附录B_复数

复数是可以写成如下形式的数：

z = a + b i$$z=a+b\mathrm{i}$$

其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是满足关系 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的常用符号。数 $a$ 是 $z$ 的实部，记作 $\mathrm{Re}z$ ，数 $b$ 是 $z$ 的虚部，记作 $\mathrm{Im}z$ 。两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。例如，如果 $z=5+(-2)\mathrm{i}$ ，那么 $\mathrm{Re}z=5$ ， $\mathrm{Im}z=-2$ ，可以简记为 $z=5-2\mathrm{i}$ 。

一个实数 $a$ 可以认为是一个特殊类型的复数，即将 $a$ 和 $a+0\mathrm{i}$ 作为一个数。更进一步，实数上的算术运算可以扩展到复数集合上。

复数系是所有复数的集合，记作 $\mathbb{C}$ ，具有下面的加法和乘法运算：

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (1)$$(a+b\mathrm{i})+(c+d\mathrm{i})=(a+c)+(b+d)\mathrm{i}\text{\hspace{1em}(1)}$$ (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i (2)$$(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}\text{\hspace{1em}(2)}$$

这些法则当（1）和（2）式中 $b$ 和 $d$ 为零时，是普通实数的加法和乘法。容易验证，在 $\mathbb{R}$ 上的常见法则在 $\mathbb{C}$ 上同样成立。由于这个原因，乘法常用扩展的代数法则来计算。

例 1

r l (5 - 2 i) (3 + 4 i) & = 1 5 + 2 0 i - 6 i - 8 i ^ 2 & = 1 5 + 1 4 i - 8 (- 1) & = 2 3 + 1 4 i$$\begin{array}{rl}(5-2\mathrm{i})(3+4\mathrm{i})& =15+20\mathrm{i}-6\mathrm{i}-8{\mathrm{i}}^2\\ & =15+14\mathrm{i}-8(-1)\\ & =23+14\mathrm{i}\end{array}$$

也就是说，用项 $(3+4i)$ 乘5-2i的每一项，利用 $i^2=-1$ ，并将结果写成 $a+bi$ 的形式．

复数 $z_1$ 和 $z_2$ 的减法定义为

z _ 1 - z _ 2 = z _ 1 + (- 1) z _ 2$$z_1-z_2=z_1+(-1)z_2$$

特别地，我们用 $-z$ 代替 $(-1)z$ .

复数 $z=a+bi$ 的共轭复数是复数 $\overline{z}$ （读作 “$z$ 杠”），定义为

overline z = a - b i$$\overline{z}=a-b\mathrm{i}$$

$\overline{z}$ 可用 $z$ 中相反的虚部符号来得到．

例 2

-3+4i 的共轭复数是 -3-4i，记作 $\overline{-3+4i}=-3-4i$ .

如果 $z=a+bi$ ，那么

z overline z = (a + b i) (a - b i) = a ^ 2 - a b i + b a i - b ^ 2 i ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 (3)$$z\overline{z}=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})=a^2-ab\mathrm{i}+ba\mathrm{i}-b^2{\mathrm{i}}^2=a^2+b^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

由于 $z\overline{z}$ 是实数且非负，故它有一个平方根．$z$ 的绝对值（或模）是实数 $|z|$ 且定义为

| z | = sqrt z overline z = sqrt a ^ 2 + b ^ 2$$|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}$$

如果 $z$ 是实数，那么 $z=a+0\mathrm{i}$ 且 $|z|=\sqrt{a^2}$ ，它等于平常意义下的 $a$ 的绝对值．

下面列出一些关于共轭复数和绝对值的有用性质，设 $w$ 和 $z$ 表示复数．

1. $\overline{z}=z$ 的充分必要条件是 $z$ 是实数．

2. $\overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}$

3. $\overline{wz}=\overline{w}\overline{z}$ ; 特别地，如果 $r$ 是实数，则 $\overline{rz}=r\overline{z}$ .

4. $z\overline{z}=|z{|}^2⩾0$

5. $|wz|=|w||z|$ .

6. $|w+z|⩽|w|+|z|$ .

如果 $z\ne 0$ ，那么 $|z|>0$ 且 $z$ 有一个乘法的倒数，记作 $1/z$ 或 $z^{-1}$ 且有

frac 1z = z ^ - 1 = frac overline z| z | ^ 2$$\frac{1}{z}=z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$$

当然，商 w/z 简单表示为 $w\cdot (1/z)$ .

例 3

令 $w=3+4\mathrm{i}$ 和 $z=5-2\mathrm{i}$ ，计算 $z\overline{z},|z|$ 和 $w/z$

解

由（3）式，

z overline z = 5 ^ 2 + (- 2) ^ 2 = 2 5 + 4 = 2 9$$z\overline{z}=5^2+(-2{)}^2=25+4=29$$

对绝对值， $|z|=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{29}$ ．为计算 $w/z$ ，首先分子和分母同乘以 $\overline{z}$ ，即分母的共轭复数．由（3）式，这个运算可消去分母中的$i$：

r l frac wz & = frac 3 + 4 i5 - 2 i = frac 3 + 4 i5 - 2 i. frac 5 + 2 i5 + 2 i = frac 1 5 + 6 i + 2 0 i - 85 ^ 2 + (- 2) ^ 2 & = frac 7 + 2 6 i2 9 = frac 72 9 + frac 2 62 9 i$$\begin{array}{rl}\frac{w}{z}& =\frac{3+4\mathrm{i}}{5-2\mathrm{i}}=\frac{3+4\mathrm{i}}{5-2\mathrm{i}}.\frac{5+2\mathrm{i}}{5+2\mathrm{i}}=\frac{15+6\mathrm{i}+20\mathrm{i}-8}{5^2+(-2{)}^2}\\ & =\frac{7+26\mathrm{i}}{29}=\frac{7}{29}+\frac{26}{29}\mathrm{i}\end{array}$$

几何解释

每一个复数 $z=a+bi$ 对应于平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上的一个点 $(a,b)$ ，如图B-1所示。水平轴称为实轴，因为它上面的点 $(a,0)$ 对应实数，垂直的轴称为虚轴，因为它上面的点 $(0,b)$ 对应形如 $0+bi$ （简记为 $bi$ ）的纯虚数。 $z$ 的共轭复数是 $z$ 关于实轴的镜像， $z$ 的绝对值是从原点到 $(a,b)$ 的距离。

图B-1 共轭复数是一个镜像

复数 $z=a+bi$ 和 $w=c+bi$ 的加法对应于 ${\mathbb{R}}^2$ 中 $(a,b)$ 和 $(c,b)$ 的向量加法，如图B-2所示．

图B-2 复数的加法

为给出复数乘法的图形表示，我们使用 ${\mathbb{R}}^2$ 中的极坐标．给定一个非零复数

z = a + b i$$z=a+b\mathrm{i}$$

设 $\phi$ 是正实轴和点 $(a,b)$ 间的夹角，如图B-3所示，其中 $-\pi <\phi ⩽\pi$ 。角 $\phi$ 称为 $z$ 的辐角，记为 $\phi =\arg z$ 。从三角函数得

a = | z | cos φ b = | z | sin φ$$a=|z|\cos \phi b=|z|\sin \phi$$

因而

z = a + b i = | z | (cos φ + i sin φ)$$z=a+b\mathrm{i}=|z|(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$$

图B-3 $z$ 的极坐标

如果 $w$ 是另一个非零复数，如

w = | w | (cos θ + i sin θ)$$w=|w|(\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$$

则利用关于正弦和余弦两角和的标准三角函数公式，可以验证

w z = | w | | z | [ cos (θ + φ) + i sin (θ + φ) ] (4)$$wz=|w||z|[\cos (\vartheta +\phi )+i\sin (\vartheta +\phi )]\text{\hspace{1em}(4)}$$

见图 B-4. 类似可以写出极坐标形式的复数除法公式．乘法和除法公式可用文字描述如下．

极坐标系下，两个非零复数的乘法表示为它们绝对值的相乘和辐角相加。极坐标系下，两个非零复数的除法表示为它们绝对值的相除和辐角之差。

例 4

$a$．如果 $w$ 的绝对值为1，那么 $w=\cos \vartheta +\mathrm{i}\sin \vartheta$ ，其中 $\vartheta$ 是 $w$ 的辐角。对任意非零复数 $z$ 乘复数 $w$ ，简单表示为复数 $z$ 旋转 $\vartheta$ 角度。

图 B-4 极坐标系中的乘法

$b$. i 本身的辐角为 $\frac{\pi }{2}$ ，所以，用 $i$ 来乘复数 $z$ 是将 $z$ 旋转 $\frac{\pi }{2}$ 弧度。例如， $3+i$ 旋转为 $(3+i)i=-1+3i$ 。见图 B-5。

图B-5 乘以$i$

复数的幂

公式（4）中，如果 $z=w=r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$ ，则有

r l z ^ 2 & = r ^ 2 (cos 2 φ + i sin 2 φ) z ^ 3 & = z · z ^ 2 & = r (cos φ + i sin φ) · r ^ 2 (cos 2 φ + i sin 2 φ) & = r ^ 3 (cos 3 φ + i sin 3 φ)$$\begin{array}{rl}{z}^2& =r^2(\cos 2\phi +\mathrm{i}\sin 2\phi )\\ z^3& =z\cdot z^2\\ & =r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )\cdot r^2(\cos 2\phi +\mathrm{i}\sin 2\phi )\\ & =r^3(\cos 3\phi +\mathrm{i}\sin 3\phi )\end{array}$$

一般地，对任意正整数 $k$

z ^ k = r ^ k (cos k φ + i sin k φ)$$z^k=r^k(\cos k\phi +\mathrm{i}\sin k\phi )$$

这个结论被称为棣莫弗定理．

复数和 ${\mathbb{R}}^2$

尽管 ${\mathbb{R}}^2$ 中的元素和复平面 $\mathbb{C}$ 是一一对应的（见图B-6和图B-7），并且加法实质上一致，但逻辑上 ${\mathbb{R}}^2$ 和 $\mathbb{C}$ 不同．在 ${\mathbb{R}}^2$ 上，我们仅能对一个向量作标量乘法，然而在 $\mathbb{C}$ 上，我们可以将任意两个复数相乘，并得到第三个复数．（ ${\mathbb{R}}^2$ 中的点积不在考虑之内，原因是它产生一个数，此数不是 ${\mathbb{R}}^2$ 的元素.）我们用标量符号表示 $\mathbb{C}$ 中的元素，以强调这个区别．

图B-6 实平面 ${\mathbb{R}}^2$

图B-7 复平面 $\mathbb{C}$

${\left({\mathrm{q}}^2-\mathrm{n}(\mathrm{i}\alpha )+\mathrm{q}(\mathrm{i}\alpha )\right)}^2=0$

$(0{)}^2$ $m_1^2+m_2^2=0.01+(0{)}^2-21+(-0.05)N$ $(0{)}^2$ $m_1^2-m_2^2=0.01$ $\frac{1}{2}$ 为 $\frac{1}{2}$ 的最大值，所以

．把它们看到它们这个个

（1）主要来自的且其（6-8月）日本語の国語（一）主要方面受国家政策の発行を示す。沪深新興業、工业方面見，企業提出表示这个一段需要回答。上文在不同時間下可能現在，整个一個化学問題は「4-5」所含的小加工の全資1. 要受2. 空通機手（愛司県下同議員）に、第二個2个問題が切、評価値中又表示各省分類の国語、工務協議等正義意