2.2 随机变量的数学期望

我们已经知道,每个随机变量都有一个分布(分布列、密度函数或分布函数),不同的随机变量可能拥有不同的分布,也可能拥有相同的分布.分布全面地描述了随机变量取值的统计规律性,由分布可以算出有关随机事件的概率.除此以外由分布还可以算得相应随机变量的均值、方差、分位数等特征数.这些特征数各从一个侧面描述了分布的特征.譬如,初生婴儿的体重是一个随机变量,其平均值就从一个侧面描述了体重的特征.已知随机变量的分布,如何求其均值,是本节需要研究的问题. 本节将介绍随机变量最重要的特征数:数学期望.

2.2.1 数学期望的概念

“期望”在我们日常生活中常指心中期盼的愿望,而在概率论中,数学期望源于历史上一个著名的分赌本问题.

例 2.2.1 分赌本问题

17 世纪中叶,一位赌徒向法国数学家帕斯卡(Pascal,1623—1662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技不相上下,各出赌注50法郎,每局中无平局.他们约定,谁先赢三局,则得全部赌本100法郎.当甲赢了二局、乙赢了一局时,因故(国王召见)要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平? 这个问题引起了不少人的兴趣.首先大家都认识到:平均分对甲不公平,全部归甲对乙不公平.合理的分法是,按一定的比例,甲多分些,乙少分些.所以问题的焦点在于:按怎样的比例来分?以下有两种分法: （1）甲得 100 法郎中的 2/3, 乙得 100 法郎中的 1/3. 这是基于已赌局数: 甲赢了二局、乙赢了一局. (2) 1654 年帕斯卡提出如下的分法: 设想再赌下去, 则甲最终所得 $X$ 为一个随机变量, 其可能取值为 0 或 100. 再赌两局必可结束, 其结果不外乎以下四种情况之一:

$$甲甲、甲乙、乙甲、乙乙$$

其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜.在这四种情况中有三种可使甲获100法郎，只有一种情况(乙乙)下甲获0法郎.因为赌技不相上下，所以甲获得100法郎的可能性为3/4,获得0法郎的可能性为1/4,即$X$的分布列为

X	0	100
P	0.25	0.75

经上述分析,帕斯卡认为,甲的“期望”所得应为: $0\times 0.25+100\times 0.75=75$ (法郎).即甲得75法郎,乙得25法郎.这种分法不仅考虑了已赌局数,而且还包括了对再赌下去的一种“期望”,它比(1)的分法更为合理. 这就是数学期望这个名称的由来,其实这个名称称为“均值”更形象易懂.对上例而言,也就是再赌下去的话,甲“平均”可以赢75法郎. 现在我们来逐步分析如何由分布来求“均值”. （1）算术平均 如果有 $n$ 个数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，那么求这 $n$ 个数的算术平均是很简单的事，只需将此 $n$ 个数相加后除 $n$ 即可. （2）加权平均 如果这 $n$ 个数中有相同的, 不妨设其中有 $n_i$ 个取值为 $x_i,i=1,2,\cdots ,k$ . 将其列表为

取值	$x_1$	$x_2$	…	$x_k$
频数	$n_1$	$n_2$	…	$n_k$
频率	$n_1/n$	$n_2/n$	…	$n_k/n$

则其“均值”应为

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^k{n}_i{x}_i=\sum _{i=1}^k\frac{n_i}{n}{x}_i.$$

其实这个加权平均的“权数” $\frac{n_i}{n}$ 就是出现数值 $x_i$ 的频率,而频率在$n$很大时,就稳定在其概率附近. （3）对于一个离散随机变量 $X$，如果其可能取值为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ . 若将这 $n$ 个数相加后除 $n$ 作为“均值”，则肯定是不妥的. 其原因在于 $X$ 取各个值的概率一般是不同的，概率大的出现的机会就大，则在计算中其权也应该大. 而上例分配赌本问题启示我们：用取值的概率作为一种“权数”作加权平均是十分合理的. 经以上分析,我们就可以给出数学期望的定义.

2.2.2 数学期望的定义

定义 2.2.1

设离散随机变量 $X$ 的分布列为

$$p\left(x_i\right)=P\left(X=x_i\right),i=1,2,\dots ,n,\dots .$$

如果

$$\sum _{i=1}^{\infty }\mid x_i\mid p(x_i)<\infty ,$$

则称

$$E(X)=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_{i}p(x_i)\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$

为随机变量 $X$ 的数学期望, 或称为该分布的数学期望, 简称期望或均值. 若级数 ${\sum }_{i=1}^{\infty }|x_i|p(x_i)$ 不收敛, 则称 $X$ 的数学期望不存在. 以上定义中,要求级数绝对收敛的目的在于使数学期望唯一.因为随机变量的取值可正可负,取值次序可先可后,由无穷级数的理论知道,如果此无穷级数绝对收敛,则可保证其和不受次序变动的影响.由于有限项的和不受次序变动的影响,故取有限个可能值的随机变量的数学期望总是存在的. 连续随机变量数学期望的定义和含义完全类似于离散随机变量场合, 只要将求和改为求积分即可.

定义 2.2.2

设连续随机变量 $X$ 的密度函数为 $p(x)$ . 如果

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x|p(x)\mathrm{d}x<\infty ,$$

则称

$$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xp(x)\mathrm{d}x\text{\hspace{1em}(2.2.2)}$$

为 $X$ 的数学期望, 或称为该分布 $p(x)$ 的数学期望, 简称期望或均值. 若 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|x|p(x)\mathrm{d}x$ 不收敛, 则称 $X$ 的数学期望不存在. 数学期望 $E(X)$ 的物理解释是重心. 若把概率 $p(x_i)=P(X=x_i)$ 看作点 $x_i$ 上的质量, 概率分布看作质量在 $x$ 轴上的分布, 则 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 就是该质量分布的重心所在位置, 详见图 2.2.1.

图 2.2.1 概率质量模型: 同时抛五颗骰子, 6 点出现个数 X 的数学期望 $E(X)=5/6$ 就是重心所在的位置

数学期望的理论意义是深刻的,它是消除随机性的主要手段,这在本书以后各章中会清楚地看出. 数学期望在实际中应用广泛, $E(X)$ 常作为$X$的分布的代表(一种统计指标)参与同类指标的比较.如一盘磁带上的缺陷数有多有少,有随机性,不好比较,但多盘磁带上的平均缺陷数(期望值)可以比较,其越少越好.下面的实际例子将告诉人们数学期望应用的广泛性.

例 2.2.2

在一个人数为 $N$ 的人群中普查某种疾病,为此要抽验 $N$ 个人的血.如果将每个人的血分别检验,则共需检验 $N$ 次.为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按 $k$ 个人一组进行分组,把同组 $k$ 个人的血样混合后检验,如果混合血样呈阴性反应,就说明这 $k$ 个人的血都呈阴性反应,这 $k$ 个人都无此疾病,因而这 $k$ 个人只要检验 1 次就够了,相当于每个人检验 1/k 次,检验的工作量明显减少了.如果混合血样呈阳性反应,就说明这 $k$ 个人中至少有一人的血呈阳性反应,则再对这 $k$ 个人的血样分别进行检验,因而这 $k$ 个人的血要检验 1+k 次,相当于每个人检验 1+1/k 次,这时增加了检验次数.假设该疾病的发病率为 $p$,且得此疾病相互独立.试问此种方法能否减少平均检验次数?

解

令 $X$ 为该人群中每个人需要的验血次数, 则 $X$ 的分布列为

X	1/k	1+1/k
P	$(1-p{)}^k$	$1-(1-p{)}^k$

所以每人平均验血次数为

$$E(X)=\frac{1}{k}(1-p{)}^k+\left(1+\frac{1}{k}\right)[1-(1-p{)}^k]=1-(1-p{)}^k+\frac{1}{k}.$$

由此可知,只要选择 $k$ 使

$$1-(1-p{)}^k+\frac{1}{k}<1\text{或}(1-p{)}^k>\frac{1}{k},$$

就可减少验血次数,而且还可适当选择 $k$ 使 $E(X)$ 达到最小.譬如,当 $p=0.1$ 时,对不同的 $k,E(X)$ 的值如表2.2.1所示.从表中可以看出:当 $k⩾34$ 时,平均验血次数超过1,即比分别检验的工作量还大;而当 $k⩽33$ 时,平均验血次数在不同程度上得到了减少,特别在 $k=4$ 时,平均验血次数最少,验血工作量可减少 $40\%$ . 表 2.2.1 $p=0.1$ 时的 $E\left(X\right)$ 值

k	2	3	4	5	8	10	30	33	34
E(X)	0.690	0.604	0.594	0.610	0.695	0.751	0.991	0.999 4	1.001 6

我们也可以对不同的发病率 $p$ 计算出最佳的分组人数 $k_0$ ，见下表2.2.2.从表中也可以看出：发病率 $p$ 越小，则分组检验的效益越大。譬如在 $p=0.01$ 时，若取11人为一组进行验血，则验血工作量可减少 $80\%$ 左右。这正是美国二战期间大量征兵时，对新兵验血所采用的减少工作量的措施。 表 2.2.2 不同发病率 $p$ 时的最佳分组人数 $k_0$ 及其 $E(X)$

$p$	0.14	0.10	0.08	0.06	0.04	0.02	0.01
$k_0$	3	4	4	5	6	8	11
$E(X)$	0.697	0.594	0.534	0.466	0.384	0.274	0.196

例 2.2.3

每张福利彩票售价 5 元, 各有一个兑奖号. 每售出 100 万张设一个开奖组, 用摇奖器当众摇出一个 6 位数的中奖号码 (可以认为从 000 000 到 999 999 的每个数都等可能出现), 兑奖规则如下: (1) 兑奖号与中奖号码的最后一位相同者获六等奖, 奖金 10 元.
(2) 兑奖号与中奖号码的最后二位相同者获五等奖, 奖金 50 元. (3) 兑奖号与中奖号码的最后三位相同者获四等奖, 奖金 500 元.
(4) 兑奖号与中奖号码的最后四位相同者获三等奖, 奖金 5000 元.
(5) 兑奖号与中奖号码的最后五位相同者获二等奖, 奖金 50 000 元.
（6）兑奖号与中奖号码全部相同者获一等奖，奖金500 000元.另外规定，只领取其中最高额的奖金.试求每张彩票的平均所得奖金额

解

以 $X$ 记一张彩票的奖金额, 则 $X$ 的分布列如下:

X	500 000	50 000	5 000	500	50	10	0
P	0.000 001	0.000 009	0.000 09	0.000 9	0.009	0.09	0.9

所以每张彩票的平均所得为

$$E(X)=0.5+0.45+0.45+0.45+0.45+0.9+0=\mathrm{3.2.}$$

这也意味:每一开奖组把筹得的500万元中的320万元以奖金形式返回给彩民,其余180万元则可用于福利事业及管理费用. 从这个例子也可以看出,彩票中奖与否是随机的,但一种彩票的平均所得是可以预先算出的,计算平均所得是设计一种彩票的基础.在我国,彩票发行由民政部门管理,只有当收益主要用于公益事业才被允许发行彩票.发行任一种彩票事先都要进行周密设计.

例 2.2.4

设 $X$ 服从区间 $(a,b)$ 上的均匀分布, 求 $E(X)$ .

解

由例2.1.7知 $X$ 的密度函数为

$$p(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{1}{b-a},& a<x<b,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

所以

$$E(X)={\int }_a^{b}x\cdot \frac{1}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{1}{b-a}\cdot \frac{x^2}{2}{|}_a^b=\frac{a+b}{2}.$$

这个结果是可以理解的, 因为 $X$ 在区间 $(a,b)$ 上的取值是均匀的, 所以它的平均取值当然应该是 $(a,b)$ 的“中点”, 即 $(a+b)/2$ .

例 2.2.5

柯西分布的数学期望不存在. 因为柯西分布的密度函数为

$$p(x)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{1+x^2},-\infty <x<\infty .$$

所以由

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x|\cdot \frac{1}{\pi }\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\infty ,$$

知 $E(X)$ 不存在.

2.2.3 数学期望的性质

按照随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 的定义, $E(X)$ 由其分布唯一确定. 若要求随机变量 $X$ 的一个函数 $g(X)$ (仍是随机变量) 的数学期望, 当然要先求出 $Y=g(X)$ 的分布, 再用此分布来求 $E(Y)$ . 这一过程可用下面例子说明.

例 2.2.6

已知随机变量 $X$ 的分布列如下:

X	-2	-1	0	1	2
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

要求 $Y=X^2$ 的数学期望,为此要分两步进行: 第一步,先求 $Y=X^2$ 的分布,这可从 $X$ 的分布导出,即

$X^2$	$(-2{)}^2$	$(-1{)}^2$	$0^2$	$1^2$	$2^2$
P	0.2	0.1	0.1	0.3	0.3

然后对相等的值进行合并,并把对应的概率相加,可得

$X^2$	0	1	4
P	0.1	0.4	0.5

第二步,利用 $X^2$ 的分布求 $E(X^2)$ , 即得

$$E(X^2)=0\times 0.1+1\times 0.4+4\times 0.5=\mathrm{2.4.}$$

假如我们用等值合并前的分布求 $E(X^2)$ ，可得相同的结果

$$E\left(X^2\right)=(-2{)}^2\times 0.2+(-1{)}^2\times 0.1+0^2\times 0.1+1^2\times 0.3+2^2\times 0.3=\mathrm{2.4.}$$

这两种算法本质上是一回事,但后者的计算实质上是在 $X$ 的分布 $(-2,-1,0,1,2)$ 基础上、而将取值改为 $((-2{)}^2,(-1{)}^2,0^2,1^2,2^2)$ 计算出来的.由此启发我们:若进一步要求 $E(X^3)$ 和 $E(X^4)$ ,我们不需要先求 $X^3$ 的分布和 $X^4$ 的分布,而直接用 $X$ 的分布来求,具体如下:

$$E\left(X^3\right)=(-2{)}^3\times 0.2+(-1{)}^3\times 0.1+0^3\times 0.1+1^3\times 0.3+2^3\times 0.3=1.$$$$E(X^4)=(-2{)}^4\times 0.2+(-1{)}^4\times 0.1+0^4\times 0.1+1^4\times 0.3+2^4\times 0.3=\mathrm{8.4.}$$

一般场合,有如下定理.

定理 2.2.1

若随机变量 $X$ 的分布用分布列 $p(x_i)$ 或用密度函数 $p(x)$ 表示，则 $X$ 的某一函数 $g(X)$ 的数学期望为

$$E\left[g(X)\right]=\{\begin{array}{ll}{\sum }_{i}g(x_i)p(x_i),& \text{在离散场合},\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)p(x)\mathrm{d}x,& \text{在连续场合}.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.2.3)}$$

这里所涉及的数学期望都假定存在. 这个定理的证明涉及更多的工具,在此省略了.现基于这个定理来证明数学期望的几个常用性质,以下均假定所涉及的数学期望是存在的.

性质 2.2.1

若 $c$ 是常数, 则 $E(c)=c$ .

证明

如果将常数 $c$ 看作仅取一个值的随机变量 $X$ , 则有 $P(X=c)=1$ , 从而其数学期望 $E(c)=E(X)=c\times 1=c$ .

性质 2.2.2

对任意常数 $a$ ，有

$$E(aX)=aE(X).\text{\hspace{1em}(2.2.4)}$$

证明

在(2.2.3)式中令 $g(x)=ax$ ，然后把 $a$ 从求和号或积分号中提出来即得.

性质 2.2.3

对任意的两个函数 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$ ，有

$$E\left[g_1(X)\pm g_2(X)\right]=E\left[g_1(X)\right]\pm E\left[g_2(X)\right].\text{\hspace{1em}(2.2.5)}$$

证明

在(2.2.3)式中令 $g(x)=g_1(x)\pm g_2(x)$ , 然后把和式分解成两个和式, 或把积分分解成两个积分即得.

例 2.2.7

某公司经销某种原料,根据历史资料表明:这种原料的市场需求量 X(单位:吨)服从(300,500)上的均匀分布.每售出 1 吨该原料,公司可获利 1.5(千元);若积压 1 吨,则公司损失 0.5(千元).问公司应该组织多少货源,可使平均收益最大?

解

设公司组织该货源 $a$ 吨. 则显然应该有 $300⩽a⩽500$ . 又记 $Y$ 为在 $a$ 吨货源的条件下的收益额 (单位: 千元), 则收益额 $Y$ 为需求量 $X$ 的函数, 即 $Y=g(X)$ . 由题设条件知: 当 $X⩾a$ 时, 则此 $a$ 吨货源全部售出, 共获利 1.5a. 当 $X<a$ 时, 则售出 $X$ 吨 (获利 1.5X), 且还有 $a-X$ 吨积压 (获利 $-0.5(a-X)$ ), 所以共获利 $1.5X-0.5(a-X)$ , 由此知

$$g(X)=\{\begin{array}{ll}1.5a,& \text{若}X⩾a,\\ 1.5X-0.5(a-X),& \text{若}X<a\end{array}=\{\begin{array}{ll}1.5a,& \text{若}X⩾a,\\ 2X-0.5a,& \text{若}X<a.\end{array}$$

由定理2.2.1和均匀分布可得

$$E(Y)={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)p_X(x)\mathrm{d}x={\int }_{300}^{500}g(x)\frac{1}{200}\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{l}=\frac{1}{200}({\int }_a^{500}1.5a\mathrm{d}x+{\int }_{300}^a(2x-0.5a)\mathrm{d}x)\\ =\frac{1}{200}(-a^2+900a-300^2).\end{array}$$

上述计算表明 $E(Y)$ 是 $a$ 的二次函数, 用通常求极值的方法可以求得: 当 a = 450 吨时, 能使 $E(Y)$ 达到最大, 即公司应该组织货源 450 吨.

习题2.2

1. 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为

   X	-2	0	2
   P	0.4	0.3	0.3

   试求 $E(X)$ 和 $E(3X+5)$ .
2. 某商店根据历年销售资料得知:一位顾客在商店中消费的金额 X(百元) 的分布列为

   X	0	1	2	3	4	5
   P	0.10	0.33	0.31	0.13	0.09	0.04

   试求顾客在商店的平均消费金额.
3. 某地区一个月内发生重大交通事故数 $X$ 服从如下分布：

   X	0	1	2	3	4	5	6
   P	0.301	0.362	0.216	0.087	0.026	0.006	0.002

   试求该地区发生重大交通事故的月平均数.
4. 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶, 现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶, 记 $X$ 为8桶中被污染的桶数, 试求 $X$ 的分布列, 并求 $E(X)$ .
5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(单位:$g$):(甲)1,2,2,5,10;(乙)1,2,3,4,10;(丙)1,1,2,5,10,称重时只能使用一组砝码.问:若物品的质量为 $1\mathrm{g},2\mathrm{g},\cdots ,10\mathrm{g}$ 的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?
6. 假设有十只同种电器元件, 其中有两只不合格品. 装配仪器时, 从这批元件中任取一只, 如是不合格品, 则扔掉重新任取一只; 如仍是不合格品, 则扔掉再取一只, 试求在取到合格品之前, 已取出的不合格品只数的数学期望.
7. 对一批产品进行检查, 如查到第 $a$ 件全为合格品, 就认为这批产品合格; 若在前 $a$ 件中发现不合格品即停止检查, 且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是 $p$ . 问每批产品平均要查多少件?
8. 某人参加“答题秀”，一共有问题1和问题2两个问题，他可以自行决定回答这两个问题的顺序。如果他先回答问题 $i(i=1,2)$ ，那么只有回答正确，他才被允许回答另一题。如果他有 $60\%$ 的把握答对问题1，而答对问题1将获得200元奖励；有 $80\%$ 的把握答对问题2，而答对问题2将获得100元奖励。问他应该先回答哪个问题，才能使获得奖励的期望值最大？
9. 某人想用 10 000 元投资于某股票,该股票当前的价格是 2 元/股,假设一年后该股票等可能地为 1 元/股和 4 元/股.而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大,则现在就购买;若期望一年后所拥有的股票数量达到最大,则一年以后购买.试问理财顾问的建议是否正 确？为什么？
10. 保险公司的某险种规定: 如果某个事件 $A$ 在一年内发生了, 则保险公司应付给投保户金额 $a$ 元, 而事件 $A$ 在一年内发生的概率为 $p$. 如果保险公司向投保户收取的保费为 ka, 则问 $k$ 为多少, 才能使保险公司期望收益达到 $a$ 的 10%?
11. 某厂推土机发生故障后的维修时间 $T$ 是一个随机变量(单位:$h$)，其密度函数为

$$p(t)=\{\begin{array}{ll}0.02e^{-0.02t},& t>0,\\ 0,& t⩽0,\end{array}$$

试求平均维修时间. 12. 某新产品在未来市场上的占有率 $X$ 是在区间 $(0,1)$ 上取值的随机变量, 它的密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}4{\left(1-x\right)}^3,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

试求平均市场占有率. 13. 设随机变量 $X$ 的密度函数如下, 试求 $E(2X+5)$ .

$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}$$

14. 设随机变量 $X$ 的分布函数如下, 试求 $E(X)$ .

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{e}}^x}{2},& x<0,\\ \frac{1}{2},& 0⩽x<1,\\ 1-\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}(x-1)},& x⩾1.\end{array}$$

15. 设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}a+b{x}^2,& 0⩽x⩽1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

如果 $E(X)=\frac{2}{3}$ , 求 $a$ 和 $b$ . 16. 某工程队完成某项工程的时间 $X$ (单位: 月) 是一个随机变量, 它的分布列为

X	10	11	12	13
P	0.4	0.3	0.2	0.1

(1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数； (2) 设该工程队所获利润为 $Y=50(13-X)$ ，单位为万元，试求工程队的平均利润； (3) 若该工程队调整安排, 完成该项工程的时间 $X_1$ (单位: 月) 的分布为

$X_1$	10	11	12
P	0.5	0.4	0.1

则其平均利润可增加多少？ 17. 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2},& 0⩽x⩽\pi ,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

对 $X$ 独立重复观察4次， $Y$ 表示观察值大于 $\pi /3$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望. 18. 设随机变量 $X$ 的密度函数为

$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8}{x}^2,& 0<x<2,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

试求 $\frac{1}{X^2}$ 的数学期望. 19. 设 $X$ 为仅取非负整数的离散随机变量, 若其数学期望存在, 证明: (1) $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }P(X⩾k)$ ; (2) ${\sum }_{k=0}^{\infty }kP(X>k)=\frac{1}{2}(E(X^2)-E(X))$ . 20. 设连续随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，且数学期望存在，证明：

$$E(X)={\int }_0^{\infty }[1-F(x)]\mathrm{d}x-{\int }_{-\infty }^{0}F(x)\mathrm{d}x.$$

21. 设 $X$ 为非负连续随机变量, 若 $E(X^n)$ 存在, 试证明: (1) $E(X)={\int }_0^{\infty }P(X>x)\mathrm{d}x;$ (2) $E(X^n)={\int }_0^{\infty }n{x}^{n-1}P(X>x)\mathrm{d}x.$