第4章 奇数习题答案

第4章 习题答案

4.1

1. $a$. $u+v$ 在 $V$ 中，因为它的元素都是非负的．

$b$．例子: 如果 $u=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]$ 和 c=-1，那么 $u$ 在 $V$ 中， 但cu不在$V$中．

3. 例子：如果 $u=\left[\begin{array}{c}0.5\\ 0.5\end{array}\right]$ 和 $c=4$ ，那么 $u$ 在 $H$ 中，但 $cu$ 不在 $H$ 中．

4. 是，由定理1，因为集合是 Span $\{t^2\}$

5. 否，该集合对不是整数的标量乘法不封闭．

6. $H=\mathrm{Span}\{v\}$ ，其中 $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right]$．由定理1， $H$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间．

7. $W=\mathrm{Span}\{u,v\}$ ，其中 $u=\left[\begin{array}{l}5\\ 1\\ 0\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{l}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ ，由定理1， $W$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间．

8. $a$. $\{v_1,v_2,v_3\}$ 中仅包含三个向量，且 $w$ 不在其中． b. 在 $\mathrm{Span}\{v_1,v_2,v_3\}$ 中有无穷多向量． c. $w$ 在 $\mathrm{Span}\{v_1,v_2,v_3\}$ 中．

9. $W$ 不是向量空间，因为零向量不在 $W$ 中．

S = {[ c 1 0 - 1 0 ], [ c - 1 1 0 1 ], [ c 0 - 1 1 0 ] }$$S=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$$

19. 提示：利用定理1.

注意 尽管“学习指导”仅对这里含“提示”的习题有完整解答，但你必须自己真正去求这些问题的解．否则，你不能从习题中受益．

21. 是．对一个子空间的条件是明显满足的: 零矩阵在 $H$ 中，两个上三角形矩阵的和是上三角形矩阵，且任何一个上三角形矩阵的标量乘法仍然是上三角形矩阵．

22. 写出答案后，参考“学习指导”

25.4 27.a.8 b.3 c.5 d.4

29. $u+(-1)u=1u+(-1)u$ 公理10 公理8 $=[1+(-1)]u$ 公理 8 $=0u=0$ 习题 27从习题26，得出 $(-1)u=-u$

30. 任何包含 $u$ 和 $v$ 的子空间 $H$ 也必包含 $u$ 和 $v$ 的所有标量乘法，因而包含 $u$ 和 $v$ 所有标量乘法之和，于是 $H$ 必包含 Span{$u$,$v$}.

31. 提示：对部分解，考虑 $H+K$ 中的 $w_1$ 和 $w_2$ ，并把 $w_1$ 和 $w_2$ 分别写成 $w_1=u_1+v_1$ 和 $w_2=u_2+v_2$ 的形式，其中 $u_1$ 和 $u_2$ 属于 $H$，而 $v_1$ 和 $v_2$ 属于 $K$.

32. [$M$] $\left[{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3,w\right]$ 的简化阶梯形表明 $w={\nu }_1-2{\nu }_2+{\nu }_3$ .

33. [$M$]函数是 $\cos 4t$ 和 $\cos 6t$ ，见4.5节习题34.

4.2

1. $\left[\begin{array}{ccc}3& -5& -3\\ 6& -2& 0\\ -8& 4& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ ，所以 $w$ 在 Nul A 中．

2. $\left[\begin{array}{c}7\\ -4\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-6\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 5. $\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4\\ 0\\ 9\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

3. $W$ 不是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间，因为零向量(0,0,0)不属于 $W$ ：

4. $W$ 是 ${\mathbb{R}}^4$ 的一个子空间，因为 $W$ 是下列方程组的解集：

r l a - 2 b - 4 c & = 0 2 a & - c - 3 d = 0$$\begin{array}{rl}a-2b-4c& =0\\ 2a& -c-3d=0\end{array}$$

11. $W$ 不是子空间，因为 $0$ 不在 $W$ 中．验证：如果一个元素 $(b-2d,5+d,b+3d,d)$ 是零，那么 $5+d=0$ 和 $d=0$ ，这是不可能的．

12. $W=\mathrm{Col}A$ ，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}1& -6\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ，所以由定理3， $W$ 是一个向量空间．

13. $\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 1& -2\\ 4& 1& 0\\ 3& -1& -1\end{array}\right]$ 17. a.2 b.4 19.a.5 b.2

14. 向量 $\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 在 $\mathrm{Nul}A$ 中，向量 $\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -4\\ 3\end{array}\right]$ 在 $\mathrm{Col}A$ 中．其余答案也有可能．

15. $w$ 属于 Nul A 和 Col A.

16. 见 “学习指导”，现在你应知道如何合理使用它．

17. 令 $x=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right]$ 和 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& -3\\ -2& 4& 2\\ -1& 5& 7\end{array}\right]$ ，那么 $x$ 属于 Nul $A$ 。由于 Nul $A$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间，故 $10x$ 属于 Nul $A$ 。

18. $a$. $A0=0$ ，所以零向量在 $\mathrm{Col}A$ 中． b. 由矩阵乘法的性质， $Ax+Aw=A(x+w)$ ，这表明 $Ax+Aw$ 是 $A$ 的列的线性组合，因此属于 $\mathrm{Col}A$ . c. $c(Ax)=A(cx)$ ，这表明对所有数 $c$ ， $c(Ax)$ 在 $\mathrm{Col}A$ 中．

19. $a$．对任何在 ( P_{2} ) 中的多项式 $p$, $q$ 和任何数 $c$， ( T(p+q)=\begin{bmatrix}(p+q)&(0)\(p+q)&(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p(0)+q(0)\p(1)+q(1)\end{bmatrix} )

( =\begin{bmatrix}p(0)\p(1)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}q(0)\q(1)\end{bmatrix}=T($p$)+T($q$) )

( T(cp)=\begin{bmatrix}cp(0)\cp(1)\end{bmatrix}=c\begin{bmatrix}p(0)\p(1)\end{bmatrix}=cT($p$) )

所以 $T$ 是一个从 ( P_{2} ) 到 ( P_{2} ) 的线性变换．

$b$．任何在 0 和 1 点为零的二次多项式必须是 ( p($t$)=t(t-1) ) 的倍数，$T$ 的值域为 ( R^{2} ) .

33. $a$．对属于 $M_{2\times 2}$ 中的 $A$, $B$ 和任何标量 $c$， $T(A+B)=(A+B)+(A+B{)}^{\mathrm{T}}$ $=A+B+A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$ 转置性质 $=(A+A^{\mathrm{T}})+(B+B^{\mathrm{T}})=T(A)+T(B)$ $T(cA)=(cA)+(cA{)}^{\mathrm{T}}=cA+c{A}^{\mathrm{T}}$ $=c(A+A^{\mathrm{T}})=cT(A)$ 所以 $T$ 是一个从 $M_{2\times 2}$ 到 $M_{2\times 2}$ 的线性变换． b. 如果 $B$ 是 $M_{2\times 2}$ 中任一元素且具有性质 $B^T=B$

且若 $A=\frac{1}{2}B$ ，那么

T (A) = frac 12 B + (frac 12 B) ^ T = frac 12 B + frac 12 B = B$$T(A)=\frac{1}{2}B+{\left(\frac{1}{2}B\right)}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{2}B+\frac{1}{2}B=B$$

$c$. ($b$)部分说明 $T$ 的值域包含所有满足 $B^{\mathrm{T}}=B$ 的 $B$ ，所以，它充分说明任何在 $T$ 值域中的 $B$ 有这个性质．如果 $B=T(A)$ ，那么由转置性质， $B^{\mathrm{T}}=(A+A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{TT}}=A^{\mathrm{T}}+A=B$ d. $T$ 的核是 $\left\{\left[\begin{array}{ll}0& b\\ -b& 0\end{array}\right]:b\text{ 是实数}\right\}$

35. 提示：验证子空间的三个条件．$T(U)$ 中的典型元素具有形式 $T(u_1)$ 和 $T(u_2)$ ，其中 $u_1,u_2$ 属于 $U$ .
36. [$M$] $w$ 属于 $\mathrm{Col}A$ ，但不属于 $\mathrm{Nul}A$ 。（解释为什么。）
37. [$M$] $A$ 的简化阶梯形是

[ c c c c c 1 & 0 & 1 / 3 & 0 & 1 0 / 3 0 & 1 & 1 / 3 & 0 & - 2 6 / 3 0 & 0 & 0 & 1 & - 4 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1/3& 0& 10/3\\ 0& 1& 1/3& 0& -26/3\\ 0& 0& 0& 1& -4\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

4.3

1. 是， $3\times 3$ 矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 具有 3 个主元位置， 由可逆矩阵定理，$A$ 是可逆的且它的列构成 $R^3$ 的一个基。（见例3.）

2. 否，向量是线性相关的且不能生成 ${\mathbb{R}}^3$

3. 否，集合是线性相关的，因为零向量在集合中。然而，

[ r r r r 1 & - 2 & 0 & 0 - 3 & 9 & 0 & - 3 0 & 0 & 0 & 5 ] ∼ [ r r r r 1 & - 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & - 3 0 & 0 & 0 & 5 ]$$\left[\begin{array}{rrrr}1& -2& 0& 0\\ -3& 9& 0& -3\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrrr}1& -2& 0& 0\\ 0& 3& 0& -3\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]$$

矩阵的每一行有主元，因而它的列生成 ${\mathbb{R}}^3$

7. 否，向量是线性无关的，因为它们不是倍数关系（更精确地讲，没有一个向量是其余向量的倍数）。然而，向量不能生成 ${\mathbb{R}}^3$ 。矩阵 $\left[\begin{array}{cc}-2& 6\\ 3& -1\\ 0& 5\end{array}\right]$ 最多有2个主元，因为它仅有2列．所以，并不是每一行有一个主元

[ c 3 5 1 0 ], [ c - 2 - 4 0 1 ]$$\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

[ c - 2 1 0 ], [ c - 1 0 1 ]$$\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

13. Nul A 的基: $\left[\begin{array}{c}-6\\ -5/2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-5\\ -3/2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ Col A 的基: $\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ -6\\ 8\end{array}\right]$

14. $\{v_1,v_2,v_4\}$ 17.[$M$] $\{v_1,v_2,v_3\}$

19.3个最简单的答案是 $\{v_1,v_2\}$ 或 $\{v_1,v_3\}$ 或 $\{v_2,v_3\}$．其他答案也可能．

21. 见“学习指导”的提示．

22. 提示：利用可逆矩阵定理．

23. 否．(为什么集合不是 $H$ 的基？)

24. $\{\cos \omega t,\sin \omega t\}$

25. 设 $A$ 是 $n\times k$ 矩阵 $[v_1\cdots v_k]$ ，由于 $A$ 的列少于行，因此不可能 $A$ 的每一行都有一个主元位置。由 1.4 节的定理4，$A$ 的列不能生成 $R^n$ ，因此不是 $R^n$ 的基。

26. 提示：如果 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 是线性相关的，那么存在不全为零的 $c_1,\cdots ,c_p$ ，使得 $c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p=0$ 。利用这个方程。

27. 任一多项式都不是其他多项式的倍数，因此 $\{p_1,p_2\}$ 是 ${\mathbb{P}}_3$ 中的线性无关集．

28. 设 $\{v_1,v_3\}$ 是向量空间 $V$ 中的任一线性无关集，并设 $v_2,v_4$ 是 $v_1$ 和 $v_3$ 的线性组合，则 $\{v_1,v_3\}$ 是 Span $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ 的一组基．

29. [$M$]你可能很聪明且找出特殊 $t$ 值使得(5)中的方程产生几个零，从而得到可以很容易用手工求解的线性方程组。或者，你可利用 $t$ 值（如 $t=0,0.1,0.2,\cdots$ ）来产生一个能用矩阵程序来解的线性方程组。

4.4

[ c 3 - 7 ]$$\left[\begin{array}{c}3\\ -7\end{array}\right]$$

[ c - 1 - 5 9 ]$$\left[\begin{array}{c}-1\\ -5\\ 9\end{array}\right]$$

[ c 8 - 5 ]$$\left[\begin{array}{c}8\\ -5\end{array}\right]$$[ c - 1 - 1 3 ]$$\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 3\end{array}\right]$$

9. $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -9& 8\end{array}\right]$ 11. $\left[\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right]$ 13. $\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ -1\end{array}\right]$

10. “学习指导”有提示．

11. $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=5v_1-2v_2=10v_1-3v_2+v_3$ （无穷多解答）.

12. 提示：由假设，零向量可唯一表示成 $S$ 中元素的线性组合．

13. $\left[\begin{array}{cc}9& 2\\ 4& 1\end{array}\right]$

14. 提示：假设 $[u{]}_{\mathcal{B}}=[w{]}_{\mathcal{B}}$ 对 $V$ 中一些 $u$ 和 $w$ 成立，且记 $[u{]}_{\mathcal{B}}$ 中的元素为 $c_1,\dots ,c_n$．利用 $[u{]}_{\mathcal{B}}$ 的定义．

15. 一个可能的方法：首先，说明如果 $u_1,\cdots ,u_p$ 是线性相关的，那么 $[u_1{]}_B,\cdots ,[u_p{]}_B$ 是线性相关的。其次，说明如果 $[u_1{]}_B,\cdots ,[u_p{]}_B$ 是线性相关的，那么 $u_1,\cdots ,u_p$ 是线性相关的。利用习题中显示的两个方程。一个稍微不同的证明在“学习指导”中给出。

16. 线性无关（验证习题 27~34 中的答案）.

17. 线性相关

[ r 1 - 3 5 ], [ r - 3 5 - 7 ], [ r - 4 5 - 6 ], [ r 1 0 - 1 ]$$\left[\begin{array}{r}1\\ -3\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3\\ 5\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4\\ 5\\ -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]$$

$R^3$．因为 $R^3$ 和 $P_2$ 同构，所以对应的多项式不能生成 $P_2$ .

$b$．坐标向量 $\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -8\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\end{array}\right]$ 生成 $R^3$．因为

$R^3$ 和 $P_2$ 同构，所以对应的多项式生成 $P_2$ .

33. [$M$]坐标向量 $\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\ 1\\ 0\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 16\\ -6\\ 2\end{array}\right]$ 是 $R^4$ 中的线性相关子集．因为 ${\mathbb{R}}^4$ 和 ${\mathbb{P}}_3$ 同构，所以对应的多项式构成 ${\mathbb{P}}_3$ 的线性相关子集，因此不能构成 ${\mathbb{P}}_3$ 的基

34. $[M][x{]}_B=\left[\begin{array}{c}-5/3\\ 8/3\end{array}\right]$ 37. $[M]\left[\begin{array}{c}1.3\\ 0\\ 0.8\end{array}\right]$

4.5

$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right];$ 维数是2.

$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -3\\ 0\end{array}\right];$ 维数是3.

5. $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4\\ 5\\ 0\\ 7\end{array}\right]$ ; 维数是2.

6. 没有基；维数为零． 9.2 11.2

13.2, 3 15.2, 2 17.0, 3 19. 见“学习指导”.

21. 提示: 你只需证明前 4 个埃尔米特多项式是线性无关的．为什么?

22. $[p{]}_B=(3,3,-2,\frac{3}{2})$

23. 提示：假设 $S$ 确实生成 $V$，且用生成集定理。这会导致一个矛盾，从而证明生成假设是错的。

24. 提示：利用每一个 ${\mathbb{P}}_n$ 是 $\mathbb{P}$ 的一个子空间的事实．

25. 验证每一个答案：$a$．真，$b$．真，$c$．真．

26. 提示：由于 $H$ 是有限维空间的一个非零子空间，故 $H$ 是有限维的且有基，如 $v_1,\cdots ,v_p$ 。首先证明 $\{T(v_1),\cdots ,T(v_p)\}$ 生成 $T(H)$ 。

27. [$M$]a. 一个基是 $\{{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3,e_2,e_3\}$．事实上，$e_2,\cdots ,e_5$ 中的任何两个向量都可将 $\{{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3\}$ 扩展成为 ${\mathbb{R}}^5$ 的一个基．

4.6

1. rank A=2; dim Nul A=2; Col A 的基: $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -6\end{array}\right]$

Row A 的基： $(1,0,-1,5),(0,-2,5,-6)$

Nul A 的基: $\left[\begin{array}{c}1\\ 5/2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-5\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

3. rank A=3; dim Nul A=2;

Col A 的基: $\left[\begin{array}{c}2\\ -2\\ 4\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}6\\ -3\\ 9\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 5\\ -4\end{array}\right]$

Row A: $(2,-3,6,2,5),(0,0,3,-1,1),(0,0,0,1,3)$

Nul A 的基: $\left[\begin{array}{c}3/2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}9/2\\ 0\\ -4/3\\ -3\\ 1\end{array}\right]$

5. 5,3,3

6. 是；不是．由于 Col A 是 $R^4$ 的一个四维子空间，故它和 $R^4$ 一致．它的零空间不是 $R^3$ ，这是由于 Nul A 中的向量有 7 个元素．由秩定理，Nul A 是 $R^7$ 中的一个三维子空间．

9.2

11.3

13. 5,5. 在这两种情形中，主元的个数不能超过列数或行数．

15.2 17. 见“学习指导”

19. 是，在查阅“学习指导”之前，试给出一个解释．

20. 否，解释为什么．

21. 是，仅需要 6 个齐次线性方程组成的方程组．

22. 否，解释为什么．

23. Row A 和 Nul A 属于 $R^n$ ，Col A 和 $Nul{A}^T$ 属于 $R^m$ 。仅有 4 个不同子空间，因为 $Row{A}^T=ColA$ 和 $Col{A}^T=RowA$ 。

24. 记住若 $\mathrm{Col}A={\mathbb{R}}^m$ ，精确地有 $\dim \mathrm{Col}A=m$ ，或等价地，对所有 $b$ 方程 $Ax=b$ 相容。由习题 28($b$)，当 $\dim \mathrm{Nul}{A}^{\mathrm{T}}=0$ ，精确地有 $\dim \mathrm{Col}A=m$ ，或等价地，方程 $A^{\mathrm{T}}x=0$ 只有平凡解。

25. $u{v}^T=\left[\begin{array}{ccc}2a& 2b& 2c\\ -3a& -3b& -3c\\ 5a& 5b& 5c\end{array}\right]$ ，所有列是$u$的倍数，

所以，除非 a=b=c=0，否则 Col $u{v}^T$ 是一维的．

33. 提示：设 $A=[u{u}_2{u}_3]$ ，如果 $u\ne 0$ ，那么 $u$ 是 Col $A$ 的一个基，为什么？

34. [$M$]a. 会有很多答案．如下是一个 “权威” 的答案，其中 $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_7\end{array}\right]$ :

C = [ l l l l boldsymbol a _ 1 & boldsymbol a _ 2 & boldsymbol a _ 4 & boldsymbol a _ 6 ], N = [ c c c - 1 3 / 2 & - 5 & 3 - 1 1 / 2 & - 1 / 2 & - 2 1 & 0 & 0 0 & 1 1 / 2 & - 7 0 & 1 & 0 0 & 0 & - 1 0 & 0 & 1 ]$$C=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& {\mathbf{a}}_4& {\mathbf{a}}_6\end{array}\right],N=\left[\begin{array}{ccc}-13/2& -5& 3\\ -11/2& -1/2& -2\\ 1& 0& 0\\ 0& 11/2& -7\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$R = [ c c c c c c c 1 & 0 & 1 3 / 2 & 0 & 5 & 0 & - 3 0 & 1 & 1 1 / 2 & 0 & 1 / 2 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 1 / 2 & 0 & 7 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 ]$$R=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 13/2& 0& 5& 0& -3\\ 0& 1& 11/2& 0& 1/2& 0& 2\\ 0& 0& 0& 1& -11/2& 0& 7\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$

$b$. $M={\left[2410-2811\right]}^T$．矩阵 $\left[R^{T}N\right]$ 是 $7\times 7$ 矩阵，原因是 $R^T$ 和 $N$ 的列属于 $R^7$ ，且 dim Row A+dim Nul A=7. 矩阵 [CM] 是 $5\times 5$ 矩阵，原因是 $C$ 和 $M$ 的列属于 $R^5$ ，且由习题 28（$b$），dim Col A+dim Nul A=5. 这些矩阵的可逆性来自它们的列线性无关的事实，这可由 6.1 节定理3 得到证明．

37. $C$ 和 $R$ 是习题 35 给出的，A=CR.

4.7

1. $a$. $\left[\begin{array}{cc}6& 9\\ -2& -4\end{array}\right]$ b. $\left[\begin{array}{c}0\\ -2\end{array}\right]$

2. (ii)

3. $a$. $\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 0\\ -1& 1& 1\\ 0& 1& -2\end{array}\right]$ b. $\left[\begin{array}{c}8\\ 2\\ 2\end{array}\right]$

4. $P_{C\leftarrow B}=\left[\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& 2\end{array}\right],P_{B\leftarrow C}=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ -5& 3\end{array}\right]$

5. $P_{C\leftarrow B}=\left[\begin{array}{cc}9& -2\\ -4& 1\end{array}\right],P_{B\leftarrow C}=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 9\end{array}\right]$

6. 见“学习指导”.

7. $P_{C\leftarrow B}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ -2& -5& 2\\ 1& 4& 3\end{array}\right],{\left[-1+2t\right]}_B=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

8. $a$. B 是 $V$ 的一个基．

$b$．坐标映射是一个线性变换．

$c$．一个矩阵和一个向量的乘积．

$d$. v 关于 $B$ 的坐标向量．

17. $a$. [$M$]

P ^ - 1 = frac 13 2 [ c c c c c c c 3 2 & 0 & 1 6 & 0 & 1 2 & 0 & 1 0 & 3 2 & 0 & 2 4 & 0 & 2 0 & 0 & & 1 6 & 0 & 1 6 & 0 & 1 5 & & & 8 & 0 & 1 0 & 0 & & & & 4 & 0 & 6 & & & & & 2 & 0 & & & & & & 1 ]$$P^{-1}=\frac{1}{32}\left[\begin{array}{ccccccc}32& 0& 16& 0& 12& 0& 10\\ & 32& 0& 24& 0& 20& 0\\ & & 16& 0& 16& 0& 15\\ & & & 8& 0& 10& 0\\ & & & & 4& 0& 6\\ & & & & & 2& 0\\ & & & & & & 1\end{array}\right]$$

$b$. P 是从 $C$ 到 $B$ 的坐标变换矩阵．所以由(5)式，$P^{-1}$ 是从 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵，且由定理15, 矩阵的列是 $B$ 中基向量的 C-坐标向量．

19. [$M$] 提示：设 $C$ 是基 $\{v_1,v_2,v_3\}$ ，那么 $P$ 的列是 $[u_1{]}_C,[u_2{]}_C$ 和 $[u_3{]}_C$ 。利用 C-坐标向量的定义和矩阵代数计算 $u_1,u_2,u_3$ 。解法在“学习指导”中有讨论。这里有数值解答：

boldsymbol u _ 1 = [ c - 6 - 5 2 1 ], boldsymbol u _ 2 = [ c - 6 - 9 3 2 ], boldsymbol u _ 3 = [ c - 5 0 3 ]$${\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 21\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-6\\ -9\\ 32\end{array}\right],{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{c}-5\\ 0\\ 3\end{array}\right]$$

$b$.

boldsymbol w _ 1 = [ c 2 8 - 9 - 3 ], boldsymbol w _ 2 = [ c 3 8 - 1 3 2 ], boldsymbol w _ 3 = [ c 2 1 - 7 3 ]$${\mathbf{w}}_1=\left[\begin{array}{c}28\\ -9\\ -3\end{array}\right],{\mathbf{w}}_2=\left[\begin{array}{c}38\\ -13\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{w}}_3=\left[\begin{array}{c}21\\ -7\\ 3\end{array}\right]$$

4.8

1. 如果 $y_k=2^k$ ，那么 $y_{k+1}=2^{k+1}$ 且 $y_{k+2}=2^{k+2}$ ，将这些公式代入方程左边得到：

r l y _ k + 2 + 2 y _ k + 1 - 8 y _ k & = 2 ^ k + 2 + 2 · 2 ^ k + 1 - 8 · 2 ^ k & = 2 ^ k (2 ^ 2 + 2 · 2 - 8) & = 2 ^ k (0) = 0 (text 对所有 k)$$\begin{array}{rl}{y}_{k+2}+2y_{k+1}-8y_k& =2^{k+2}+2\cdot 2^{k+1}-8\cdot 2^k\\ & =2^k(2^2+2\cdot 2-8)\\ & =2^k(0)=0(\text{对所有}k)\end{array}$$

由于对所有 $k$ 差分方程成立，故 $2^k$ 是一个解，同样的计算对 $y_k=(-4{)}^k$ 成立．

3. 信号 $2^k$ 和 $(-4{)}^k$ 线性无关，这是因为没有一个是另外一个的倍数。例如，不存在数 $c$ 使得 $2^k=c(-4{)}^k$ 对所有 $k$ 成立。由定理17，习题1中差分方程的解集 $H$ 是二维的。由4.5节的基定理，两个线性无关的信号 $2^k$ 和 $(-4{)}^k$ 形成 $H$ 的一个基。

4. 如果 $y_k=(-3{)}^k$ ，那么对所有 $k$ ，有

r l y _ k + 2 + 6 y _ k + 1 + 9 y _ k & = (- 3) ^ k + 2 + 6 (- 3) ^ k + 1 + 9 (- 3) ^ k & = (- 3) ^ k [ (- 3) ^ 2 + 6 (- 3) + 9 ] & = (- 3) ^ k (0) = 0$$\begin{array}{rl}{y}_{k+2}+6y_{k+1}+9y_k& =(-3{)}^{k+2}+6(-3{)}^{k+1}+9(-3{)}^k\\ & =(-3{)}^k[(-3{)}^2+6(-3)+9]\\ & =(-3{)}^k(0)=0\end{array}$$

类似地，如果 $y_k=k(-3{)}^k$ ，那么对所有 $k$ ，有

r l & y _ k + 2 + 6 y _ k + 1 + 9 y _ k & = (k + 2) (- 3) ^ k + 2 + 6 (k + 1) (- 3) ^ k + 1 + 9 k (- 3) ^ k & = (- 3) ^ k [ (k + 2) (- 3) ^ 2 + 6 (k + 1) (- 3) + 9 k ] & = (- 3) ^ k [ 9 k + 1 8 - 1 8 k - 1 8 + 9 k ] & = (- 3) ^ k (0)$$\begin{array}{rl}& y_{k+2}+6y_{k+1}+9y_k\\ & =(k+2)(-3{)}^{k+2}+6(k+1)(-3{)}^{k+1}+9k(-3{)}^k\\ & =(-3{)}^k[(k+2)(-3{)}^2+6(k+1)(-3)+9k]\\ & =(-3{)}^k[9k+18-18k-18+9k]\\ & =(-3{)}^k(0)\end{array}$$

这样， $(-3{)}^k$ 和 $k(-3{)}^k$ 都是在差分方程的解空间 $H$ 中．而且，没有数 $c$ 使得 $k(-3{)}^k=c(-3{)}^k$ 对所有 $k$ 成立，这是因为 $c$ 的选取必须与 $k$ 无关．同样，没有数 $c$ 使得 $(-3{)}^k=ck(-3{)}^k$ 对所有 $k$ 成立，所以两个信号线性无关．由于 $\dim H=2$ ，故由基定理，信号形成 $H$ 的一个基．

7. 是 9. 是

8. 否，两个信号不能生成三维解空间．

9. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^k,{\left(\frac{2}{3}\right)}^k$ 15. $(5{)}^k,(-5{)}^k$

10. $Y_k=c_1(0.8{)}^k+c_2(0.5{)}^k+10\to 10$ ，当 $k\to \infty$ 时

11. $y_k=c_1(-2+\sqrt{3}{)}^k+c_2(-2-\sqrt{3}{)}^k$

12. 7,5,4,3,4,5,6,6,7,8,9,8,7,见下图．

23. $a$. $y_{k+1}-1.01y_k=-450$ , $y_0=10000$

$b$. [$M$] MATLAB 代码:

l text pay = 450, y = 10000, m = 0 text table = [0; y] text while y > 450 y=1.01*y-pay mathrm m = m + 1 text table = [table[m;y]] % text append new column text end text m,y$$\begin{array}{l}\text{pay = 450, y = 10000, m = 0}\\ \text{table = [0; y]}\\ \text{while y > 450}\\ \mathrm{y}=1.01\ast \mathrm{y}-\mathrm{pay}\\ \mathrm{m}=\mathrm{m}+1\\ \text{table = [table[m;y]]}\\ \%\text{append new column}\\ \text{end}\\ \text{m,y}\end{array}$$

$c$．在第 26 个月时，最后一次付款为 114.88 美元，借款者总共支付 11364.88 美元．

25. $k^2+c_1\cdot (-4{)}^k+c_2$

26. $2-2k+c_1\cdot 4^k+c_2\cdot 2^{-k}$

boldsymbol x _ k + 1 = A boldsymbol x _ k$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$$A = [ c c c c 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 9 & - 6 & - 8 & 6 ], boldsymbol x = [ l y _ k y _ k + 1 y _ k + 2 y _ k + 3 ]$$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 9& -6& -8& 6\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{y}_k\\ y_{k+1}\\ y_{k+2}\\ y_{k+3}\end{array}\right]$$

31. 方程对所有 $k$ 成立，所以 $k$ 用 $(k-1)$ 替换时，可将原方程变为 $y_{k+2}+5y_{k+1}+6y_k=0$ ，对所有 $k$ 方程是2阶的．

32. 对所有 $k$ ，Casorati 矩阵 $C(k)$ 不可逆，在这种情形，Casorati 矩阵没有给出信号集合线性无关或线性相关的信息。事实上，没有一个信号是其他信号的倍数，所以它们线性无关。

33. 提示：验证定义线性变换的两个性质。对 $S$ 中的 $\{y_k\}$ 和 $\{z_k\}$ ，研究 $T(\{y_k\}+\{z_k\})$ 。如果 $r$ 是任意数，那么 $r\{y_k\}$ 的第 $k$ 项是 $r{y}_k$ ；因此 $T(r\{y_k\})$ 是序列 $\{w_k\}$ ，由下式给出：

$w_k=r{y}_{k+2}+a(r{y}_{k+1})+b(r{y}_k)$ 37. $(TD)(y_0,y_1,y_2,\cdots )=T(D(y_0,y_1,y_2,\cdots ))$ $=T(0,y_0,y_1,y_2,\cdots )$ $=(y_0,y_1,y_2,\cdots )$ $=I(y_0,y_1,y_2,\cdots )$ $(DT)(y_0,y_1,y_2,\cdots )=D(T(y_0,y_1,y_2,\cdots ))$ $=D(y_1,y_2,y_3,\cdots )$ $=(0,y_1,y_2,y_3,\cdots )$

4.9

1. $a$. $\left[\begin{array}{cc}0.7& 0.6\\ 0.3& 0.4\end{array}\right]$ 新闻 $b$. $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ c. 33% 从 健康 生病 到

2. $a$. $\left[\begin{array}{cc}0.95& 0.45\\ 0.05& 0.55\end{array}\right]$ 健康 $b$. 15%, 12.5% 生病

$c$. 0.925; 使用 $x_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ .

5. $\left[\begin{array}{c}0.4\\ 0.6\end{array}\right]$ 7. $\left[\begin{array}{c}1/4\\ 1/2\\ 1/4\end{array}\right]$

6. 是，由于 $P^2$ 所有元素为正．

7. $a$. $\left[\begin{array}{c}2/3\\ 1/3\end{array}\right]$ b. 2/3

8. $a$. $\left[\begin{array}{c}0.9\\ 0.1\end{array}\right]$ b. 0.10, 否

9. [$M$]大约 17.3%的美国人口．

10. $a$. $P$ 的一个列的元素之和为 1，矩阵 $P-I$ 中一个列具有与 $P$ 同样的元素，除了其中一个元素减了 1，因此每一列的和为 0. b. 由（$a$）， $P-I$ 的最后一行是其他行之和的相反数． c. 由（$b$）和生成集定理， $P-I$ 的最后一行可以删去，而剩下的（ $n-1$ ）行仍然生成行空间。另一种方法，利用（$a$）和行变换不改变行空间的事实。取 $A$ 是 $P-I$ 将其他行加到最后一行得到的矩阵，由（$a$），行空间可由 $A$ 的前（ $n-1$ ）行生成。

$d$．由秩定理和（$c$），P-I 的列空间的维数小于 $n$，因而它的零空间是非平凡的。你可以不用秩定理，而用可逆矩阵定理，因为 P-I 是一个方阵。

19. $a$．乘积 $Sx$ 等于 $x$ 中元素之和．对一个概率向量，这个和一定等于 1.

$b$. $P=[p_1,p_2\cdots p_n]$，其中 $p_i$ 为概率向量．由矩阵乘积和 ($a$), $SP=[S{p}_1,S{p}_2\cdots S{p}_n]=[1,1\cdots 1]=S$ c. 由 ($b$), $S(Px)=(SP)x=Sx=1$，同样 $Px$ 中的元素是非负的 (由于 $P$ 和 $x$ 具有非负元素), 因此，由 ($a$), $Px$ 是一个概率向量．

第4章补充习题 答案

1. $a$. T b. T c. F d. F e. T f. T g. F h. F i. T j. F k. F l. F m. T n. F o. T p. T q. F r. T s. T t. F

2. 所有 $(b_1,b_2,b_3)$ 的集合，满足 $b_1+2b_2+3b_3=0$ 。

3. 向量 $p_1$ 不是零， $p_2$ 不是 $p_1$ 的倍数，因此保留这两个向量。由于 $p_3=2p_1+2p_2$ ，故排除 $p_3$ 。由于 $p_4$ 有 $t^2$ 项，因此它不可能是 $p_1,p_2$ 的线性组合，故保留 $p_4$ 。最后 $p_5=p_1+p_4$ ，故排除 $p_5$ 。所得的基是 $\{p_1,p_2,p_4\}$ 。

4. 齐次方程组的解集是由两个解生成的，在这种情形下， $18\times 20$ 的系数矩阵 $A$ 的零空间最多是二维。由秩定理， $\dim \mathrm{Col}A⩾20-2=18$ ，这说明 $\mathrm{Col}A={\mathbb{R}}^{18}$ ，因为 $A$ 有 18 行且每一个方程 Ax = b 是相容的。

5. 设 $A$ 是线性变换 $T$ 的标准 $m\times n$ 矩阵．

$a$．如果 $T$ 是一对一映射，则 $A$ 的列线性无关（1.9 节定理12），因此 dimNul A=0。由秩定理，dimCol A=rank A=n。因为 $T$ 的值域是 Col A，故 $T$ 的值域的维数是 $n$。

$b$．如果 $T$ 是映上的，则 $A$ 的列生成 $R^m$ （1.9 节定理12），所以 dimCol A = m。由秩定理，dimNul A = n - dimCol A = n - m。因为 $T$ 的核是 Nul A，故 $T$ 的核的维数是 n - m。

11. 如果 $S$ 是 $V$ 中有限的生成集，那么 $S$ 的一个子集 (如 $S^{\prime }$ ) 是 $V$ 的一个基．由于 $S^{\prime }$ 一定生成 $V$，故 $S^{\prime }$ 不能是 $S$ 的一个真子集，这是因为 $S$ 是最小的．这样，$S^{\prime }=S$，从而证明 $S$ 是 $V$ 的一个基．

12. $a$．提示：对某个 $x$，Col AB 中的任意 $y$ 有形式 y=ABx.

13. 由习题 12, rank $PA⩽$ rank $A$，且 rank $A=$ rank $P^{-1}(PA)⩽$ rank $PA$，于是 rank $PA=$ rank $A$ .

14. 方程 $AB=0$ 说明 $B$ 的每一列属于 $\mathrm{Nul}A$ 。由于 $\mathrm{Nul}A$ 是子空间，故 $B$ 的列的所有线性组合都属于 $\mathrm{Nul}A$ ，因此 $\mathrm{Col}B$ 是 $\mathrm{Nul}A$ 的子空间。由4.5节定理11， $\dim \mathrm{Col}B⩽\dim \mathrm{Nul}A$ 。应用秩定理，得到 $n=\mathrm{rank}A+\dim \mathrm{Nul}A⩾\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B$

15. $a$．设 $A_1$ 由 $A$ 的 $r$ 个主元列组成， $A_1$ 的列是线性无关的，所以， $A_1$ 是秩为 $r$ 的 $m\times r$ 阵。b. 将秩定理应用于 $A_1$ ，Row $A_1$ 的维数是 $r$ ，所以 $A_1$ 有 $r$ 个线性无关的行。利用这些行构造 $A_2$ ，那么 $A_2$ 是 $r\times r$ 的，且有线性无关的行。由可逆矩阵定理， $A_2$ 是可逆的。

16. $[BAB{A}^{2}B]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -0.9& 0.81\\ 1& 0.5& 0.25\end{array}\right]$ $\sim \left[\begin{array}{ccc}1& -0.9& 0.81\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -0.56\end{array}\right]$

这个矩阵的秩为3，所以 $(A,B)$ 是可控制的．

[ M ] operatornamerank (B A B A ^ 2 B A ^ 3 B) = 3, (A, B)$$[\mathrm{M}]\mathrm{rank}(BAB{A}^{2}B{A}^{3}B)=3,(A,B)$$