4.2 零空间、列空间和线性变换

在线性代数的应用中， ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间通常由以下两种方式产生：（1）作为齐次线性方程组的解集；（2）作为某些确定向量的线性组合的集合。本节中，我们比较和构造这两类子空间，体验子空间的概念。事实上，正如你将要看到的，我们从1.3节以来一直与子空间打交道，这里的主要新特征是术语。本节包括对线性变换的值域与核的讨论。

矩阵的零空间

考虑下列齐次方程组：

r l & x _ 1 - 3 x _ 2 - 2 x _ 3 = 0 & - 5 x _ 1 + 9 x _ 2 + x _ 3 = 0 (1)$$\begin{array}{rl}& x_1-3x_2-2x_3=0\\ & -5x_1+9x_2+x_3=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

用矩阵的形式，此方程组可写成 Ax = 0，其中

A = [ c c c 1 & - 3 & - 2 - 5 & 9 & 1 ] (2)$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& -2\\ -5& 9& 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

所有满足（1）的 $x$ 的集合称为方程组（1）的解集，通常将这个解集直接与矩阵 $A$ 和方程 Ax = 0 联系起来是方便的。我们称满足 Ax = 0 的所有 $x$ 的集合为矩阵 $A$ 的零空间。

定义 矩阵 $A$ 的零空间写成 Nul A，是齐次方程 Ax = 0 的全体解的集合。用集合符号表示，即

operatornameNul A = {boldsymbol x: boldsymbol x ∈ mathbb R ^ n, A boldsymbol x = boldsymbol 0 }$$\mathrm{Nul}A=\{\mathbf{x}:\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,A\mathbf{x}=0\}$$

Nul $A$ 的更进一步的描述为 ${\mathbb{R}}^n$ 中通过线性变换 $x\mapsto Ax$ 映射到 ${\mathbb{R}}^m$ 中的零向量的全体向量 $x$ 的集合，见图 4-11.

图4-11

例 1

设 $A$ 为（2）式中所示的矩阵，令 $u=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\\ -2\end{array}\right]$ ，确定 $u$ 是否属于 $A$ 的零空间．

解

为验证 $u$ 是否满足 $Au=0$ ，简单计算

A boldsymbol u = [ r r r 1 & - 3 & - 2 - 5 & 9 & 1 ] [ l 5 3 - 2 ] = [ r r 5 - 9 + 4 - 2 5 + 2 7 - 2 ] = [ l 0 0 ]$$A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{rrr}1& -3& -2\\ -5& 9& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}5\\ 3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}5-9+4\\ -25+27-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right]$$

所以 $u\in NulA$ .

空间这个词用在零空间上是合适的，因为一个矩阵的零空间是一个向量空间，在下列定理中会见到．

定理 2

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的零空间是 $R^n$ 的一个子空间．等价地，$m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解的集合是 $R^n$ 的一个子空间．

证明

由于 $A$ 有 $n$ 个列，故 $\mathrm{Nul}A$ 当然是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子集，我们必须证明 $\mathrm{Nul}A$ 满足子空间的3个性质。0当然在 $\mathrm{Nul}A$ 中，其次令 $u$ 和 $v$ 表示 $\mathrm{Nul}A$ 中任意两个向量，则

A boldsymbol u = mathbf 0, A boldsymbol v = mathbf 0$$A\mathbf{u}=0,A\mathbf{v}=0$$

为证 $u+v$ 在Nul $A$ 中，必须证 $A(u+v)=0$ ，利用矩阵乘法的性质，有

A (boldsymbol u + boldsymbol v) = A boldsymbol u + A boldsymbol v = mathbf 0 + mathbf 0 = mathbf 0$$A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=0+0=0$$

从而 $u+v\in \mathrm{Nul}A$ ，于是Nul $A$ 对向量加法是封闭的．最后，若 $c$ 是任意一个数，则

A (c boldsymbol u) = c (A boldsymbol u) = c (boldsymbol 0) = boldsymbol 0$$A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})=c(0)=0$$

从而 $cu\in \mathrm{Nul}A$ ，于是 $\mathrm{Nul}A$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间．

例 2

令 $H$ 是 $R^4$ 中坐标 $a$, $b$, $c$, $d$ 满足方程 $a-2b+5c=d$ 且 c - a = b 的所有向量的集合，证明 $H$ 是 $R^4$ 的一个子空间．

解

通过重新调整描述 $H$ 的元素的方程组，我们发现 $H$ 即下列齐次线性方程组的解集：

r l a - 2 b + 5 c - d & = 0 - a - b + c & = 0$$\begin{array}{rl}a-2b+5c-d& =0\\ -a-b+c& =0\end{array}$$

由定理2, $H$ 是 $R^4$ 的一个子空间．

定义集合 $H$ 的线性方程组是齐次的这个条件是很重要的，否则，其解集不能确定一个子空间（因为零向量不是非齐次方程组的解），而且在某些情形下，解集可能是空集．

Nul A 的一个显式刻画

Nul A 中的向量与 $A$ 中的元素之间没有明显的关系．我们称 Nul A 被隐式地定义，这是由于它被一个必须要检验的条件所定义．没有明确地列出或描述 Nul A 中的元素．然而，当我们解出方程 Ax = 0, 就得到 Nul A 的显式刻画．我们先复习一下 1.5 节中已有的解题步骤．

例 3

求矩阵 $A$ 的零空间的生成集，其中

A = [ r r r r r - 3 & 6 & - 1 & 1 & - 7 1 & - 2 & 2 & 3 & - 1 2 & - 4 & 5 & 8 & - 4 ]$$A=\left[\begin{array}{rrrrr}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$$

解

第一步是求 Ax=0 的关于自由变量的通解．通过行化简增广矩阵 [A 0] 为简化阶梯形用自由变量写出基本变量:

[ c c c c c c 1 & - 2 & 0 & - 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ] x _ 1 - 2 x _ 2 - x _ 4 + 3 x _ 5 = 0 x _ 3 + 2 x _ 4 - 2 x _ 5 = 0 0 = 0$$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]x_1-2x_2-x_4+3x_5=0x_3+2x_4-2x_5=00=0$$

通解为 $x_1=2x_2+x_4-3x_5,x_3=-2x_4+2x_5,x_2,x_4,x_5$ 是自由变量。其次，将通解给出的向量分解为向量的线性组合，用自由变量作权，即

[ l x _ 1 x _ 2 x _ 3 x _ 4 x _ 5 ] = [ c 2 x _ 2 + x _ 4 - 3 x _ 5 x _ 2 - 2 x _ 4 + 2 x _ 5 x _ 4 x _ 5 ] = x _ 2 [ l 2 1 0 0 0 ] + x _ 4 [ c 1 0 - 2 1 0 ] + x _ 5 [ l - 3 0 2 0 1 ]$$\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_2+x_4-3x_5\\ x_2\\ -2x_4+2x_5\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{l}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{l}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$= x _ 2 ±b u + x _ 4 ±b v + x _ 5 ±b w (3)$$=x_{2}u+x_{4}v+x_{5}w\text{\hspace{1em}(3)}$$

$u$, $v$ 和 $w$ 的每一个线性组合都是 Nul A 中的一个元素，反之亦然。从而 $\{u,v,w\}$ 是 Nul A 的一个生成集。

关于例3 的解应该得到以下两点事实，它们对所有此类问题均适合，我们将在后面用到。

1. 由例3中的方法产生的生成集必然是线性无关的，这是因为自由变量是生成向量上的权。比如，观察（3）式中解向量的第2，4，5个元素，注意到只有当权 $x_2,x_4,x_5$ 全为零时 $x_{2}u+x_{4}v+x_{5}w$ 为零。

2. Nul A 包含非零向量时，它的生成集中向量的个数等于方程 Ax = 0 中自由变量的个数。矩阵的列空间

与矩阵相关的另一个重要的子空间是它的列空间。与零空间不同，列空间可以由向量的线性组合显式定义。

定义 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的列空间（记为 Col A）是由 $A$ 的列的所有线性组合组成的集合。若 $A=[a_1,\cdots ,a_n]$ ，则 $\mathrm{Col}A=\mathrm{Span}\{a_1,\cdots ,a_n\}$ 。

由于 $\mathrm{Col}A=\mathrm{Span}\{{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_n\}$ 是一个子空间，由定理1 及 Col A 的定义和 $A$ 的列在 $R^m$ 中这一事实得到以下定理．

定理 3

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的列空间是 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子空间．

意到 $\mathrm{Col}A$ 中一个典型向量可写成 $Ax$ 的形式，其中 $x$ 为某向量，这是因为记号 $Ax$ 表示 $A$ 的列向量的一个线性组合，即

operatornameCol A = {boldsymbol b: boldsymbol b = A boldsymbol x, boldsymbol x ∈ mathbb R ^ n }$$\mathrm{Col}A=\{\mathbf{b}:\mathbf{b}=A\mathbf{x},\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\}$$

代表 Col A 中向量的记号 Ax 也表明 Col A 是线性变换 $x\mapsto Ax$ 的值域，我们将在本节的最后讨论这个问题．

例 4

求一个矩阵 $A$ ，使得 $W=\mathrm{Col}A$ .

W = {[ l 6 a - b a + b - 7 a ]: a, b ∈ mathbb R }$$W=\left\{\left[\begin{array}{l}6a-b\\ a+b\\ -7a\end{array}\right]:a,b\in \mathbb{R}\right\}$$

解

首先将 $W$ 写成线性组合的集合:

W = {a [ c 6 1 - 7 ] + b [ c - 1 1 0 ]: a, b ∈ mathbb R } = operatornameSpan {[ c 6 1 - 7 ], [ c - 1 1 0 ] }$$W=\left\{a\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -7\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]:a,b\in \mathbb{R}\right\}=\mathrm{Span}\left\{\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$$

其次，用生成集中的向量作为 $A$ 的列．令 $A=\left[\begin{array}{cc}6& -1\\ 1& 1\\ -7& 0\end{array}\right]$ ，则 $W=\mathrm{Col}A$

$A$ 为所求矩阵．

回顾1.4节中的定理4， $A$ 的列生成 ${\mathbb{R}}^m$ 当且仅当方程 $Ax=b$ 对任一个 $b$ 有解．我们可以按下列方式重述这一事实．

$m\times n$ 矩阵 $A$ 的列空间等于 ${\mathbb{R}}^m$ 当且仅当方程 $Ax=b$ 对 ${\mathbb{R}}^m$ 中每个 $b$ 有一个解．

NuIA 与 ColA 之间的对比

一个矩阵的零空间和列空间之间的关系如何是一个很自然的问题。事实上，这两个空间是很不一样的，从例5~7中将看到这一点。然而，这两个空间之间的一个令人感到意外的关联将出现在4.6节中，这需要用到更多的理论。

例 5

令 $A=\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 1\\ -2& -5& 7& 3\\ 3& 7& -8& 6\end{array}\right]$ .

$a$．若 $A$ 的列空间是 ${\mathbb{R}}^k$ 的一个子空间， $k$ 是多少？

$b$．若 $A$ 的零空间是 ${\mathbb{R}}^k$ 的一个子空间， $k$ 是多少？

解

$a$. A 的每一列含有 3 个数，所以 Col A 是 $R^3$ 的一个子空间，其中 k = 3.

$b$．使得 $Ax$ 有定义的一个向量 $x$ 必须有4个元素，所以Nul $A$ 是 ${\mathbb{R}}^4$ 的一个子空间，其中 $k=4$ ：

当一个矩阵不是方阵时，比如例5中的矩阵，Nul $A$ 中的向量与Col $A$ 中的向量分别在完全不同的“域”中．例如，我们已讨论过 ${\mathbb{R}}^3$ 中向量的线性组合不能产生 ${\mathbb{R}}^4$ 中的一个向量．当 $A$ 为方阵时，Nul $A$ 和Col $A$ 确实都具有零向量，并且在特殊情形下它们可能具有一些相同的非零向量．

例 6

对例5 中的 $A$，分别找出 Col A 和 Nul A 中的一个非零向量．

解

容易找到 $\mathrm{Col}A$ 中的一个向量．$A$ 的任一个列都可以，比如 $\left[\begin{array}{c}2\\ -2\\ 3\end{array}\right]$．为了找到Nul $A$ 中的一个非零向量，将增广矩阵[A0]行化简，得

[ A 0 ] ∼ [ c c c c c 1 & 0 & 9 & 0 & 0 0 & 1 & - 5 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 ]$$[A0]\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 9& 0& 0\\ 0& 1& -5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

从而若 $x$ 满足 Ax=0，则 $x_1=-9x_3,x_2=5x_3,x_4=0,x_3$ 是自由变量。 $x_3$ 取一个非零值，比如 $x_3=1$ ，我们得到 Nul A 中一个向量，即 $x=(-9,5,1,0)$ 。

例 7

对例5 中的 $A$，令 $u=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\\ 0\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 3\end{array}\right].$

$a$．判定 $u$ 是否在Nul $A$ 中． $u$ 是否在Col $A$ 中？

$b$．判定 $\nu$ 是否在Col $A$ 中， $\nu$ 是否在Nul $A$ 中？

解

$a$．这里不需要 Nul A 的一个显式刻画，简单地计算乘积 Au.

A boldsymbol u = [ r r r r 2 & 4 & - 2 & 1 - 2 & - 5 & 7 & 3 3 & 7 & - 8 & 6 ] [ c 3 - 2 - 1 0 ] = [ c 0 - 3 3 ] ≠ [ c 0 0 0 ]$$A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{rrrr}2& 4& -2& 1\\ -2& -5& 7& 3\\ 3& 7& -8& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ -1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

显然， $u$ 不是 $Ax=0$ 的一个解，所以 $u$ 不在 $\mathrm{Nul}A$ 中。由于 $\mathrm{Col}A$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间， $u$ 具有4个元素，故 $u$ 不可能在 $\mathrm{Col}A$ 中。

$b$．将 $[A,v]$ 化简成阶梯形：

[ A boldsymbol v ] = [ r r r r r 2 & 4 & - 2 & 1 & 3 - 2 & - 5 & 7 & 3 & - 1 3 & 7 & - 8 & 6 & 3 ] ∼ [ r r r r r 2 & 4 & - 2 & 1 & 3 0 & 1 & - 5 & - 4 & - 2 0 & 0 & 0 & 1 7 & 1 ]$$[A\mathbf{v}]=\left[\begin{array}{rrrrr}2& 4& -2& 1& 3\\ -2& -5& 7& 3& -1\\ 3& 7& -8& 6& 3\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrrrr}2& 4& -2& 1& 3\\ 0& 1& -5& -4& -2\\ 0& 0& 0& 17& 1\end{array}\right]$$

由此可见，方程 Ax = v 是相容的，所以 $v$ 在 Col A 中。由于 Nul A 是 $R^4$ 的子空间，$v$ 具有 3 个元素，故 $v$ 不可能在 Nul A 中。

表4-1可以作为我们已经学过的关于Nul $A$ 与Col $A$ 的一个总结．其中的第8条是1.9节中定理11和定理12（$a$）的另一种形式．

表 4-1 对 $m\times n$ 矩阵 $A$ , Nul $A$ 与 Col $A$ 之间的对比

Nul A

Col A

1. Nul A 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个子空间.2. Nul A 是隐式定义的，即仅给出了一个 Nul A 中向量必须满足的条件( $Ax=0$ ).3. 求 Nul A 中的向量需要时间，需要对 [A 0] 作行变换.4. Nul A 与 A 的元素之间没有明显的关系.5. Nul A 中的一个典型向量 v 具有 $Av=0$ 的性质.6. 给定一个特定的向量 v ,容易判断 v 是否在 Nul A 中．仅需计算 Av.7. Nul A = {0} 当且仅当方程 Ax = 0 仅有一个平凡解.8. Nul A = {0} 当且仅当线性变换 x ↦ Ax 是一对一的．

1. Col A 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子空间.2. Col A 是显式定义的，即明确指出如何构建 Col A 中的向量.3. 容易求出 Col A 中的向量． A 的列就是 Col A 中的向量，其余的可由 A 的列表示出来.4. Col A 与 A 的元素之间有明显的关系，因为 A 的列就在 Col A 中.5. Col A 中一个典型向量 v 具有方程 Ax = v 是相容的性质.6. 给定一个特定的向量 v ,弄清 v 是否在 Col A 中需要时间，需要对 [A v] 作行变换.7. Col A = ${\mathbb{R}}^m$ 当且仅当方程 Ax = b 对每一个 b ∈ ${\mathbb{R}}^m$ 有一个解.8. Col A = ${\mathbb{R}}^m$ 当且仅当线性变换 x ↦ Ax 将 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^m$ .

线性变换的核与值域

我们经常需要用线性变换而不是矩阵来描述除 ${\mathbb{R}}^n$ 以外的向量空间的子空间。为了更准确，将1.8节中给出的定义进行推广。

定义 由向量空间 $V$ 映射到向量空间 $W$ 内的线性变换 $T$ 是一个规则，它将 $V$ 中每个向量 $x$ 映射成 $W$ 中唯一向量 $T(x)$ ，且满足：

($i$) $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ ，对 $V$ 中所有 $u$,$v$ 均成立．

(ii) $T(cu)=cT(u)$ ，对 $V$ 中所有 $u$ 及所有数 $c$ 均成立．

线性变换 $T$ 的核（或零空间）是 $V$ 中所有满足 $T(u)=0$ 的向量 $u$ 的集合（0 为 $W$ 中的零向量）。T 的值域是 $W$ 中所有具有形式 $T(x)$ （任意 $x\in V$ ）的向量的集合。如果 $T$ 是由一个矩阵变换得到的，比如对某矩阵 $A$, $T(x)=Ax$ ，则 $T$ 的核与值域恰好是前面定义的 $A$ 的零空间和列空间。

不难证明 $T$ 的核是 $V$ 的一个子空间．证明在本质上与定理2相同．$T$ 的一个子空间．见图 4-12和习题30.$W$ 的一个子空间．见图4-12和习题30.

图 4-12 与线性变换相关的子空间

在应用中，一个子空间往往由一个适当的线性变换的核或值域产生。比如，一个齐次线性微分方程的全部解的集合被判明是一个线性变换的核。典型地，这样一个线性变换用关于一个函数的一阶或高阶导数描述。解释这个结论将使我们远离主题，所以我们仅给出两个例子，第一个例子解释微分运算为什么是一个线性变换。

例 8 需要微积分的知识

令 $V$ 是定义在区间 $[a,b]$ 上的所有连续可导的实函数 $f$ 构成的向量空间，令 $W$ 是 $[a,b]$ 上所有连续函数构成的向量空间 C[$a$,$b$]，且令 $D:V\to W$ 是将 $V$ 中 $f$ 变为其导数 $f^{\prime }$ 的变换。由微积分中两个简单的微分法则有

D (f + g) = D (f) + D (g), D (c f) = c D (f)$$D(f+g)=D(f)+D(g),D(cf)=cD(f)$$

于是， $D$ 是一个线性变换．可以证明 $D$ 的核是 $[a,b]$ 上的常函数的集合， $D$ 的值域是 $[a,b]$ 上所有连续函数的集合 $W$ ：

例 9 需要微积分的知识

微分方程

y ^ prime prime + ω^ 2 y = 0 (4)$$y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $\omega$ 是常数，常常用来描述物理系统的一个变化过程，比如负重弹簧的振动、摆的运动以及电感-电容电路中的电压。（4）的解集恰好是将函数 $y=f(t)$ 映成函数 $f^{\prime \prime }(t)+{\omega }^{2}f(t)$ 的线性变换

的核．寻找这个向量空间的一个显式刻画是微分方程中的一个问题．其解集是 4.1 节习题 19 中所说的空间．

练习题

1. 令 $W=\left\{\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]:a-3b-c=0\right\}$ ，用两种不同的方法证明 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间。（用两个定理。）

2. 令 $A=\left[\begin{array}{ccc}7& -3& 5\\ -4& 1& -5\\ -5& 2& -4\end{array}\right]$ , $v=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right]$ , $w=\left[\begin{array}{c}7\\ 6\\ -3\end{array}\right]$，假设已知方程 $Ax=v$ 和 $Ax=w$ 都是相容的，关于方程

$Ax=v+w$ ，你能得出什么结论？

3. 设 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵．如果 Col A = Nul A. 证明 $Nul{A}^2=R^n$ .

习题4.2

1. 判定 $w=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right]$ 是否在 Nul A 中，其中

A = [ c c c 3 & - 5 & - 3 6 & - 2 & 0 - 8 & 4 & 1 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -5& -3\\ 6& -2& 0\\ -8& 4& 1\end{array}\right]$$

它不是一个向量空间．

{[ l a b c ]: a + b + c = 2 }$$\left\{\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right]:a+b+c=2\right\}$$

2. 判定 $w=\left[\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right]$ 是否在 Nul A 中，其中

{[ l r s t ]: 5 r - 1 = s + 2 t }$$\left\{\left[\begin{array}{l}r\\ s\\ t\end{array}\right]:5r-1=s+2t\right\}$$A = [ c c c 5 & 2 1 & 1 9 1 3 & 2 3 & 2 8 & 1 4 & 1 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}5& 21& 19\\ 13& 23& 2\\ 8& 14& 1\end{array}\right]$$

{[ l a b c d ]: l a - 2 b = 4 c 2 a = c + 3 d }$$\left\{\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]:\begin{array}{l}a-2b=4c\\ 2a=c+3d\end{array}\right\}$$

在习题 3~6 中，通过求出张成零空间的向量，求出 Nul A 的一个显式表示．

3. $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 0\\ 0& 1& 4& -2\end{array}\right]$

4. $A=\left[\begin{array}{cccc}1& -6& 4& 0\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right]$

{[ l a b c d ] vdots l a + 3 b = c b + c + a = d }$$\left\{\left[\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right]⋮\begin{array}{l}a+3b=c\\ b+c+a=d\end{array}\right\}$$

5. $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 0& 4& 0\\ 0& 0& 1& -9& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

6. $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 5& -4& -3& 1\\ 0& 1& -2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

在习题 7~14 中，或者利用一个适当的定理证明给出的集合 $W$ 是一个向量空间，或者举例说明

11. $\left\{\left[\begin{array}{c}b-2d\\ 5+d\\ b+3d\\ d\end{array}\right]:b,d\text{ 为实数}\right\}$

12. $\left\{\left[\begin{array}{c}b-5d\\ 2b\\ 2d+1\\ d\end{array}\right]:b,d\text{ 为实数}\right\}$

13. $\left\{\left[\begin{array}{c}c-6d\\ d\\ c\end{array}\right]:c,d\text{ 为实数}\right\}$

14. $\left\{\left[\begin{array}{c}-a+2b\\ a-2b\\ 3a-6b\end{array}\right]:a,b\text{ 为实数}\right\}$

在习题 15 和习题 16 中，求 $A$ 使得给出的集合为 $\mathrm{Col}A$：

15. $\{\begin{array}{l}2s+3t\\ r+s-2t\\ 4r+s\\ 3r-s-t\end{array}:r,s,t\text{ 为实数}\}$
16. $\{\begin{array}{l}b-c\\ 2b+c+d\\ 5c-4d\\ d\end{array}:b,c,d\text{ 为实数}\}$

对习题 17~20 中的矩阵，($a$) 求 $k$ 使得 Nul A 是 $R^k$ 的一个子空间，($b$) 求 $k$ 使得 Col A 是 $R^k$ 的一个子空间．

17. $A=\left[\begin{array}{cc}2& -6\\ -1& 3\\ -4& 12\\ 3& -9\end{array}\right]$

18. $A=\left[\begin{array}{ccc}7& -2& 0\\ -2& 0& -5\\ 0& -5& 7\\ -5& 7& -2\end{array}\right]$

19. $A=\left[\begin{array}{ccccc}4& 5& -2& 6& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$

20. $A=\left[1-390-5\right]$

21. 对习题 17 中的 $A$，分别求出 Nul A 和 Col A 中的一个非零向量．

22. 对习题 3 中的 $A$，分别求出 Nul A 和 Col A 中的一个非零向量．

23. 令 $A=\left[\begin{array}{cc}-6& 12\\ -3& 6\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ ，判断 $w$ 是否在 $\mathrm{Col}A$ 中， $w$ 是否在 $\mathrm{Nul}A$ 中．

24. 令 $A=\left[\begin{array}{ccc}-8& -2& -9\\ 6& 4& 8\\ 4& 0& 4\end{array}\right],w=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -2\end{array}\right]$ ，判定 $w$ 是否在 Col $A$ 中， $w$ 是否在 Nul $A$ 中。在习题25和习题26中， $A$ 表示一个 $m\times n$ 矩阵。对每个命题判断真假，给出理由。

25. $a$. A 的零空间是方程 Ax = 0 的解集． b. $m\times n$ 矩阵的零空间包含在 $R^m$ 中． c. A 的列空间是映射 $x\mapsto Ax$ 的值域． d. 若方程 Ax = b 是相容的，则 Col A 就是 $R^m$ . e. 一个线性变换的核是一个向量空间． f. Col A 是对某 $x$ 所有能写成 Ax 的向量的集合．

26. $a$．零空间是向量空间． b. $m\times n$ 矩阵的列空间包含在 $R^m$ 中． c. Col A 是 Ax = b 的所有解的集合． d. Nul A 是映射 $x\mapsto Ax$ 的核． e. 一个线性变换的值域是一个向量空间． f. 一个齐次线性微分方程的所有解的集合是一个线性变换的核．

27. 可以证明下列方程组的一组解为 $x_1=3,x_2=2,x_3=-1$ 。利用本节中的理论解释为什么 $x_1=30,x_2=20,x_3=-10$ 是另一组解（观察这两组解之间的关系，不要作另外的计算）. $x_1-3x_2-3x_3=0$ $-2x_1+4x_2+2x_3=0$ $-x_1+5x_2+7x_3=0$

28. 考察下列两个方程组： $5x_1+x_2-3x_3=0$ $5x_1+x_2-3x_3=0$ $-9x_1+2x_2+5x_3=1$ $-9x_1+2x_2+5x_3=5$ $4x_1+x_2-6x_3=9$ $4x_1+x_2-6x_3=45$ 可以证明第一个方程组有解，利用这个事实和本节中的理论解释为什么第二个方程组一定也有解。（不要作行变换。）

29. 定理3 的证明如下：给定一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，Col A 中任一元素均为形如 Ax, $x\in R^n$ 的形式。令 Ax 和 Aw 分别为 Col A 中任意两个向量。

$a$．解释为什么零向量在 Col A 中． b. 证明向量 Ax + Aw 在 Col A 中． c. 给定一数 $c$，证明 $c(Ax)$ 在 Col A 中．

30. 令 $T:V\to W$ 是一个从向量空间 $V$ 到向量空间 $W$ 中的线性变换，证明 $T$ 的值域是 $W$ 的一个子空间。（提示：值域中的典型元素具有形式 $T(x)$ 和 $T(w)$ ，其中 $x,w$ 属于 $V$ 。）

31. 定义 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{R}}^2$ 为 $T(p)=\left[\begin{array}{c}p(0)\\ p(1)\end{array}\right]$．比如，若 $p(t)=3+5t+7t^2$，则 $T(p)=\left[\begin{array}{c}3\\ 15\end{array}\right]$ .

$a$．证明 $T$ 是一个线性变换．（提示：对 ${\mathbb{P}}_2$ 中的任意多项式 $p,q$ ，计算 $T(p+q)$ 和 $T(\mathbf{cp})$ 。b. 求 ${\mathbb{P}}_2$ 中的一个多项式 $p$ 使之生成 $T$ 的核并刻画 $T$ 的值域．

32. 由 $T(p)=\left[\begin{array}{c}p(0)\\ p(0)\end{array}\right]$ 定义一个线性变换 $T:{\mathbb{P}}_2\to {\mathbb{R}}^2$．求 ${\mathbb{P}}_2$ 中多项式 $p_1$ 和 $p_2$ ，使之生成 $T$ 的核并刻画 $T$ 的值域．

33. 令 $M_{2\times 2}$ 是所有 $2\times 2$ 矩阵组成的向量空间，定义 $T:M_{2\times 2}\to M_{2\times 2}$ 为 $T(A)=A+A^{\mathrm{T}}$ ，其中

A = [ c c a & b c & d ]$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

$a$．证明 $T$ 是一个线性变换．

$b$．设 $B$ 是 $M_{2\times 2}$ 中任一个满足 $B^T=B$ 的矩阵，求 $M_{2\times 2}$ 中的矩阵 $A$ 使得 $T(A)=B$ .

$c$．证明 $T$ 的值域是 $M_{2\times 2}$ 中满足性质 $B^T=B$ 的 $B$ 的集合．

$d$．给出 $T$ 的核．

34.（需要微积分的知识）定义 $T:C[0,1]\to C[0,1]$ 如下：对 $f\in C[0,1]$ ，令 $T(f)$ 是 $f$ 的满足 $F(0)=0$ 的原函数 $F$ 。证明 $T$ 是一个线性变换并刻画 $T$ 的核。（见4.1节习题20的记号。）

35. 令 $V$ 和 $W$ 为向量空间，令 $T:V\to W$ 是一个线性变换．给定 $V$ 的一子空间 $U$，令 $T(U)$ 表示所有形如 $T(x)$ 的像的集合，其中 $x$ 在 $U$ 中．证明 $T(U)$ 是 $W$ 的一个子空间．

36. 已知 $T:V\to W$ 与习题35中相同，给定 $W$ 的一子空间 $Z$ ，令 $U$ 是 $V$ 中所有使得 $T(x)$ 在 $Z$ 中的 $x$ 的集合。证明 $U$ 是 $V$ 的一个子空间。

37. [$M$] 判定 $w$ 是否在 $A$ 的列空间中，是否在 $A$ 的零空间中，或同时在两个空间中，其中

boldsymbol w = [ c 1 1 - 1 - 3 ], A = [ r r r r 7 & 6 & - 4 & 1 - 5 & - 1 & 0 & - 2 9 & - 1 1 & 7 & - 3 1 9 & - 9 & 7 & 1 ]$$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ -3\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{rrrr}7& 6& -4& 1\\ -5& -1& 0& -2\\ 9& -11& 7& -3\\ 19& -9& 7& 1\end{array}\right]$$

38. [$M$] 判定 $w$ 是否在 $A$ 的列空间中，是否在 $A$ 的零空间中，或同时在两个空间中，其中

boldsymbol w = [ l 1 2 1 0 ], A = [ r r r r - 8 & 5 & - 2 & 0 - 5 & 2 & 1 & - 2 1 0 & - 8 & 6 & - 3 3 & - 2 & 1 & 0 ]$$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}1\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{rrrr}-8& 5& -2& 0\\ -5& 2& 1& -2\\ 10& -8& 6& -3\\ 3& -2& 1& 0\end{array}\right]$$

39. [$M$] 令 $a_1,\cdots ,a_5$ 表示矩阵 $A$ 的列，其中

A = [ c c c c c 5 & 1 & 2 & 2 & 0 3 & 3 & 2 & - 1 & - 1 2 8 & 4 & 4 & - 5 & 1 2 2 & 1 & 1 & 0 & - 2 ], B = [ boldsymbol a _ 1 boldsymbol a _ 2 boldsymbol a _ 4 ]$$A=\left[\begin{array}{ccccc}5& 1& 2& 2& 0\\ 3& 3& 2& -1& -12\\ 8& 4& 4& -5& 12\\ 2& 1& 1& 0& -2\end{array}\right],B=[{\mathbf{a}}_1{\mathbf{a}}_2{\mathbf{a}}_4]$$

$a$．解释为什么 $a_3$ 和 $a_5$ 在 $B$ 的列空间中．

$c$．令 $T:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^4$ 定义为 $T(x)=Ax$ ，解释为什么 $T$ 既不是一一的又不是到上的。

40. [$M$] 令 $H=\mathrm{Span}\{{\nu }_1,{\nu }_2\},K=\mathrm{Span}\{{\nu }_3,{\nu }_4\}$ ，其中

boldsymbol v _ 1 = [ l 5 3 8 ], boldsymbol v _ 2 = [ l 1 3 4 ], boldsymbol v _ 3 = [ l 2 - 1 5 ], boldsymbol v _ 4 = [ l 0 - 1 2 - 2 8 ]$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{l}5\\ 3\\ 8\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{l}1\\ 3\\ 4\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{l}2\\ -1\\ 5\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{l}0\\ -12\\ -28\end{array}\right]$$

则 $H$ 和 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间．事实上，$H$ 和 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中通过原点的平面，二者相交于一条过原点的直线．求一个非零向量 $w$，使之生成这条直线．(提示: $w$ 可写成 $c_1{v}_1+c_2{v}_2$，也可写成 $c_3{v}_3+c_4{v}_4$．为求 $w$，对未知的 $c_j$ ( $j=1,2,3,4$ ), 解方程 $c_1{v}_1+c_2{v}_2=c_3{v}_3+c_4{v}_4$ .)

练习题答案

1. 方法 1: 因为 $W$ 是一个齐次线性方程组的全部解的集合，故由定理2, $W$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一子空间 (其中方程组仅有一个方程). 等价地，$W$ 是 $1\times 3$ 矩阵 $A=[1-3-1]$ 的零空间．

方法2：以 $b,c$ 为自由变量解方程 $a-3b-c=0$ 。任意解具有形式 $\left[\begin{array}{c}3b+c\\ b\\ c\end{array}\right]$ ，其中 $b,c$ 是任意常数，且

r l & [ c 3 b + c b c ] = b [ l 3 1 0 ] + c [ l 1 0 1 ] & uparrow text v _ 1 text v _ 2$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{c}3b+c\\ b\\ c\end{array}\right]=b\left[\begin{array}{l}3\\ 1\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\\ & \uparrow v_1{v}_2\end{array}$$

计算表明 $W=\mathrm{Span}\{{\nu }_1,{\nu }_2\}$ ，从而由定理1知 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个子空间。我们还可以以 $a,c$ 或 $a,b$ 为自由变量解方程 $a-3b-c=0$ ，得到 $W$ 作为两个向量的线性组合的集合的不同刻画。

2. $v$ 和 $w$ 都在 Col $A$ 中．因 Col $A$ 是一个向量空间，故 $v+w$ 一定在 Col $A$ 中，即方程 $Ax=v+w$ 是相容的．
3. 设任一向量 $x\in {\mathbb{R}}^n$ . $Ax\in \mathrm{Col}A$，这是因为它是 $A$ 的列的线性组合．因为 Col $A=\mathrm{Nul}A$，故向量 $Ax$ 也是属于 $\mathrm{Nul}A$．因此 $A^{2}x=A(Ax)=0$，即 $\forall x\in {\mathbb{R}}^n$ , $x\in \mathrm{Nul}{A}^2$ .