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 $(X,Y)$ 的联合分布列： (1) 不放回抽取；(2) 有放回抽取.
2. 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 $X$ 表示取到黑球的个数，以 $Y$ 表示取到红球的个数，试求 $P(X=Y)$ .
3. 口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个。如果第 $i$ 次取出的是白球，则令 $X_i=1$ ，否则令 $X_i=0,i=1,2,3$ 。求： (1) $(X_1,X_2,X_3)$ 的联合分布列； (2) $(X_1,X_2)$ 的联合分布列.
4. 设随机变量 $X_i,i=1,2$ ，的分布列如下，且满足 $P(X_1{X}_2=0)=1$ ，试求 $P(X_1=X_2)$ 。

   $X_i$	-1	0	1
   P	0.25	0.5	0.25

5. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}k(6-x-y),& 0<x<2,2<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 常数 $k$; (2) $P(X<1,Y<3)$ (3) $P(X<1.5)$ ; (4) $P(X+Y⩽4)$ . 6. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}k{\mathrm{e}}^{-\left(3x+4y\right)},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) 常数 $k$; (2) $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ ; (3) $P(0<X⩽1,0<Y⩽2)$ . 7. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0<x<1,0<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求： (1) $P(0<X<0.5,0.25<Y<1)$ ; (2) $P(X=Y)$ ; (3) $P(X<Y)$ (4) $(X,Y)$ 的联合分布函数. 8. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在边长为 2，中心为 $(0,0)$ 的正方形区域内服从均匀分布，试求 $P(X^2+Y^2⩽1)$ . 9. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}k,& 0<x^2<y<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

(1) 试求常数 $k$; (2) 求 $P(X>0.5)$ 和 $P(Y<0.5)$ . 10. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}6(1-y),& 0<x<y<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

(1) 求 $P(X>0.5,Y>0.5)$ ; (2) 求 $P(X<0.5)$ 和 $P(Y<0.5)$ ; (3) 求 $P(X+Y<1)$ . 11. 设随机变量 $Y$ 服从参数为 $\lambda =1$ 的指数分布, 定义随机变量 $X_k$ 如下:

$$X_k=\{\begin{array}{ll}0,& Y⩽k,\\ 1,& Y>k,\end{array}k=1,2.$$

求 $X_1$ 和 $X_2$ 的联合分布列. 12. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+\frac{xy}{3},& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $P(X+Y⩾1)$ . 13. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $P(X+Y⩽1)$ . 14. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为

$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1/2,& 0<x<1,0<y<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $X$ 与 $Y$ 中至少有一个小于0.5的概率. 15. 从 $(0,1)$ 中随机地取两个数，求其积不小于 $3/16$ ，且其和不大于1的概率.