第6章 奇数习题答案

第6章 习题答案

6.1

1. 5, 8, $\frac{8}{5}$ 3. $\left[\begin{array}{c}3/35\\ -1/35\\ -1/7\end{array}\right]$ 5. $\left[\begin{array}{c}8/13\\ 12/13\end{array}\right]$

2. $\sqrt{35}$ 9. $\left[\begin{array}{c}-0.6\\ 0.8\end{array}\right]$ 11. $\left[\begin{array}{c}7/\sqrt{69}\\ 2/\sqrt{69}\\ 4/\sqrt{69}\end{array}\right]$

3. $5\sqrt{5}$ 15.不正交

4. 正交

5. 写出答案之后参考“学习指导”.

6. 提示：用 2.1 节的定理3 和 2.

7. $u\cdot v=0,{\Vert u\Vert }^2=30,{\Vert v\Vert }^2=101,{\Vert u+v\Vert }^2=(-5{)}^2+(-9{)}^2+5^2=131=30+101.$

8. 所有 $\left[\begin{array}{c}-b\\ a\end{array}\right]$ 的倍数的集合(当 $v\ne 0$ ).

9. 提示：用正交性的定义.

10. 提示：考虑一个属于 $W$ 的典型向量 $w=c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p$ .

11. 提示：如果 $x$ 属于 $W^{\perp }$ ，那么 $x$ 与 $W$ 中任一向量正交.

12. [$M$]说明你的猜测并给出代数验证.

6.2

1. 不正交 3. 不正交 5. 正交

2. 证明 $u_1\cdot u_2=0$ ，注意到定理4且观察到 ${\mathbb{R}}^2$ 中两个线性无关向量构成一个基，那么得到 $x=\frac{39}{13}\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]+\frac{26}{52}\left[\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]+\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right]$

3. 证明 $u_1\cdot u_2=0,u_1\cdot u_3=0$ 且 $u_2\cdot u_3=0$ . 注意到定理4且观察到 ${\mathbb{R}}^3$ 中线性无关向量构成一个基，那么得到 $x=\frac{5}{2}{u}_1-\frac{27}{18}{u}_2+\frac{18}{9}{u}_3=\frac{5}{2}{u}_1-\frac{3}{2}{u}_2+2u_3$ .

4. $\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]$ 13. $y=\left[\begin{array}{c}-4/5\\ 7/5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}14/5\\ 8/5\end{array}\right]$

5. $y-\hat{y}=\left[\begin{array}{c}0.6\\ -0.8\end{array}\right]$ ，距离是1.

$$\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 0\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$$

19. 单位正交 21. 单位正交

20. 见“学习指导”.

21. 提示： ${\Vert Ux\Vert }^2=(Ux{)}^{\mathrm{T}}(Ux)$ ，同样，（$a$）和（$c$）可从（$b$）得到.

22. 提示：你需要两个定理，其中一个仅应用于方阵.

23. 提示：如果你有一个候补逆，则可以检查这个候补是否可行.

24. 假设 $\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$ . 对 $c\ne 0$ 用 $c\mathbf{u}$ 代替 $\mathbf{u}$ ; 那么 $\frac{\mathbf{y}\cdot (c\mathbf{u})}{(c\mathbf{u})\cdot (c\mathbf{u})}(c\mathbf{u})=\frac{c(\mathbf{y}\cdot \mathbf{u})}{c^2\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}(c)\mathbf{u}=\hat{\mathbf{y}}$

25. 设 $L=\mathrm{Span}\{u\}$ ，其中 $u$ 非零，记 $T(x)={\mathrm{proj}}_{L}x$ ，根据定义， $T(x)=\frac{x\cdot u}{u\cdot u}u=(x\cdot u)(u\cdot u{)}^{-1}u$ 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $x$ 和 $y$ 以及任意数 $c$ 和 $d$ ，内积的性质（定理1）说明 $T(cx+dy)=[(cx+dy)\cdot u](u\cdot u{)}^{-1}u$ $=[c(x\cdot u)+d(y\cdot u)](u\cdot u{)}^{-1}u$ $=c(x\cdot u)(u\cdot u{)}^{-1}u+d(y\cdot u)(u\cdot u{)}^{-1}u$ $=cT(x)+dT(y)$

因此 $T$ 是线性的.

6.3

1. $x=-\frac{8}{9}{u}_1-\frac{2}{9}{u}_2+\frac{2}{3}{u}_3+2u_4;x=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 4\\ -2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10\\ -6\\ -2\\ 2\end{array}\right]$ 3. $\left[\begin{array}{c}-1\\ 4\\ 0\end{array}\right]$ 5. $\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 6\end{array}\right]=y$

2. $y=\left[\begin{array}{c}10/3\\ 2/3\\ 8/3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-7/3\\ 7/3\\ 7/3\end{array}\right]$ 9. $y=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\\ -1\end{array}\right]$

$$\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ -2\\ 3\end{array}\right]$$

15. $\sqrt{40}$

16. $a$. $U^{T}U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],U{U}^T=\left[\begin{array}{ccc}8/9& -2/9& 2/9\\ -2/9& 5/9& 4/9\\ 2/9& 4/9& 5/9\end{array}\right]$

$b$. ${\mathrm{proj}}_w\mathbf{y}=6{\mathbf{u}}_1+3{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right]$ ，且 $(U{U}^{\mathrm{T}})\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right]$

19. $\left[\begin{array}{c}0\\ 2/5\\ 1/5\end{array}\right]$ 的任何倍数，如 $\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\end{array}\right]$ .

20. 在查阅“学习指导”之前，写出答案.

21. 提示：用定理3 和正交分解定理. 对唯一性，假设 $A\mathbf{p}=\mathbf{b}$ 和 $A{\mathbf{p}}_1=\mathbf{b}$ ，考虑方程 $\mathbf{p}={\mathbf{p}}_1+(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}_1)$ 和 $\mathbf{p}=\mathbf{p}+0$ .

22. [$M$]由6.2节定理6，因为 $U^{\mathrm{T}}U=I_k$ ，所以 $U$ 有单位正交列。Col $U$ 中离 $y$ 最近的点是 $y$ 在Col $U$ 。由定理10， $\hat{\mathbf{y}}$ 。由定理10， $\hat{\mathbf{y}}=U{U}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}=(1.2,0.4,1.2,1.2,0.4,1.2,0.4,0.4)$

6.4

$$\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 5\\ -3\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 3/2\\ 3/2\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\ 1\\ -4\\ -1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}2/\sqrt{30}\\ -5/\sqrt{30}\\ 1/\sqrt{30}\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{l}2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\\ 3\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{r}1\\ -1\\ -1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3\\ 0\\ 3\\ -3\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\ 0\\ 2\\ 2\\ -2\end{array}\right]$$

13. $R=\left[\begin{array}{cc}6& 12\\ 0& 6\end{array}\right]$

$$?=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{5}& 1/2& 1/2\\ -1/\sqrt{5}& 0& 0\\ -1/\sqrt{5}& 1/2& 1/2\\ 1/\sqrt{5}& -1/2& 1/2\\ 1/\sqrt{5}& 1/2& -1/2\end{array}\right]$$$$R=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{5}& -\sqrt{5}& 4\sqrt{5}\\ 0& 6& -2\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$$

17. 见“学习指导”.

18. 若 $x$ 满足 $Rx=0$ ，那么 $QRx=Q0=0$ ，且 $Ax=0$ 。由于 $A$ 的列是线性无关的，因此 $x$ 必为零。这个事实反过来说明 $R$ 的列是线性无关的。因为 $R$ 是方阵，由可逆矩阵定理可知它是可逆的。

19. 记 $Q$ 的列为 $q_1,\cdots ,q_n$ ，注意 $n⩽m$ ，因为 $A$ 是 $m\times n$ 且有线性无关的列。利用以下事实：$Q$ 的列可以扩充为 $R^m$ 的一个标准正交基，如 $\{q_1,\cdots ,q_m\}$ （“学习指导”描述了一个方法）。取 $Q_0=[q_{n+1}\cdots q_m]$ 那么 $Q_1=[Q{Q}_0]$ 。利用分块矩阵乘积， $Q_1\left[\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}\right]=QR=A$ 。

20. 提示：将 $R$ 作为 $2\times 2$ 分块矩阵.

21. [$M$] R 的对角元素是 20, 6, 10.3923 和 7.0711, 精确到 4 位小数.

6.5

1. $a$. $\left[\begin{array}{cc}6& -11\\ -11& 22\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\ 11\end{array}\right]$ b. $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$

2. $a$. $\left[\begin{array}{cc}6& 6\\ 6& 42\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ -6\end{array}\right]$ b. $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}4/3\\ -1/3\end{array}\right]$

3. $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}5\\ -3\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

4. $2\sqrt{5}$

5. $a$. $\hat{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ b. $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}2/7\\ 1/7\end{array}\right]$

6. $a$.

$$\hat{\mathbf{b}}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 4\\ -1\end{array}\right]$$$$\hat{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}2/3\\ 0\\ 1/3\end{array}\right]$$

13. $Au=\left[\begin{array}{c}11\\ -11\\ 11\end{array}\right],Av=\left[\begin{array}{c}7\\ -12\\ 7\end{array}\right],b-Au=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ -6\end{array}\right],$ $b-Av=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ -2\end{array}\right]$ . 否, $u$ 不可能是 $Ax=b$ 的一个最小二乘解. 为什么?

14. $\hat{x}=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right]$ 17. 见“学习指导”.

15. $a$. 如果 Ax=0，那么 $A^{T}Ax=A^{T}0=0$ ，这说明 Nul A 包含在 Nul $A^{T}A$ 中. b. 如果 $A^{T}Ax=0$ ，那么 $x^T{A}^{T}Ax=x^{T}0=0$ ，所以 $(Ax{)}^{\mathrm{T}}(Ax)=0$ （这说明 $\Vert Ax{\Vert }^2=0$ ），因此 Ax=0。这说明 Nul $A^{T}A$ 包含在 Nul A 中。

16. 提示：对（$a$），利用第2章的一个重要定理.

17. 由定理14, $\hat{b}=A\hat{x}=A(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}b$ . 矩阵 $A(A^{\mathrm{T}}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}$ 在统计中经常出现，通常称为帽子矩阵.

18. 法方程是 $\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right]$ ，它的解是 $(x,y)$ 的集合使得 $x+y=3$ 。解对应于位于直线 $x+y=2$ 和 $x+y=4$ 中间的点集。

6.6

1. $y=0.9+0.4x$ 3. $y=1.1+1.3x$

2. 如果两个点集有不同的 $x$ 坐标，那么设计矩阵 $X$ 的两列不可能是相互的倍数，因而它们线性无关。由 6.5 节的定理14，法方程有唯一解。

3. $a$. $y=X\beta +\epsilon$ ，其中 $y=\left[\begin{array}{c}1.8\\ 2.7\\ 3.4\\ 3.8\\ 3.9\end{array}\right]$ ， $X=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\\ 3& 9\\ 4& 16\\ 5& 25\end{array}\right]$ ， $\beta =\left[\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right],\epsilon =\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\\ {\epsilon }_4\\ {\epsilon }_5\end{array}\right]$ b. [$M$] $y=1.76x-0.20x^2$ 9. $y=X\beta +\epsilon$ ，其中 $y=\left[\begin{array}{c}7.9\\ 5.4\\ -0.9\end{array}\right]$ ， $X=\left[\begin{array}{cc}\cos 1& \sin 1\\ \cos 2& \sin 2\\ \cos 3& \sin 3\end{array}\right]$

$$\mathbf{\beta }=\left[\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right],\mathbf{\epsilon }=\left[\begin{array}{l}{\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2\\ {\epsilon }_3\end{array}\right]$$

11. [$M$] $\beta =1.45$ 和 $e=0.811$ ；轨迹一个椭圆。对于方程 $r=\beta /(1-e\cdot \cos \vartheta )$ ，当 $\vartheta =4.6$ 时， $r=1.33$ 。

12. [$M$] a. $y=-0.8558+4.7025t+5.5554t^2-0.0274t^3$ b. 速度函数是 $v(t)=4.7025+11.1108t-0.0822t^2$ $v(4.5)=53.0$ 英尺/秒

13. 提示：写出在方程(1)中的 $X$ 和 $y$，且计算 $X^{T}X$ 和 $X^{T}y$ .

14. $a$. x 数据的平均是 $\bar{x}=5.5$ . 数据的平均偏差形式是 $(-3.5,1),(-0.5,2),(1.5,3),(2.5,3)$ . X 的列是正交的,因为第 2 列中元素之和为零. b. $\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 21\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9\\ 7.5\end{array}\right],y=\frac{9}{4}+\frac{5}{14}{x}^{\ast }=\frac{9}{4}+\frac{5}{14}(x-5.5)$

15. 提示：方程有一个好的几何解释.

6.7

1. $a$. 3, $\sqrt{105}$ , 225 b. 所有 $\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$ 的倍数 3.28 5. $5\sqrt{2}$ , $3\sqrt{3}$ 7. $\frac{56}{25}+\frac{14}{25}t$

2. $a$. 常数多项式， $p(t)=5$ b. $t^2-5$ 正交于 $p_0$ 和 $p_1$ ；值： $(4,-4,-4,4)$ ；答案： $q(t)=\frac{1}{4}(t^2-5)$ 11. $\frac{17}{5}t$

3. 验证 4 个公理中的每一个，例如

4. $⟨u,v⟩=(Au)\cdot (Av)$ 定义 $=(Av)\cdot (Au)$ 点积的性质 $=⟨v,u⟩$ 定义

5. $⟨u,cv⟩=⟨cv,u⟩$ 公理1 公理3 公理1$=c⟨v,u⟩$ 公理3 $=c⟨u,v⟩$ 公理1

6. 提示：计算 4 乘右手边.

7. $⟨u,v⟩=\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}\sqrt{a}=2\sqrt{ab}$ ， $\Vert u{\Vert }^2=(\sqrt{a}{)}^2+$ $(\sqrt{b}{)}^2=a+b$ .因为 $a,b$ 非负，所以 $\Vert u\Vert =\sqrt{a+b}$ 类似地， $\Vert v\Vert =\sqrt{b+a}$ .由柯西-施瓦茨不等式， $2\sqrt{ab}⩽\sqrt{a+b}\sqrt{b+a}=a+b$ ，因而 $\sqrt{ab}⩽$ $\frac{a+b}{2}$

21.0 23. $2/\sqrt{5}$ 25.1, $t$ , $3t^2-1$

27. [$M$] 新的正交多项式是 $-17t+5t^3$ 和 $72-155t^2+35t^4$ 的倍数. 重新度量这些多项式使得它们在 -2, -1, 0, 1 和 2 的值是小整数.

6.8

1. $y=2+\frac{3}{2}t$

2. $p(t)=4p_0-0.1p_1-0.5p_2+0.2p_3$ $=4-0.1t-0.5(t^2-2)+0.2\left(\frac{5}{6}{t}^3-\frac{17}{6}t\right)$ （这个多项式精确地拟合了数据.）

3. 利用等式 $\sin mt\sin nt=\frac{1}{2}[\cos (mt-nt)-\cos (mt+nt)]$

4. 利用等式 ${\cos }^{2}kt=\frac{1+\cos 2kt}{2}$ .

5. $\pi +2\sin t+\sin 2t+\frac{2}{3}\sin 3t$ （提示：利用例4 的结果可节约时间）.

6. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2t$ （为什么？）

7. 提示：选取 $C[0,2\pi ]$ 中的函数 $f$ 和 $g$ ，且固定一个整数 $m⩾0$ 。写出 $f+g$ 的包含 $\cos mt$ 的傅里叶系数且写出包含 $\sin mt$ 的傅里叶系数 $(m>0)$ 。

8. [$M$]立方曲线是下列函数的图形: $g(t)=-0.2685+3.6095t+5.8576t^2-0.0477t^3$ . 在 $t=4.5$ 秒的速度是 $g^{\prime }(4.5)=53.4$ 英尺/秒. 这比 6.6 节习题 13 中估计得到的结果快 0.7%.

第6章补充习题 答案

$a$. F b. T c. T d. F e. F f. T g. T h. T i. F j. T k. T l. F m. T n. F o. F p. T q. T r. F s. F

2. 提示：若 $\{v_1,v_2\}$ 是单位正交集合且 $x=c_1{v}_1+c_2{v}_2$ ，则向量 $c_1{v}_1,c_2{v}_2$ 是正交的且 $\Vert x{\Vert }^2={\Vert c_1{v}_1+c_2{v}_2\Vert }^2={\Vert c_1{v}_1\Vert }^2+{\Vert c_2{v}_2\Vert }^2$ $=(|c_1||{\mathbf{v}}_1|{)}^2+(|c_2||{\mathbf{v}}_2|{)}^2=|c_1{|}^2+|c_2{|}^2$

（解释为什么）. 故对于 p=2 状态方程成立. 假设等式对 $p=k$ ( $k⩾2$ ) 成立，令 $\{v_1,\cdots ,v_{k+1}\}$ 是单位正交集，考虑 $x=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k+c_{k+1}{v}_{k+1}=u_k+c_{k+1}{v}_{k+1}$ ，其中 $u_k=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k$ .

3. 给定 $x$ 和 $R^n$ 中一个单位正交集 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ ，设 $\hat{x}$ 是 $x$ 在由 $v_1,\cdots ,v_p$ 生成的子空间上的正交投影。由 6.3 节的定理10， $\hat{x}=(x\cdot v_1)v_1+\cdots +(x\cdot v_p)v_p$ 。由习题 2， ${\Vert \hat{x}\Vert }^2={\left|x\cdot v_1\right|}^2+\cdots +{\left|x\cdot v_p\right|}^2$ 。贝塞尔不等式可从 ${\Vert \hat{x}\Vert }^2⩽{\Vert x\Vert }^2$ 得到，该不等式在 6.7 节柯西-施瓦茨不等式的证明前面给出。

4. 假设对任意 $x$, $y$ 属于 $R^n$ 有 $(Ux)\cdot (Uy)=x\cdot y$ ，且设 $e_1,\cdots ,e_n$ 是 $R^n$ 的标准基。对 $j=1,\cdots ,n$ ， $U{e}_j$ 是 $U$ 的第 $j$ 列。由于 ${\Vert U{e}_j\Vert }^2=(U{e}_j)\cdot (U{e}_j)=e_j\cdot e_j=1$ ，故 $U$ 的列是单位向量；由于对 $j\ne k$ ， $(U{e}_j)\cdot (U{e}_k)=e_j\cdot e_k=0$ ，故列是两两正交的。

5. 提示: 计算 $Q^{T}Q$ ，利用事实 $(\mathbf{u}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{u}}^{\mathrm{TT}}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{u}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}$

6. 设 $W=\mathrm{Span}\{u,v\}$ . 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $z$ , 设 $\hat{z}={\mathrm{proj}}_{W}z$ , 那么 $\hat{z}$ 属于 $\mathrm{Col}A$ , 其中 $A=[uv]$ , 例如, 对 ${\mathbb{R}}^2$ 中的一些 $\hat{x}$ , 有 $\hat{z}=A\hat{x}$ . 所以 $\hat{x}$ 是 $Ax=z$ 的一个最小二乘解, 法方程可以解出 $\hat{x}$ , 那么 $\hat{z}$ 可通过计算 $A\hat{x}$ 得到.

7. 提示：设 $x=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 5\end{array}\right]$ 和 $A=\left[\begin{array}{c}{v}^T\\ v^T\\ v^T\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 5\\ 1& -2& 5\\ 1& -2& 5\end{array}\right]$ . 给定的方程组是 Ax=b，且所有

最小二乘解的集合. 与 $A^{T}Ax=A^{T}b$ 的解集相一致（6.5节定理13）. 这可利用事实 $(v{v}^T)x=v(x^{T}x)=(v^{T}x)v$ ，其中 $v^{T}x$ 是数.

13. $a$. $Au$ 的行-列计算表明 $A$ 的每一行是与 $\mathrm{Nul}A$ 中的每一个 $u$ 正交的。所以 $A$ 的每一行属于 $(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ 。由于 $(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ 是一个子空间，故它必须包含 $A$ 的行的所有线性组合；因此 $(\mathrm{Nul}A{)}^{\perp }$ 包含 $\mathrm{Row}A$ 。

$b$. 如果 rank A = r ，那么由秩定理， dim Nul A = n - r. 由6.3节的习题24($c$)，有 $\dim \text{Nul }A+\dim (\text{Nul }A{)}^{\perp }=n$ 所以 $\dim (\text{Nul }A{)}^{\perp }$ 一定是 r．但由秩定理和（$a$）可知 Row A 是一个 $(\text{Nul }A{)}^{\perp }$ 的 $r$ 维子空间，所以 Row A 必和 $(\text{Nul }A{)}^{\perp }$ 一致.

$c$. 在（$b$）中用 $A^{\mathrm{T}}$ 代替 $A$ 且可得 $\mathrm{Row}{A}^{\mathrm{T}}$ 和 $(\mathrm{Nul}{A}^{\mathrm{T}}{)}^{\perp }$ 一致. 又由于 $\mathrm{Row}{A}^{\mathrm{T}}=\mathrm{Col}A$ 这就证明了（$c$）.

15. 如果 $A=UR{U}^{\mathrm{T}}$ 且 $U$ 是正交的，那么 $A$ 与 $R$ 相似(因为 $U$ 是可逆的且 $U^{\mathrm{T}}=U^{-1}$ )，且 $A$ 与 $R$ 具有相同特征值（5.2节定理4)，即 $n$ 个在 $R$ 对角线上的实数.

16. [$M$] $\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }=0.4618,\mathrm{cond}(A)\times \frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }=3363\times (1.548\times 10^{-4})=\mathrm{0.5206.}$ 注意 $\Vert \Delta x\Vert /\Vert x\Vert$ 约等于 $\mathrm{cond}(A)$ 乘 $\Vert \Delta b\Vert /\Vert b\Vert$ .

17. [$M$] $\frac{\Vert \Delta x\Vert }{\Vert x\Vert }=7.178\times 10^{-8},\frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }=2.832\times 10^{-4}$ , 注意 $x$ 的相对改变比 $b$ 的相对改变小很多. 事实上, 由于 $\mathrm{cond}(A)\times \frac{\Vert \Delta b\Vert }{\Vert b\Vert }=23683\times (2.832\times 10^{-4})=6.707$ 故 $x$ 相对改变的理论上界是 6.707 (到 4 位有效数字). 这个习题表明, 既使一个条件数很大, 一个解的相对误差也并不像你想象的那么大.