第6章 补充习题

1. 下列命题是针对属于 ${\mathbb{R}}^n$ （或 ${\mathbb{R}}^m$ ）的具有标准内积的向量，确定每个命题的真假。验证你的结论。 a. 每个向量的长度是一个正数。 b. 一个向量 $v$ 与它的负向量 $-v$ 具有同样长度。 c. $u$ 和 $v$ 之间的距离是 $\Vert u-v\Vert$ 。

$d$. 如果 $r$ 是任意数，那么 $\Vert rv\Vert =r\Vert v\Vert$

$e$. 如果两个向量正交，则它们线性无关.

$f$. 如果 $x$ 与 $u$ 和 $v$ 都正交, 那么 $x$ 一定与 u - v 正交.

$g$. 如果 $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2$ ，那么 $u$ 和 $v$ 正交.

$h$. 如果 ${\Vert u-v\Vert }^2={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2$ ，那么 $u$ 和 $v$ 正交.

$i$. y 在 $u$ 上的正交投影是一个数和 $y$ 的乘积.

$j$. 如果向量 $y$ 与它在子空间 $W$ 上的正交投影一致，那么 $y$ 属于 $W$.

$k$. ${\mathbb{R}}^n$ 中所有正交于一个固定向量的集合是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间.

1. 如果 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，那么 $W$ 和 $W^{\perp }$ 没有共同的向量.

$m$. 如果 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 是一个正交集，且如果 $c_1,c_2,c_3$ 是数，那么 $\{c_1{v}_1,c_2{v}_2,c_3{v}_3\}$ 也是一个正交集.

$n$. 如果一个矩阵 $U$ 具有单位正交列，那么 $U{U}^T=I$ .

$o$. 一个具有正交列的方阵是一个正交矩阵. p. 如果一个方阵具有单位正交列，那么它也有单位正交行.

$q$. 如果 $W$ 是子空间, 那么 ${\Vert pro{j}_{W}v\Vert }^2+{\Vert v-pro{j}_{W}v\Vert }^2={\Vert v\Vert }^2$ .

$r$. $Ax=b$ 的最小二乘解是Col $A$ 中最接近 $b$ 的向量 $A\hat{x}$ ，从而对所有的 $x$ 有 $\Vert b-A\hat{x}\Vert ⩽\Vert b-Ax\Vert$ .

$s$. Ax=b 的最小二乘解对应的法方程是 $\hat{x}=(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}\hat{b}$ .

2. 设 $\left\{v_1,\cdots ,v_p\right\}$ 是一个单位正交集，用归纳法从 p=2 开始验证。如果 $x=c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p$ ，那么 ${\Vert x\Vert }^2={\left|c_1\right|}^2+\cdots +{\left|c_p\right|}^2$ .

3. 设 $\left\{v_1,\cdots ,v_p\right\}$ 是 $R^n$ 中单位正交集，验证下列贝塞尔不等式对所有属于 $R^n$ 的向量 $x$ 的正确性： ${\Vert \mathbf{x}\Vert }^2⩾{\left|\mathbf{x}\cdot {\mathbf{v}}_1\right|}^2+{\left|\mathbf{x}\cdot {\mathbf{v}}_2\right|}^2+\cdots +{\left|\mathbf{x}\cdot {\mathbf{v}}_p\right|}^2$

4. 设 $U$ 是 $n\times n$ 正交矩阵，证明：如果 $\{v_1,\cdots ,v_n\}$ 是 $R^n$ 中的一个单位正交基，那么 $\{U{v}_1,\cdots ,U{v}_n\}$ 也是.

5. 证明：如果一个 $n\times n$ 矩阵 $U$ 对所有属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的向量 $x$ 和 $y$ 满足 $(Ux)\cdot (Uy)=x\cdot y$ ，那么 $U$ 是一

个正交矩阵.

6. 证明：如果 $U$ 是一个正交矩阵，那么 $U$ 的任何实特征值一定是 $\pm 1$ 。

7. 一个豪斯霍尔德矩阵或基本镜像具有形式 $Q=I-2u{u}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $u$ 是一个单位向量（见第2章补充习题中的习题13），证明 $Q$ 是一个正交矩阵。（基本镜像经常用于在计算机程序中产生矩阵 $A$ 的一个QR分解。如果 $A$ 具有线性无关的列，那么一系列基本镜像的左乘可产生一个上三角形矩阵。）

8. 设 $T:R^n\to R^n$ 为一保长的线性变换；即对 $R^n$ 上所有 $x$ 有 $\Vert T(x)\Vert =\Vert x\Vert$ . a. 证明：$T$ 同时保持正交性，即只要 $x\cdot y=0$ ，就有 $T(x)\cdot T(y)=0$ . b. 证明：$T$ 的标准矩阵是一正交矩阵.

9. 设 $u$ 和 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中线性无关的非正交的向量，描述如何不首先构造 $\mathrm{Span}\{u,v\}$ 的正交基便可找出 ${\mathbb{R}}^n$ 中向量 $z$ 的形如 $x_{1}u+x_{2}v$ 的最佳逼近.

10. 假若 $A$ 的列线性无关，确定当 $b$ 用 cb（$c$ 是非零数）代替时，Ax = b 的最小二乘解 $\hat{x}$ 会发生什么变化？

11. 如果 $a$, $b$, $c$ 是不同的数，则由于方程的图形是平行平面，故使得下面的方程组不相容。证明：该方程组的所有最小二乘解就是方程 $x-2y+5z=(a+b+c)/3$ 所确定的平面。 $x-2y+5z=a$ $x-2y+5z=b$ $x-2y+5z=c$

12. 已知逼近特征向量 $v$ ，考虑如何求 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征值。由于 $v$ 不是准确向量，故方程 $Av=\lambda v$ (1)

可能没有解。然而，可以通过适当观察（1）来求得最小二乘解来估计 $\lambda$ 。把 $v$ 看成 $n\times 1$ 矩阵 $V$ ，把 $\lambda$ 看作 ${\mathbb{R}}^1$ 上的一个向量，并用符号 $b$ 表示向量 $Av$ 。从而（1）变成 $b=\lambda V$ ，同样可写成 $V\lambda =b$ 。求由含有未知数 $\lambda$ 的这 $n$ 个方程组成的方程组的最小二乘解，并用原来符号表示出来。对 $\lambda$ 的估计结果叫做瑞利商。参照5.8节中习题11和习题12。

13. 利用下面步骤证明由 $m\times n$ 矩阵 $A$ 确定的四个

基本子空间之间的以下联系.

$$\mathrm{Row}A=(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp },\mathrm{Col}A=(\mathrm{Nul}{A}^{\mathrm{T}}{)}^{\perp }$$

$a$. 证明Row $A$ 属于空间 $(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ . (证明如果 $x$ 属于Row $A$ , 那么 $x$ 与Nul $A$ 中任意一个 $u$ 正交.)

$b$. 假设 $\mathrm{rank}A=r$ ，求出 $\dim (\mathrm{Nul}A)$ 和 $\dim (\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ ，然后从（$a$）推出 $\mathrm{Row}A=(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ 。（提示：研究6.3节的习题。）

$c$. 解释为什么 $\mathrm{Col}A=(\mathrm{Nul}{A}^{\mathrm{T}}{)}^{\perp }$ .

14. 解释为什么方程 Ax=b 有解的充分必要条件是 $b$ 与方程 $A^{T}x=0$ 的所有解正交.

习题 15 和习题 16 涉及一个 $n\times n$ 矩阵形如 $A=UR{U}^T$ 的（实）舒尔分解，其中 $U$ 是一个正交矩阵，$R$ 是一个 $n\times n$ 上三角形矩阵.

15. 证明：如果 $A$ 有一个（实）舒尔分解， $A=UR{U}^{\mathrm{T}}$ ，那么 $A$ 具有 $n$ 个实特征值，计算包含重数.

16. 假若 $A$ 是具有 $n$ 个实特征值的 $n\times n$ 矩阵，包含重数，记为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ . 可以证明 $A$ 有一个（实的）舒尔分解，（$a$）和（$b$）两部分给出了证明的关键思想，证明的其余部分等同于对小矩阵连续重复步骤（$a$）和（$b$），然后整合到一起得到最后结果.

$a$. 设 $u_1$ 是对应于 ${\lambda }_1$ 的单位特征向量， $u_2,\cdots ,u_n$ 是其余向量且 $\{u_1,\cdots ,u_n\}$ 是 $R^n$ 的单位正交基，取 $U=[u_1{u}_2\cdots u_n]$ ，证明 $U^{T}AU$ 的第一列是 ${\lambda }_1{e}_1$ ，其中 $e_1$ 是 $n\times n$ 单位矩阵的第一列.

$b$.（$a$）部分意味着 $U^{T}AU$ 具有下列的形式。解释为什么 $A_1$ 的特征是 ${\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 。（提示：参考第 5 章的补充习题。）

$$U^{\mathrm{T}}AU=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& & & & \\ ⋮& & A_1& & \\ 0& & & & \end{array}\right]$$

[$M$]当方程 Ax=b 的右端有一点变化时，例如 $Ax=b+\Delta b$ ， $\Delta b$ 为向量，方程的解会由 $x$ 改变为 $x+\Delta x$ ，其中 $\Delta x$ 满足 $A(\Delta x)=\Delta b$ 。商 $\Vert \Delta b\Vert /\Vert b\Vert$ 称为 $b$ 的相对改变（或称 $b$ 的相对误差，当 $\Delta b$ 表示 $b$ 的元素的可能误差时）。解的相对改变是 $\Vert \Delta x\Vert /\Vert x\Vert$ 。当 $A$ 可逆时，$A$ 的条件数（记为 cond($A$)）给出一个 $x$ 相对改变多大的界：

$$\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }⩽\mathrm{cond}(A)\cdot \frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }\text{\hspace{1em}(2)}$$

在习题 17~20 中，求解 Ax=b 和 $A(\Delta x)=\Delta b$ ，并证明（2）在每种情形下均成立（参考 2.3 节习题 41~43 中关于病态矩阵的讨论）.

$$7.A=\left[\begin{array}{ll}4.5& 3.1\\ 1.6& 1.1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}19.249\\ 6.843\end{array}\right],\Delta \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}0.001\\ -0.003\end{array}\right]$$ $$18.A=\left[\begin{array}{ll}4.5& 3.1\\ 1.6& 1.1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}0.500\\ -1.407\end{array}\right],\Delta \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}0.001\\ -0.003\end{array}\right]$$ $$A=\left[\begin{array}{rrrr}7& -6& -4& 1\\ -5& 1& 0& -2\\ 10& 11& 7& -3\\ 19& 9& 7& 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}0.100\\ 2.888\\ -1.404\\ 1.462\end{array}\right],$$ $$\Delta \mathbf{b}=10^{-4}\left[\begin{array}{c}0.49\\ -1.28\\ 5.78\\ 8.04\end{array}\right]$$ $$20.A=\left[\begin{array}{rrrr}7& -6& -4& 1\\ -5& 1& 0& -2\\ 10& 11& 7& -3\\ 19& 9& 7& 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}4.230\\ -11.043\\ 49.991\\ 69.536\end{array}\right],$$ $$\Delta \mathbf{b}=10^{-4}\left[\begin{array}{c}0.27\\ 7.76\\ -3.77\\ 3.93\end{array}\right]$$