2.3 可逆矩阵的特征

本节复习第1章引入的大部分重要概念，并且与 $n$ 个未知量 $n$ 个方程的方程组以及方阵联系起来，主要结论是定理8.

定理 8 可逆矩阵定理

设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 $A$，它们同时为真或同时为假. a. A 是可逆矩阵. b. A 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵. c. A 有 $n$ 个主元位置. d. 方程 Ax = 0 仅有平凡解. e. A 的各列线性无关. f. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 是一对一的. g. 对 $R^n$ 中任意 $b$，方程 Ax = b 至少有一个解. h. A 的各列生成 $R^n$ . i. 线性变换 $x\mapsto Ax$ 把 $R^n$ 映上到 $R^n$ . j. 存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ 使 CA = I. k. 存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使 AD = I. l. $A^T$ 是可逆矩阵.

首先，我们需要某些记号。若命题（$a$）为真蕴涵命题（$j$）也真，则称（$a$）蕴涵（$j$），记为 $(\mathbf{a})\Rightarrow (\mathbf{j})$ 。我们将按图 2-6中蕴涵的“循环”来证明这些命题的等价性，即这五个命题之一为真可推出其他命题也真，然后把其他命题链接进这个循环。

图 2-6

证明

若（$a$）为真，则 $A^{-1}$ 可作为（$j$）中的 $C$ ，故 $(\mathbf{a})\Rightarrow (\mathbf{j})$ 。其次，由2.1节习题23（请参阅该习题）， $(\mathbf{j})\Rightarrow (\mathbf{d})$ 。又由2.2节习题23可知 $(\mathbf{d})\Rightarrow (\mathbf{c})$ 。若 $A$ 是方阵且有 $n$ 个主元位置，则主元必定在主对角线上，在这种情况下， $A$ 的简化阶梯形是 $I_n$ ，因此 $(\mathbf{c})\Rightarrow (\mathbf{b})$ 。同时由2.2节定理7 。至此完成图 2-6中的证明循环。$(\mathbf{b})\Rightarrow (\mathbf{a})$ 。至此完成图2-6中的证明循环。

其次，由于 $A^{-1}$ 可作为 $D$ ，故（$a$） $\Rightarrow$ （$k$）。又由2.1节习题24知（$k$） $\Rightarrow$ （$g$），而由2.2节习题24有（$g$） $\Rightarrow$ （$a$），因此（$g$）和（$k$）被链接进这个循环。再根据1.4节定理4和1.9节定理12（$a$），对任一矩阵来说，（$g$）、（$h$）和（$i$）是等价的。因此，通过（$g$）使（$h$）和（$i$）被链接进这个循环。

因（$d$）、（$e$）、（$f$）对任一矩阵 $A$ 是等价的（参见1.7节及1.9节定理12（$b$))，而（$d$）在这个循环之中，所以（$e$）也在这个循环中．最后，由2.2节定理6（$f$）也在这个循环中．最后，由2.2节定理6（$c$）有 $(\mathrm{a})\Rightarrow (1)$ 再根据同一个定理，将 $A$ ，见图2-7．这就完成了定理8的证明.■$A^{\mathrm{T}}$ 互换后得到 $(1)\Rightarrow (\mathrm{a})$ ，见图2-7．这就完成了定理8的证明.■

由2.2节定理5，定理8中命题（$g$）也可写成“方程 $Ax=b$ 对任意 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $b$ 有唯一解”。这

个命题当然也蕴涵（$b$），因此也蕴涵 $A$ 为可逆阵.

$$(g)⟺(h)⟺(i)$$

($d$) $⟺$ ($e$) $⟺$ ($f$)

($a$) $⟺$ (1)

图2-7

下列事实由定理8及2.2节习题8推出.

设 $A$ 和 $B$ 为方阵，若 AB = I，则 $A$ 和 $B$ 都是可逆的，且 $B=A^{-1}$ ， $A=B^{-1}$ .

可逆矩阵定理将所有 $n\times n$ 矩阵分为两个不相交集合：可逆（非奇异）矩阵和不可逆（奇异）矩阵。定理中每个命题给出了 $n\times n$ 可逆矩阵的一个性质。定理中每个命题的否命题给出了 $n\times n$ 奇异矩阵的一个性质。例如，每个 $n\times n$ 奇异矩阵不行等价于 $I_n$ ，没有 $n$ 个主元位置，它的各列线性相关。其他的否命题在习题中考虑。

例1 应用可逆矩阵定理来判断 $A$ 是否可逆:

$$A=\left[\begin{array}{rrr}1& 0& -2\\ 3& 1& -2\\ -5& -1& 9\end{array}\right]$$

解

$$A\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 4\\ 0& -1& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

所以 $A$ 有 3 个主元位置，根据可逆矩阵定理命题（$c$），$A$ 是可逆的.

可逆矩阵定理的作用在于它给出了许多重要概念间的联系，例如，将矩阵 $A$ 的列的线性无关性与形如 $Ax=b$ 的解的存在性关联起来。但是必须强调，可逆矩阵定理仅能用于方阵。例如，若一个 $4\times 3$ 矩阵的列线性无关，我们不能用可逆矩阵定理断定形如 $Ax=b$ 的方程的解的存在性或不存在性。

可逆线性变换

回忆2.1节矩阵乘法对应于线性变换的复合．当矩阵 $A$ 可逆时，方程 $A^{-1}Ax=x$ 可看作关于线性变换的一个命题，见图 2-8.

乘以 $A^{-1}$
图 2-8 $A^{-1}$ 把 $Ax$ 变回 $x$

线性变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 称为可逆的，若存在函数 $S:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 使得

$$\text{ 对所有 }{\mathbb{R}}^n\text{ 中的 }x,S(T(x))=x\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$\text{ 对所有 }{\mathbb{R}}^n\text{ 中的 }x,T(S(x))=x\text{\hspace{1em}(2)}$$

下列定理说明若这样的 $S$ 存在，则它是唯一的而且必是线性变换。我们称 $S$ 是 $T$ 的逆，把它写成 $T^{-1}$

定理 9

设 $T:R^n\to R^n$ 为线性变换，$A$ 为 $T$ 的标准矩阵。则 $T$ 可逆当且仅当 $A$ 是可逆矩阵。这时由 $S(x)=A^{-1}x$ 定义的线性变换 $S$ 是满足（1）和（2）的唯一函数。

参见定理7的证明的注释.

证明

设 $T$ 是可逆的，则（2）说明 $T$ 是从 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的映射，因若 $b$ 属于 ${\mathbb{R}}^n$ ， $x=S(b)$ 则 $T(x)=T(S(b))=b$ ，所以每个 $b$ 属于 $T$ 的值域。于是由可逆矩阵定理命题（$i$）， $A$ 为可逆的。反之，若 $A$ 是可逆的，令 $S(x)=A^{-1}x$ ，则 $S$ 是线性变换，且显然 $S$ 满足（1）和（2）。例如

$$S(T(\mathbf{x}))=S(A\mathbf{x})=A^{-1}(A\mathbf{x})=\mathbf{x}$$

于是 $T$ 是可逆的. $S$ 的唯一性的证明见习题39.

例 2

设 $T:R^n\to R^n$ 是一对一线性变换，则 $T$ 会如何？

解

$T$ 的标准矩阵 $A$ 的列是线性无关的（根据1.9节定理12），所以根据可逆矩阵定理， $A$ 是可逆的，而且 $T$ 把 ${\mathbb{R}}^n$ 。同时，根据定理9， ${\mathbb{R}}^n$ 。同时，根据定理9， $T$ 为可逆。

数值计算的注解 实际工作中，你将会遇到“接近奇异的”或者病态矩阵——一个可逆矩阵，当它的某些元素稍微改变就变成奇异矩阵。在这种情况下，行化简可能由于舍入误差产生少于 $n$ 个主元位置。另外，有时舍入误差也可能使奇异矩阵变成是可逆的。

某些矩阵程序会对一个方阵计算它的条件数, 条件数越大, 矩阵越接近于奇异. 单位矩阵的条件数是 1, 奇异矩阵的条件数为无穷大. 在极端情况下, 矩阵程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵.

习题 41~45 说明当条件数大时，矩阵计算可能产生明显的错误.

练习题

1. 确定 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 2& 3& 4\\ 2& 3& 4\end{array}\right]$ 是否可逆.

2. 设对某个 $n\times n$ 矩阵 $A$ ，可逆矩阵定理命题（$g$）不成立。那么形如 $Ax=b$ 的方程会如何？

3. 设 $A$, $B$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 ABx = 0 有非平凡解，那么矩阵 AB 会如何？

习题2.3

除非另有说明，本习题中的矩阵都是 $n\times n$ 矩阵。确定习题1~10中哪些矩阵为可逆矩阵。使用尽可能少的计算。验证你的结论。

$$\left[\begin{array}{cc}-4& 6\\ 6& -9\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ -3& -6\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{rrr}5& 0& 0\\ -3& -7& 0\\ 8& 5& -1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{ccc}-7& 0& 4\\ 3& 0& -1\\ 2& 0& 9\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{rrr}0& 3& -5\\ 1& 0& 2\\ -4& -9& 7\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{rrr}1& -5& -4\\ 0& 3& 4\\ -3& 6& 0\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{rrrr}-1& -3& 0& 1\\ 3& 5& 8& -3\\ -2& -6& 3& 2\\ 0& -1& 2& 1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 7& 4\\ 0& 5& 9& 6\\ 0& 0& 2& 8\\ 0& 0& 0& 10\end{array}\right]$$

9. [$M$] $\left[\begin{array}{cccc}4& 0& -7& -7\\ -6& 1& 11& 9\\ 7& -5& 10& 19\\ -1& 2& 3& -1\end{array}\right]$

$$10.[\mathrm{M}]\left[\begin{array}{ccccc}5& 3& 1& 7& 9\\ 6& 4& 2& 8& -8\\ 7& 5& 3& 10& 9\\ 9& 6& 4& -9& -5\\ 8& 5& 2& 11& 4\end{array}\right]$$

习题 11~12 中，矩阵都是 $n\times n$ 的．习题的每个部分都是形如“若<命题1>，则<命题2>”的蕴涵式，如果当<命题1>为真时<命题2>总是为真，标记该蕴涵式为真．如果有一个例子给出<命题2>为假但<命题1>为真，则标记该蕴涵式为假．验证你的结论．

11. $a$. 若方程 Ax=0 仅有平凡解，则 $A$ 行等价于 $n\times n$ 单位矩阵. b. 若 $A$ 的各列生成 $R^n$ ，则它的列线性无关. c. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则对 $R^n$ 中每个 $b$，方程 Ax=b 至少有一个解.

$d$. 若方程 Ax=0 有非平凡解，则 $A$ 的主元位置少于 $n$ 个.

$e$. 若 $A^T$ 不可逆，则 $A$ 也不可逆.

12. $a$. 若存在 $n\times n$ 矩阵 $D$ 使得 $AD=I$ ，那么也存在 $n\times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $CA=I$ .

$b$. 若 $A$ 的各列线性无关，则 $A$ 的各列生成 ${\mathbb{R}}^n$ .

$c$. 若对每个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $b$ ，方程 $Ax=b$ 至少有一个解，则对每个 $b$ ，解是唯一的.

$d$. 如果线性变换 $(x)\mapsto Ax$ 是 ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 的满射，则 $A$ 有 $n$ 个主元位置.

$e$. 若存在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $b$ ，使得方程 $Ax=b$ 不相容，则 $x\mapsto Ax$ 不是一对一的.

13. 若一个 $m\times n$ 矩阵的主对角线以下元素全为 0，则称之为上三角矩阵（如习题 8）。什么时候一个上三角矩阵是可逆的？验证你的答案。

14. 若一个 $m\times n$ 矩阵的主对角线以上元素全为 0，则称之为下三角矩阵（如习题3）。什么时候一个下三角矩阵是可逆的？验证你的答案。

15. 有两列相同的方阵是否可逆？为什么？

16. 一个 $5\times 5$ 矩阵的各列不生成 ${\mathbb{R}}^5$ ，它是否可能可逆？为什么？

17. 若 $n\times n$ 矩阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 的各列线性无关，说明为什么.

18. 若 $C$ 是 $6\times 6$ 矩阵，对 ${\mathbb{R}}^6$ 中的每一 $\nu$ ，方程 $Cx=\nu$ 相容，是否可能对某个 $\nu$ ，方程 $Cx=\nu$ 有多个解？为什么？

19. 若 $7\times 7$ 矩阵 $D$ 的各列线性无关，关于方程 $D\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的解会如何？为什么？

20. 若 $n\times n$ 矩阵 $E$ 和 $F$ 满足性质 $EF=I$ ，则 $E$ 和 $F$ 是可交换的。说明这是为什么。

21. 若方程 $Gx=y$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个 $y$ 有多个解， $n\times n$ 矩阵 $G$ 的各列能否生成 ${\mathbb{R}}^n$ ？为什么？

22. 设 $H$ 是 $n\times n$ 矩阵. 若方程 $Hx=c$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某个 $c$ 不相容, 方程 $Hx=0$ 会如何? 为什么?

23. 若 $n\times n$ 矩阵 $K$ 不能行化简为 $I_n$ ， $K$ 的列会如何？为什么？

24. 若 $L$ 是 $n\times n$ 矩阵且方程组 $Lx=0$ 有平凡解， $L$ 的各列可以张成 ${\mathbb{R}}^n$ 吗？为什么？

25. 验证例1 前面框内的命题.

26. 说明为什么当 $A$ 的各列线性无关时， $A^2$ 的各列可以生成 ${\mathbb{R}}^n$ .

27. 设 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 矩阵. 证明: 若 AB 可逆, 则 $A$ 也可逆. 不能使用定理6($b$), 因为不能假定 $A$ 和 $B$ 是可逆的. (提示: 存在一个矩阵 $W$ 使得 ABW = I. 为什么?)

28. 设 $A$ 和 $B$ 是 $n\times n$ 矩阵. 证明: 若 $AB$ 可逆, 则 $B$ 也可逆.

29. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 $Ax=b$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的某些 $b$ 有多个解，则变换 $x\mapsto Ax$ 不是一对一的。其他关于这个变换的结论会如何？验证你的答案。

30. 若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，变换 $x\mapsto Ax$ 是一对一的，其他关于这个变换的结论会如何？验证你的答案.

31. 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $b$ ，方程 $Ax=b$ 至少有一个解，不用定理5或8，说明为什么每个方程 $Ax=b$ 事实上恰好有一个解.

32. 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，方程 $Ax=0$ 仅有平凡解。不用可逆矩阵定理，说明对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $b$ ，方程 $Ax=b$ 必有一个解。

习题33和习题34中， $T$ 是由 ${\mathbb{R}}^2$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 内的线性变换，说明 $T$ 可逆并求出 $T^{-1}$

33. $T(x_1,x_2)=(-5x_1+9x_2,4x_1-7x_2)$

34. $T(x_1,x_2)=(6x_1-8x_2,-5x_1+7x_2)$

35. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为可逆线性变换，说明为什么 $T$ 既是一对一的又是映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的。利用方程（1）和（2），运用一个或多个定理给出第二种解释。

36. 设 $T$ 是将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性变换，证明 $T^{-1}$ 存在且它将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$ 。 $T^{-1}$ 是否是一对一的？

37. 设 $T$ 和 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性变换，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 $x$ ，有 $T(U(x))=x$ 。对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的所有 $x$ ， $U(T(x))=x$ 是否成立？为什么？

38. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为线性变换，对 ${\mathbb{R}}^n$ 中一对不同的 $u$ 和 $v$ ，有 $T(u)=T(v)$ 。 $T$ 能否将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^n$ ？为什么？

39. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为可逆线性变换，设 $S$ 和 $U$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的函数，对一切 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $x$ ，有 $S(T(x))=x$ 和 $U(T(x))=x$ 。证明对 ${\mathbb{R}}^n$ 中一切 $v$ ，有 $U(v)=S(v)$ 。这将证明 $T$ 有唯一的逆，如定理9所说的那样。（提示：给定 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意 $v$ ，我们说对某个 $x$ 有 $v=T(x)$ 。为什么？计算 $S(v)$ 和 $U(v)$ 。）

40. 设 $T$ 和 $S$ 满足可逆方程（1）和（2），其中 $T$ 是线性变换。直接证明 $S$ 是线性变换。（提示：给定 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $u,v$ ，设 $x=S(u)$ ， $y=S(v)$ ，则 $T(x)=u$ ， $T(y)=v$ 。为什么？把 $S$ 作用于方程 $T(x)+T(y)=T(x+y)$ 的两边。同样，证明 $T(cx)=cT(x)$ 。）

41.[$M$]设某一实验得出下列方程组：

$$\begin{array}{l}4.5x_1+3.1x_2=19.249\\ 1.6x_1+1.1x_2=6.843\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

$a$. 解方程组（3），同时解下面的方程组（4），它是由（3）的右边四舍五入到2位小数所得。在每种情形下，求出准确解。

$$\begin{array}{l}4.5x_1+3.1x_2=19.25\\ 1.6x_1+1.1x_2=6.84\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

$b$.（4）的各元素与（3）的对应元素的误差不超过 $0.05\%$ .求把（4）的解作为（3）的解的近似值时的相对误差.

$c$. 用你的矩阵程序求出（3）中系数矩阵的条件数.

习题 42~44 说明如何使用矩阵 $A$ 的条件数来估计方程 Ax=b 的计算解的精确度。若 $A$ 和 $b$ 的元素大约精确到 $r$ 位有效数字，而 $A$ 的条件数约为 $10^k$ （$k$ 为正整数），则 Ax=b 的计算解大约精确到至少 r-k 位有效数字。

42. [$M$]求出习题9中矩阵 $A$ 的条件数. 构造 ${\mathbb{R}}^4$ 中随机向量 $x$ , 计算 $b=Ax$ , 然后用你的矩阵程序计算方程 $Ax=b$ 的解 $x_1$ . $x_1$ 和 $x$ 有几位数字相同? 找出你的矩阵程序准确存储的数字位数, 用 $x_1$ 代替准确解 $x$ 时有多少位精确数字被丢失?

43.[$M$]对习题10中的矩阵重复习题42.

44. [$M$] 对适当的 $b$ 解 Ax = b，以求得五阶希尔伯特

(Hilbert) 矩阵的逆的第 5 列.

$$A=\left[\begin{array}{lllll}1& 1/2& 1/3& 1/4& 1/5\\ 1/2& 1/3& 1/4& 1/5& 1/6\\ 1/3& 1/4& 1/5& 1/6& 1/7\\ 1/4& 1/5& 1/6& 1/7& 1/8\\ 1/5& 1/6& 1/7& 1/8& 1/9\end{array}\right]$$

字？请说明．（注：准确解为（630，-12600，56700，-88200，44100）.）

45. [$M$]某些矩阵程序（如 MATLAB）有命令可生成各阶希尔伯特矩阵。若可能，用求逆命令求出 12 阶或更高阶的希尔伯特矩阵 $A$ 的逆，计算 $A{A}^{-1}$ 并报告你的结果。

你希望求出的解 $x$ 的元素有多少位准确数

练习题答案

1. $A$ 的各列显然线性相关，因为第2列与第3列是第1列的倍数。因此由可逆矩阵定理， $A$ 不是可逆的。

2. 若（$g$）不成立，则方程 $Ax=b$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中至少一个 $b$ 为不相容。

3. 应用可逆矩阵定理于矩阵 $AB$ ，假设 $AB$ 可逆，则由命题（$d$）得到： $ABx=0$ 仅有平凡解，这与所给条件相矛盾，因此 $AB$ 不是可逆的。