第1章 习题参考答案

习题参考答案

习题1.1 答案

1. (1) $\Omega =\{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)\}$ , 其中 0 表示反面, 1 表示正面.

(2) $\Omega =\left\{(x,y,z)\mid x,y,z=1,2,3,4,5,6\right\}$ .

(3) $\Omega =\left\{(1),(0,1),(0,0,1),(0,0,0,1),\cdots \right\}$

(4) $\Omega =\{BB,BW,BR,WB,WW,WR,RB,RW,RR\}$ ，其中 $B$ 表示黑球，$W$ 表示白球，$R$ 表示红球.

(5) $\Omega =\{BW,BR,WB,WR,RB,RW\}$ ，其中 $B$ 表示黑球，$W$ 表示白球，$R$ 表示红球.

2. $\Omega =\{Z1,Z2,Z3,Z4,Z5,Z6,FF,FZ\}$ .

3. (1) $ABC\cup \overline{A}\overline{B}\overline{C}$ ; (2) $\overline{A}\overline{B}\overline{C}\cup A\overline{B}\overline{C}\cup \overline{A}B\overline{C}\cup \overline{A}\overline{B}C$ ; (3) $\overline{ABC}=\overline{A}\cup \overline{B}\cup \overline{C}$ ;

(4) $AB\cup AC\cup BC$ .

4. (1) $A\supset B$ ; (2) $B\supset A$ ; (3) $AB=\varnothing$ .

5. (1) $\bar{A}B=\{x\mid 0.25⩽x⩽0.5\}\cup \{x\mid 1<x<1.5\}$ ;

(2) $\bar{A}\cup B=\Omega =\{x\mid 0⩽x⩽2\}$ ;

(3) $\overline{AB}=\overline{A}=\{x\mid 0⩽x⩽0.5\}\cup \{1<x⩽2\}$ ;

(4) $\overline{A\cup B}=\bar{B}=\{x\mid 0⩽x<0.25\}\cup \{x\mid 1.5⩽x⩽2\}$ .

6. $A=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ $B=\{(1,1,1)\},$ $C=\{(0,0,0)\},$ $D=\varnothing .$

7. 成立的为(2)，不成立的为(1)(3)(4). 8. 不一定.

9.（1） $\bar{A}=$ “掷两枚硬币，至少有一反面”；（2） $\bar{B}=$ “射击三次，至少一次不命中目标”；

(3) $\bar{C}=$ “加工四个零件,全部为不合格品”.

10—11. 略.

习题 1.2

1. 略 2. $\frac{7}{8}$ . 3. $\frac{1}{2}$ . 4. (1) $\frac{5}{36}$ ; (2) $\frac{15}{36}$ ; (3) $\frac{11}{36}$ . 5. $p=\frac{19}{36}$ , $q=\frac{1}{18}$ .

2. (1) 0.0026; (2) 0.0106; (3) 0.1055; (4) 0.1104. 7. $\frac{7}{12},\frac{7}{18},\frac{1}{36}$ .

3. (1) $\frac{8}{15}$ ; (2) $\frac{7}{15}$ . 9. $\frac{19}{40}$ . 10. $\frac{{\mathrm{C}}_{k-1}^1{\mathrm{C}}_{n-k}^1}{{\mathrm{C}}_n^2}$ 11. (1) $\frac{1}{21}$ ; (2) $\frac{2}{105}$ .

4. (1) $\frac{5^3}{6^3}$ ; (2) $\frac{5^3-4^3}{6^3}$ . 13. $\frac{1}{30}$ . 14. $\frac{2}{n-1}$ . 15. 略. 16. $\frac{8}{15}$ . 17. $\frac{n+1}{C_{2n}^n}$ .

5. $\frac{X}{P}$ $\frac{0}{\frac{1}{3}}$ $\frac{1}{\frac{8}{15}}$ $\frac{2}{\frac{2}{15}}$ 19. $\frac{{\mathrm{C}}_{n+1}^m}{{\mathrm{C}}_{n+m}^m}.$

6. $\frac{X}{P}$ $\frac{1}{\frac{3}{8}}$ $\frac{2}{\frac{9}{16}}$ $\frac{3}{\frac{1}{16}}$ 21.0.212.

7. (1) $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-k-2}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n}\right)},0⩽k⩽n;$ (2) $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{m}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{N-m-1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n}\right)},N-n⩽m⩽N-1;$

(3) $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+j-1}{m-1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-m+n-j-1}{n-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n}\right)},1⩽m⩽N,0⩽j⩽n.$

23. 0.82. 24. 0.879. 25. $\frac{a+b+c}{d\pi }$ . 26. 0.866. 27. $\frac{2}{3}$ . 28. 0.596 6. 29—30. 略.

习题 1.3

1. (1) 0.8; (2) 0; (3) 0.3. 2. (4)(6) 是正确的. 3. $\frac{1}{9}$ .

2. (1) $\frac{7}{15}$ ; (2) $\frac{14}{15}$ ; (3) $\frac{7}{30}$ . 5. (1) $0.05$ ; (2) $0.25$ ; (3) $0.40$ ; (4) $0.60$ .

3. $\frac{10}{13}$ . 7. $p_1=0.5177$ , $p_2=0.4914$ . 8. $1-\frac{8^n+5^n-4^n}{9^n}$ .

4. $1-\frac{(n-1{)}^{k-1}}{n^k}$ 10.略. 11.0.5. 12.（1） $\frac{1}{25}$ （2） $\frac{12}{25}$ 13.0.6181.

5. $1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n!}.$

6. (1) $P(AB)=P(A)$ 时, $P(AB)$ 达到最大值0.6; (2) $P(A\cup B)=1$ 时, $P(AB)$ 达到最小值0.4. 16. 1-p. 17. 0.7. 18—23. 略.

习题 1.4

1. (1) 0.25; (2) 0.4. 2. $\frac{12}{19}$ . 3. $P(A|B)=\frac{1}{15}$ , $P(B|A)=\frac{1}{3}$ . 4. $\frac{5}{8}$ .

2. 0.125. 6. $\frac{n-m-1}{n+m-1}$ . 7. $P(B|A)=\frac{13}{30}$ , $P(A|B)=\frac{13}{15}$ . 8. $\frac{3}{4}$ .

3. 0.25. 10. $\frac{7}{12}$ . 11. (1) $\frac{1}{n+1}$ ; (2) $\frac{1}{n(n+1)}$ . 12. $\frac{4}{5}$ .

4. (1) $\frac{a(n+1)+bn}{(a+b)(n+m+1)}$ ; (2) $\frac{a(a-1)(n+2)+2ab(n+1)+b(b-1)n}{(a+b)(a+b-1)(n+m+2)}$ . 14. $\frac{a}{a+b}$ .

5. 0.51. 16. (1) 0.96; (2) 0.5. 17. (1) 0.5; (2) 0.5068.

6. (1) 0.8; (2) 0.5. 19. 0.954 4. 20. $\frac{2}{3}$ . 21. $\frac{1}{(2n-1)!!}$ .

7. $\frac{1}{m}\left[1-{\left(\frac{-1}{m-1}\right)}^{n-2}\right],n=2,3,\cdots .$ 23. $\frac{1}{2}\left[1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\right],n=2,3,\cdots .$

8. $\frac{1}{2}\left[1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right],n=1,2,\cdots .$ 25. $\frac{1}{2}\left[1+(2p-1{)}^{n-1}\right],n=2,3,\cdots .$

26—33. 略.

习题 1.5

1. $\frac{3}{5}$ . 2. (1) 0.72; (2) 0.98; (3) 0.26. 3. 0.851.

2. (1) 0.552; (2) 0.012; (3) 0.328.

3. (1) 0.003; (2) 0.388; (3) 0.059. 6. (1) $\frac{26}{27}$ ; (2) $\frac{2}{9}$ ; (3) $\frac{7}{27}$ .

4. 0. 8. (1) 0.5; (2) $\frac{5}{6}$ ; (3) 0.9. 9. (1) 0.5; (2) 0.25.

5. $P(A)=P(B)=0.5$ . 11. $\frac{3}{4}$ . 12. 13门. 13. 4. 14. $\frac{2}{3}$ . 15. 5. 16. 0.75.

6. (1) 0.3324; (2) 149位. 18. (1) 0.0507; (2) 0.0341.

7. 五局三胜制对甲更有利.

8. 甲得冠军的概率 $\frac{5}{14}$ , 乙得冠军的概率 $\frac{5}{14}$ , 丙得冠军的概率 $\frac{2}{7}$ .

21.（1）甲得全部赌本的 $\frac{1}{2}$ ，乙得全部赌本的 $\frac{1}{2}$ ；（2）甲得全部赌本的 $\frac{11}{16}$ ，乙得全部赌本的 $\frac{5}{16}$ ；

（3）记 $a={\mathrm{C}}_{n+m-1}^0+{\mathrm{C}}_{n+m-1}^1+\cdots +{\mathrm{C}}_{n+m-1}^{m-1},b={\mathrm{C}}_{n+m-1}^m+{\mathrm{C}}_{n+m-1}^{m+1}+\cdots +{\mathrm{C}}_{n+m-1}^{n+m-1}$ ，则甲得全部赌本的 $\frac{a}{2^{n+m-1}}$ ，乙得全部赌

本的 $\frac{b}{2^{n+m-1}}$

22. 0.668 2. 23—25. 略.