第6章奇数习题答案 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

第6章习题答案

6.1

5, 8, $\frac{8}{5}$ 3. $\begin{bmatrix} 3 / 35 \\ -1 / 35 \\ -1 / 7 \end{bmatrix}$ 5. $\begin{bmatrix} 8 / 13 \\ 12 / 13 \end{bmatrix}$
$\sqrt{35}$ 9. $\left[ \begin{array}{c} -0.6\\ 0.8 \end{array} \right]$ 11. $\left[ \begin{array}{c}7 / \sqrt{69}\\ 2 / \sqrt{69}\\ 4 / \sqrt{69} \end{array} \right]$
$5\sqrt{5}$ 15.不正交
正交
写出答案之后参考“学习指导”.
提示：用 2.1 节的定理3 和 2.
$u \cdot v = 0, \left\|u\right\|^{2} = 30, \left\|v\right\|^{2} = 101, \left\|u + v\right\|^{2} = (-5)^{2} + (-9)^{2} + 5^{2} = 131 = 30 + 101.$
所有 $\begin{bmatrix} -b \\ a \end{bmatrix}$ 的倍数的集合(当 $v \neq 0$ ).
提示：用正交性的定义．
提示：考虑一个属于 $W$ 的典型向量 $w = c_{1}v_{1} + \cdots + c_{p}v_{p}$ .
提示：如果 $x$ 属于 $W^{\perp}$ ，那么 $x$ 与 $W$ 中任一向量正交．
[ $M$ ]说明你的猜测并给出代数验证．

6.2

不正交 3. 不正交 5. 正交
证明 $\pmb{u}_{1} \cdot \pmb{u}_{2} = 0$ ，注意到定理4且观察到 $\mathbb{R}^{2}$ 中两个线性无关向量构成一个基，那么得到 $\pmb{x} = \frac{39}{13}\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} + \frac{26}{52}\begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}$
证明 $\pmb{u}_{1} \cdot \pmb{u}_{2} = 0, \pmb{u}_{1} \cdot \pmb{u}_{3} = 0$ 且 $\pmb{u}_{2} \cdot \pmb{u}_{3} = 0$ ．注意到定理4且观察到 $\mathbb{R}^3$ 中线性无关向量构成一个基，那么得到 $x = \frac{5}{2} u_{1} - \frac{27}{18} u_{2} + \frac{18}{9} u_{3} = \frac{5}{2} u_{1} - \frac{3}{2} u_{2} + 2u_{3}$ .
$\left[ \begin{array}{c}-2\\ 1 \end{array} \right]$ 13. $y = \left[ \begin{array}{c}-4 / 5\\ 7 / 5 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c}14 / 5\\ 8 / 5 \end{array} \right]$
$y - \hat{y} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ -0.8 \end{bmatrix}$ ，距离是1.

\left[ \begin{array}{c} 1 / \sqrt {3} \\ 1 / \sqrt {3} \\ 1 / \sqrt {3} \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} - 1 / \sqrt {2} \\ 0 \\ 1 / \sqrt {2} \end{array} \right]

单位正交 21. 单位正交
见“学习指导”.
提示： $\left\|Ux\right\|^{2}=(Ux)^{\mathrm{T}}(Ux)$ ，同样，（ $a$ ）和（ $c$ ）可从（ $b$ ）得到．
提示：你需要两个定理，其中一个仅应用于方阵．
提示：如果你有一个候补逆，则可以检查这个候补是否可行．
假设 $\hat{\mathbf{y}} = \frac{\mathbf{y} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$ ．对 $c \neq 0$ 用 $c\mathbf{u}$ 代替 $\mathbf{u}$ ; 那么 $\frac{\mathbf{y} \cdot (c\mathbf{u})}{(c\mathbf{u}) \cdot (c\mathbf{u})}(c\mathbf{u}) = \frac{c(\mathbf{y} \cdot \mathbf{u})}{c^2\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}(c)\mathbf{u} = \hat{\mathbf{y}}$
设 $L = \operatorname{Span}\{\pmb{u}\}$ ，其中 $\pmb{u}$ 非零，记 $T(\pmb{x}) = \mathrm{proj}_L\pmb{x}$ ，根据定义， $T(\pmb{x}) = \frac{\pmb{x} \cdot \pmb{u}}{\pmb{u} \cdot \pmb{u}}\pmb{u} = (\pmb{x} \cdot \pmb{u})(\pmb{u} \cdot \pmb{u})^{-1}\pmb{u}$ 对 $\mathbb{R}^n$ 中的 $\pmb{x}$ 和 $\pmb{y}$ 以及任意数 $c$ 和 $d$ ，内积的性质（定理1）说明 $T(cx + dy) = [(cx + dy) \cdot u](u \cdot u)^{-1}u$ $= [c(x \cdot u) + d(y \cdot u)](u \cdot u)^{-1}u$ $= c(x \cdot u)(u \cdot u)^{-1}u + d(y \cdot u)(u \cdot u)^{-1}u$ $= cT(x) + dT(y)$

因此 $T$ 是线性的．

6.3

$x = -\frac{8}{9}u_{1} - \frac{2}{9}u_{2} + \frac{2}{3}u_{3} + 2u_{4}; x = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 10 \\ -6 \\ -2 \\ 2 \end{bmatrix}$ 3. $\begin{bmatrix}-1\\ 4\\ 0\end{bmatrix}$ 5. $\begin{bmatrix}-1\\ 2\\ 6\end{bmatrix}=y$
$y=\begin{bmatrix}10/3\\2/3\\8/3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-7/3\\7/3\\7/3\end{bmatrix}$ 9. $y=\begin{bmatrix}2\\4\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\-1\\3\\-1\end{bmatrix}$

\left[ \begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ - 2 \\ 3 \end{array} \right]

$\sqrt{40}$
$a$ . $U^{T}U=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, UU^{T}=\begin{bmatrix}8/9 & -2/9 & 2/9 \\ -2/9 & 5/9 & 4/9 \\ 2/9 & 4/9 & 5/9\end{bmatrix}$

$b$ . $\operatorname{proj}_{w}\mathbf{y}=6\mathbf{u}_{1}+3\mathbf{u}_{2}=\begin{bmatrix}2\\ 4\\ 5\end{bmatrix}$ ，且 $(UU^{\mathrm{T}})\mathbf{y}=\begin{bmatrix}2\\ 4\\ 5\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 \\ 2 / 5 \\ 1 / 5 \end{bmatrix}$ 的任何倍数，如 $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ .
在查阅“学习指导”之前，写出答案．
提示：用定理3 和正交分解定理．对唯一性，假设 $A\boldsymbol{p} = \boldsymbol{b}$ 和 $A\boldsymbol{p}_1 = \boldsymbol{b}$ ，考虑方程 $\boldsymbol{p} = \boldsymbol{p}_1 + (\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}_1)$ 和 $\boldsymbol{p} = \boldsymbol{p} + \boldsymbol{0}$ .
[ $M$ ]由6.2节定理6，因为 $U^{\mathrm{T}}U = I_{k}$ ，所以 $U$ 有单位正交列。Col $U$ 中离 $\pmb{y}$ 最近的点是 $\pmb{y}$ 在Col $U$ 。由定理10， $\hat{\mathbf{y}}$ 。由定理10， $\hat{\mathbf{y}} = UU^{\mathrm{T}}\mathbf{y} = (1.2,0.4,1.2,1.2,0.4,1.2,0.4,0.4)$

6.4

\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} - 1 \\ 5 \\ - 3 \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{c} 2 \\ - 5 \\ 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 3 / 2 \\ 3 / 2 \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ - 4 \\ - 1 \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{c} 2 / \sqrt {3 0} \\ - 5 / \sqrt {3 0} \\ 1 / \sqrt {3 0} \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{l} 2 / \sqrt {6} \\ 1 / \sqrt {6} \\ 1 / \sqrt {6} \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 3 \\ - 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} - 3 \\ 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right]

\left[ \begin{array}{r} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 3 \\ - 3 \\ 3 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \\ - 2 \end{array} \right]

$R=\begin{bmatrix}6 & 12 \\ 0 & 6\end{bmatrix}$

? = \left[ \begin{array}{c c c} 1 / \sqrt {5} & 1 / 2 & 1 / 2 \\ - 1 / \sqrt {5} & 0 & 0 \\ - 1 / \sqrt {5} & 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / \sqrt {5} & - 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / \sqrt {5} & 1 / 2 & - 1 / 2 \end{array} \right]

R = \left[ \begin{array}{c c c} \sqrt {5} & - \sqrt {5} & 4 \sqrt {5} \\ 0 & 6 & - 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right]

见“学习指导”.
若 $x$ 满足 $Rx = 0$ ，那么 $QRx = Q0 = 0$ ，且 $Ax = 0$ 。由于 $A$ 的列是线性无关的，因此 $x$ 必为零。这个事实反过来说明 $R$ 的列是线性无关的。因为 $R$ 是方阵，由可逆矩阵定理可知它是可逆的。
记 $Q$ 的列为 $q_{1}, \cdots, q_{n}$ ，注意 $n \leqslant m$ ，因为 $A$ 是 $m \times n$ 且有线性无关的列。利用以下事实： $Q$ 的列可以扩充为 $R^{m}$ 的一个标准正交基，如 $\{q_{1}, \cdots, q_{m}\}$ （“学习指导”描述了一个方法）。取 $Q_{0} = [q_{n+1} \cdots q_{m}]$ 那么 $Q_{1} = [Q Q_{0}]$ 。利用分块矩阵乘积， $Q_{1} \begin{bmatrix} R \\ 0 \end{bmatrix} = QR = A$ 。
提示：将 $R$ 作为 $2 \times 2$ 分块矩阵．
[ $M$ ] R 的对角元素是 20, 6, 10.3923 和 7.0711, 精确到 4 位小数．

6.5

$a$ . $\begin{bmatrix} 6 & -11 \\ -11 & 22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 11 \end{bmatrix}$ b. $\hat{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$
$a$ . $\begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 42 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \end{bmatrix}$ b. $\hat{x} = \begin{bmatrix} 4 / 3 \\ -1 / 3 \end{bmatrix}$
$\hat{x}=\begin{bmatrix}5\\ -3\\ 0\end{bmatrix}+x_{3}\begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}$
$2\sqrt{5}$
$a$ . $\hat{\pmb{b}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ b. $\hat{\pmb{x}} = \begin{bmatrix} 2 / 7 \\ 1 / 7 \end{bmatrix}$
$a$ .

\hat {\boldsymbol {b}} = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \\ - 1 \end{array} \right]

\hat {\boldsymbol {x}} = \left[ \begin{array}{c} 2 / 3 \\ 0 \\ 1 / 3 \end{array} \right]

$A\pmb {u} = \left[ \begin{array}{c}11\\ -11\\ 11 \end{array} \right],\qquad A\pmb {v} = \left[ \begin{array}{c}7\\ -12\\ 7 \end{array} \right],\qquad \pmb {b} - A\pmb {u} = \left[ \begin{array}{c}0\\ 2\\ -6 \end{array} \right],$ $\pmb{b} - A\pmb{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ ．否， $\pmb{u}$ 不可能是 $Ax = \pmb{b}$ 的一个最小二乘解．为什么?
$\hat{x}=\begin{bmatrix}4\\ -1\end{bmatrix}$ 17. 见“学习指导”.
$a$ ．如果 Ax=0，那么 $A^{T}Ax=A^{T}0=0$ ，这说明 Nul A 包含在 Nul $A^{T}A$ 中． b. 如果 $A^{T}Ax=0$ ，那么 $x^{T}A^{T}Ax=x^{T}0=0$ ，所以 $(Ax)^{\mathrm{T}}(Ax)=0$ （这说明 $\|Ax\|^{2}=0$ ），因此 Ax=0。这说明 Nul $A^{T}A$ 包含在 Nul A 中。
提示：对（ $a$ ），利用第2章的一个重要定理．
由定理14, $\hat{\pmb{b}} = A\hat{\pmb{x}} = A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}\pmb{b}$ ．矩阵 $A(A^{\mathrm{T}}A)^{-1}A^{\mathrm{T}}$ 在统计中经常出现，通常称为帽子矩阵．
法方程是 $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \end{bmatrix}$ ，它的解是 $(x, y)$ 的集合使得 $x + y = 3$ 。解对应于位于直线 $x + y = 2$ 和 $x + y = 4$ 中间的点集。

6.6

$y = 0.9 + 0.4x$ 3. $y = 1.1 + 1.3x$
如果两个点集有不同的 $x$ 坐标，那么设计矩阵 $X$ 的两列不可能是相互的倍数，因而它们线性无关。由 6.5 节的定理14，法方程有唯一解。
$a$ . $y = X\beta + \varepsilon$ ，其中 $y = \begin{bmatrix} 1.8 \\ 2.7 \\ 3.4 \\ 3.8 \\ 3.9 \end{bmatrix}$ ， $X = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \\ 4 & 16 \\ 5 & 25 \end{bmatrix}$ ， $\beta=\begin{bmatrix}\beta_{1}\\ \beta_{2}\end{bmatrix},\quad\varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_{1}\\ \varepsilon_{2}\\ \varepsilon_{3}\\ \varepsilon_{4}\\ \varepsilon_{5}\end{bmatrix}$ b. [ $M$ ] $y = 1.76x - 0.20x^{2}$ 9. $y = X\beta + \varepsilon$ ，其中 $y = \begin{bmatrix} 7.9 \\ 5.4 \\ -0.9 \end{bmatrix}$ ， $X = \begin{bmatrix} \cos 1 & \sin 1 \\ \cos 2 & \sin 2 \\ \cos 3 & \sin 3 \end{bmatrix}$

\boldsymbol {\beta} = \left[ \begin{array}{l} A \\ B \end{array} \right], \boldsymbol {\varepsilon} = \left[ \begin{array}{l} \varepsilon_ {1} \\ \varepsilon_ {2} \\ \varepsilon_ {3} \end{array} \right]

[ $M$ ] $\beta = 1.45$ 和 $e = 0.811$ ；轨迹一个椭圆。对于方程 $r = \beta / (1 - e \cdot \cos \vartheta)$ ，当 $\vartheta = 4.6$ 时， $r = 1.33$ 。
[ $M$ ] a. $y = -0.8558 + 4.7025t + 5.5554t^{2} - 0.0274t^{3}$ b. 速度函数是 $v(t)=4.7025+11.1108t-0.0822t^{2}$ $v(4.5)=53.0$ 英尺/秒
提示：写出在方程(1)中的 $X$ 和 $y$ ，且计算 $X^{T}X$ 和 $X^{T}y$ .
$a$ . x 数据的平均是 $\bar{x}=5.5$ ．数据的平均偏差形式是 $(-3.5,1),(-0.5,2),(1.5,3),(2.5,3)$ . X 的列是正交的，因为第 2 列中元素之和为零． b. $\begin{bmatrix}4&0\\ 0&21\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta_{0}\\ \beta_{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9\\ 7.5\end{bmatrix},y=\frac{9}{4}+\frac{5}{14}x^{*}=\frac{9}{4}+\frac{5}{14}(x-5.5)$
提示：方程有一个好的几何解释．

6.7

$a$ . 3, $\sqrt{105}$ , 225 b. 所有 $\begin{bmatrix}1\\ 4\end{bmatrix}$ 的倍数 3.28 5. $5\sqrt{2}$ , $3\sqrt{3}$ 7. $\frac{56}{25}+\frac{14}{25}t$
$a$ ．常数多项式， $p(t)=5$ b. $t^{2}-5$ 正交于 $p_{0}$ 和 $p_{1}$ ；值： $(4,-4,-4,4)$ ；答案： $q(t)=\frac{1}{4}(t^{2}-5)$ 11. $\frac{17}{5}t$
验证 4 个公理中的每一个，例如
$\left\langle u,v\right\rangle=(Au)\cdot(Av)$ 定义 $=(Av)\cdot(Au)$ 点积的性质 $=\left\langle v,u\right\rangle$ 定义
$\langle u, cv \rangle = \langle cv, u \rangle$ 公理1 公理3 公理1 $= c\langle v, u \rangle$ 公理3 $= c\langle u, v \rangle$ 公理1
提示：计算 4 乘右手边．
$\langle \pmb{u},\pmb {v}\rangle = \sqrt{a}\sqrt{b} +\sqrt{b}\sqrt{a} = 2\sqrt{ab}$ ， $\| \pmb {u}\| ^2 = (\sqrt{a})^2+$ $(\sqrt{b})^{2} = a + b$ ．因为 $a,b$ 非负，所以 $\| \pmb {u}\| = \sqrt{a + b}$ 类似地， $\| \pmb {v}\| = \sqrt{b + a}$ ．由柯西-施瓦茨不等式， $2\sqrt{ab}\leqslant \sqrt{a + b}\sqrt{b + a} = a + b$ ，因而 $\sqrt{ab}\leqslant$ $\frac{a + b}{2}$

21.0 23. $2 / \sqrt{5}$ 25.1, $t$ , $3t^2 - 1$

[ $M$ ] 新的正交多项式是 $-17t + 5t^{3}$ 和 $72 - 155t^{2} + 35t^{4}$ 的倍数．重新度量这些多项式使得它们在 -2, -1, 0, 1 和 2 的值是小整数．

6.8

$y = 2 + \frac{3}{2}t$
$p(t) = 4p_{0} - 0.1p_{1} - 0.5p_{2} + 0.2p_{3}$ $= 4 - 0.1t - 0.5(t^{2} - 2) + 0.2\left(\frac{5}{6} t^{3} - \frac{17}{6} t\right)$ （这个多项式精确地拟合了数据.）
利用等式 $\sin mt \quad \sin nt = \frac{1}{2} [\cos(mt - nt) - \cos(mt + nt)]$
利用等式 $\cos^{2}kt=\frac{1+\cos2kt}{2}$ .
$\pi + 2\sin t + \sin 2t + \frac{2}{3}\sin 3t$ （提示：利用例4 的结果可节约时间）.
$\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\cos 2t$ （为什么？）
提示：选取 $C[0,2\pi]$ 中的函数 $f$ 和 $g$ ，且固定一个整数 $m \geqslant 0$ 。写出 $f + g$ 的包含 $\cos mt$ 的傅里叶系数且写出包含 $\sin mt$ 的傅里叶系数 $(m > 0)$ 。
[ $M$ ]立方曲线是下列函数的图形: $g(t) = -0.2685 + 3.6095t + 5.8576t^2 - 0.0477t^3$ ．在 $t = 4.5$ 秒的速度是 $g'(4.5) = 53.4$ 英尺/秒．这比 6.6 节习题 13 中估计得到的结果快 0.7%.

第6章补充习题答案

$a$ . F b. T c. T d. F e. F f. T g. T h. T i. F j. T k. T l. F m. T n. F o. F p. T q. T r. F s. F

提示：若 $\{v_{1}, v_{2}\}$ 是单位正交集合且 $x = c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2}$ ，则向量 $c_{1}v_{1}, c_{2}v_{2}$ 是正交的且 $\|x\|^{2}=\left\|c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}\right\|^{2}=\left\|c_{1}v_{1}\right\|^{2}+\left\|c_{2}v_{2}\right\|^{2}$ $=(|c_{1}||\boldsymbol{v}_{1}|)^{2}+(|c_{2}||\boldsymbol{v}_{2}|)^{2}=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}$

（解释为什么）. 故对于 p=2 状态方程成立．假设等式对 $p=k$ ( $k\geqslant2$ ) 成立，令 $\{v_{1},\cdots,v_{k+1}\}$ 是单位正交集，考虑 $x=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}+c_{k+1}v_{k+1}=u_{k}+c_{k+1}v_{k+1}$ ，其中 $u_{k}=c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}$ .

给定 $x$ 和 $R^{n}$ 中一个单位正交集 $\{v_{1},\cdots,v_{p}\}$ ，设 $\hat{x}$ 是 $x$ 在由 $v_{1},\cdots,v_{p}$ 生成的子空间上的正交投影。由 6.3 节的定理10， $\hat{x}=(x\cdot v_{1})v_{1}+\cdots+(x\cdot v_{p})v_{p}$ 。由习题 2， $\left\|\hat{x}\right\|^{2}=\left|x\cdot v_{1}\right|^{2}+\cdots+\left|x\cdot v_{p}\right|^{2}$ 。贝塞尔不等式可从 $\left\|\hat{x}\right\|^{2}\leqslant\left\|x\right\|^{2}$ 得到，该不等式在 6.7 节柯西-施瓦茨不等式的证明前面给出。
假设对任意 $x$ , $y$ 属于 $R^{n}$ 有 $(Ux) \cdot (Uy) = x \cdot y$ ，且设 $e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是 $R^{n}$ 的标准基。对 $j = 1, \cdots, n$ ， $Ue_{j}$ 是 $U$ 的第 $j$ 列。由于 $\left\|Ue_{j}\right\|^{2} = (Ue_{j}) \cdot (Ue_{j}) = e_{j} \cdot e_{j} = 1$ ，故 $U$ 的列是单位向量；由于对 $j \neq k$ ， $(Ue_{j}) \cdot (Ue_{k}) = e_{j} \cdot e_{k} = 0$ ，故列是两两正交的。
提示: 计算 $Q^{T}Q$ ，利用事实 $(\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}\mathrm{T}}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}$
设 $W = \operatorname{Span}\{\pmb{u},\pmb{v}\}$ ．给定 $\mathbb{R}^n$ 中的 $z$ ，设 $\hat{z} = \operatorname{proj}_W z$ ，那么 $\hat{z}$ 属于 $\operatorname{Col} A$ ，其中 $A = [\pmb{u} \pmb{v}]$ ，例如，对 $\mathbb{R}^2$ 中的一些 $\hat{x}$ ，有 $\hat{z} = A\hat{x}$ ．所以 $\hat{x}$ 是 $Ax = z$ 的一个最小二乘解，法方程可以解出 $\hat{x}$ ，那么 $\hat{z}$ 可通过计算 $A\hat{x}$ 得到．
提示：设 $x=\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\end{bmatrix}, b=\begin{bmatrix}a\\ b\\ c\end{bmatrix}, v=\begin{bmatrix}1\\ -2\\ 5\end{bmatrix}$ 和 $A=\begin{bmatrix}v^{T}\\ v^{T}\\ v^{T}\end{bmatrix}=$ $\begin{bmatrix}1 & -2 & 5 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & -2 & 5\end{bmatrix}$ ．给定的方程组是 Ax=b，且所有

最小二乘解的集合．与 $A^{T}Ax=A^{T}b$ 的解集相一致（6.5节定理13）. 这可利用事实 $(vv^{T})x=v(x^{T}x)=(v^{T}x)v$ ，其中 $v^{T}x$ 是数．

$a$ . $Au$ 的行-列计算表明 $A$ 的每一行是与 $\operatorname{Nul} A$ 中的每一个 $\pmb{u}$ 正交的。所以 $A$ 的每一行属于 $(\operatorname{Nul} A)^{\perp}$ 。由于 $(\operatorname{Nul} A)^{\perp}$ 是一个子空间，故它必须包含 $A$ 的行的所有线性组合；因此 $(\operatorname{Nul} A)^{\perp}$ 包含 $\operatorname{Row} A$ 。

$b$ ．如果 rank A = r ，那么由秩定理， dim Nul A = n - r. 由6.3节的习题24( $c$ )，有 $\dim\text{Nul }A+\dim(\text{Nul }A)^{\perp}=n$ 所以 $\dim(\text{Nul }A)^{\perp}$ 一定是 r．但由秩定理和（ $a$ ）可知 Row A 是一个 $(\text{Nul }A)^{\perp}$ 的 $r$ 维子空间，所以 Row A 必和 $(\text{Nul }A)^{\perp}$ 一致．

$c$ ．在（ $b$ ）中用 $A^{\mathrm{T}}$ 代替 $A$ 且可得 $\operatorname{Row} A^{\mathrm{T}}$ 和 $(\operatorname{Nul} A^{\mathrm{T}})^{\perp}$ 一致．又由于 $\operatorname{Row} A^{\mathrm{T}} = \operatorname{Col} A$ 这就证明了（ $c$ ）.

如果 $A = URU^{\mathrm{T}}$ 且 $U$ 是正交的，那么 $A$ 与 $R$ 相似(因为 $U$ 是可逆的且 $U^{\mathrm{T}} = U^{-1}$ )，且 $A$ 与 $R$ 具有相同特征值（5.2节定理4)，即 $n$ 个在 $R$ 对角线上的实数．
[ $M$ ] $\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = 0.4618, \mathrm{cond}(A) \times \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} = 3363 \times (1.548 \times 10^{-4}) = 0.5206.$ 注意 $\|\Delta x\| / \|x\|$ 约等于 $\mathrm{cond}(A)$ 乘 $\|\Delta b\| / \|b\|$ .
[ $M$ ] $\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = 7.178 \times 10^{-8}, \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} = 2.832 \times 10^{-4}$ ，注意 $x$ 的相对改变比 $b$ 的相对改变小很多．事实上，由于 $\operatorname{cond}(A) \times \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} = 23683 \times (2.832 \times 10^{-4}) = 6.707$ 故 $x$ 相对改变的理论上界是 6.707 (到 4 位有效数字). 这个习题表明，既使一个条件数很大，一个解的相对误差也并不像你想象的那么大．