5.4 特征向量与线性变换

在本节，我们将矩阵分解 $A=PD{P}^{-1}$ 理解为线性变换。我们还将看到变换 $x\mapsto Ax$ 实质上是简单的映射 $u\mapsto Du$ 。即使 $D$ 不是对角矩阵时，对矩阵 $A$ 和 $D$ 仍有相似的解释。

在 1.9 节曾讲到，任意一个从 $R^n$ 到 $R^m$ 的线性变换 $T$ 可通过左乘矩阵 $A$ 来实现，矩阵 $A$ 称为 $T$ 的标准矩阵。现在，我们对两个有限维向量空间之间的线性变换也作同样的描述。

线性变换的矩阵

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$W$ 是 $m$ 维向量空间，$T$ 是 $V$ 到 $W$ 的线性变换。为了把 $T$ 与矩阵相联系，我们指定 $B$ 和 $C$ 分别是 $V$ 和 $W$ 的基。

若 $x\in V$ ，坐标向量 $[x{]}_B\in R^n$ ，$x$ 的像 $T(x)$ 的坐标向量 $[T(x){]}_C\in {\mathbb{R}}^m$ ，见图 5-6.

容易找出 ${\left[x\right]}_B$ 和 ${\left[T(x)\right]}_C$ 之间的关系．设$V$的基$B$是 $\{b_1,\cdots ,b_n\}$．若 $x=r_1{b}_1+\cdots +r_n{b}_n$ ，则

[ boldsymbol x ] _ B = [ c r _ 1 vdots r _ n ]$$[\mathbf{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}{r}_1\\ ⋮\\ r_n\end{array}\right]$$

因为 $T$ 是线性的，故

T (boldsymbol x) = T (r _ 1 boldsymbol b _ 1 + … + r _ n boldsymbol b _ n) = r _ 1 T (boldsymbol b _ 1) + … + r _ n T (boldsymbol b _ n) (1)$$T(\mathbf{x})=T\left(r_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +r_n{\mathbf{b}}_n\right)=r_{1}T\left({\mathbf{b}}_1\right)+\cdots +r_{n}T\left({\mathbf{b}}_n\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$

因为从 $W$ 到 $R^m$ 的坐标映射是线性的（4.4 节定理8），故等式（1）可推出

[ T (boldsymbol x) ] _ mathcal C = r _ 1 [ T (boldsymbol b _ 1) ] _ mathcal C + … + r _ n [ T (boldsymbol b _ n) ] _ mathcal C (2)$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=r_1[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}+\cdots +r_n[T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}\text{\hspace{1em}(2)}$$

图5-6 $V$ 到 $W$ 的线性变换

因为这些C-坐标向量都属于 $R^m$ ，故向量等式（2）可以写为矩阵等式

[ T (boldsymbol x) ] _ mathcal C = M [ boldsymbol x ] _ mathcal B (3)$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=M[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中

M = [ [ T (boldsymbol b _ 1) ] _ mathcal C [ T (boldsymbol b _ 2) ] _ mathcal C … [ T (boldsymbol b _ n) ] _ mathcal C ] (4)$$M=\left[{\left[T({\mathbf{b}}_1)\right]}_{\mathcal{C}}{\left[T({\mathbf{b}}_2)\right]}_{\mathcal{C}}\dots {\left[T({\mathbf{b}}_n)\right]}_{\mathcal{C}}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

矩阵 $M$ 是 $T$ 的矩阵表示，称为 $T$ 相对于基 $B$ 和 $C$ 的矩阵。见图 5-7.

图 5-7

等式（3）表明，就坐标向量而言，$T$ 对 $x$ 的作用相当于用矩阵 $M$ 左乘 $x$.

例 1

设 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ 是 $V$ 的基， $\mathcal{C}=\{c_1,c_2,c_3\}$ 是 $W$ 的基。 $T$ 是 $V\to W$ 的线性变换，满足性质：

T (boldsymbol b _ 1) = 3 boldsymbol c _ 1 - 2 boldsymbol c _ 2 + 5 boldsymbol c _ 3, T (boldsymbol b _ 2) = 4 boldsymbol c _ 1 + 7 boldsymbol c _ 2 - boldsymbol c _ 3$$T({\mathbf{b}}_1)=3{\mathbf{c}}_1-2{\mathbf{c}}_2+5{\mathbf{c}}_3,T({\mathbf{b}}_2)=4{\mathbf{c}}_1+7{\mathbf{c}}_2-{\mathbf{c}}_3$$

求 $T$ 相对于基 $B$ 和 $C$ 的矩阵 $M$.

解

$b_1$ 和 $b_2$ 的像的C-坐标向量是

[ T (±b b _ 1) ] _ mathcal C = [ c 3 - 2 5 ], [ T (±b b _ 2) ] _ mathcal C = [ c 4 7 - 1 ]$$[T(b_1){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right],[T(b_2){]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\\ -1\end{array}\right]$$

因此

M = [ c c 3 & 4 - 2 & 7 5 & - 1 ]$$M=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& 7\\ 5& -1\end{array}\right]$$

如果$B$和$C$是同一空间$V$的基，$T$是恒等变换 $T(x)=x,x\in V$ ，那么（4）中的矩阵$M$正好是坐标变换矩阵（见4.7节）.

$V$ 到 $V$ 的线性变换

当 $W=V,\mathcal{C}=\mathcal{B}$ 时，（4）中的 $M$ 称为 $T$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的矩阵，或简称为 $T$ 的 $\mathcal{B}$ -矩阵，记为 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ 见图 5-8.

图 5-8

$V\to V$ 的线性变换 $T$ 的 B-矩阵对所有 $V$ 中的 $x$，有

[ T (boldsymbol x) ] _ mathcal B = [ T ] _ mathcal B [ boldsymbol x ] _ mathcal B (5)$$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{B}}=[T{]}_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}\text{\hspace{1em}(5)}$$

例 2

$P_2\to P_2$ 的映射 $T$: $T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)=a_1+2a_{2}t$ 是线性变换．（学过微积分的学生知道 $T$ 是微分算子.）

$a$．当基 $B=\{1,t,t^2\}$ 时，求 $T$ 的 B-矩阵．

$b$．对 $P_2$ 中的每个 $p$，验证 $[T(\mathbf{p}){]}_B=[T{]}_B[\mathbf{p}{]}_B$ .

解

$a$．计算基向量的像:

r l r T (1) = 0 & & text 零多项式 T (t) = 1 & & text 值恒为 1 text 的多项式 T (t ^ 2) = 2 t & &$$\begin{array}{rlr}T(1)=0& & \text{零多项式}\\ T(t)=1& & \text{值恒为}1\text{的多项式}\\ T(t^2)=2t& & \end{array}$$

然后写出 $T(1),T(t),T(t^2)$ 的 B-坐标（本例通过观察可以得到），把它们放在一起组成 $T$ 的 B-矩阵：

r l & [ T (1) ] _ B = [ l 0 0 0 ], [ T (t) ] _ B = [ l 1 0 0 ], [ T (t ^ 2) ] _ B = [ l 0 2 0 ] & [ T ] _ B = [ l l l 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 ]$$\begin{array}{rl}& {\left[T(1)\right]}_B=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\left[T(t)\right]}_B=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\left[T(t^2)\right]}_B=\left[\begin{array}{l}0\\ 2\\ 0\end{array}\right]\\ & [T{]}_B=\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

$b$．对一般的多项式 $p(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2$ ，我们有

r l [ T (±b p) ] _ B & = [ a _ 1 + 2 a _ 2 t ] _ B = [ l a _ 1 2 a _ 2 0 ] & = [ l l l 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 ] [ l a _ 0 a _ 1 a _ 2 ] = [ T ] _ B [ ±b p ] _ B$$\begin{array}{rl}[T(p){]}_B& =[a_1+2a_{2}t{]}_B=\left[\begin{array}{l}{a}_1\\ 2a_2\\ 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{lll}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=[T{]}_B[p{]}_B\end{array}$$

见图 5-9.

图 5-9 线性变换的矩阵表示

${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换

在涉及 ${\mathbb{R}}^n$ 的应用问题中，线性变换首先表现为一个矩阵变换 $x\mapsto Ax$ 。假设 $A$ 是可对角化的，那么存在由 $A$ 的特征向量组成的 ${\mathbb{R}}^n$ 的基 $\mathcal{B}$ 。此时，下面的定理8表明 $T$ 的 $\mathcal{B}$ -矩阵是对角矩阵，这样，把 $A$ 对角化相当于找到变换 $x\mapsto Ax$ 的对角矩阵表示。

定理 8 对角矩阵表示

设 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $D$ 为 $n\times n$ 对角矩阵，若 $R^n$ 的基 $B$ 由 $P$ 的列向量组成，那么 $D$ 是变换 $x\mapsto Ax$ 的 B-矩阵．

证明

记 $P$ 的列向量为 $b_1,\cdots ,b_n$ ，则有 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\},P=[b_1\cdots b_n]$ 。此时，$P$ 是 4.4 节中讨论过的坐标变换矩阵 $P_B$ ，其中

P [ ±b x ] _ mathcal B = ±b x, [ ±b x ] _ mathcal B = P ^ - 1 ±b x$$P[x{]}_{\mathcal{B}}=x,[x{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}x$$

若 $x\in R^n,T(x)=Ax$ ，则

r l r [ T ] _ B & = [ [ T (±b b _ 1) ] _ B … [ T (±b b _ n) ] _ B ] & text 由 [ T ] _ B text 的定义 & = [ [ A ±b b _ 1 ] _ B … [ A ±b b _ n ] _ B ] & text 由 T (±b x) = A ±b x & = [ P ^ - 1 A ±b b _ 1 … P ^ - 1 A ±b b _ n ] & text 坐标变换 & = P ^ - 1 A [ ±b b _ 1 … ±b b _ n ] & text 矩阵乘法 & = P ^ - 1 A P (6)$$\begin{array}{rlr}[T{]}_B& =[[T(b_1){]}_B\dots [T(b_n){]}_B]& \text{由}[T{]}_B\text{的定义}\\ & =[[A{b}_1{]}_B\dots [A{b}_n{]}_B]& \text{由}T(x)=Ax\\ & =[P^{-1}A{b}_1\dots P^{-1}A{b}_n]& \text{坐标变换}\\ & =P^{-1}A[b_1\dots b_n]& \text{矩阵乘法}\\ & =P^{-1}AP& \end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

由于 $A=PD{P}^{-1}$ ，我们有 $[T{]}_B=P^{-1}AP=D$ 。

例 3

设 $A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right],R^2\to R^2$ 的变换 $T:T(x)=Ax$ 。求 $R^2$ 的一个基 $B$ ，使得 $T$ 的 B-矩阵是对角矩阵．

解

由5.3节的例2，我们知道 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中

P = [ c c 1 & 1 - 1 & - 2 ], D = [ c c 5 & 0 0 & 3 ]$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$$

$P$ 的列向量记为 $b_1$ 和 $b_2$ ，是 $A$ 的特征向量，由定理8，若取 $B=\{b_1,b_2\}$ ，则 $D$ 是 $T$ 的 B-矩阵。映射 $x\mapsto Ax$ 和 $u\mapsto Du$ 描述的是相对于不同基的同一个线性变换。

矩阵表示的相似性

定理8的证明并没有用到 $D$ 是对角矩阵这一事实．因此，若 $A$ 相似于 $C$，即有 $A=PC{P}^{-1}$，且 $\mathcal{B}$ 由 $P$ 的列向量组成，则 $C$ 是变换 $x\mapsto Ax$ 的 $\mathcal{B}-$ 矩阵．分解 如图 5-10所示． 如图5-10所示．

图5-10 两个矩阵表示的相似性： $A=PC{P}^{-1}$

反之，若 ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 的变换 $T:T(x)=Ax$ ，而 $\mathcal{B}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的任意一个基，那么 $T$ 的 $\mathcal{B}-$ 矩阵相似于 $A$ 其实，在定理8的证明的计算中已经证明若 $P$ 是以 $\mathcal{B}$ 的向量作为列构成的矩阵，那么 $[T{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}AP.$ 因此，所有相似于 $A$ 的矩阵的集合与变换 $x\mapsto Ax$ 的所有矩阵表示的集合是同一集合．

例 4

设 $A=\left[\begin{array}{cc}4& -9\\ 4& -8\end{array}\right]$ , $b_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$ , $b_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ , $A$ 的特征多项式是 $(\lambda +2{)}^2$，但特征值-2的特征空间只是一维的，因此 $A$ 是不可以对角化的．但是，有一组基 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ 能够使得变换 $x\to Ax$ 的 $\mathcal{B}$ -矩阵是三角矩阵，称为 $A$ 的若尔当型．求这个 $\mathcal{B}$ -矩阵．

解

如果 $P=[b_1-b_2]$ ，则 $\mathcal{B}$ -矩阵是 $P^{-1}AP$ ，计算

A P = [ l l 4 & - 9 4 & - 8 ] [ l l 3 & 2 2 & 1 ] = [ l l - 6 & - 1 - 4 & 0 ]$$AP=\left[\begin{array}{ll}4& -9\\ 4& -8\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-6& -1\\ -4& 0\end{array}\right]$$P ^ - 1 A P = [ c c - 1 & 2 2 & - 3 ] [ c c - 6 & - 1 - 4 & 0 ] = [ c c - 2 & 1 0 & - 2 ]$$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-6& -1\\ -4& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -2\end{array}\right]$$

$A$ 的特征值在对角线上．

数值计算的注解 计算 $\mathcal{B}-$ 矩阵 $P^{-1}AP$ 的一种有效方法是先计算 $AP$ ，然后用行变换将增广矩阵 $[PAP]$ 化为 $[I{P}^{-1}AP]$ ，这样就不需要单独计算 $P^{-1}$ 了，见2.2节的习题12.

练习题

1. 假设 $T$ 是 ${\mathbb{P}}_2$ 到 ${\mathbb{P}}_2$ 的线性变换，相对于基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ 的矩阵是 $[T{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ 0& 5& -1\\ 1& -2& 7\end{array}\right]$ ，求 $T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)$ .

2. 设 $A,B,C$ 是 $n\times n$ 矩阵，我们已经知道若 $A$ 相似于 $B$ ，那么 $B$ 亦相似于 $A$ ，这个性质和下面的结论说明

“相似”是等价关系。（行等价是等价关系的另一个例子。）证明（$a$）和（$b$）

$a$. $A$ 相似于 $A$ .

$b$．若 $A$ 相似于 $B$，$B$ 相似于 $C$，那么 $A$ 相似于 $C$。

习题5.4

1. 设 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 和 $D=\{d_1,d_2\}$ 分别是向量空间 $V$ 和 $W$ 的基， $T:V\to W$ 是线性变换，满足： $T(b_1)=3d_1-5d_2,T(b_2)=-d_1+6d_2,T(b_3)=4d_2$ 求 $T$ 相对于 $B$ 和 $D$ 的矩阵．

2. 设 $D=\{d_1,d_2\}$ 和 $B=\{b_1,b_2\}$ 分别是向量空间 $V$ 和 $W$ 的基， $T:V\to W$ 是线性变换，满足： $T(d_1)=2b_1-3b_2,T(d_2)=-4b_1+5b_2$ 求 $T$ 相对于 $D$ 和 $B$ 的矩阵．

3. 设 $E=\{e_1,e_2,e_3\}$ 是 $R^3$ 的标准基， $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 是向量空间 $V$ 的基， $T:{\mathbb{R}}^3\to V$ 是线性变换， $T(x_1,x_2,x_3)=(x_3-x_2)b_1-(x_1+x_3)b_2+(x_1-x_2)b_3$ a. 计算 $T(e_1),T(e_2),T(e_3)$ . b. 计算 $[T(e_1){]}_B,[T(e_2){]}_B,[T(e_3){]}_B$ . c. 求 $T$ 相对于 $E$ 和 $B$ 的矩阵．

4. 设 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 是向量空间 $V$ 的基， $T:V\to R^2$ 是线性变换，满足： $T(x_1{b}_1+x_2{b}_2+x_3{b}_3)=\left[\begin{array}{c}2x_1-4x_2+5x_3\\ -x_2+3x_3\end{array}\right]$ 求 $T$ 相对于 $B$ 和 $R^2$ 的标准基的矩阵．

5. 设 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{P}}_3$ 是将多项式 $p(t)$ 映射为多项式 $(t+5)p(t)$ 的变换．
   a. 求 $p(t)=2-t+t^2$ 的像．
   b. 证明 $T$ 是线性变换．
   c. 求 $T$ 相对于基 $\{1,t,t^2\}$ 和 $\{1,t,t^2,t^3\}$ 的矩阵．

6. 设 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{P}}_4$ 是将多项式 $p(t)$ 映射为 $p(t)+t^{2}p(t)$ 的变换．
   a. 求 $p(t)=2-t+t^2$ 的像．
   b. 证明 $T$ 是线性变换．
   c. 求 $T$ 相对于基 $\{1,t,t^2\}$ 和 $\{1,t,t^2,t^3,t^4\}$ 的矩阵．

7. 假设映射 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{P}}_2$ 定义为 $T(a_0+a_{1}t+a_2{t}^2)=3a_0+(5a_0-2a_1)t+(4a_1+a_2)t^2$ 并且是线性的，求 $T$ 相对于基 $\mathcal{B}=\{1,t,t^2\}$ 的矩阵．

8. 设 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 是向量空间 $V$ 的基，$T$ 是 $V\to V$ 的线性变换，其相对于 $B$ 的矩阵是 $[T{]}_B=\left[\begin{array}{ccc}0& -6& 1\\ 0& 5& -1\\ 1& -2& 7\end{array}\right]$ ，求 $T(3b_1-4b_2)$ .

9. 定义 $P_2\to R^3$ 的变换 $T$ 为 $T(\mathbf{p})=\left[\begin{array}{c}\mathbf{p}(-1)\\ \mathbf{p}(0)\\ \mathbf{p}(1)\end{array}\right]$ . a. 求 $p(t)=5+3t$ 在变换 $T$ 下的像． b. 证明 $T$ 是线性变换． c. 求 $T$ 相对于 $P_2$ 的基 $\{1,t,t^2\}$ 和 $R^3$ 标准基的矩阵．

10. 定义 ${\mathbb{P}}_3\to {\mathbb{R}}^4$ 的变换 $T$ 为 $T(p)=\left[\begin{array}{c}p(-3)\\ p(-1)\\ p(1)\\ p(3)\end{array}\right]$ .

mathbb P _ 3$${\mathbb{P}}_3$${1, t, t ^ 2, t ^ 3 }$$\{1,t,t^2,t^3\}$$mathbb R ^ 4$${\mathbb{R}}^4$$

在习题 11 和习题 12 中， $B=\{b_1,b_2\}$ ，求变换 $x\mapsto Ax$ 的 B-矩阵．

A = [ c c 3 & 4 - 1 & - 1 ], boldsymbol b _ 1 = [ c 2 - 1 ], boldsymbol b _ 2 = [ c 1 2 ]$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -1\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$$

12. $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ -2& 3\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$

在习题 13~16 中，定义 $R^2\to R^2$ 的变换 $T$ 为 $T(x)=Ax$ ，求 $R^2$ 的基 $B$，使得 $[T{]}_B$ 为对角矩阵． 13. $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 4\end{array}\right]$ 14. $A=\left[\begin{array}{cc}5& -3\\ -7& 1\end{array}\right]$ 15. $A=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 3\end{array}\right]$ 16. $A=\left[\begin{array}{cc}2& -6\\ -1& 3\end{array}\right]$

17. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right]$ 和 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\},b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]$ .

定义 $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 为 $T(x)=Ax$ ：

$a$．证明 $b_1$ 是 $A$ 的特征向量，但 $A$ 不可对角化． b. 求 $T$ 的 B-矩阵．

18. 定义 $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ 为 $T(x)=Ax$ ，其中 $A$ 为 $3\times 3$ 矩阵，特征值是 5 和 -2。是否存在 ${\mathbb{R}}^3$ 的基 $\mathcal{B}$ ，使得 $T$ 的 $\mathcal{B}-$ 矩阵是对角矩阵？试做讨论。证明习题 19~24 的命题，题中矩阵为方阵。

19. 若 $A$ 可逆且相似于 $B$，则 $B$ 可逆且 $A^{-1}$ 相似于 $B^{-1}$ . （提示：存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$ ，解释 $B$ 为什么可逆，然后找一个可逆矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1}{A}^{-1}Q=B^{-1}$ .）

20. 若 $A$ 相似于 $B$ ，则 $A^2$ 相似于 $B^2$ .

21. 若 $B$ 相似于 $A$，$C$ 相似于 $A$，则 $B$ 相似于 $C$.

22. 若 $A$ 可对角化，$B$ 相似于 $A$，则 $B$ 亦可对角化．

23. 若 $B=P^{-1}AP,x$ 是 $A$ 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，则 $P^{-1}x$ 是 $B$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量．

24. 若 $A$ 与 $B$ 是相似的，则它们有相同的秩。（提示：参考第 4 章补充习题 13 和 14.）

25. 方阵 $A$ 主对角线元素之和称为 $A$ 的轨迹，记为 tr A. 可以证明对任意的两个 $n\times n$ 矩阵 $F$ 和 $G$，有 $\mathrm{tr}(FG)=\mathrm{tr}(GF)$．证明：若 $A$ 与 $B$ 相似，则 tr A = tr B.

26. 能够证明矩阵 $A$ 的轨迹等于 $A$ 的特征值之和，在 $A$ 可对角化时验证这个结论．

27. 设 $V=R^n,B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ 为 $V$ 的基， $W=R^n,E$ 为 $W$ 的标准基．$I:I(x)=x$ 是 $V\to W$ 的恒等变换，求 $I$ 相对于 $B$ 和 $E$ 的矩阵，这个矩阵在 4.4

节被称为什么矩阵？

28. 设 $V$ 和 $W$ 是同一向量空间，其基分别是 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ 和 $C=\{c_1,\cdots ,c_n\}$ ，$I$ 是 $V\to W$ 的恒等变换，求 $I$ 相对于 $B$ 和 $C$ 的矩阵。这个矩阵在 4.7 节被称为什么矩阵？

29. 设 $V$ 是向量空间，基为 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ ，求 $V\to V$ 的恒等变换 $I$ 的 B-矩阵．

[$M$]对习题30和习题31，求变换 $x\mapsto Ax$ 相对于基 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\}$ 的 $\mathcal{B}$ -矩阵．

3 0. A = [ c c c - 1 4 & 4 & - 1 4 - 3 3 & 9 & - 3 1 1 1 & - 4 & 1 1 ], boldsymbol b _ 1 = [ c - 1 - 2 1 ], boldsymbol b _ 2 = [ c - 1 - 1 1 ],$$30.A=\left[\begin{array}{ccc}-14& 4& -14\\ -33& 9& -31\\ 11& -4& 11\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right],$$boldsymbol b _ 3 = [ c - 1 - 2 0 ]$${\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\end{array}\right]$$3 1. A = [ c c c - 7 & - 4 8 & - 1 6 1 & 1 4 & 6 - 3 & - 4 5 & - 1 9 ], boldsymbol b _ 1 = [ c - 3 1 - 3 ], boldsymbol b _ 2 = [ c - 2 1 - 3 ],$$31.A=\left[\begin{array}{ccc}-7& -48& -16\\ 1& 14& 6\\ -3& -45& -19\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -3\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -3\end{array}\right],$$boldsymbol b _ 3 = [ c 3 - 1 0 ]$${\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right]$$

32. [$M$]变换 $T$ 的标准矩阵为 $A$ ，求 ${\mathbb{R}}^4$ 的一个基 $\mathcal{B}$ ，使得 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ 为对角矩阵．

A = [ c c c c 1 5 & - 6 6 & - 4 4 & - 3 3 0 & 1 3 & 2 1 & - 1 5 1 & - 1 5 & - 2 1 & 1 2 2 & - 1 8 & - 2 2 & 8 ]$$A=\left[\begin{array}{cccc}15& -66& -44& -33\\ 0& 13& 21& -15\\ 1& -15& -21& 12\\ 2& -18& -22& 8\end{array}\right]$$

练习题答案

1. 设 $p(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2$ ，计算得

[ T (boldsymbol p) ] _ B = [ T ] _ B [ boldsymbol p ] _ B = [ c c c 3 & 4 & 0 0 & 5 & - 1 1 & - 2 & 7 ] [ l a _ 0 a _ 1 a _ 2 ] = [ c 3 a _ 0 + 4 a _ 1 5 a _ 1 - a _ 2 a _ 0 - 2 a _ 1 + 7 a _ 2 ]$$[T(\mathbf{p}){]}_B=[T{]}_B[\mathbf{p}{]}_B=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 0\\ 0& 5& -1\\ 1& -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{a}_0\\ a_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3a_0+4a_1\\ 5a_1-a_2\\ a_0-2a_1+7a_2\end{array}\right]$$

故 $T(p)=(3a_0+4a_1)+(5a_1-a_2)t+(a_0-2a_1+7a_2)t^2.$

2. $a$. $A=(I{)}^{-1}AI$ ，所以 $A$ 相似于 $A$。

$b$．由假设，存在可逆矩阵 $P$ 和 $Q$，使得 $B=P^{-1}AP$ 和 $C=Q^{-1}BQ$ ，代入并利用逆运算性质，有 $C=Q^{-1}BQ=Q^{-1}(P^{-1}AP)Q=(PQ{)}^{-1}A(PQ)$ ，这一等式表明 $A$ 相似于 $C$.