8.4 超平面

超平面在 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中有着特别的作用，这是由于它们把空间分成两个不相交的部分，正如一个平面把 ${\mathbb{R}}^3$ 分成两部分以及一条直线切开 ${\mathbb{R}}^2$ 。探讨超平面的关键是对直线和平面启用简单的隐式表达，而不是像之前讨论仿射集时所用的显式表达，即参数形式表达。

${\mathbb{R}}^2$ 中直线的隐式方程为 $ax+by=d$ ， ${\mathbb{R}}^3$ 中平面的隐式方程为 $ax+by+cz=d$ ．两方程把直线

或平面都描述为一个线性表示式（也叫线性函数）取得固定值 $d$ 时所有点的集合．

定义 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个线性函数是从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的一个线性变换 $f$．对 $\mathbb{R}$ 中的每个标量 $d$，符号 $[f:d]$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中使得 $f$ 的值为 $d$ 的所有 $x$ 的集合，即

[ f: d ] text 是集合 {±b x ∈ mathbb R ^ n: f (±b x) = d }$$[f:d]\text{是集合}\{x\in {\mathbb{R}}^n:f(x)=d\}$$

零函数是对 ${\mathbb{R}}^n$ 中所有点 $x$ 都有 $f(x)=0$ 的线性函数。 ${\mathbb{R}}^n$ 上所有其他的线性函数都称为非零函数。

例 1

在 $R^2$ 中，直线 x-4y=13 是 $R^2$ 中的超平面，它是所有使得线性函数 $f(x,y)=x-4y$ 的值等于 13 的点组成的集合，即直线是集合 [$f$:13].

例 2

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，平面 $5x-2y+3z=21$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个超平面，它是所有使得线性函数 $g(x,y,z)=5x-2y+3z$ 的值等于21的点组成的集合，即超平面是集合[$g$:21].

若 $f$ 是 $R^n$ 上的线性函数，那么这个线性变换 $f$ 的标准矩阵是一个 $1\times n$ 矩阵 $A$．令 $A=[a_1{a}_2\cdots a_n]$ ，则

[ f: 0 ] text 等同于 {±b x ∈ mathbb R ^ n: A ±b x = 0 } = Nul A (1)$$[f:0]\text{ 等同于 }\{x\in {\mathbb{R}}^n:Ax=0\}=\mathrm{Nul}A\text{\hspace{1em}(1)}$$

若 $f$ 是非零函数，则由秩定理， $A$ 的秩为1， $\dim \mathrm{Nul}A=n-1$ ，因此子空间 $[f:0]$ 是 $n-1$ 维的，从而是一个超平面。同时，若 $d$ 是 $\mathbb{R}$ 中任意数，则

[ f: d ] text 等同于 {±b x ∈ mathbb R ^ n: A ±b x = d } (2)$$[f:d]\text{等同于}\{x\in {\mathbb{R}}^n:Ax=d\}\text{\hspace{1em}(2)}$$

回顾 1.5 节中的定理6，Ax=b 的解集是将 Ax=0 的解集沿 Ax=b 的一特解 $p$ 平移得到的。当 $A$ 为变换 $f$ 的标准矩阵时，定理表明

[ f: d ] = [ f: 0 ] + p, text 对 [ f: d ] text 中任意的 p (3)$$[f:d]=[f:0]+p,\text{ 对 }[f:d]\text{ 中任意的 }p\text{\hspace{1em}(3)}$$

故集合[$f$:$d$]是平行于[$f$:0]的超平面．见图 8-17.

图 8-17 平行超平面， $f(p)=d$

当 $A$ 为 $1\times n$ 矩阵时，方程 Ax = d 的左边可写成内积 $n\cdot x$ ， $n\in R^n$ 且它的元素与 $A$ 的相同。故由（2），

[ f: d ] text 等同于 {±b x ∈ mathbb R ^ n: ±b n · ±b x = d } (4)$$[f:d]\text{等同于}\{x\in {\mathbb{R}}^n:n\cdot x=d\}\text{\hspace{1em}(4)}$$

于是， $[f:0]=\{x\in {\mathbb{R}}^n:n\cdot x=0\}$ ，此式表明 $[f:0]$ 是由 $n$ 生成的子空间的正交补。用 ${\mathbb{R}}^3$ 中微积分和几何术语， $n$ 称为 $[f:0]$ 的法向量。（这里“法向量”的含义并不要求它是单位向量。）同时 $n$ 正交于每个平行的超平面 $\left[f:d\right]$ ，即使当 $d\ne 0$ 时 $n\cdot x$ 不为零．

$[f:d]$ 的另一个名称为 $f$ 的水平集，当对所有的 $x$ 有 $f(x)=n\cdot x$ 时， $n$ 有时称为 $f$ 的梯度．

例 3

令 $n=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}1\\ -6\end{array}\right],H=\{\hat{x}:n\cdot x=12\}$ ，从而 $H=[f:12]$ ，其中 $f(x,y)=3x+4y$ 。故 $H$ 为直线 $3x+4y=12$ 。求平行的超平面（直线） $H_1=H+v$ 的隐式表达式。

解

首先，求出 $H_1$ 中的一点 $p$．取 $H$ 中一点，把它加上 $v$．例如 $H$ 中点 $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$，故 $p=\left[\begin{array}{c}1\\ -6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]=$ $\left[\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right]$ 在 $H_1$ 中．现在计算 $n\cdot p=-9$，这表明 $H_1=[f:-9]$，见图 8-18, 该图也表明子空间 $H_0=\{x:n\cdot x=0\}$ .

图 8-18

接下来三个例子说明了超平面的隐式与显式表达式的联系．例4 以一个隐式开始．

例 4

在 $R^2$ 中，以参数向量的形式给出直线 x-4y=13 的显式表达式．

解

这等价于解非齐次方程 Ax=b，其中 $A=[1-4]$ ，$b$ 的值为 13，$A$ 和 $b$ 均属于 R．改写等式 $x=13+4y$ ，其中 $y$ 是一个自由变量．用参数形式，解为

boldsymbol x = [ l x y ] = [ c 1 3 + 4 y y ] = [ l 1 3 0 ] + y [ l 4 1 ] = boldsymbol p + y boldsymbol q, y ∈ mathbb R.$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}13+4y\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}13\\ 0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right]=\mathbf{p}+y\mathbf{q},y\in \mathbb{R}.$$

反过来，把直线的显式表达转换成隐式表达的过程要复杂一些。其基本思想是构造[$f$:0]，然后求出[$f$:$d$]的$d$。

例 5

令 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 0\end{array}\right]$ ，且令 $L_1$ 是经过 $v_1$ ， $v_2$ 的直线。求线性函数 $f$ 及常数 $d$，使得 $L_1=[f:d]$ 。

解

直线 $L_1$ 平行于经过点 $v_2-v_1$ 及原点的直线 $L_0$．定义 $L_0$ 的方程如下:

[ a b ] [ l x y ] = 0 text 或 ±b n · ±b x = 0, text 其中 ±b n = [ l a b ] (5)$$[ab]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=0\text{或}n\cdot x=0,\text{其中}n=\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

由于 $n$ 与包含点 $v_2-v_1$ 的子空间 $L_0$ 正交，所以计算

boldsymbol v _ 2 - boldsymbol v _ 1 = [ l 6 0 ] - [ l 1 2 ] = [ l 5 - 2 ]$${\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{l}6\\ 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}5\\ -2\end{array}\right]$$

并解

[ a b ] [ c 5 - 2 ] = 0$$[ab]\left[\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right]=0$$

通过观察，得一个解为 $[ab]=[25]$．令 $f(x,y)=2x+5y$．由（5）， $L_0=[f:0]$ 且对某个 $d$ 有 $L_1=[f:d]$ 由于 $v_1$ 在直线 $L_1$ 上，故 $d=f(v_1)=2(1)+5(2)=12$ 因此 $L_1$ 的方程为 $2x+5y=12$．作为检验，注意到 $f({\nu }_2)=f(6,0)=2(6)+5(0)=12$ ，所以 $v_2$ 也在直线 $L_1$ 上．

例 6

令 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ ，求过点 $v_1,v_2,v_3$ 的平面 $H_1$ 的隐式表达式 $[f:d]$ .

解

$H_1$ 平行于平面 $H_0$ ， $H_0$ 过原点及平移点

±b v _ 2 - ±b v _ 1 = [ c 1 - 2 3 ] text 及 ±b v _ 3 - ±b v _ 1 = [ c 2 0 1 ]$$v_2-v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 3\end{array}\right]\text{及}{v}_3-v_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

由于这两点线性无关，因此 $H_0=\mathrm{Span}\{v_2-v_1,v_3-v_1\}$ 。令 $n=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$ 与 $H_0$ 正交。那么 $v_2-v_1$ 和 $v_3-v_1$ 分别与 $n$ 正交。也就是说， $(v_2-v_1)\cdot n=0,(v_3-v_1)\cdot n=0$ 。这两个方程构成的方程组的增广矩阵可进行行化简：

[ 1 - 2 3 ] [ l a b c ] = 0, [ 2 0 1 ] [ l a b c ] = 0, [ c c c c 1 & - 2 & 3 & 0 2 & 0 & 1 & 0 ]$$[1-23]\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right]=0,[201]\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right]=0,\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 3& 0\\ 2& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

进行行操作得到 $a=\left(-\frac{2}{4}\right)c$ ， $b=\left(\frac{5}{4}\right)c$ ，$c$ 是自由变量。如取 c=4，那么 $n=\left[\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 4\end{array}\right]$ 且 $H_0=[f:0]$ ， 其中 $f(x)=-2x_1+5x_2+4x_3$

平行超平面 $H_1$ 就是 $[f:d]$．为了求 $d$ ，由 $v_1\in H_1$ ，计算 $d=f(v_1)=f(1,1,1)=-2(1)+5(1)+4(1)=7$．作为检验，计算

f (ν_ 2) = f (2, - 1, 4) = - 2 (2) + 5 (- 1) + 4 (4) = 7$$f({\nu }_2)=f(2,-1,4)=-2(2)+5(-1)+4(4)=7$$

也有 $f({\mathbf{v}}_3)=7$ .

例6 的过程可推广到高维空间，然而对于特殊情形 $R^3$ ，也可以使用叉积公式计算 $n$，并使用行列式记号作为辅助记忆工具：

r l & boldsymbol n = (boldsymbol v _ 2 - boldsymbol v _ 1) × (boldsymbol v _ 3 - boldsymbol v _ 1) & = | c c c 1 & 2 & boldsymbol i - 2 & 0 & boldsymbol j 3 & 1 & boldsymbol k | = | c c - 2 & 0 3 & 1 | boldsymbol i - | c c 1 & 2 3 & 1 | boldsymbol j + | c c 1 & 2 - 2 & 0 | boldsymbol k$$\begin{array}{rl}& \mathbf{n}=({\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1)\times ({\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1)\\ & =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& \mathbf{i}\\ -2& 0& \mathbf{j}\\ 3& 1& \mathbf{k}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 3& 1\end{array}\right|\mathbf{i}-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 0\end{array}\right|\mathbf{k}\end{array}$$= - 2 boldsymbol i + 5 boldsymbol j + 4 boldsymbol k = [ c - 2 5 4 ]$$=-2\mathbf{i}+5\mathbf{j}+4\mathbf{k}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 4\end{array}\right]$$

若只需要 $f$ 的计算公式，则又积的计算可写成一般的行列式形式：

f (x _ 1, x _ 2, x _ 3) = | c c c 1 & 2 & x _ 1 - 2 & 0 & x _ 2 3 & 1 & x _ 3 | = | c c - 2 & 0 3 & 1 | x _ 1 - | c c 1 & 2 3 & 1 | x _ 2 + | c c 1 & 2 - 2 & 0 | x _ 3 = - 2 x _ 1 + 5 x _ 2 + 4 x _ 3$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& x_1\\ -2& 0& x_2\\ 3& 1& x_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 3& 1\end{array}\right|x_1-\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right|x_2+\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 0\end{array}\right|x_3=-2x_1+5x_2+4x_3$$

目前为止，被考察的每个超平面可描述成 $[f:d]$ ， $f$ 为某个线性函数， $d$ 为 $\mathbb{R}$ 中某个数，或等价地描述为 $\{x\in {\mathbb{R}}^n:n\cdot x=d\}$ ， $n$ 属于 $\mathbb{R}$ 。下面的定理说明了每个超平面都有这些等价描述。

定理 11

$R^n$ 中的子集 $H$ 是超平面当且仅当 $H=[f:d]$ ，$f$ 为某个非零线性函数，$d$ 为 $R$ 中某个数。因而若 $H$ 是超平面，则存在非零向量 $n$ 与实数 $d$，使得 $H=\{x:n\cdot x=d\}$ 。

证明

假定 $H$ 是超平面，取 $p\in H$ ，且令 $H_0=H-p$ 。则 $H_0$ 是一个 $n-1$ 维的子空间。接下来取 $y\notin H_0$ ，由6.3节中的正交分解定理，

y = y _ 1 + n$$y=y_1+n$$

其中 $y_1$ 是 $H_0$ 中一个向量，$n$ 与 $H_0$ 中每个向量正交。函数 $f$ 定义为

f (boldsymbol x) = boldsymbol n · boldsymbol x, boldsymbol x ∈ mathbb R ^ n$$f(\mathbf{x})=\mathbf{n}\cdot \mathbf{x},\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$$

由内积性质可知，这是一个线性函数。由 $n$ 的含义可知，[$f$:0]是包含 $H_0$ 的超平面。从而

H _ 0 = [ f: 0 ]$$H_0=[f:0]$$

[讨论： $H_0$ 包含一个由 n-1 个向量构成的基 $S$，而由于 $S$ 在 n-1 维子空间 [$f$:0] 中，因此根据基定理可知，$S$ 也是 [$f$:0] 的一个基.] 最后，令 $d=f(\mathbf{p})=\mathbf{n}\cdot \mathbf{p}$ ，则如前面的（3）式所示，

[ f: d ] = [ f: 0 ] + boldsymbol p = H _ 0 + boldsymbol p = H$$[f:d]=[f:0]+\mathbf{p}=H_0+\mathbf{p}=H$$

反过来，若 $f$ 是一线性函数， $d$ 是一实数，则由上面的（1）和（3）可知， $[f:d]$ 是一个超平面．

超平面的许多重要应用依赖于超平面能够“分割”两个集合。直观上，这意味着其中一个集合在超平面的一面，而另一集合在另一面。下面的术语将更清晰地表达这一思想。

${\mathbb{R}}^n$ 中的拓扑：术语与事实

对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任意点 $p$ 及任意实数 $\delta >0$ ，以 $p$ 为心 $\delta$ 为半径的开球 $B(p,\delta )$ 表示为

B (boldsymbol p, δ) = {boldsymbol x: | | boldsymbol x - boldsymbol p | | < δ }$$B(\mathbf{p},\delta )=\{\mathbf{x}:||\mathbf{x}-\mathbf{p}||<\delta \}$$

设 $S$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合，点 $p$ 为 $S$ 的内点，若存在 $\delta >0$ ，使得 $B(p,\delta )\subset S$ 。若以 $p$ 为心的每个开球既与 $S$ 相交又与 $S$ 的补集相交，则 $p$ 称为 $S$ 的边界点。若集合不包含边界点，则集合称为开集。（这等价于说 $S$ 中的所有点都为 $S$ 的内点。）若集合包含所有边界点，则称它为闭集。（若 $S$ 包含部分但不是所有边界点，则 $S$ 既非开集也非闭集。）若存在 $\delta >0$ 使得 $S\subset B(0,\delta )$ ，则集合 $S$ 称为有界的。若 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合既是闭的又是有界的，则称为紧致的。

定理 开集的凸包是开集，紧致集的凸包是紧致的。（闭集的凸包不一定是闭的，见习题27.）

例 7

令 $S=\mathrm{conv}\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right]\right\}$ , ${\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right]$，及 ${\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$，如图 8-19所示．则 ${\mathbf{p}}_1$ 是内点，这是由于 $B\left(\mathbf{p},\frac{3}{4}\right)\subset S$．点 ${\mathbf{p}}_2$ 是边界点，这是由于以 ${\mathbf{p}}_2$ 为心的每一开球与 $S$ 和 $S$ 的补集都相交．由于 $S$ 包含所有边界点，故 $S$ 是闭集．由于 $S\subset B(0,3)$，所以集合 $S$ 是有界的．因此 $S$ 也是紧致的．

若 $f$ 是线性函数，则 $f(A)⩽d$ 指的是 $f(x)⩽d,x\in A$．对于不等式是反向的或者严格的情况，也有相应的注释．

定义 超平面 $H=[f:d]$ 若满足下列条件之一：

($i$) $f(A)⩽d$ 且 $f(B)⩾d$

(ii) $f(A)⩾d$ 且 $f(B)⩽d$

则该超平面被分割成两个集合 $A$ 与 $B$ 。若在以上条件中，所有的弱不等式变为严格不等式，则称 $H$ 严格分割集合 $A$ 与 $B$ 。

图 8-19 集合 S 是闭的和有界的

严格分割需要两集合不相交，而分割不需要这个条件。事实上，若平面上的两圆是外切的，则它们共同的切线分割它们（但不是严格分割）。

为了严格分割两集合，需要两集合不相交，即使对于闭凸集，此条件也是不充分的。例如，令

A = {[ l x y ]: x ≥slant frac 12, frac 1x ≤slant y ≤slant 2 } text 且 B = {[ l x y ]: x ≥slant 0, y = 0 }$$A=\left\{\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]:x⩾\frac{1}{2},\frac{1}{x}⩽y⩽2\right\}\text{且}B=\left\{\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]:x⩾0,y=0\right\}$$

那么 $A$ 与 $B$ 是不相交的闭凸集，但它们不能由超平面（ $R^2$ 中直线）严格分割。见图 8-20。超平面分割（或严格分割）两集合的问题比它刚出现时要复杂。

集合 $A$ 与 $B$ 上有许多有趣的条件，蕴涵超平面的存在性，而如下两个定理对本节来说已足够。第一个定理的证明需要相当多的基础知识 ^① ，而第二个定理可由第一个简单地推出。

定理 12

设 $A$ 与 $B$ 是非空凸集，且 $A$ 是紧致的， $B$ 是闭的。那么存在超平面 $H$ 严格分割 $A$ 与 $B$ ，当且仅当 $A\cap B=\varnothing$ 。

图8-20 不相交闭凸集

定理 13

设 $A$ 与 $B$ 是非空紧致集．那么存在超平面严格分割 $A$ 与 $B$，当且仅当 $(\text{conv }A)\cap (\text{conv }B)=\varnothing$ .

证明

设 $(\mathrm{conv}A)\cap (\mathrm{conv}B)=\varnothing$ 。由于紧致集的凸包是紧致的，故定理12保证了存在超平面 $H$ 严格分割 $\mathrm{conv}A$ 与 $\mathrm{conv}B$ 。显然， $H$ 严格分割更小的集合 $A$ 与 $B$ 。

反之，假定超平面 $H=\left[f:d\right]$ 严格分割 $A$ 与 B．不失一般性，设 $f(A)<d$ 且 $f(B)>d$ ，令 $x=c_1{x}_1+\cdots +c_k{x}_k$ 是 $A$ 元素的任一凸组合，则

f (boldsymbol x) = c _ 1 f (boldsymbol x _ 1) + … + c _ k f (boldsymbol x _ k) < c _ 1 d + … c _ k d = d$$f(\mathbf{x})=c_{1}f\left({\mathbf{x}}_1\right)+\cdots +c_{k}f\left({\mathbf{x}}_k\right)<c_{1}d+\dots c_{k}d=d$$

这是由于 $c_1+\cdots +c_k=1$ 。从而 $f(\text{conv }A)<d$ 。同样 $f(\text{conv }B)>d$ ，故 $H=\left[f:d\right]$ 严格分割 conv A 与 conv B 。由定理12，conv A 与 conv B 是不相交的。

例 8

设 $a_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right],a_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right],a_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right]$ ，且设 $A\{a_1,a_2,a_3\}$ ， $B=\{b_1,b_2\}$ 。证明超平面 $H=[f:5]$ 不能分割 $A$ 与 $B$ ，其中 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1-3x_2+x_3$ 。存在平行于 $H$ 的超平面分割 $A$ 与 $B$ 吗？ $A$ 与 $B$ 的凸包相交吗？

解

计算线性函数 $f$ 在集合 $A$ 与 $B$ 中每点的值：

f (boldsymbol a _ 1) = 2, f (boldsymbol a _ 2) = - 1 1, f (boldsymbol a _ 3) = - 6, f (boldsymbol b _ 1) = 4, f (boldsymbol b _ 2) = 1 2$$f({\mathbf{a}}_1)=2,f({\mathbf{a}}_2)=-11,f({\mathbf{a}}_3)=-6,f({\mathbf{b}}_1)=4,f({\mathbf{b}}_2)=12$$

由于 $f({\mathbf{b}}_1)=4$ 比 5 小， $f({\mathbf{b}}_2)=12$ 比 5 大，故 $B$ 中的点位于集合 $H=\left[f:5\right]$ 的两侧，从而 $H$ 不分割 $A$ 与 $B$.

由于 $f(A)<3$ 且 $f(B)>3$ ，故平行超平面 $[f:3]$ 严格分割 $A$ 与 $B$．由定理13， $(\mathrm{conv}A)\cap (\mathrm{conv}B)=\varnothing$ .

若不存在平行于 $H$ 的超平面严格分割 $A$ 与 $B$，这并非蕴涵它们的凸包相交，可能存在不平行于 $H$ 的超平面严格分割 $A$ 与 $B$.

练习题

设 $p_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right],n_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right],n_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 3\end{array}\right]$ ，且设 $H_1$ 是 $R^3$ 中的超平面，过点 $p_1$ 且有法向量 $n_1$ ， $H_2$ 是过

点 $p_2$ 且有法向量 $n_2$ 的超平面．求 $H_1\cap H_2$ 的显式表达式以说明如何产生 $H_1\cap H_2$ 中的所有点．

习题8.4

1. 设 $L$ 是 $R^2$ 中过点 $\left[\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ 的一条直线．求线性函数 $f$ 及实数 $d$ 满足 $L=[f:d]$ .

2. 设 $L$ 是 $R^2$ 中过点 $\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right]$ 的一条直线．求线性函数 $f$ 及实数 $d$ 满足 $L=[f:d]$ . 在习题 3 和 4 中确定每个集合是开集还是闭集

或既非开集也非闭集．

3. $a$. $\left\{(x,y):y>0\right\}$ b. $\left\{(x,y):x=2,1⩽y⩽3\right\}$ c. $\left\{(x,y):x=2,1<y<3\right\}$ d. $\left\{(x,y):xy=1,x>0\right\}$ e. $\left\{(x,y):xy⩾1,x>0\right\}$

4. $a$. $\left\{(x,y):x^2+y^2=1\right\}$ b. $\left\{(x,y):x^2+y^2>1\right\}$ c. $\left\{(x,y):x^2+y^2⩽1,y>0\right\}$ d. $\left\{(x,y):y⩾x^2\right\}$ e. $\left\{(x,y):y<x^2\right\}$

在习题 5 和 6 中，确定每个集合是否是紧致的，是否为凸集合．

5. 考虑习题 3 中的集合．

6. 考虑习题 4 中的集合．

在习题 7~10 中，设 $H$ 是过下列点的超平面。($a$) 求与超平面正交的向量 $n$.（$b$）求线性函数 $f$ 及实数 $d$ 满足 $H=[f:d]$ .

[ l 1 1 3 ], [ l 2 4 1 ], [ c - 1 - 2 5 ]$$\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2\\ 4\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 5\end{array}\right]$$

[ c 1 - 2 1 ], [ c 4 - 2 3 ], [ c 7 - 4 4 ]$$\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}7\\ -4\\ 4\end{array}\right]$$

[ l 1 0 1 0 ], [ l 2 3 1 0 ], [ l 1 2 2 0 ], [ l 1 1 1 1 ]$$\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

[ c 1 2 0 0 ], [ c 2 2 - 1 - 3 ], [ c 1 3 2 7 ], [ c 3 2 - 1 - 1 ]$$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\\ -1\end{array}\right]$$

11. 设 $p=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\\ 2\end{array}\right],n=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\\ -1\end{array}\right],v_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\\ 3\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0\\ 4\end{array}\right]$

且 $H$ 是 $R^4$ 中过点 $p$ 且与向量 $n$ 正交的超平面．$v_1,v_2,v_3$ 中哪些点与原点在 $H$ 的同一侧，哪些点不如此？

12. $a_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 5\end{array}\right],a_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 3\end{array}\right],a_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 6\\ 0\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ -1\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ -2\end{array}\right],$ $b_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right],n=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ -2\end{array}\right]$ ，且设 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ ， $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 。求与 $n$ 正交且分割 $A$ 与 $B$ 的超平面 $H$。存在平行于 $H$ 的超平面严格分割 $A$ 与 $B$ 吗？

13. 设 $p_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\\ 2\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\\ 3\end{array}\right],n_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\\ 2\end{array}\right],n_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\\ 5\end{array}\right]$ ，且设 $H_1$ 是 ${\mathbb{R}}^4$ 中的超平面，过点 $p_1$ 且与 $n_2$ 正交， $H_2$ 是过点 $p_2$ 且与 $n_2$ 正交的超平面。求 $H_1\cap H_2$ 的显式表达式。（提示：求 $H_1\cap H_2$ 中一点 $p$ 及两个线性无关向量 $v_1,v_2$ 生成的平行于二维平面 $H_1\cap H_2$ 的子空间。）

14. 设 $F_1,F_2$ 是 ${\mathbb{R}}^6$ 中的四维平面，假定 $F_1\cap F_2\ne \varnothing$ ， $F_1\cap F_2$ 可能是多少维的？

在习题 15~20 中，求线性函数 $f$ 及特定的数 $d$，使得 $[f:d]$ 是习题中所描述的超平面 $H$.

15. 设 $A$ 是 $1\times 4$ 矩阵 [1 -3 4 -2] 且 b = 5. 设 $H=\{x\in R^4:Ax=b\}$ .

16. 设 $A$ 是 $1\times 5$ 矩阵 [2 5 -3 0 6]，注意 $NulA\in R^5$．令 H = Nul A.

17. 设 $H$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的平面，由矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 0& 2& 4\end{array}\right]$ 的行生成。也就是说， $H=\text{Row }B$ 。（提示： $H$ 与 $\text{Nul }B$ 有何关系？见6.1节。）

18. 设 $H$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的平面，由矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& -5\\ 0& -2& 8\end{array}\right]$ 的行生成，即 $H=\mathrm{Row}B$ .

19. 设 $H$ 是矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 2\\ -7& -6\end{array}\right]$ 的列空间，即 H=Col B. （提示：Col B 与 Nul $B^T$ 有何关系？见 6.1 节。）

20. 设 $H$ 是矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 2\\ -4& -4\end{array}\right]$ 的列空间，即 H = Col B.

在习题 21 和 22 中判断每个命题的真假，并说明理由．

21. $a$．从 $\mathbb{R}$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的线性变换称为线性函数． b. 若 $f$ 是定义在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性函数，则存在实数 $k$ ，使得对 ${\mathbb{R}}^n$ 中所有的 $x$ 有 $f(x)=kx$ . c. 若超平面严格分割 $A$ 与 $B$ ，则 $A\cap B=\varnothing$ . d. 若 $A$ 与 $B$ 是闭凸集，且 $A\cap B=\varnothing$ ，则存在超平面严格分割 $A$ 与 $B$ .

22. $a$．设 $d$ 是实数且 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的非零线性函数，则 $[f:d]$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的超平面．

$b$．给定任意向量 $n$ 及任意实数 $d$，则集合 $[x:n\cdot x=d]$ 是超平面．

$c$．设 $A$ 与 $B$ 是非空的不相交集，且 $A$ 是紧致的，$B$ 是闭的，则存在超平面严格分割 $A$ 与 $B$.

$d$．若存在超平面 $H$ 不严格分割 $A$ 与 $B$，则 $(\mathrm{conv}A)\cap (\mathrm{conv}B)\ne \varnothing$ .

23. 设 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$ ，求超平面 $[f:d]$ 严格分割 $p$ 与 conv $\{v_1,v_2,v_3\}$ .

24. 重复习题 23，其中 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right],$ $p=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right].$

25. 设 $p=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$．求超平面 $[f:d]$ 严格分割 $B(0,3)$

与 $B(p,1)$ .（提示：在求得 $f$ 后，证明 $\nu =(1-0.75)0+0.75p$ 既非在 $B(0,3)$ 也非在 $B(p,1)$ 中.）

26. 设 $q=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right]$．求超平面 $[f:d]$ 严格分割 $B(q,3)$ 与 $B(p,1)$ .

27. 给出 ${\mathbb{R}}^2$ 中一个闭子集 $S$ 使得 conv $S$ 不是闭的．

28. 给出 ${\mathbb{R}}^2$ 中一个例子，满足 $A$ 是紧致的， $B$ 是闭的且 $(\mathrm{conv}A)\cap (\mathrm{conv}B)\ne \varnothing$ ，但 $A$ 与 $B$ 不能被超平面严格分割。

29. 证明：开球 $B(p,\delta )=\{x:\Vert x-p\Vert <\delta \}$ 是凸集．（提示：使用三角不等式.）

30. 证明：有界集的凸包是有界的．

练习题答案

首先，计算 $n_1\cdot p_1=-3,n_2\cdot p_2=7$ ，超平面 $H_1$ 是方程 $x_1+x_2-2x_3=-3$ 的解集， $H_2$ 是方程 $-2x_1+x_2+3x_3=7$ 的解集。那么

H _ 1 ∩ H _ 2 = {boldsymbol x: x _ 1 + x _ 2 - 2 x _ 3 = - 3, - 2 x _ 1 + x _ 2 + 3 x _ 3 = 7 }$$H_1\cap H_2=\{\mathbf{x}:x_1+x_2-2x_3=-3,-2x_1+x_2+3x_3=7\}$$

这是 $H_1\cap H_2$ 的隐式表达式．为了求显式表达式，通过行化简解方程组:

[ c c c c 1 & 1 & - 2 & - 3 - 2 & 1 & 3 & 7 ] ∼ [ c c c c 1 & 0 & - frac 53 & - frac 1 03 0 & 1 & - frac 13 & frac 13 ]$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -2& -3\\ -2& 1& 3& 7\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{5}{3}& -\frac{10}{3}\\ 0& 1& -\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]$$

因此 $x_1=-\frac{10}{3}+\frac{5}{3}{x}_3$ ， $x_2=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{x}_3,x_3=x_3$．令 $p=\left[\begin{array}{c}-\frac{10}{3}\\ \frac{1}{3}\\ 0\end{array}\right],\nu =\left[\begin{array}{c}\frac{5}{3}\\ \frac{1}{3}\\ 1\end{array}\right]$ ，通解可写成 $x=p+x_3\nu$．因此， $H_1\cap H_2$ 是过点 $p$ 以 $\nu$ 为方向的直线．注意 $\nu$ 与 $n_1$ 和 $n_2$ 正交．