7.1 对称矩阵的对角化

一个对称矩阵是一个满足 $A^{\mathrm{T}}=A$ 的矩阵 $A$ ，这种矩阵当然是方阵，它的主对角线元素是任意的，但其他元素在主对角线的两边成对出现．

例 1

下面的矩阵中，仅前面三个是对称矩阵．

text 对称: [ c c 1 & 0 0 & - 3 ], [ c c c 0 & - 1 & 0 - 1 & 5 & 8 0 & 8 & - 7 ], [ c c c a & b & c b & d & e c & e & f ]$$\text{对称:}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 5& 8\\ 0& 8& -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right]$$ text 非对称: [ c c 1 & - 3 3 & 0 ], [ c c c 1 & - 4 & 0 - 6 & 1 & - 4 0 & - 6 & 1 ], [ c c c c 5 & 4 & 3 & 2 4 & 3 & 2 & 1 3 & 2 & 1 & 0 ]$$\text{非对称:}\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 0\\ -6& 1& -4\\ 0& -6& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}5& 4& 3& 2\\ 4& 3& 2& 1\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right]$$

为了开始学习对称矩阵，复习5.3节的对角化过程非常有用．

例 2

如果可能，对角化矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}6& -2& -1\\ -2& 6& -1\\ -1& -1& 5\end{array}\right]$ .

解

$A$ 的特征方程是

0 = - λ^ 3 + 1 7 λ^ 2 - 9 0 λ + 1 4 4 = - (λ - 8) (λ - 6) (λ - 3)$$0=-{\lambda }^3+17{\lambda }^2-90\lambda +144=-(\lambda -8)(\lambda -6)(\lambda -3)$$

通过标准计算可得到每个特征空间的一个基：

λ = 8: boldsymbol v _ 1 = [ c - 1 1 0 ]; λ = 6: boldsymbol v _ 2 = [ c - 1 - 1 2 ]; λ = 3: boldsymbol v _ 3 = [ c 1 1 1 ]$$\lambda =8:{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right];\lambda =6:{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right];\lambda =3:{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$

这三个向量形成 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个基．事实上，容易验证 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的正交基．根据第6章的经验，单位正交基对计算可能有用，因此可以单位化 $v_1,v_2$ 和 $v_3$ 得到单位特征向量．

boldsymbol u _ 1 = [ c - 1 / sqrt 2 1 / sqrt 2 0 ], boldsymbol u _ 2 = [ c - 1 / sqrt 6 - 1 / sqrt 6 2 / sqrt 6 ], boldsymbol u _ 3 = [ c 1 / sqrt 3 1 / sqrt 3 1 / sqrt 3 ]$${\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{6}\\ -1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\end{array}\right],{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\end{array}\right]$$

令

P = [ c c c - 1 / sqrt 2 & - 1 / sqrt 6 & 1 / sqrt 3 1 / sqrt 2 & - 1 / sqrt 6 & 1 / sqrt 3 0 & 2 / sqrt 6 & 1 / sqrt 3 ], D = [ c c c 8 & 0 & 0 0 & 6 & 0 0 & 0 & 3 ]$$P=\left[\begin{array}{ccc}-1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\\ 0& 2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$$

那么有 $A=PD{P}^{-1}$ ，和平常一样。由于 $P$ 是方阵且有单位正交列，所以 $P$ 是一个正交矩阵，而 $P^{-1}$ 就是 $P^{\mathrm{T}}$ 。（见6.2节。）

定理1 解释了为什么例2 中的特征向量是正交的——它们对应不同的特征值．

定理 1

如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的．

证明

设 $v_1$ 和 $v_2$ 是对应于不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量．为证明 $v_1\cdot v_2=0$ ，计算

r l r λ_ 1 ±b v _ 1 · ±b v _ 2 = (λ_ 1 ±b v _ 1) ^ T ±b v _ 2 = (A ±b v _ 1) ^ T · ±b v _ 2 & & text 由于 ±b v _ 1 text 是一个特征向量 & & = (±b v _ 1 ^ T A ^ T) ±b v _ 2 = ±b v _ 1 ^ T (A ±b v _ 2) & & text 由于 A ^ T = A & & = ±b v _ 1 ^ T (λ_ 2 ±b v _ 2) & & text 由于 ±b v _ 2 text 是一个特征向量 & & = λ_ 2 ±b v _ 1 ^ T ±b v _ 2 = λ_ 2 ±b v _ 1 · ±b v _ 2 & &$$\begin{array}{rlr}{\lambda }_1{v}_1\cdot v_2=({\lambda }_1{v}_1{)}^{\mathrm{T}}{v}_2=(A{v}_1{)}^{\mathrm{T}}\cdot v_2& & \text{由于}{v}_1\text{是一个特征向量}\\ & & \\ =(v_1^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}})v_2=v_1^{\mathrm{T}}(A{v}_2)& & \text{由于}{A}^{\mathrm{T}}=A\\ & & \\ =v_1^{\mathrm{T}}({\lambda }_2{v}_2)& & \text{由于}{v}_2\text{是一个特征向量}\\ & & \\ ={\lambda }_2{v}_1^{\mathrm{T}}{v}_2={\lambda }_2{v}_1\cdot v_2& & \end{array}$$

因此 $({\lambda }_1-{\lambda }_2)v_1\cdot v_2=0$ ，但是 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ ，所以 $v_1\cdot v_2=0$

例2 中特殊类型的对角化对于对称矩阵理论十分重要．一个矩阵 $A$ 称为可正交对角化，如

果存在一个正交矩阵 $P$ （满足 $P^{-1}=P^{\mathrm{T}}$ ）和一个对角矩阵 $D$ 使得

A = P D P ^ T = P D P ^ - 1 (1)$$A=PD{P}^{\mathrm{T}}=PD{P}^{-1}\text{\hspace{1em}(1)}$$

为了正交对角化一个 $n\times n$ 矩阵，我们必须找到 $n$ 个线性无关且单位正交的特征向量。什么条件下可能做到？如果 $A$ 是像（1）一样可以正交对角化的，那么

A ^ T = (P D P ^ T) ^ T = P ^ TT D ^ T P ^ T = P D P ^ T = A$$A^{\mathrm{T}}=(PD{P}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=P^{\mathrm{TT}}{D}^{\mathrm{T}}{P}^{\mathrm{T}}=PD{P}^{\mathrm{T}}=A$$

这样 $A$ 是对称的！另一方面，定理2表明每一个对称矩阵都是可正交对角化，结论的证明非常困难，这里将其省略，证明的主要思路将在定理3之后给出．

定理 2

一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 可正交对角化的充分必要条件是 $A$ 是对称矩阵．

这个定理相当奇妙，我们根据第5章的经验可以推测，要知道何时一个矩阵 $A$ 可对角化通常是不可能的，但对称矩阵却例外．

下面的例子给出一个矩阵，它的特征值并非全部都不相同．

例 3

将 $A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 4\\ -2& 6& 2\\ 4& 2& 3\end{array}\right]$ 正交对角化，其特征方程为

0 = - λ^ 3 + 1 2 λ^ 2 - 2 1 λ - 9 8 = - (λ - 7) ^ 2 (λ + 2)$$0=-{\lambda }^3+12{\lambda }^2-21\lambda -98=-(\lambda -7{)}^2(\lambda +2)$$

解

平常计算可得特征空间的基:

λ = 7: ±b v _ 1 = [ c 1 0 1 ], ±b v _ 2 = [ c - 1 / 2 1 0 ], λ = - 2: ±b v _ 3 = [ c - 1 - 1 / 2 1 ]$$\lambda =7:v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}-1/2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\lambda =-2:v_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1/2\\ 1\end{array}\right]$$

尽管 $v_1$ 和 $v_2$ 是线性无关的，但它们并不正交。从 6.2 节可知， $v_2$ 在 $v_1$ 上的投影是 $\frac{v_2\cdot v_1}{v_1\cdot v_1}\cdot v_1$ ，与 $v_1$ 正交的 $v_2$ 的分量是

boldsymbol z _ 2 = boldsymbol v _ 2 - frac boldsymbol v _ 2 · boldsymbol v _ 1boldsymbol v _ 1 · boldsymbol v _ 1 boldsymbol v _ 1 = [ c - 1 / 2 1 0 ] - frac - 1 / 22 [ l 1 0 1 ] = [ c - 1 / 4 1 1 / 4 ]$${\mathbf{z}}_2={\mathbf{v}}_2-\frac{{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-1/2\\ 1\\ 0\end{array}\right]-\frac{-1/2}{2}\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1/4\\ 1\\ 1/4\end{array}\right]$$

于是 $\{v_1,z_2\}$ 是关于 $\lambda =7$ 的特征空间的正交集。（注意 $z_2$ 是特征向量 $v_1$ 和 $v_2$ 的线性组合，从而 $z_2$ 属于特征空间。构造 $z_2$ 的过程就是6.4节的格拉姆-施密特方法。）由于特征空间是二维的（基是 $v_1,v_2$ ），故由基定理，正交集合 $\{v_1,z_2\}$ 是一个特征空间的正交基（见2.9节或4.5节）。

将 $v_1$ 和 $z_2$ 规范化，我们得到关于 $\lambda =7$ 的特征空间的单位正交基：

boldsymbol u _ 1 = [ c 1 / sqrt 2 0 1 / sqrt 2 ], boldsymbol u _ 2 = [ c - 1 / sqrt 1 8 4 / sqrt 1 8 1 / sqrt 1 8 ]$${\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 0\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{18}\\ 4/\sqrt{18}\\ 1/\sqrt{18}\end{array}\right]$$

关于 $\lambda =-2$ 的特征空间的单位正交基是

boldsymbol u _ 3 = frac 1| 2 boldsymbol v _ 3 | · 2 boldsymbol v _ 3 = frac 13 [ c - 2 - 1 2 ] = [ c - 2 / 3 - 1 / 3 2 / 3 ]$${\mathbf{u}}_3=\frac{1}{\Vert 2{\mathbf{v}}_3\Vert }\cdot 2{\mathbf{v}}_3=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2/3\\ -1/3\\ 2/3\end{array}\right]$$

由定理1， $u_3$ 与其他特征向量 $u_1$ 和 $u_2$ 正交，因此 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 是一个单位正交集．令

P = [ l l l boldsymbol u _ 1 & boldsymbol u _ 2 & boldsymbol u _ 3 ] = [ c c c 1 / sqrt 2 & - 1 / sqrt 1 8 & - 2 / 3 0 & 4 / sqrt 1 8 & - 1 / 3 1 / sqrt 2 & 1 / sqrt 1 8 & 2 / 3 ], D = [ c c c 7 & 0 & 0 0 & 7 & 0 0 & 0 & - 2 ]$$P=\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_2& {\mathbf{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{18}& -2/3\\ 0& 4/\sqrt{18}& -1/3\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{18}& 2/3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$

那么 $P$ 将 $A$ 正交对角化且 $A=PD{P}^{-1}$ .

在例3 中，特征值 7 是二重的，特征向量是二维的。这个事实并不是偶然的，见下面定理。谱定理

矩阵 $A$ 的特征值的集合有时称为 $A$ 的谱，下面关于特征值的描述称为谱定理．

定理 3 对称矩阵的谱定理

一个对称的 $n\times n$ 矩阵 $A$ 具有下述性质：

$a$. A 有 $n$ 个实特征值，包含重复的特征值．

$b$．对每一个特征值 $\lambda$ ，对应的特征空间的维数等于 $\lambda$ 作为特征方程的根的重数。

$c$．特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应于不同特征值的意义下成立的．

$d$. A 可正交对角化．

（$a$）可从5.5节的习题24得出，（$b$）可从（$d$）容易得到（见习题31）.（$c$）就是定理1.由于（$a$），因此（$d$）的一个证明可用习题32和第6章补充习题16中已经讨论过的舒尔因子分解给出，证明的细节从略．

谱分解

假设 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $P$ 的列是 $A$ 的单位正交特征向量 $u_1,\cdots ,u_n$ ，且相应的特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 属于对角矩阵 $D$，那么由于 $P^{-1}=P^T$ ，故

A = P D P ^ T = [ boldsymbol u _ 1 … boldsymbol u _ n ] [ c c c λ_ 1 & & 0 & ddots & 0 & & λ_ n ] [ c boldsymbol u _ 1 ^ T vdots boldsymbol u _ n ^ T ]$$A=PD{P}^{\mathrm{T}}=\left[{\mathbf{u}}_1\dots {\mathbf{u}}_n\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$ = [ λ_ 1 boldsymbol u _ 1 … λ_ n boldsymbol u _ n ] [ c boldsymbol u _ 1 ^ T vdots boldsymbol u _ n ^ T ]$$=\left[{\lambda }_1{\mathbf{u}}_1\dots {\lambda }_n{\mathbf{u}}_n\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_n^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$$

利用乘积的行列展开式（2.4节定理10），我们可以得到

A = λ_ 1 boldsymbol u _ 1 boldsymbol u _ 1 ^ T + λ_ 2 boldsymbol u _ 2 boldsymbol u _ 2 ^ T + … + λ_ n boldsymbol u _ n boldsymbol u _ n ^ T (2)$$A={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}+{\lambda }_2{\mathbf{u}}_2{\mathbf{u}}_2^{\mathrm{T}}+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{u}}_n{\mathbf{u}}_n^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

由于它将 $A$ 分解为由 $A$ 的谱（特征值）确定的小块，因此这个 $A$ 的表示就称为 $A$ 的谱分解。（2）中的每一项都是一个秩为1的 $n\times n$ 矩阵。例如， $\lambda u_1{u}_1^{\mathrm{T}}$ 的每一列都是 $u_1$ 的倍数。更进一步，在 $x$ 属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的意义下，每个矩阵 $u_j{u}_j^{\mathrm{T}}$ 都是投影矩阵，向量 $(u_j{u}_j^{\mathrm{T}})x$ 是 $x$ 在由 $u_j$ 生成的子空间

上的正交投影．（见习题35.）

例 4

构造矩阵 $A$ 的一个谱分解，已知 $A$ 有以下正交对角化分解：

A = [ l l 7 & 2 2 & 4 ] = [ l l 2 / sqrt 5 & - 1 / sqrt 5 1 / sqrt 5 & 2 / sqrt 5 ] [ l l 8 & 0 0 & 3 ] [ l l 2 / sqrt 5 & 1 / sqrt 5 - 1 / sqrt 5 & 2 / sqrt 5 ]$$A=\left[\begin{array}{ll}7& 2\\ 2& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2/\sqrt{5}& -1/\sqrt{5}\\ 1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}8& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right]$$

解

将 $P$ 的列记为 $u_1$ 和 $u_2$ ，则有

A = 8 boldsymbol u _ 1 boldsymbol u _ 1 ^ T + 3 boldsymbol u _ 2 boldsymbol u _ 2 ^ T$$A=8{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}+3{\mathbf{u}}_2{\mathbf{u}}_2^{\mathrm{T}}$$

为验证 $A$ 的谱分解，计算

boldsymbol u _ 1 boldsymbol u _ 1 ^ T = [ l 2 / sqrt 5 1 / sqrt 5 ] [ l l 2 / sqrt 5 & 1 / sqrt 5 ] = [ l l 4 / 5 & 2 / 5 2 / 5 & 1 / 5 ]$${\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{l}2/\sqrt{5}\\ 1/\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}4/5& 2/5\\ 2/5& 1/5\end{array}\right]$$boldsymbol u _ 2 boldsymbol u _ 2 ^ T = [ c - 1 / sqrt 5 2 / sqrt 5 ] [ l l - 1 / sqrt 5 & 2 / sqrt 5 ] = [ c c 1 / 5 & - 2 / 5 - 2 / 5 & 4 / 5 ]$${\mathbf{u}}_2{\mathbf{u}}_2^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}-1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/5& -2/5\\ -2/5& 4/5\end{array}\right]$$

且

8 ±b u _ 1 ±b u _ 1 ^ T + 3 ±b u _ 2 ±b u _ 2 ^ T = [ l l 3 2 / 5 & 1 6 / 5 1 6 / 5 & 8 / 5 ] + [ l l 3 / 5 & - 6 / 5 - 6 / 5 & 1 2 / 5 ] = [ l l 7 & 2 2 & 4 ] = A$$8u_1{u}_1^{\mathrm{T}}+3u_2{u}_2^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}32/5& 16/5\\ 16/5& 8/5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}3/5& -6/5\\ -6/5& 12/5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}7& 2\\ 2& 4\end{array}\right]=A$$

数值计算的注解 当 $A$ 是对称且不太大的矩阵时，现代高性能的计算机程序可以非常精确地计算特征值和特征向量。它们对 $A$ 使用一系列包含正交矩阵的相似变换，变换后矩阵的对角元素很快收敛于 $A$ 的特征值。（见 5.2 节的数值计算的注解。）利用正交矩阵常常可避免计算过程的误差积累。当 $A$ 对称时，正交矩阵序列可形成列向量是 $A$ 的特征向量的正交矩阵。

一个非对称矩阵没有完全的正交特征向量集，但算法仍得到相当精确的特征值。之后，就需要用非正交化方法计算特征向量。

练习题

1. 证明：如果 $A$ 是对称矩阵，那么 $A^2$ 也是对称的．

2. 证明：如果 $A$ 是可正交对角化的，那么 $A^2$ 也是可正交对角化的．

习题7.1

判断习题 1~6 中哪一个矩阵是对称矩阵．

[ c c 3 & 5 5 & - 7 ]$$\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 5& -7\end{array}\right]$$

[ r r 3 & - 5 - 5 & - 3 ]$$\left[\begin{array}{rr}3& -5\\ -5& -3\end{array}\right]$$

判断习题 7~12 中哪一个矩阵是正交的，如果正交，求出它的逆矩阵．

[ c c 0. 6 & 0. 8 0. 8 & - 0. 6 ]$$\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right]$$[ c c 1 & 1 1 & - 1 ]$$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

[ c c 2 & 3 2 & 4 ]$$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$$

[ c c c 0 & 8 & 3 8 & 0 & - 4 3 & 2 & 0 ]$$\left[\begin{array}{ccc}0& 8& 3\\ 8& 0& -4\\ 3& 2& 0\end{array}\right]$$

[ c c - 4 / 5 & 3 / 5 3 / 5 & 4 / 5 ]$$\left[\begin{array}{cc}-4/5& 3/5\\ 3/5& 4/5\end{array}\right]$$

[ c c c 1 / 3 & 2 / 3 & 2 / 3 2 / 3 & 1 / 3 & - 2 / 3 2 / 3 & - 2 / 3 & 1 / 3 ]$$\left[\begin{array}{ccc}1/3& 2/3& 2/3\\ 2/3& 1/3& -2/3\\ 2/3& -2/3& 1/3\end{array}\right]$$

[ r r r - 6 & 2 & 0 0 & - 6 & 2 0 & 2 & - 6 ]$$\left[\begin{array}{rrr}-6& 2& 0\\ 0& -6& 2\\ 0& 2& -6\end{array}\right]$$6. [ l l l l 1 & 2 & 2 & 1 2 & 2 & 2 & 1 2 & 2 & 1 & 2 ]$$6.\left[\begin{array}{llll}1& 2& 2& 1\\ 2& 2& 2& 1\\ 2& 2& 1& 2\end{array}\right]$$

[ c c c 2 / 3 & 2 / 3 & 1 / 3 0 & 1 / 3 & - 2 / 3 5 / 3 & - 4 / 3 & - 2 / 3 ]$$\left[\begin{array}{ccc}2/3& 2/3& 1/3\\ 0& 1/3& -2/3\\ 5/3& -4/3& -2/3\end{array}\right]$$

[ c c c c 0. 5 & 0. 5 & - 0. 5 & - 0. 5 0. 5 & 0. 5 & 0. 5 & 0. 5 0. 5 & - 0. 5 & - 0. 5 & 0. 5 0. 5 & - 0. 5 & 0. 5 & - 0. 5 ]$$\left[\begin{array}{cccc}0.5& 0.5& -0.5& -0.5\\ 0.5& 0.5& 0.5& 0.5\\ 0.5& -0.5& -0.5& 0.5\\ 0.5& -0.5& 0.5& -0.5\end{array}\right]$$

将习题 13~22 中的矩阵正交对角化，并给出一个正交矩阵 $P$ 和一个对角矩阵 D．为节约时间，给出习题 17~22 的特征值是：（17）-4，4，7；（18）-3，-6，9；（19）-2，7；（20）-3，15；（21）1，5，9；（22）3，5.

[ c c 3 & 1 1 & 3 ]$$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$$

[ c c 1 & - 5 - 5 & 1 ]$$\left[\begin{array}{cc}1& -5\\ -5& 1\end{array}\right]$$

[ c c 3 & 4 4 & 9 ]$$\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 9\end{array}\right]$$

[ c c 6 & - 2 - 2 & 9 ]$$\left[\begin{array}{cc}6& -2\\ -2& 9\end{array}\right]$$

[ c c c 1 & 1 & 5 1 & 5 & 1 5 & 1 & 1 ]$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 5\\ 1& 5& 1\\ 5& 1& 1\end{array}\right]$$

[ r r r 1 & - 6 & 4 - 6 & 2 & - 2 4 & - 2 & - 3 ]$$\left[\begin{array}{rrr}1& -6& 4\\ -6& 2& -2\\ 4& -2& -3\end{array}\right]$$

[ r r r 3 & - 2 & 4 - 2 & 6 & 2 4 & 2 & 3 ]$$\left[\begin{array}{rrr}3& -2& 4\\ -2& 6& 2\\ 4& 2& 3\end{array}\right]$$

[ r r r 5 & 8 & - 4 8 & 5 & - 4 - 4 & - 4 & - 1 ]$$\left[\begin{array}{rrr}5& 8& -4\\ 8& 5& -4\\ -4& -4& -1\end{array}\right]$$

[ c c c c 4 & 3 & 1 & 1 3 & 4 & 1 & 1 1 & 1 & 4 & 3 1 & 1 & 3 & 4 ]$$\left[\begin{array}{cccc}4& 3& 1& 1\\ 3& 4& 1& 1\\ 1& 1& 4& 3\\ 1& 1& 3& 4\end{array}\right]$$

[ c c c c 4 & 0 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & 1 1 & 0 & 4 & 0 0 & 1 & 0 & 4 ]$$\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 1& 0\\ 0& 4& 0& 1\\ 1& 0& 4& 0\\ 0& 1& 0& 4\end{array}\right]$$

23. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& -1\\ -1& 4& -1\\ -1& -1& 4\end{array}\right]$ 和 $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$．证明 5 是 $A$ 的一个特征值且 $v$ 是一个特征向量，然后将 $A$ 正交对角化．

24. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& -1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]$ , $v_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ 和 $v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$．验证 $v_1$ 和 $v_2$ 是 $A$ 的特征向量，然后将 $A$ 正交对角化．

对习题 25~26，判断每一个命题的真假，验证你的答案．

25. $a$．可正交对角化的 $n\times n$ 矩阵 $A$ 一定是对称的． b. 如果 $A^{\mathrm{T}}=A$ 且向量 $u$ 和 $v$ 满足 $Au=3u$ 和 $Av=4v$ ，那么 $u\cdot v=0$ .

$c$．一个 $n\times n$ 对称矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的实特征值． d. 对属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的非零向量 $v$，矩阵 $v{v}^{\mathrm{T}}$ 被称为投影矩阵．

26. $a$．每一个对称矩阵都是可正交对角化的． b. 如果 $B=PD{P}^T$ ，其中 $P^T=P^{-1}$ 且 $D$ 是对角矩阵，那么 $B$ 是对称矩阵． c. 一个正交矩阵是可正交对角化的． d. 一个对称矩阵的特征空间的维数等于对应的特征值的重数．

27. 证明：如果 $A$ 是一个 $n\times n$ 对称矩阵，那么对任意属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的 $x,y$ 有 $(Ax)\cdot y=x\cdot (Ay)$ .

28. 若 $A$ 是对称的 $n\times n$ 矩阵，$B$ 是任意 $n\times m$ 矩阵，证明 $B^{T}AB,B^{T}B$ 和 $B{B}^T$ 是对称矩阵．

29. 若 $A$ 可逆且可正交对角化，解释为什么 $A^{-1}$ 也是可正交对角化的．

30. 若 $A$ 和 $B$ 都可正交对角化且 AB = BA，解释为什么 AB 也是可正交对角化的．

31. 若 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $P$ 是正交矩阵， $D$ 是对角矩阵，且 $\lambda$ 是 $A$ 的重数为 $k$ 的特征值，那么 $\lambda$ 在对角矩阵 $D$ 中出现 $k$ 次，解释为什么 $\lambda$ 的特征空间的维数是 $k$ .

32. 若 $A=PR{P}^{-1}$ ，其中 $P$ 是正交的而 $R$ 是上三角形矩阵，证明：如果 $A$ 对称，那么 $R$ 是对称的，因而实际上是一个对角矩阵。

33. 构造例2 中矩阵 $A$ 的一个谱分解．

34. 构造例3 中矩阵 $A$ 的一个谱分解．

35. 令 $u$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位向量， $B=u{u}^{\mathrm{T}}$ .

$a$．对任意属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的 $x$ ，计算 $Bx$ 并证明 $Bx$ 是 $x$ 在 $u$ 上的正交投影，正如6.2节所描述的情况．

$b$．证明 $B$ 是对称矩阵且 $B^2=B$ .

$c$．证明 $u$ 是 $B$ 的特征向量，并求其对应的特征值．

36. 设 $B$ 是 $n\times n$ 对称矩阵且 $B^2=B$ ，任何此类矩阵被称为投影矩阵（或正交投影矩阵）。对任意给定的 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$ ，取 $\hat{\mathbf{y}}=\mathbf{By}$ 和 $\mathbf{z}=\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ 。

$a$．证明 $z$ 与 $\hat{y}$ 正交．

$b$．设 $W$ 是 $B$ 的列空间，证明 $y$ 是空间 $W$ 中一个向量与空间 $W^{\perp }$ 中一个向量之和。证明 By 是 $y$ 在 $B$ 的列空间上的正交投影。

[ c c c c 0. 6 3 & - 0. 1 8 & - 0. 0 6 & - 0. 0 4 - 0. 1 8 & 0. 8 4 & - 0. 0 4 & 0. 1 2 - 0. 0 6 & - 0. 0 4 & 0. 7 2 & - 0. 1 2 - 0. 0 4 & 0. 1 2 & - 0. 1 2 & 0. 6 6 ]$$\left[\begin{array}{cccc}0.63& -0.18& -0.06& -0.04\\ -0.18& 0.84& -0.04& 0.12\\ -0.06& -0.04& 0.72& -0.12\\ -0.04& 0.12& -0.12& 0.66\end{array}\right]$$

[$M$]正交对角化习题37~40中的矩阵．为练习本节的方法，不要用矩阵程序中特征向量的常规解法，而是使用程序求出特征值，然后对每个特征值 $\lambda$ 求出 $\mathrm{Nul}(A-\lambda I)$ 的单位正交基，即类似例2和例3中的做法．

[ c c c c 0. 3 1 & 0. 5 8 & 0. 0 8 & 0. 4 4 0. 5 8 & - 0. 5 6 & 0. 4 4 & - 0. 5 8 0. 0 8 & 0. 4 4 & 0. 1 9 & - 0. 0 8 0. 4 4 & - 0. 5 8 & - 0. 0 8 & 0. 3 1 ]$$\left[\begin{array}{cccc}0.31& 0.58& 0.08& 0.44\\ 0.58& -0.56& 0.44& -0.58\\ 0.08& 0.44& 0.19& -0.08\\ 0.44& -0.58& -0.08& 0.31\end{array}\right]$$

[ r r r r 6 & 2 & 9 & - 6 2 & 6 & - 6 & 9 9 & - 6 & 6 & 2 - 6 & 9 & 2 & 6 ]$$\left[\begin{array}{rrrr}6& 2& 9& -6\\ 2& 6& -6& 9\\ 9& -6& 6& 2\\ -6& 9& 2& 6\end{array}\right]$$

[ r r r r r 8 & 2 & 2 & - 6 & 9 2 & 8 & 2 & - 6 & 9 2 & 2 & 8 & - 6 & 9 - 6 & - 6 & - 6 & 2 4 & 9 9 & 9 & 9 & 9 & - 2 1 ]$$\left[\begin{array}{rrrrr}8& 2& 2& -6& 9\\ 2& 8& 2& -6& 9\\ 2& 2& 8& -6& 9\\ -6& -6& -6& 24& 9\\ 9& 9& 9& 9& -21\end{array}\right]$$

练习题答案

1. 由转置矩阵的性质得到 $(A^2{)}^{\mathrm{T}}=(AA{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$ 。由假设， $A^{\mathrm{T}}=A$ ，所以 $(A^2{)}^{\mathrm{T}}=AA=A^2$ ，从而证明了 $A^2$ 是对称的。

2. 如果 $A$ 可正交对角化，那么由定理2 可知矩阵 $A$ 对称且可正交对角化（定理2）。$A^2$ 对称且可正交对角化（定理 2）。