第2章 补充习题

1. 设在以下命题中提到的矩阵有适当的维数. 标出各个命题的真假, 给出理由. a. 若 $A$ 和 $B$ 都是 $m\times n$ 矩阵, 则 $A{B}^T$ 和 $A^{T}B$ 都有定义. b. 若 AB = C 而 $C$ 有 2 列, 则 $A$ 有 2 列. c. 将矩阵 $B$ 以对角元素非零的对角矩阵 $A$ 左乘, 等于对 $B$ 的各行进行标量乘法. d. 若 BC = BD，则 C = D. e. 若 AC = 0，则 A = 0 或 C = 0. f. 若 $A$、$B$ 都是 $n\times n$ 矩阵，则 $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ . g. 一个初等 $n\times n$ 矩阵有 $n$ 或 $n+1$ 个非零元素. h. 初等矩阵的转置也是初等矩阵. i. 初等矩阵必定是方阵. j. 每个方阵是初等矩阵的积.

$k$. 若 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，有 3 个主元位置，则存在初等方阵 $E_1,\cdots ,E_p$ 使 $E_p\cdots E_{1}A=I$ .

1. 若 AB = I，则 $A$ 可逆. m. 若 $A$ 和 $B$ 是可逆方阵，则 AB 可逆且 $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ . n. 若 AB = BA 且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}B=B{A}^{-1}$ . o. 若 $A$ 可逆且 $r\ne 0$ ，则 $(rA{)}^{-1}=r{A}^{-1}$ . p. 若 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵且方程 $Ax=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ 有唯一解， 则 $A$ 可逆.

2. 求矩阵 $C$ 使 $C^{-1}=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 6& 7\end{array}\right]$ .

3. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$ ，证明 $A^3=0$ 。利用矩阵代数计算乘积 $(I-A)(I+A+A^2)$ 。

4. 设对某个 $n>1$ 有 $A^n=0$ ，求 $I-A$ 的逆.

5. 设 $n\times n$ 矩阵 $A$ 满足方程 $A^2-2A+I=0$ ，证明： $A^3=3A-2I$ ， $A^4=4A-3I$ 。

6. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ，它们是 Pauli spin 矩阵，在量子力学的电子旋转研究中有应用。证明： $A^2=I$ ， $B^2=I$ ，且 $AB=-BA$ 。矩阵满足 $AB=-BA$ 称为负交换的。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 8\\ 2& 4& 11\\ 1& 2& 5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}-3& 5\\ 1& 5\\ 3& 4\end{array}\right]$$ $$A^{-1}B$$ $$A^{-1}$$ $$A^{-1}B$$ $$AX=B$$

8. 求矩阵 $A$ 使变换 $x\mapsto Ax$ 把 $\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right]$ 分别映射为 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ . （提示：写个包含矩阵 $A$ 的方程，并把它解出来.）

9. 设 $AB=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ -2& 3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}7& 3\\ 2& 1\end{array}\right]$ ，求 $A$.

10. 设 $A$ 可逆. 说明为什么 $A^{\mathrm{T}}A$ 也可逆, 然后证明 $A^{-1}=(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}$ .

11. 设 $x_1,\cdots ,x_n$ 为固定的数。下列矩阵称为范德蒙德矩阵，在信号处理、纠错码以及多项式插值中都有应用。

$$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right]$$

给定 $R^n$ 中 $y=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$ ，设 $R^n$ 中 $c=(c_0,c_1,\cdots ,c_{n-1})$ 满足 Vc=y，定义多项式 $p(t)=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\cdots +c_{n-1}{t}^{n-1}$

$a$. 证明 $p(x_1)=y_1,p(x_2)=y_2,\dots ,p(x_n)=y_n$ . 称 $p(t)$ 为点 $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ 的插值多项式，因 $p(t)$ 的图像通过这些点.

$b$. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为相异的数，证明 $V$ 的列是线性无关的。（提示：一个 n-1 次多项式有多少个零点？）

$c$. 证明：若 $x_1,\cdots ,x_n$ 为相异的数，而 $y_1,\cdots ,y_n$ 是任意数，则存在一个过点 $(x_1,y_1),\cdots ,(x_n,y_n)$

且次数 $⩽n-1$ 次的插值多项式.

12. 设 $A=LU$ ，其中 $L$ 是可逆下三角矩阵， $U$ 是上三角矩阵，说明为什么 $A$ 的第一列是 $L$ 的第一列的倍数。 $A$ 的第二列和 $L$ 的列有何关系？

13. 给定 $u$ 属于 ${\mathbb{R}}^n$ ， $u^{\mathrm{T}}u=1$ ，设 $P=u{u}^{\mathrm{T}}$ (外积)，而 $Q=I-2P$ ，证明：$a$. $P^2=P$ b. $P^{\mathrm{T}}=P$ c. $Q^2=I$

变换 $x\mapsto Px$ 称为一个投影， $x\mapsto Qx$ 称为豪斯霍尔德反射。这样的反射在计算机程序中用来在一个向量（通常是矩阵的列）中产生更多的零。

14. 设 $u=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 和 $x=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ 3\end{array}\right]$ ，确定如习题 13 中的 $P$ 和 $Q$ 并计算 Px 和 Qx。图 2-29 说明 Qx 是 $x$ 关于 $x_1{x}_2$ 平面的反射。

15. 设 $C=E_3{E}_2{E}_{1}B$ ，其中 $E_1,E_2,E_3$ 是初等矩阵，说明为什么 $C$ 行等价于 $B$ .

16. 设 $A$ 是 $n\times n$ 奇异矩阵，如何构造一个 $n\times n$ 非零矩阵 $B$ 使 AB = 0？

17. 设 $A$ 是一 $6\times 4$ 矩阵，$B$ 是一 $4\times 6$ 矩阵，证明 $6\times 6$ 矩阵 AB 不可逆.

图 2-29 关于平面 $x_3=0$ 的豪斯霍尔德反射

18. 设 $A$ 是 $5\times 3$ 矩阵，存在 $3\times 5$ 矩阵 $C$ 使得 $CA=I_3$ . 又设对 $R^5$ 中某个 $b$，方程 Ax = b 有至少一个解，证明方程的解是唯一的.

19. [$M$]某些动力系统可借助矩阵的幂来研究，如下所示。给定下列矩阵 $A$ 与 $B$，确定当 $k$ 增加时（例如 $k=2,\cdots ,16$ ） $A^k$ 与 $B^k$ 有何变化。识别 $A$ 和 $B$ 有什么特点？研究类似矩阵的幂，提出关于这类矩阵的猜想。

$$A=\left[\begin{array}{lll}0.4& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.6& 0.3\\ 0.3& 0.2& 0.4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{lll}0& 0.2& 0.3\\ 0.1& 0.6& 0.3\\ 0.9& 0.2& 0.4\end{array}\right]$$

20. [$M$] 设 $A_n$ 为 $n\times n$ 矩阵，主对角线各元素为 0 而其他元素为 1。对 $n=4,5,6$ 计算 $A_n^{-1}$ ，对值更大的 $n$ ，提出关于一般的 $A_n^{-1}$ 的猜想。