术语表

$A$

adjugate (or classical adjoint) [伴随矩阵] 矩阵 adj A 是方阵 $A$ 中 $(i,j)$ 位置的元素用 $A$ 中 $(i,j)$ 元素的代数余子式代替后，再通过转置得到的矩阵．

affine combination [仿射组合] 向量 $({\mathbb{R}}^n$ 中的点）的线性组合，且有关权值的和为 1.

affine dependence relation [仿射相关关系] 方程 $c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p=0$ ，其中权值 $c_1,\cdots ,c_p$ 不全为 0，且 $c_1+\cdots +c_p=0$ 。

affine hull (or affine span) of a set S [集合 $S$ 的仿射凸包（或仿射空间）] S 中的点的所有仿射组合的集合，记为 aff S.

affine dependent set [仿射相关集合] $R^n$ 中集合 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 存在实数 $c_1,\cdots ,c_p$ 不全为 0，使得 $c_1+\cdots +c_p=0$ 且 $c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p=0$ 。

affine independent set [仿射无关集合] $R^n$ 中集合 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 仿射不相关．

affine set (or affine subset) [仿射集（或仿射子集）] 若 $p$,$q$ 是 $S$ 中的点，那么对于每个实数 $t$，有 $(1-t)p+tq\in S$ 。满足上述条件的集合 $S$ 就是仿射集．

affine transformation [仿射变换] 一个形如 $T(x)=Ax+b$ 的映射 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ ，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $b$ 属于 $R^m$ 。

algebraic multiplicity [代数重数] 一个特征值的重数是作为特征方程的根的重数．

angle (between nonzero vectors u and v in $R^2$ or $R^3$ ) [( $R^2$ 或 $R^3$ 中非零向量 $u$ 和 $v$ 之间的)角度] 夹角 $g$ 是指从原点到点 $u$ 和 $v$ 的两个有向线段之间的角度，通过点积联系起来：

$u\cdot v=\Vert u\Vert \Vert v\Vert \cos \vartheta$ associative law of multiplication [乘法的结合律] $A(BC)=(AB)C$ ，对所有 $A,B,C$ 均成立．

attractor (of a dynamical system in ${\mathbb{R}}^2$ ) [( ${\mathbb{R}}^2$ 中一个动力系统的)吸引子] 当所有轨迹都趋于 0 时的原点．

augmented matrix [增广矩阵] 一个由线性方程组的系数矩阵和右边增加的一列或多列构成的矩阵，每一个增加的列包含给定系数矩阵对应的方程组右边的常数项．

auxiliary equation [辅助方程] 一个关于变量 $r$ 的多项式方程，来源于齐次差分方程的系数．

$B$

back-substitution (with matrix notation) [(用矩阵记号的) 回代变换] 将阶梯形增广矩阵变换为简化阶梯形矩阵时后一阶段的行变换，常用于求线性方程组的解．

backward phase (of row reduction) [(行化简的) 向后阶段] 化简阶梯形矩阵为简化阶梯形矩阵算法的最后步骤．

band matrix [带形矩阵] 一个矩阵，它的非零元素位于主对角线的上下两侧的带形以内．

barycentric coordinates (of a point p with respect to an affinely independent set $S=\{v_1,\cdots ,v_k\}$ )

[(仿射无关集合 $S=\{v_1,\cdots ,v_k\}$ 中点 $p$ 的) 重心坐标] （唯一）权值集 $c_1,\cdots ,c_k$，使得 $p=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k$ 且 $c_1+\cdots +c_k=1$ . （有时称为关于 $S$ 的点 $p$ 的仿射坐标.)

basic variable [基本变量] 线性方程组中对应于系数矩阵主元列的变量．

basis (for a nontrivial subspace $H$ of a vector space $V$ ) [（向量空间 $V$ 中的一个非平凡子空间 $H$ 的)基] 一个 $V$ 中的指标集 $\mathcal{B}=\{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_p\}$ ，使得（$i$） $\mathcal{B}$ 是线性无关集，（ii）由 $\mathcal{B}$ 生成的子空间和 $H$ 一致，即 $H=\text{Span}\{{\nu }_1,\dots ,{\nu }_p\}$ . $\mathcal{B}$ -coordinates of $x$ [ $x$ 的 $\mathcal{B}$ 坐标] 见 $x$ 相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标．

best approximation [最佳逼近] 给定子空间中离给定向量的最近点．

bidiagonal matrix [两对角线矩阵] 一个非零元素位于主对角线和与主对角线相邻的一斜对角线上的矩阵．

block diagonal (matrix) [分块对角（矩阵）] 一个分块矩阵 $A=[A_{ij}]$ ，使得 $i\ne j$ 时，每一块 $A_{ij}$ 是零矩阵．

block matrix [分块矩阵] 见矩阵分划．

block matrix multiplication [分块矩阵乘法] 分块后矩阵的行列乘法，将块作为数来对待．

block upper triangular (matrix) [上三角形分块（矩阵）] 分块矩阵 $A=[A_{ij}]$ ，使得每一个块 $A_{ij}$ 对 $i>j$ 是零矩阵．

boundary point of a set $S$ in ${\mathbb{R}}^n$ [ ${\mathbb{R}}^n$ 中集合 $S$ 的边界点] ${\mathbb{R}}^n$ 中以点 $p$ 为心的开球与 $S$ 的内外都有交点的点 $p$ .

bounded set in ${\mathbb{R}}^n$ [ ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界集] 对某个 $\delta >0$ ，包含在开球 $B(0,\delta )$ 中的一个集合．$\mathcal{B}$ -matrix (for $T$ ) [(关于 $T$ 的) $\mathcal{B}$ -矩阵] 关于 $V$ 中基 $\mathcal{B}$ 的一个线性变换： $T:V\to V$ 对应的矩阵 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ 。它具有如下的性质：对 $V$ 中所有的 $x$ , $[T(x){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[x{]}_{\mathcal{B}}$ .

$C$

Cauchy-Schwarz inequality [柯西-施瓦茨不等式] 对所有 $u,v$ 有 $|<u,v>|⩽\Vert u\Vert \cdot \Vert v\Vert$ . change of basis [基的变换] 见矩阵坐标变换． change-of-coordinates matrix (from a basis $\mathcal{B}$ to a basis $\mathcal{C}$ ) [（从一个基 $\mathcal{B}$ 到一个基 $\mathcal{C}$ 的）矩阵坐标变换] 一个矩阵 $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 将 $\mathcal{B}$ 坐标向量变

换为$C$坐标向量： $[x{]}_C=P[x{]}_B$．如果$C$是 $R^n$ 中的标准基，那么有时也将 $P_{c-B}$ 记作 $P_B$ . characteristic equation (of A) [($A$的)特征方程] $\det (A-\lambda I)=0$ . characteristic polynomial (of A) [($A$的)特征多项式] $\det (A-\lambda I)$ ，或在有些教材中， $\det (\lambda I-A)$ . Cholesky factorization [楚列斯基分解] 一个分解 $A=R^{T}R$ ，其中 $R$ 是一个可逆上三角形矩阵，它的所有对角元素为正的． closed ball (in $R^n$ ) [( $R^n$ 中的)闭球] $R^n$ 中集合 $\{x:\Vert x-p\Vert <\delta \}$ ，其中 $p$ 在 $R^n$ 中且 $\delta >0$ . closed set (in $R^n$ ) [( $R^n$ 中的)闭集] 包含所有边界点的集合． codomain (of a transformation $T:R^n\to R^m$ ) [(变换 $T:R^n\to R^m$ 的)余定义域] 集合 $R^m$ 包含变换 $T$ 的值域，通常，如果 $T$ 映射一个向量空间 $V$ 到另一个向量空间 $W$，那么 $W$ 被称为 $T$ 的余定义域． coefficient matrix [系数矩阵] 一个矩阵，它的元素是一个线性方程组的系数． cofactor [余子式] 一个数 $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det A_{ij}$ ，称为矩阵 $A(i,j)$ 元素的余子式，其中 $A_{ij}$ 是划去 $A$ 中 $i$ 行和 $j$ 列后构成的子矩阵． cofactor expansion [余子式展开] 一个计算 det A 的公式，利用 $A$ 的一行或一列及其对应的余子式来展开，如按第一行展开： $\det A=a_{11}{C}_{11}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$ column-row expansion [列-行展开] AB 乘积的表达式作为外积之和： ${\mathrm{col}}_1(A){\mathrm{row}}_1(B)+\cdots +{\mathrm{col}}_n(A){\mathrm{row}}_n(B)$ 其中 $n$ 是 $A$ 的列数． column space (of an $m\times n$ matrix A) [( $m\times n$ 矩阵 $A$ 的)列空间] A 的所有列的线性组合的集合 Col A. 如果 $A=[a_1\cdots a_n]$ ，那么 Col A = Span $\{a_1,\cdots ,a_n\}$．等价地有 Col A = {$y$ : y = Ax, 对 $R^n$ 中的一些 $x$}. column sum [列和] 一个矩阵中一列元素之和． column vector [列向量] 只有一列的矩阵或具有几列的矩阵中的某一列．

commuting matrices [矩阵交换] 两个矩阵满足 $AB=BA$ .

compact set (in ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 中的) 紧致集] ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合既是闭的又是有界的．

companion matrix [友矩阵] 一类特殊形式的矩阵，其特征多项式是 $(-1{)}^{n}p(\lambda )$ 且 $p(\lambda )$ 是首项为 ${\lambda }^n$ 的特殊多项式．

complex eigenvalue [复特征值] 一个 $n\times n$ 矩阵的特征多项式的非实根．

complex eigenvector [复特征向量] ${\mathbb{C}}^n$ 中的非零向量 $x$ ，满足 $Ax=\lambda x$ ，其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵， $\lambda$ 是一个复特征值．

component of y orthogonal to u (for $u\ne 0$ ) [$y$ 正交于 $u(u\ne 0)$ 的分量] 向量 $y-\frac{y\cdot u}{u\cdot u}u$ .

composition of linear transformations [线性变换的复合] 由连续应用两个或更多的线性变换产生的映射．如果这些变换是矩阵变换，例如，左乘 $B$ 之后接着左乘 $A$，那么复合结果是映射 $x\mapsto A(Bx)$ .

σ_ 1 / σ_ n$${\sigma }_1/{\sigma }_n$$ σ_ 1$${\sigma }_1$$ σ_ n$${\sigma }_n$$ σ_ n$${\sigma }_n$$ + ∞$$+\infty$$

相一致] 两个分块矩阵 $A$ 和 $B$，其分块使得乘积 AB 有定义，即 $A$ 的列分块等于 $B$ 的行分块．

consistent linear system [相容的线性方程组] 至少具有一个解的一个线性方程组．

constrained optimization [条件优化] 当给出 $x$ 的一个或更多限制时，一个量的最大化问题，例如满足条件 $x^{T}x=1$ 或 $x^{T}v=0$ 时量 $x^{T}Ax$ 或 $\Vert Ax\Vert$ 的最大化问题．

consumption matrix [消费矩阵] 列昂惕夫投入产出模型中的一个矩阵，它的列是经济体系中各个部门的单位消耗向量．

contraction [压缩] 对某个数 $r$ 的映射 $x\mapsto rx$ 此处 $0⩽r⩽1$ .

controllable (pair of matrices) [可控制（矩阵对）] 一个矩阵对 $(A,B)$ ，其中 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵， $B$ 有 $n$

行并且满足

operatornamerank [ B A B A ^ 2 B … A ^ n - 1 B ] = n$$\mathrm{rank}[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]=n$$

相关的是控制系统中的状态空间模型和差分方程 ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k(k=0,1,\cdots )$ .

boldsymbol x _ k$${\mathbf{x}}_k$$ {boldsymbol x _ k }$$\left\{{\mathbf{x}}_k\right\}$$

$\left[({\mathbb{R}}^n\text{中点}{v}_1,\cdots ,v_k\text{的})\text{凸组合}\right]$ 向量（点）的线性组合，组合中的权值是非负的且权值和为1.

convex hull (of a set S) [(集合 $S$ 的) 凸包] 在 $S$ 中的点的所有凸组合的集合，记为 conv S.

p, q$$p,q$$ overline p q$$\overline{pq}$$

coordinate mapping (determined by an ordered basis $\mathcal{B}$ in a vector space $V$ ) [(一个向量空间 $V$ 中的有序基所确定的) 坐标映射] 一个将 $V$ 中每一个 $x$ 与它的坐标向量 $[x{]}_B$ 联系起来的映射．

coordinates of x relative to the basis $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ [$x$ 相对于基 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ 的坐标] 方程 $x=c_1{b}_1+\cdots +c_n{b}_n$ 的权值 $c_1,\cdots ,c_n$ .

coordinate vector of $x$ relative to $\mathcal{B}$ [ $x$ 相对于基 $\mathcal{B}$ 的坐标向量] 向量 $[x{]}_{\mathcal{B}}$ ，其元素是 $x$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标．

covariance (of variables $x_i$ and $x_j$ , for $i\ne j$ ) [（变量 $x_i$ 和变量 $x_j$ 的）协方差 ( $i\ne j$ )] 对一个观测矩阵的协方差矩阵 $S$ 中的元素 $s_{ij}$ ，其中 $x_i$ 和 $x_j$ 分别遍历观测向量中所有 $i$ 和 $j$ 坐标．

covariance matrix (or sample covariance matrix) [协方差矩阵(或样本协方差矩阵)] $p\times p$ 矩阵 $S$，定义为 $S=(N-1{)}^{-1}B{B}^{\mathrm{T}}$，其中 $B$ 是一个 $p\times N$ 平均偏差形式的观测矩阵．

Cramer’s Rule [克拉默法则] 当 $A$ 是可逆矩阵时，公式给出方程组 $Ax=b$ 的一个解 $x$ 中的每个元素的取值．

cross-product term [交叉乘积项] 二次型中的项 $c{x}_i{x}_j$ ，其中 $i\ne j$ 。

cube [立方体] 由 6 个正方形平面界定的三维固体，且三个面共用一个顶点．

$D$

decoupled system [解耦系统] 一个差分方程 $y_{k+1}=A{y}_k$ ，或微分方程 $y^{\prime }(t)=Ay(t)$ ，其中 $A$ 是对角矩阵。离散变化方程中 $y_k$ （作为一个关于 $k$ 的函数）的每个元素或连续变化方程中向量值函数 $y(t)$ 的每个元素当 $k\to \infty$ 或 $t\to \infty$ 时不受其他元素变化的影响。

design matrix [设计矩阵] 在线性模型 $y=X\beta +\epsilon$ 中的矩阵 $X$ ，其中 $X$ 的列以某种方式由一些独立变量的观测值所确定。

determinant (of a square matrix $A$ ) [(一个方阵 $A$ 的) 行列式] 数 det $A$ ，归纳定义为 $A$ 的第一行的余子式展开。也等于 $(-1{)}^r$ 乘以由 $A$ 作行变换而得到的任何阶梯形矩阵 $U$ 中对角元素的乘积，该阶梯形矩阵是通过行替换和 $r$ 次行交换得到（但没有行的倍乘变换）。

diagonal entries (in a matrix) [(一个矩阵的) 对角元素] 元素具有相同的行下标和列下标。

diagonalizable (matrix) [可对角化（矩阵）] 一个矩阵可以写成分解形式 $PD{P}^{-1}$ ，其中 $D$ 是一个对角矩阵， $P$ 是一个可逆矩阵。

diagonal matrix [对角矩阵] 一个方阵，不在主对角线上的所有元素为零。

difference equation (or linear recurrence relation) [差分方程（或线性回归方程）] 一个形如 $x_{k+1}=A{x}_k(k=0,1,2,\cdots )$ 的方程，它的解是一个向量序列 $x_0,x_1,\cdots$ dilation[拉伸变换] 对标量 $r$ ，变换 $x\mapsto rx$ ，其中 $r>1$ 。

dimension

of a flat S [平面 $S$ 的维数] 对应的平行子空间的维数。

of a set S [集合 $S$ 的维数] 包含 $S$ 的最小平面的维数。

of a subspace S [子空间 $S$ 的维数] S 的基

中的向量个数，写作 dim S. of a vector space V [向量空间 $V$ 的维数] V 的一个基中向量的个数，写作 dim V. 零空间的维数是 0.

discrete linear dynamical system [离散线性动力系统] 一个形如 $x_{k+1}=A{x}_k$ 的差分方程，描述了随时间演变的系统变化（常指物理系统）. 物理系统用离散时刻来度量，当 $k=0,1,2,\cdots$ ，且系统在时刻 $k$ 时的状态是一个向量 $x_k$ ，其元素给出关于系统的感兴趣的事实．

distance between u and v [$u$ 和 $v$ 之间的距离] 向量 u - v 的长度，记作 $\text{dist}(u,v)$ .

distance to a subspace [到一个子空间的距离] 从一个给定点（向量）v 到一个子空间的最近点的距离．

distributive laws [分配律] 对所有 $A$, $B$, $C$，（左） $A(B+C)=AB+AC$ 和 （右） $(B+C)A=BA+CA$ domain (of a transformation T) [(变换 $T$ 的) 定义域] $T(x)$ 有定义的向量 $x$ 的集合．

dot product [点积] 见内积．

dynamical system [动力系统] 见离散线性动力系统．

$E$

echelon form (or row echelon form, of a matrix)
[（矩阵的）阶梯形（或行阶梯形）] 一个阶梯形矩阵行等价于给定矩阵．
echelon matrix (or row echelon matrix) [阶梯形矩阵（或行阶梯形矩阵）] 一个长方形的矩阵，具有三个特性：（1）所有非零行位于所有零行的上方，（2）每一行中的主元素所在列处于上行主元素所在列的右边。（3）在主元素之下的所有同一列的元素是零．
eigenfunctions (of a differential equation $x^{\prime }(t)=Ax(t)$ )
[（一个微分方程 $x^{\prime }(t)=Ax(t)$ 的）特征函数] 一个函数 $x(t)=v{e}^{\lambda t}$ ，其中 $v$ 是 $A$ 的特征向量且 $\lambda$ 是对应的特征值．

eigenspace (of $A$ corresponding to $\lambda$ ) [（矩阵 $A$ 对应于 $\lambda$ 的）特征空间] $Ax=\lambda x$ 所有解的集合，它包含零向量和所有对应于 $\lambda$ 的特征向量，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值．
eigenvalue (of $A$ ) [( $A$ 的) 特征值] 一个数 $\lambda$ ，使得方程 $Ax=\lambda x$ 有一个非零向量解 $x$ .
eigenvector (of $A$ ) [( $A$ 的) 特征向量] 一个非零向量 $x$ ，使得 $Ax=\lambda x$ 对某个数 $\lambda$ 成立．
eigenvector basis [特征向量基] 包含给定矩阵的全部特征向量的基．
eigenvector decomposition (of $x$ ) [( $x$ 的) 特征向量分解] 一个方程 $x=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n$ ，将 $x$ 表示为矩阵特征向量的线性组合．
elementary matrix [初等矩阵] 一个可逆矩阵，它是对单位矩阵作一次初等行变换得到的矩阵．
elementary row operations [初等行变换] （1）（替换）用自己所在行与其他行的倍数之和替换一行．（2）交换两行．（3）（倍乘）用非零数乘某行的所有元素．
equal vectors [相等向量] ${\mathbb{R}}^n$ 中对应的元素相同的向量．
equilibrium prices [平衡价格] 经济体系中各个部门总支出的价格集合，使得每个部门的总收入与总支出正好均衡．
equilibrium vector [平衡向量] 见稳态向量．
equivalent (linear) systems [等价的（线性）系统] 具有同样解集的线性系统．
exchange model [交换模型] 见列昂惕夫交换模型．
existence question [存在性问题] “一个系统的解是否存在？”，即“系统是否相容？”，也是“对所有 $b$ ， $Ax=b$ 的一个解是否存在？”
expansion by cofactors [用余子式展开] 见余子式展开．
explicit description (of a subspace $W$ of ${\mathbb{R}}^n$ ) [显式描述 ( ${\mathbb{R}}^n$ 中一个子空间 $W$ )] 用参数表示 $W$ ，它是一个特殊向量集合的所有线性组合的集合．
extreme point (of a convex set $S$ ) [(凸集 $S$ 的) 端点] 存在 $S$ 中的点 $p$ ，使得 $p$ 不在位于 $S$ 中的任何线段内部。（即若 $x$ 与 $y$ 属于 $S$，且 $p$ 在线段 $\overline{xy}$ 上，则 p=x 或 p=y。）

$F$

factorization (of $A$ ) [($A$ 的) 分解] 将 $A$ 表示为两个或更多个矩阵乘积的一个方程．
final demand vector (or bill of final demands) [最终需求向量（或最终需求的清单）] 列昂惕夫投入-产出模型中的向量 $d$ ，列出了部分经济体系中非生产性的各部门货物和服务的价值。向量 $d$ 可以表示消费者需求、政府消费、生产者剩余、出口或外部需求．
finite-dimensional (vector space) [有限维（向量空间）] 一个由有限个向量的集合所生成的向量空间．
flat (in ${\mathbb{R}}^n$ ) [ ${\mathbb{R}}^n$ 中的平面] ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间的一个平移．
flexibility matrix [弹性矩阵] 一个矩阵，当单位大小的力作用在梁的第 $j$ 个点时，它的第 $j$ 列给出该弹性梁在特定点处的弯曲．
floating point arithmetic [浮点算术运算] 数字用十进制 $\pm 0.d_1\dots d_p\times 10^r$ 表示，其中 $r$ 是一个整数且表示小数点右边的位字，数 $p$ 常常位于8和16之间．
flop [浮运算] 两个实浮点数的一次算术运算 (+, -, *, /).
forward phase (of row reduction) [(行化简的) 向前阶段] 化简一个矩阵为阶梯形矩阵的第一部分算法．
Fourier approximation (of order $n$ ) [($n$ 阶) 傅里叶逼近] 在 $n$ 阶三角多项式子空间中，与空间 $C[0,2\pi ]$ 中给定函数的距离最近的点．
Fourier coefficients [傅里叶系数] 在傅里叶逼近一个函数时三角多项式的权值．
Fourier series [傅里叶级数] 一个无穷级数，在内积空间 $C[0,2\pi ]$ 内收敛于一个函数，其内积由一个定积分确定．
free variable [自由变量] 一个线性方程组中不是基本变量的任意变量．

full rank（matrix）[满秩（矩阵）] 一个 $m\times n$ 矩阵，它的秩等于 $m$ 和 $n$ 的最小值．
fundamental set of solutions [基础解系] 齐次线性方程或齐次微分方程所有解构成的集合的一个基．
fundamental subspaces (determined by A) [($A$ 的) 基础子空间] A 的零空间和 $A$ 的列空间以及 $A^{\mathrm{T}}$ 的零空间和 $A^{\mathrm{T}}$ 的列空间，Col $A^{\mathrm{T}}$ 常称为 $A$ 的行空间．

$G$

Gaussian elimination [高斯消元] 见行化简算法． general least-squares problem [一般的最小二乘问题] 给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 和一个属于 $R^m$ 的向量 $b$，求属于 $R^n$ 的 $\hat{x}$ ，使得 $\Vert b-A\hat{x}\Vert ⩽\Vert b-Ax\Vert$ 对所有 $R^n$ 中的 $x$ 成立． general solution (of a linear system) [(一个线性方程组的)通解] 参数表示的解集合，它用任意参数形式的自由变量表示基本变量．在1.5节之后，参数表示被写成向量形式． Givens rotation [吉温斯旋转] 计算机中使用的从 $R^n$ 到 $R^n$ 的线性变换，其作用是产生一个向量（常指矩阵的一列）中的零元素． Gram matrix(of A)[(矩阵$A$的)格拉姆矩阵] 矩阵 $A^{T}A$ . Gram-Schmidt process [格拉姆-施密特方法] 对由给定向量集合生成的子空间，生成正交或单位正交基的一个算法．

$H$

homogeneous coordinates [齐次坐标] 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，对任何 $H\ne 0$ ，将 $(x,y,z)$ 表示为 $(X,Y,Z,H)$ 其中 $x=X/H,y=Y/H$ 和 $z=Z/H$ 。在 ${\mathbb{R}}^2$ 中， $H$ 常取作1， $(x,y)$ 的齐次坐标常写成 $(x,y,1)$ 。homogeneous equation [齐次方程] 一个形如 $Ax=0$ 的方程，可能写为一个向量方程或一个线性方程组。

homogeneous form of (a vector) v in $R^n$ [ $R^n$ 中（向量）v 的齐次形式] $R^{n+1}$ 中的点 $\tilde{v}=\left[\begin{array}{c}v\\ 1\end{array}\right]$ . Householder reflection [豪斯霍尔德镜像] 一个变换 $x\mapsto Qx$ ，其中 $Q=I-2u{u}^T$ 且 $u$ 是一个单位向量 $({\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}=1)$ . hyperplane(in $R^n$ ) [( $R^n$ 中的) 超平面] $R^n$ 中维数为 n-1 的一个平面．也是一个 n-1 维子空间的平移．

|

identity matrix (denoted by $I$ or $I_n$ ) [单位矩阵（记作 $I$ 或 $I_n$ ）] 一个对角线元素为1、其他元素为0的方阵．
ill-conditioned matrix [病态矩阵] 一个具有大的（或者无穷大）条件数的方阵；如果矩阵中的一些元素改变一点，则矩阵是奇异矩阵或会变成奇异矩阵．
image (of a vector $x$ under a transformation $T$ ) [(一个向量 $x$ 在一个变换 $T$ 下的)像] 用 $T$ 指定给 $x$ 的向量 $T(x)$ .
implicit description (of a subspace $W$ of ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间 $W$ 的)隐式描述] 一个或多个齐次方程的解组成的集合描述 $W$ 中点的特性．
Im $x$ [ $x$ 的虚部] 由 ${\mathbb{C}}^n$ 中向量 $x$ 的虚部元素所形成的 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量．
inconsistent linear system [不相容线性方程组] 一个没有解的线性方程组．
indefinite matrix [不定矩阵] 一个对称矩阵 $A$ ，使得 $x^{\mathrm{T}}Ax$ 的值既有正值又有负值．
indefinite quadratic form [不定二次型] 一个二次型 $Q$ ，使得 $Q(x)$ 既有正值又有负值．
infinite-dimensional (vector space) [无限维（向量空间）] 一个非零向量空间 $V$ 没有有限基．
inner product [内积] 数 $u^{\mathrm{T}}v$ ，常写成 $u\cdot v$ ，其中 $u$ 和 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量，作为 $n\times 1$ 矩阵，也称为 $u$ 和 $v$ 的点积．一般地，一个向量空间中的函数给出每一对向量 $u$ 和 $v$ 对应的一个数

$<u,v>$ ，它满足一些公理，见6.7节。inner product space [内积空间] 一个已定义了内积的向量空间。input-output matrix [投入产出矩阵] 见消费矩阵。input-output model [投入产出模型] 见列昂惕夫投入产出模型。interior point (of a set $S$ in ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 中集合 $S$ 的) 内点] $S$ 中的一个点 $p$ ，使得对某个 $\delta >0$ ，中心为 $p$ 的开球 $B(p,\delta )$ 包含于 $S$ 中。intermediate demands [中间需求] 对货物或服务的需求会被消耗在其他货物生产过程中或顾客的服务中。如果 $x$ 是生产水平且 $C$ 是消费矩阵，那么 $Cx$ 列出中间需求。interpolating polynomial [插值多项式] 一个多项式，其图形通过 ${\mathbb{R}}^2$ 中的一个点集的每一个点。invariant subspace (for $A$ ) [( $A$ 的) 不变子空间] 一个子空间 $H$ ，使得当 $x\in H$ 时， $Ax$ 仍然属于 $H$ 。inverse (of an $n\times n$ matrix $A$ ) [(一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的) 逆] 一个 $n\times n$ 矩阵 $A^{-1}$ 使得 $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_n$ 。inverse power method [逆幂法] 当具有 $\lambda$ 的一个好的初始估计时，一个估计方阵特征值 $\lambda$ 的算法。invertible linear transformation [可逆线性变换] 一个线性变换 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ ，使得存在一个函数 $S:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 对所有 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，满足 $T(S(x))=x$ 和 $S(T(x))=x$ 。invertible matrix [可逆矩阵] 一个具有逆矩阵的方阵。isomorphic vector spaces [同构向量空间] 两个向量空间 $V$ 和 $W$ ，且存在一个一对一线性变换 $T$ ，将 $V$ 映上到 $W$ 。isomorphism [同构] 从一个向量空间映上到另一个向量空间的一个一对一线性映射。

$K$

kernel (of a linear transformation $T:V\to W$ ) [（一个线性变换 $T:V\to W$ 的）核] $V$ 中满

足 $T(x)=0$ 的所有 $x$ 的集合． Kirchhoff’s Laws [基尔霍夫定律] （1）（电压定律）环路中一个方向上的电压降 $RI$ 的代数和等于环路中同一方向电源电压的代数之和．（2）（电流定律）一个分支中的电流是通过该分支环路电流的代数和．

$L$

ladder network [梯形网络] 一个由两个或更多 个电路串联而成的电路网络． leading entry [首项元素] 一个矩阵一行中最左 边的非零元素． least-squares error [最小二乘误差] 从 $b$ 到 $A\hat{x}$ 的距离 $\Vert b-A\hat{x}\Vert$ ，其中 $\hat{x}$ 是 Ax=b 的一个最小 二乘解． least-squares line [最小二乘直线] 直线 $y={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_{1}x$ ，使得方程 $y=X\beta +\epsilon$ 的最小二乘 误差达到最小． least-squares solution (of Ax=b) [(方程 Ax=b 的) 最小二乘解] 一个向量 $\hat{x}$ 使得对所有属于 $R^n$ 的 $x$ 有 $\Vert b-A\hat{x}\Vert ⩽\Vert b-Ax\Vert$ left inverse (of A) [($A$ 的) 左逆] 任何矩形矩 阵 $C$ 使得 CA=I . left-multiplication (by A) [(用 $A$) 左乘] 用 $A$ 左乘一个向量或一个矩阵． left singular vectors (of A) [($A$ 的) 左奇异向量] 在奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ 中的 $U$ 的列． length (or norm of v) [($v$ 的) 长度（或范数）] 数 $\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{⟨v,v⟩}$ . Leontief exchange (or closed) model [列昂惕夫 交换（或封闭）模型] 经济体系中的一个投 入和产出都固定的模型，其中部门产出的一组 价格要求满足每个部门的收入等于该部门的 支出．这个“平衡”条件表示为一个价格未知 的线性方程组． Leontief input-output model ( or Leontief production equation ) [列昂惕夫投入产出模型

（或列昂惕夫产量方程）] 方程 $x=Cx+d$ ，其中 $x$ 是产量， $d$ 是最终需求， $C$ 是消费（或投入产出）矩阵。 $C$ 的第 $j$ 列给出该部门第 $j$ 个顾客每单位产出的投入。

level set (or gradient) of a linear functional $f$ on ${\mathbb{R}}^n$ [ ${\mathbb{R}}^n$ 上线性函数 $f$ 的水平集（或梯度）] 集合 $[f:d]=\{x\in {\mathbb{R}}^n:f(x)=d\}$ 。

linear combination [线性组合] 向量标量乘法之和，其中标量称为权值。

linear dependence relation [线性相关关系] 一个齐次向量方程具有特殊的权值系数，且至少一个权值不为零。

linear equation (in the variables $x_1,\dots ,x_n$ ) [（变量 $x_1,\dots ,x_n$ 的）线性方程] 一个可以写成形如 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$ 的方程，其中 $b$ 和系数 $a_1,\dots ,a_n$ 是实数或复数。

linear filter [线性滤波] 一个线性差分方程用于变换离散时间信号。

linear functional (on ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 上的）线性函数] 从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性变换 $f$ 。

linearly dependent (vectors) [线性相关（向量）] 带指标向量的集合 $\{v_1,\dots ,v_p\}$ 具有如下性质：存在不全为零的权值 $c_1,\dots ,c_p$ ，使得 $c_1{v}_1+\cdots +c_p{v}_p=0$ 。即向量方程 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_p{v}_p=0$ 有一组非平凡解。

linearly independent (vectors) [线性无关（向量）] 带指标向量的集合 $\{v_1,\dots ,v_p\}$ 具有如下性质：向量方程 $c_1{v}_1+c_2{v}_2+\cdots +c_p{v}_p=0$ 只有平凡解 $c_1=\cdots =c_p=0$ 。

linear model (in statistics) [(统计中的）线性模型] 任何形如 $y=X\beta +\epsilon$ 的方程，其中 $X$ 和 $y$ 是已知的， $\beta$ 的选取使得剩余向量 $\epsilon$ 的长度最小。

linear system [线性系统] 一个或多个包含同样变量（如 $x_1,\dots ,x_n$ ）的线性方程集合。

linear transformation $T$ (from a vector space $V$ into a vector space $W$ ) [(从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 的）线性变换 $T]$ 一个法则 $T$ 指定 $V$ 中任一向量 $x$ 对应 $W$ 中唯一向量 $T(x)$ ，

使得：（$i$）对任意 $V$ 中的向量 $u,v$ ，有 $T(u+v)=T(u)+T(v)$ ；（ii）对 $V$ 中所有向量 $u$ 和所有数 $c$ ，有 $T(cu)=cT(u)$．记号： $T:V\to W$ 当 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 且 $A$ 是 $T$ 的标准矩阵时，也可表示为 $x\mapsto Ax$ line through p parallel to v [通过 $p$ 且平行于 $\nu$ 的直线] 集合 $\{p+tv:t\in \mathbb{R}\}$ loop current [回路电流] 流过一个回路的电流的总和，使得回路中RI电压降的代数和等于回路中电源电压的代数和．
lower triangular matrix [下三角形矩阵] 一个主对角线以上的元素全为零的矩阵．
lower triangular part (of A) [($A$的）下三角部分] 一个下三角形矩阵，其位于主对角线和对角线以下的元素与 $A$ 中同样位置的元素相同．
LU factorization [LU分解] 一个矩阵 $A$ 的形如 $A=LU$ 的表示，其中 $L$ 是对角线上元素为1的下三角形方阵（一个单位下三角形矩阵）， $U$ 是 $A$ 的一个阶梯形．

$M$

magnitude(of a vector)[(一个向量的)长度] 见范数． main diagonal (of a matrix) [(一个矩阵的)主对角线] 具有相同行下标和列下标的元素． mapping [映射] 见变换． Markov chain [马尔可夫链] 一个概率向量序列 $x_0,x_1,x_2,\cdots$ 连同随机矩阵 $P$，使得 $x_{k+1}=P{x}_k$ ， $k=0,1,2,\cdots$ . matrix[矩阵] 一个矩形数组． matrix equation[矩阵方程] 一个至少包含一个矩阵的方程，例如，Ax = b. matrix for T relative to bases B and C [相对于基$B$ 和基$C$ 的矩阵 $T$] 对一个线性变换．$T:V\to W$ 的矩阵 $M$，具有性质：对任何属于 $V$ 的 $x$，有 $[T(x){]}_C=M[x{]}_B$ ，其中 $B$ 是 $V$ 的基，$C$ 是 $W$ 的基。当 W = V 和 C = B 时，矩阵 $M$ 被

称为 $T$ 的 $\mathcal{B}$ 矩阵，且记为 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ matrix of observations [观测矩阵] 一个 $p\times N$ 矩阵，它的列是观测向量，每一列给出一个特定总体或集合中的个体或对象的 $p$ 个测量值．
matrix transformation [矩阵变换] 一个映射 $x\mapsto Ax$ ，其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵， $x$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的任意向量．
maximal linearly independent set (in $V$ )[（$V$中）最大的线性无关集] $V$ 中一个线性无关集合 $\mathcal{B}$ ，若属于 $V$ 但不属于 $\mathcal{B}$ 的一个向量 $V$ 添加到 $\mathcal{B}$ 中，则新集合是线性相关的．
mean-deviation form (of a matrix of observations)[（一个观测矩阵的）平均偏差形式] 一个矩阵，它的行向量是平均偏差形式，任一行元素之和为零．
mean-deviation form (of a vector)[（一个向量的）平均偏差形式] 一个元素之和为零的向量．
mean square error [均方误差] 内积空间中一个逼近的误差，其中内积由定积分来定义．
migration matrix [迁移矩阵] 一个矩阵给出不同位置间从一个阶段到下一阶段移动的百分比．
minimal spanning set (for a subspace $H$ )[（一个子空间 $H$ 的）最小生成集] 集合 $\mathcal{B}$ 生成 $H$ 并且具有性质：如果 $\mathcal{B}$ 中的任一元素从 $\mathcal{B}$ 中去掉，则新的集合不能生成 $H$ $m\times n$ matrix $[m\times n$ 矩阵] 一个具有 $m$ 行和 $n$ 列的矩阵．
Moore-Penrose inverse [穆尔-彭罗斯逆] 见伪逆．
multiple regression [多元回归] 一个线性模型包含多个无关变量和一个相关变量

$N$

nearly singular matrix [近似奇异矩阵] 一个病态矩阵． negative definite matrix [负定矩阵] 一个对称矩阵 $A$，使得对所有 $x\ne 0$ ，有 $x^{T}Ax<0$ . negative definite quadratic form [负定二次型] 一个二次型 $Q$，使得对所有 $x\ne 0$ ，有 $Q(x)<0$ .

negative semidefinite matrix [半负定矩阵] 一个对称矩阵 $A$，使得对所有 $x$，有 $x^{T}Ax⩽0$ . negative semidefinite quadratic form [半负定二次型] 一个二次型 $Q$，使得对所有 $x$， $Q(x)⩽0$ . nonhomogeneous equation [非齐次方程] 一个形如 Ax = b 且 $b\ne 0$ 的方程，也可以表示为一个向量方程或一个线性方程组． nonsingular (matrix) [非奇异（矩阵）] 一个可逆矩阵． nontrivial solution [非平凡解] 齐次方程或齐次线性方程组的一个非零解． nonzero (matrix or vector) [非零（矩阵或向量）] 一个矩阵（可能仅有一行或仅有一列）包含至少一个非零元素． norm (or length of v) [($v$ 的) 范数 (或长度)] 标量 $\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{⟨v\cdot v⟩}$ . normal equations [法方程] 表示为 $A^{T}Ax=A^{T}b$ 的方程，它的解给出 Ax = b 的所有最小二乘解．在统计学中，常见的记号是 $X^{T}X\beta =X^{T}y$ . normalizing (a nonzero vector v) [(一个非零向量的) 单位化] 用 $v$ 的正倍数得到一个单位向量 $u$ 的过程． normal vector (to a subspace V of $R^n$ ) [( $R^n$ 的子空间 $V$ 的) 法向量] $R^n$ 中一个向量 $n$ 满足对所有 $x\in V$ ，有 $n\cdot x=0$ . null space (of an $m\times n$ matrix A) [(一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的) 零空间] 齐次方程 Ax = 0 的所有解的集合 Nul A. Nul $A=\{x:x\text{ 属于 }{R}^n\text{ 且 }Ax=0\}$ .

$O$

observation vector [观测向量] 线性模型 $y=X\beta +\epsilon$ 中的向量 $y$ ，其中 $y$ 的元素是相关变量的观测值．
one-to-one (mapping) [一对一（映射）] 一个映射 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ ，使得 ${\mathbb{R}}^m$ 中的每一个 $b$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中至多一个元素 $x$ 的像．
onto (mapping) [映上（映射）] 一个映射

$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ ，使得 ${\mathbb{R}}^m$ 中的每一个元素 $b$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中至少一个元素 $x$ 的像．

open ball B $(p,\delta )$ in ${\mathbb{R}}^n$ [ ${\mathbb{R}}^n$ 中的开球 B $(p,\delta )$ ] ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合 $\{x:\Vert x-p\Vert \}<\delta$ ，其中 $\delta >0$ ，

open set S in ${\mathbb{R}}^n$ [ ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集 $S$] 不包含边界点的集合。（等价地，若 $S$ 中的每个点都是内点，则 $S$ 是开的.)

origin [原点] 零向量．

orthogonal basis [正交基] 一个基，它也是一个正交集合．

orthogonal complement (of W) [($W$ 的) 正交补] 与 $W$ 中所有向量都正交的集合 $W^{\perp }$ .

orthogonal decomposition [正交分解] 一个向量 $y$ 表示为两向量之和，一个向量在特定的子空间 $W$ 中，另一向量在空间 $W^{\perp }$ 中．一般地，一个分解 $y=c_1{u}_1+\cdots +c_p{u}_p$ ，其中 $\{u_1,\cdots ,u_p\}$ 是包含 $y$ 的子空间的一个正交基．

orthogonally diagonalizable (matrix) [可正交对角化（矩阵）] 矩阵 $A$ 有一个分解 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $P$ 是正交矩阵 ( $P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$ ) 且 $D$ 是对角矩阵．

orthogonal matrix [正交矩阵] 一个可逆方阵 $U$，使得 $U^{-1}=U^{\mathrm{T}}$ .

orthogonal projection of y onto u (or onto the line through u and the origin, for $u\ne 0$ ) [$y$ 在 $u$ 上的正交投影（或在通过 $u$ 和原点的直线上的投影，其中 $u\ne 0$ )] 向量 $\hat{y}$ 定义为 $\hat{y}=\frac{y\cdot u}{u\cdot u}u$ .

orthogonal projection of y onto W [$y$ 在 $W$ 上的正交投影] W 中的唯一向量 $\hat{y}$ ，使得 $y-\hat{y}$ 与 $W$ 正交．记号： $\hat{y}=pro{j}_{w}y$ .

orthogonal set [正交集] 向量 $S$ 的集合，使得对 $S$ 中的不同向量 $u$, $v$，有 u·v = 0.

orthogonal to W [与 $W$ 正交] 与 $W$ 中任一向量正交．

orthonormal basis [单位正交基] 一个由单位正交向量集合构成的基．

orthonormal set [单位正交集] 一个由单位向量构成的正交集合．

outer product [外积] 一个矩阵乘积 $u{v}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $u$ 和 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中作为 $n\times 1$ 矩阵的向量。（转置符号在符号 $u$ 和 $v$ 的“外侧”）.

overdetermined system [超定方程组] 一个线性方程组中方程的个数多于未知变量的个数．

$P$

parallel flats [平行平面] 两个或更多的平面，满足每个平面是其他平面的平移． parallelogram rule for addition [加法的平行四边形法则] 两个向量 $u$ 和 $v$ 之和是 $u$, $v$ 和 0 确定的平行四边形的对角线的几何解释． parameter vector [参数向量] 线性模型 $y=X\beta +\epsilon$ 中的未知向量 $\beta$ . parametric equation of a line [一条直线的参数方程] 一个形如 $x=p+tv$ （$t$ 属于 $R$）的方程． parametric equation of a plane [一个平面的参数方程] 一个形如 $x=p+su+tv$ （$s$, $t$ 属于 $R$）的方程，其中 $u$ 和 $v$ 是线性无关的向量． partitioned matrix (of block matrix) [矩阵分划（或分块矩阵）] 一个矩阵，它的元素本身是适当大小的矩阵． permuted lower triangular matrix [置换下三角形矩阵] 一个矩阵，通过行置换后构成一个下三角形矩阵． permuted LU factorization [置换 LU 分解] 一个形如 A = LU 的矩阵分解表示，其中 $L$ 是一个行置换后形成的单位下三角形方阵，$U$ 是 $A$ 的一个阶梯形矩阵． pivot [主元] 一个非零数，或者在主元位置通过行变换用于生成零，或者变成主项为 1，再用于生成零． pivot column [主元列] 一个包含主元位置的列． pivot position [主元位置] 矩阵 $A$ 的阶梯形矩阵的主元元素所在的位置． plane through u, v and the origin [过 $u$, $v$ 和原点的平面] 一个参数方程是 $x=su+tv$ （$s$, $t$ 属于 $R$）的集合，其中 $u$ 和 $v$ 线性无关． polar decomposition (of A) [(矩阵 $A$ 的) 极分解] 一个分解 A = PQ，其中 $P$ 是一个 $n\times n$ 半正定矩阵且与 $A$ 的秩相同，$Q$ 是一个 $n\times n$ 正polygon [多边形] ${\mathbb{R}}^2$ 中的多面体．
polyhedron [四面体] ${\mathbb{R}}^3$ 中的多面体．
polytope [多面体] ${\mathbb{R}}^n$ 中有限点集的凸包（特殊的紧致凸集）.
positive combination (of points $v_1,\dots ,v_m$ in ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 中的点 $v_1,\dots ,v_m$ 的) 正组合] 线性组合 $c_1{v}_1+\cdots +c_m{v}_m$ ，其中所有的 $c_i>0$ .
positive definite matrix [正定矩阵] 一个对称矩阵 $A$ ，使得对所有 $x\ne 0$ ， $x^{\mathrm{T}}Ax>0$ 成立．
positive definite quadratic form [正定二次型] 一个二次型 $Q$ ，使得对所有 $x\ne 0$ ， $Q(x)>0$ .
positive hull (of a set $S$ ) [(集合 $S$ 的) 正包] $S$ 中的点的所有正组合的集合，记为 pos $S$ .
positive semidefinite matrix [半正定矩阵] 一个对称矩阵 $A$ ，使得对所有 $x$ ， $x^{\mathrm{T}}Ax⩾0$ 成立．
positive semidefinite quadratic form [半正定二次型] 一个二次型 $Q$ ，使得对所有 $x\ne 0$ ， $Q(x)⩾0$ .
power method [幂算法] 估计一个方阵严格占优特征值的一个算法．
principal axes (of a quadratic form $x^{\mathrm{T}}Ax$ ) [(一个二次型 $x^{\mathrm{T}}Ax$ 的) 主轴] 正交矩阵 $P$ 的单位正交列（这些列是 $A$ 的单位特征向量），使得 $P^{-1}AP$ 是对角阵．通常 $P$ 的列按 $A$ 的对应特征值大小的递减顺序来排序．
principal components (of the data in a matrix $B$ of observations) [(观测矩阵 $B$ 中数据的) 主成分] $B$ 的样本协方差矩阵 $S$ 的单位特征向量，其特征向量以对应的 $S$ 的特征值的递减顺序来排列．如果 $B$ 是平均偏差形式，那么主成分分量是 $B^{\mathrm{T}}$ 奇异值分解中的右奇异向量．
probability vector [概率向量] 一个 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量，它的元素非负且和为 1.
product $Ax$ [乘积 $Ax$ ] $A$ 的列的线性组合，利用 $x$ 的对应元素作为权值．
production vector [生产向量] 列昂惕夫投入产出模型中的向量，它列出了一个经济体系中各部门将要生产的数量．

profile (of a set $S$ in ${\mathbb{R}}^n$ ) [( ${\mathbb{R}}^n$ 中集合 $S$ 的) 轮廓] $S$ 的极端点的集合．
projection matrix (or orthogonal projection matrix) [投影矩阵（或正交投影矩阵）] 一个对称矩阵 $B$ ，使得 $B^2=B$．一个简单例子是 $B=v{v}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $v$ 是一个单位向量．
proper subset of a set $S$ [集合 $S$ 的真子集] $S$ 的不等于 $S$ 本身的子集．
proper subspace [真子空间] 向量空间 $V$ 中，任何一个不是自己本身的子空间．
pseudoinverse (of $A$ ) [($A$ 的)伪逆] $UD{V}^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的一个简化奇异值分解的矩阵 $V{D}^{-1}{U}^{\mathrm{T}}$ .

$Q$

QR factorization [QR 分解] 一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的分解， $A$ 具有线性无关的列， $A=QR$ ，其中 $Q$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，它的列构成 $\mathrm{Col}A$ 的一个单位正交基， $R$ 是一个 $n\times n$ 上三角形可逆矩阵，它的对角线上是正元素．

quadratic Bézier curve [二次贝塞尔曲线] 一个被描述为如下形式的曲线： $\mathbf{g}(t)=(1-t){\mathbf{f}}_0(t)+t{\mathbf{f}}_1(t)$ ，其中 $0⩽t⩽1$ ， ${\mathbf{f}}_0(t)=(1-t){\mathbf{p}}_0+t{\mathbf{p}}_1$ ， ${\mathbf{f}}_1(t)=(1-t){\mathbf{p}}_1+t{\mathbf{p}}_2$ 。点 ${\mathbf{p}}_0,{\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2$ 称为曲线的控制点．

quadratic form [二次型] 一个定义在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数 $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Ax}$ ，其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 对称矩阵（称为二次型的矩阵）.

$R$

range（of a linear transformation T）[（一个线性变换 $T$ 的）值域] 对于变换 $T$ 定义域中所有 $x$，构成形如 $T(x)$ 的所有向量的集合． rank（of a matrix A）[（矩阵 $A$ 的）秩] A 的列空间的维数，记为 rank A. Rayleigh quotient [瑞利商] $R(x)=(x^{T}Ax)/(x^{T}x)$ ，矩阵 $A$ 的一个特征值估计（$A$ 常为对称矩阵）. recurrence relation [递推关系] 见差分方程．

reduced echelon form (or reduced row echelon form) [简化阶梯形(或简化的行阶梯形)] 一个行等价于给定矩阵的简化阶梯形矩阵．

reduced echelon matrix [简化阶梯形矩阵] 一个阶梯形式的矩形矩阵具有下列附加性质: 每一非零行的主元素为 1, 每一主元素 1 是它所在列的唯一非零元素．

reduced singular value decomposition [简化的奇异值分解] 对秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的一个分解 $A=UD{V}^T$ ，其中 $U$ 是具有单位正交列的 $m\times r$ 矩阵，$D$ 是一个 $r\times r$ 对角矩阵，且 $D$ 的对角线上有 $A$ 的 $r$ 个非零奇异值，$V$ 是一个具有单位正交列的 $n\times r$ 矩阵．

regression coefficients [回归系数] 最小二乘直线 $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$ 中的系数 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$ .

regular solid [正则立方体] $R^3$ 中 5 个可能规则的多面体之一：四面体（4 个等三角面）、立方体（6 个平面）、八面体（8 个等三角面）、十二面体（12 个相同的 5 角面）、二十面体（20 个相同的三角面）.

regular stochastic matrix [正则随机矩阵] 一个随机矩阵 $P$，使得一些矩阵幂 $P^k$ 仅包含严格正元素．

relative change or relative error (in b) [($b$ 中的) 相对改变或相对误差] 数量 $\Vert \Delta b\Vert /\Vert b\Vert$ ，其中 $b$ 改变为 $b+\Delta b$ .

repellor (of a dynamical system in $R^2$ ) [( $R^2$ 中动力系统的) 排斥子] 当所有轨迹（除常零序列或常零函数外）都远离 0 时的原点．

residual vector [残余向量] 一般线性模型 $y=X\beta +\epsilon$ 中出现的量 $\epsilon$ ，即 $\epsilon =y-X\beta$ ，它是关于 $y$ 的观测值和预测值之间的差．

Re x [实部] $R^n$ 中的向量，它由 $C^n$ 中的一个向量 $x$ 的元素的实部所构成．

right inverse (of A) [($A$ 的) 右逆] 任何矩形矩阵 $C$，使得 AC = I.

right-multiplication (by A) [(用 $A$) 右乘] 用 $A$ 右乘一个矩阵．

right singular vectors (of A) [($A$ 的) 右奇异向

量] 在奇异值分解 $A=U\Sigma V^{\mathrm{T}}$ 中 $V$ 的列． roundoff error [舍入误差] 计算结果被舍入（或截断）到数字的浮点数字存储位数所引起的浮点算术误差．也就是说，一个数（如1/3）用十进制小数表示为具有有限位数字的浮点数近似结果所产生的误差． row-column rule [行列法则] 计算乘积 $AB$ 的法则， $AB$ 中的 $(i,j)$ 元素是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列对应元素乘积之和． row equivalent (matrices) [行等价（矩阵）] 两个矩阵通过（有限）行变换，使得一个矩阵变为另一个矩阵． row reduction algorithm [行化简算法] 一个系统方法，它利用初等行变换将一个矩阵化简为阶梯形或简化阶梯形． row replacement [行替换] 一个初等行变换，它将矩阵的一行替换为本行与另一行标量乘法后的和． row space (of a matrix $A$ ) [(一个矩阵 $A$ 的) 行空间] 由 $A$ 的行向量的所有线性组合形成的集合Row $A$ ，同样记作Col $A^{\mathrm{T}}$ . row sum [行和] 一个矩阵中一行元素的和． row vector [行向量] 只有一行的矩阵，或具有几个行的矩阵中的某一行． row-vector rule for computing $Ax$ [计算乘积 $Ax$ 的行向量法则] 计算乘积 $Ax$ 时使得 $Ax$ 的第 $i$ 个分量是 $A$ 的第 $i$ 行和向量 $x$ 的对应元素乘积之和的法则．

$S$

saddle point (of a dynamical system in $R^2$ ) [( $R^2$ 中动力系统的) 鞍点] 当一些轨迹被吸引到 0 而另外一些轨迹被排斥出 0 时的原点． same direction (as a vector v) [(与向量$v$) 同一方向] 用正数乘向量 $v$ 得到的向量． sample mean [样本均值] 一个向量集合 $X_1,\cdots ,X_N$ 的平均 $M$ 表示为 $M=(1/N)(X_1+\cdots +X_N)$

scalar [标量或数] 一个（实）数，常用于乘一个向量或者一个矩阵．

scalar multiple of u by c [用标量 $c$ 乘 $u$] 向量 cu 是用标量 $c$ 乘 $u$ 的每一个元素来确定的．

scale（a vector）[（一个向量的）度量] 用一个非零数乘一个向量（或一个矩阵的一行或者一列）.

Schur complement [舒尔补] 一些由一个 $2\times 2$ 分块矩阵 $A=[A_{ij}]$ 所形成的矩阵．如果 $A_{11}$ 可逆，则它的舒尔补是 $A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$．如果 $A_{22}$ 可逆，则它的舒尔补是 $A_{11}-A_{12}{A}_{22}^{-1}{A}_{21}$ .

Schur factorization (of $A$ , for real scalars) [(实数矩阵 $A$ 的) 舒尔分解] 具有 $n$ 个实特征值的 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的一个分解 $A=UR{U}^{\mathrm{T}}$，其中 $U$ 是一个 $n\times n$ 正交矩阵，$R$ 是一个上三角形矩阵． set spanned by $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ [由 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 所生成的集合] 集合 $\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_p\}$ .

signal（or discrete-time signal）[信号（或离散时间信号）] 一个两边无穷的数列 $\{y_k\}$ ；一个定义在整数范围内的函数；它属于向量空间 $\mathbb{S}$ . similar（matrices）[相似（矩阵）] 矩阵 $A$ 和 $B$ ，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ 或 $A=PB{P}^{-1}$ . similarity transformation [相似变换] 一个将 $A$ 变为 $P^{-1}AP$ 的变换．

simplex [单纯形] ${\mathbb{R}}^n$ 中一个仿射上无关有限向量集的凸包．

singular value decomposition (of an $m\times n$ matrix $A$ ) [(一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的) 奇异值分解] $A=U\Sigma V^{\mathrm{T}}$，其中 $U$ 是一个 $m\times m$ 正交矩阵，$V$ 是一个 $n\times n$ 正交矩阵，$\Sigma$ 是一个 $m\times n$ 矩阵且非零元素位于主对角线上(大小以递减顺序排列), 零位于其他位置．如果 rank $A=r$，那么 $\Sigma$ 恰好具有 $r$ 个正元素 ( $A$ 的非零奇异值) 在其对角线上．

singular values (of A) [($A$ 的) 奇异值] 矩阵 $A^{T}A$ 特征值的（正的）平方根，其大小按递减顺序排列．

size (of a matrix) [(矩阵的) 大小] 写成 $m\times n$ 形式的两个数，给出一个矩阵中行的数目 $m$ 和列的数目 $n$.

solution (of a linear system involving variables $(x_1,\cdots ,x_n)$ )[（关于变量 $x_1,\cdots ,x_n$ 的线性方程组的）解] 一列数 $(s_1,s_2,\cdots ,s_n)$ 使得当值 $s_1,\cdots ,s_n$ 分别代替 $x_1,\cdots ,x_n$ 后，线性方程组中每一个方程都成立．

solution set[解集] 线性方程所有解的集合．

Span $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ $[v_1,\cdots ,v_p$ 所生成的子空间] $v_1,\cdots ,v_p$ 的所有线性组合的集合，也是由 $v_1,\cdots ,v_p$ 所生成（或张成）的子空间．

spanning set (for a subspace H) [(一个子空间 $H$ 的) 生成集] H 中的任何集合 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 使得 $H=\mathrm{Span}\{v_1,\cdots ,v_p\}$ .

A = λ_ 1 boldsymbol u _ 1 boldsymbol u _ 1 ^ T + … + λ_ n boldsymbol u _ n boldsymbol u _ n ^ T$$A={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{u}}_n{\mathbf{u}}_n^{\mathrm{T}}$$ {boldsymbol u _ 1, … , boldsymbol u _ n }$$\left\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_n\right\}$$ λ_ 1, … , λ_ n$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$$

spiral point (of a dynamical system in ${\mathbb{R}}^2$ ) [( ${\mathbb{R}}^2$ 中动力系统的) 螺线极点] 当轨迹绕 0 螺旋时的原点．

stage-matrix model [分级矩阵模型] 一个差分方程 $x_{k+1}=A{x}_k$ ，其中 $x_k$ 列出时间 $k$ 时全体人口中女性的数目，女性根据不同发展阶段来分类（如青少年、接近成年、成年）.

standard basis [标准基] 由 $n\times n$ 单位矩阵的列所构成的 ${\mathbb{R}}^n$ 的基 $\mathcal{E}=\{e_1,\dots ,e_n\}$ ，或 ${\mathbb{P}}_n$ 的基 $\{1,t,\dots ,t^n\}$ .

T (boldsymbol x) = A boldsymbol x$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$ boldsymbol x ^ T boldsymbol A boldsymbol x = c$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=c$$

state vector [状态向量] 一个概率向量．一般地，一个向量表示一个物理系统的“状态”，常常与一个差分方程 $x_{k+1}=A{x}_k$ 联系在一起． steady-state vector (for a stochastic matrix $P$ )

[（一个随机矩阵 $P$ 的）稳态向量] 一个概

率向量 $q$ 使得 $P_q$ = q.

stiffness matrix [刚性矩阵] 一个弹性矩阵的逆．刚性矩阵的第 $j$ 列给出相应的负载施加于一个弹性梁的特定点，使得在梁的第 $j$ 点产生一个单位弯曲．

stochastic matrix [随机矩阵] 一个方阵，其列是概率向量．

strictly dominant eigenvalue [严格占优特征值（主特征值）] 矩阵 $A$ 的一个特征值 ${\lambda }_1$ ，对所有 $A$ 的其他特征值 ${\lambda }_k$ 具有性质 $|{\lambda }_1|>|{\lambda }_k|$ .

submatrix (of A) [($A$ 的) 子矩阵] 任何由划去 $A$ 的一些行和 $A$ 的一些列所得到的矩阵，$A$ 自身也是．

subspace [子空间] 由 $V$ 中一些向量构成的子集 $H$，使得 $H$ 具有性质：(1) V 中的零向量在 $H$ 中；(2) H 对向量加法封闭；(3) H 对标量乘法封闭．

supporting hyperplane (to a compact convex set S in $R^n$ ) [支撑超平面 ( $R^n$ 的紧致凸集 $S$) 一个超平面 H = [$f$:$d$]，使得 $H\cap S\ne \varnothing$ ，并且对 $S$ 中所有的 $x$，有 $f(x)⩽d$ 或 $f(x)⩾d$ .

symmetric matrix [对称矩阵] 一个矩阵 $A$ 使得 $A^T=A$ .

system of linear equations (or a linear system) [线性方程组或一个线性系统] 一个或多个与相同变量集（如 $x_1,\cdots ,x_n$ ）有关的线性方程的集合．

$T$

tetrahedron [四面体] 由 4 个相等三角平面界定的三维立方体，其中每三个平面共一个顶点． total variance [方差总和] 一个观测矩阵的协方差矩阵 $S$ 的迹． trace(of a square matrix A) [(一个方阵 $A$ 的迹)] A 中对角线元素之和，记为 tr A. trajectory [轨迹] 一个动力系统 $x_{k+1}=A{x}_k$ 解的图形 $\{x_0,x_1,x_2,\cdots \}$ ，常与一条曲线联系起来，使得轨迹容易观察。当 $t⩾0$ 时，也是 $x(t)$ 的图

形，其中 $x(t)$ 是微分方程 $x^{\prime }(t)=Ax(t)$ 的解．
transfer matrix [转换矩阵] 与一个电路有关的矩阵，具有输入端和输出端，使得输出向量是 $A$ 与输入向量的乘积．
transformation (or function or mapping) $T$ from ${\mathbb{R}}^n$ to ${\mathbb{R}}^m$ [从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的变换 $T$ （或函数、映射）] 一个法则，它指定 ${\mathbb{R}}^n$ 中每一个向量 $x$ 对应 ${\mathbb{R}}^m$ 中唯一的向量 $T(x)$．记号： $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ . $T:V\to W$ 也表示一个法则，它指定 $V$ 中一个 $x$ 对应 $W$ 中唯一的向量 $T(x)$ .
translation (by a vector $p$ ) [平移（一个向量 $p$ )] 一个向量加 $p$ 后的变换，或对给定集合中任一向量加 $p$ 的变换．
transpose (of $A$ ) [($A$ 的) 转置] 一个 $n\times m$ 矩阵 $A^{\mathrm{T}}$ ，它的列对应于 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的行．
trend analysis [趋势分析] 通过计算在有限点集处的内积，用正交多项式拟合数据．
triangle inequality [三角不等式] 对所有 $u$ 和 $v$ ，有 $\Vert u+v\Vert ⩽\Vert u\Vert +\Vert v\Vert$ .
triangular matrix [三角矩阵] 一个矩阵 $A$ ，或者对角线上方的元素为 0，或者对角线下方的元素为 0.
trigonometric polynomial [三角多项式] 由常数函数 1 和正弦函数和余弦函数（例如 $\cos nt$ 和 $\sin nt$ ）的线性组合所构成．
trivial solution [平凡解] 齐次方程组 $Ax=0$ 的解 $x=0$ .

$U$

uncorrelated variables [不相关变量] 任意两个变量 $x_i$ 和 $x_j(i\ne j)$ ，它们取遍一个观测矩阵中观测向量的 $i$ 坐标和 $j$ 坐标，使得协方差 $s_{ij}$ 是零．
underdetermined system [不确定系统] 方程个数少于未知数个数的方程组．
uniqueness question [唯一性问题] “方程组是否有解？它的解是否唯一？即只有一个解吗？”
unit consumption vector [单位消费向量] 列昂惕夫投入产出模型中的列向量，它给出每一单位的输出所需的每一个部门的输入;是消费矩阵的一个列．

unit lower triangular matrix [单位下三角形矩阵] 一个下三角形方阵，其主对角线上的元素是1. unit vector [单位向量] 一个满足 $\Vert v\Vert =1$ 的向量$v$. upper triangular matrix [上三角形矩阵] 一个矩阵U（不一定是方阵），其零元素位于对角线元素 $u_{11},u_{22},\cdots$ 之下方．

$V$

Vandermonde matrix [范德蒙德矩阵] 一个 $n\times n$ 矩阵 $V$ 或它的转置， $V$ 的形式是

V = [ c c c c c 1 & x _ 1 & x _ 1 ^ 2 & … & x _ 1 ^ n - 1 1 & x _ 2 & x _ 2 ^ 2 & … & x _ 2 ^ n - 1 vdots & vdots & vdots & & vdots 1 & x _ n & x _ n ^ 2 & … & x _ n ^ n - 1 ]$$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \dots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \dots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \dots & x_n^{n-1}\end{array}\right]$$

variance (of a variable $x_j$ ) [（一个变量 $x_j$ 的）方差] 一个观测矩阵的协方差矩阵 $S$ 的对角线元素 $s_{jj}$ ，其中 $x_j$ 取遍观测向量的 $j$ 个坐标． vector [向量] 一列数；只有一列的矩阵．一般指一个向量空间中的任一元素． vector addition [向量加法] 通过对应元素相加

将向量相加．

vector equation [向量方程] 含未知权值的向量的线性组合所得到的方程．

vector space [向量空间] 以向量为对象所形成的集合，且定义被称为加法和标量乘法的两种运算，必须满足十个公理，见4.1节的第一个定义． vector subtraction [向量减法] 计算 $u+(-1)v$ 且将其写成 u - v.

$W$

weighted least squares [加权最小二乘] 带有权值内积的最小二乘问题，例如 $<x,y>=w_1^2{x}_1{y}_1+\cdots +w_n^2{x}_n{y}_n$ weights [权，权值] 一个线性组合中所用的数．

$Z$

zero subspace [零空间] 仅包含一个零向量的子空间 $\{0\}$ .

zero vector [零向量] 唯一的向量，记为 0，使得 $u+0=u$ 对所有 $u$ 成立。在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，0 是一个所有元素为零的向量。

$S$.1