第3章补充习题 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

标出每个命题的真假，给出理由。假定这里所有矩阵均为方阵。

$a$ ．若 $A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵且其行列式为 0，则 $A$ 的一列是另一列的倍数．

$b$ ．若 $3 \times 3$ 矩阵 $A$ 的两行相等，则 $\det A = 0$ .

$c$ ．若 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，则 $\det 5A = 5\det A$ .

$d$ ．若 $A, B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，满足 $\operatorname{det} A = 2$ ， $\operatorname{det} B = 3$ ，则 $\operatorname{det}(A + B) = 5$ ．
e. 若 $A$ 为 $n \times n$ 矩阵且 $\operatorname{det} A = 2$ ，则 $\operatorname{det} A^3 = 6$ ．
f. 若 $B$ 由 $A$ 中交换两行生成，则 $\operatorname{det} B = \operatorname{det} A$ ． g. 若 $B$ 为由 $A$ 中第 3 行乘以 5 生成，则 $\det B = 5 \cdot \det A$ .

$h$ ．若 $B$ 为由 $A$ 中任意 n-1 行的线性组合加到另一行生成，则 $\det B = \det A$ .

$i$ . $\det A^{T} = -\det A$ .

$j$ . $\det(-A) = -\det A$ .

$k$ . $\det A^{T}A \geqslant 0$ .

任意一个 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的线性方程组均可由克拉默法则解出．

$m$ ．若 $u$ , $v$ 属于 $R^{2}$ ，且 $\det[u, v]=10$ ，则平面中顶点为 0， $u$ , $v$ 的三角形面积为 10.

$n$ ．若 $A^{3}=0$ ，则 $\det A=0$ 。

若 $A$ 是可逆的，则 $\operatorname{det} A^{-1} = \operatorname{det} A$ .

$p$ ．若 $A$ 是可逆的，则 $(\det A)(\det A^{-1})=1$ .

使用行变换证明习题 2~4 中行列式都等于 0.

\left| \begin{array}{c c c} 1 2 & 1 3 & 1 4 \\ 1 5 & 1 6 & 1 7 \\ 1 8 & 1 9 & 2 0 \end{array} \right|

\left| \begin{array}{c c c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array} \right|

\left| \begin{array}{c c c} a & b & c \\ a + x & b + x & c + x \\ a + y & b + y & c + y \end{array} \right|

计算习题 5~6 中的行列式．

\left| \begin{array}{c c c c c} 9 & 1 & 9 & 9 & 9 \\ 9 & 0 & 9 & 9 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 9 & 0 & 3 & 9 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 7 & 0 \end{array} \right|

\left| \begin{array}{c c c c c} 4 & 8 & 8 & 8 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 8 & 8 & 8 & 7 \\ 0 & 8 & 8 & 3 & 0 \\ 0 & 8 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right|

证明： $R^{2}$ 中经过两个不同点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ 的直线的方程可以写成

\det \left[ \begin{array}{c c c} 1 & x & y \\ 1 & x _ {1} & y _ {1} \\ 1 & x _ {2} & y _ {2} \end{array} \right] = 0

求一个类似于习题 7 的 $3 \times 3$ 行列式方程，描述通过点 $(x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $m$ 的直线．

习题 9~10 涉及下列范德蒙德(Vandermonde)矩阵的行列式．

T = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & a & a ^ {2} \\ 1 & b & b ^ {2} \\ 1 & c & c ^ {2} \end{array} \right], \quad V (t) = \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & t & t ^ {2} & t ^ {3} \\ 1 & x _ {1} & x _ {1} ^ {2} & x _ {1} ^ {3} \\ 1 & x _ {2} & x _ {2} ^ {2} & x _ {2} ^ {3} \\ 1 & x _ {3} & x _ {3} ^ {2} & x _ {3} ^ {3} \end{array} \right]

利用行变换证明 $\det T = (b - a)(c - a)(c - b)$ .
令 $f(t) = \det V$ , $x_1, x_2, x_3$ 两两不等，解释 $f(t)$ 为什么是一个三次多项式，证明 $t^3$ 的系数非零，并在 $f$ 的图上找三个点．
求由点 $(1,4),(-1,5),(3,9)$ 和(5,8)确定的平行四边形的面积．你如何能判断由这些点确定的四边形刚好是一个平行四边形？
利用平行四边形面积的概念描述一个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$ 当且仅当 $A$ 可逆时成立的命题．
若 $A$ 可逆，证明 adj A 也可逆，且 $(\mathrm{adj}A)^{-1} = \frac{1}{\det A} A$ . （提示：给定矩阵 $B$ 和 $C$ ，什么计算能说明 $C$ 是 $B$ 的逆矩阵？）
令 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 和 $I$ 均为 $n \times n$ 矩阵，利用行列式的定义或性质证明下列公式，公式（ $c$ ）在特征值（第 5 章）的应用中是有用的． a. $\det\begin{bmatrix}A&0\\ 0&I\end{bmatrix}=\det A$ b. $\det\begin{bmatrix}I&0\\ C&D\end{bmatrix}=\det D$ c. $\det\begin{bmatrix}A & 0 \\ C & D\end{bmatrix}=(\det A)(\det D)=\det\begin{bmatrix}A & B \\ 0 & D\end{bmatrix}$
令 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 均为 $n \times n$ 矩阵， $A$ 可逆．

$a$ ．求矩阵 $X$ 和 $Y$ ，使得生成分块LU分解

\left[ \begin{array}{l l} A & B \\ C & D \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} I & 0 \\ X & I \end{array} \right] \left[ \begin{array}{l l} A & B \\ 0 & Y \end{array} \right].

然后证明

\det \left[ \begin{array}{l l} A & B \\ C & D \end{array} \right] = (\det A) \cdot \det (D - C A ^ {- 1} B)

$b$ ．证明：若 $AC = CA$ ，则

\stackrel {\sim} {\det} \left[ \begin{array}{l l} A & B \\ C & D \end{array} \right] = \det (A D - C B)

设 $J$ 是元素全为 1 的 $n \times n$ 矩阵，考虑 $A = (a - b)I + bJ$ ，即

A = \left[ \begin{array}{c c c c c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \dots & a \end{array} \right]

通过下面的计算推出 $\det A=(a-b)^{n-1}[a+(n-1)b]$ :

$a$ ．从第1行减去第2行，从第2行减去第3行，如此类推，说明为什么这样的操作不会改变矩阵的行列式．

$b$ ．对（ $a$ ）中所得的矩阵，将第1列加到第2列，将新得到的第2列加到第3列，如此类推，说明为什么这样的操作不会改变矩阵的行列式．

$c$ ．求由（ $b$ ）所得到的矩阵的行列式．

设 $A$ 为习题16中的矩阵，并设

B = \left[ \begin{array}{c c c c c} a - b & b & b & \dots & b \\ 0 & a & b & \dots & b \\ 0 & b & a & \dots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b & b & \dots & a \end{array} \right]

C = \left[ \begin{array}{c c c c c} b & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & b & \dots & a \end{array} \right]

这里 $A, B, C$ 基本相同，除了 $A$ 的第一列等于 $B$ 和 $C$ 的第一列之和。在3.2节讨论的行列式函数的线性性质给出 $\operatorname{det} A = \operatorname{det} B + \operatorname{det} C$ 。利用

(8) - (1 4 \text { poh } = \left[ \begin{array}{c c} 9 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right] \text { jub }

这个事实用关于矩阵 $A$ 的大小的归纳法证明习题 16 给出的公式．

[ $M$ ]运用习题 16 的结论求下面矩阵的行列式，使用矩阵程序验证你的结果．

\left[ \begin{array}{c c c c} 3 & 8 & 8 & 8 \\ 8 & 3 & 8 & 8 \\ 8 & 8 & 3 & 8 \\ 8 & 8 & 8 & 3 \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{c c c c c} 8 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 8 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 8 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 8 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 8 \end{array} \right]

[ $M$ ] 使用矩阵程序求下面矩阵的行列式．

\left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{l l l l} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{l l l l l} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \right]

使用上面的计算结果猜测下面矩阵的行列式，用行变换计算其行列式来验证你的猜测．

\left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & 2 & 3 & \dots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \dots & n \end{array} \right]

[ $M$ ]使用习题 19 的方法猜测下面矩阵的行列式，验证你的猜测。（提示：利用习题 14（ $c$ ）和习题 19 的结论。）

\left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 3 & 3 & \dots & 3 \\ 1 & 3 & 6 & \dots & 6 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 3 & 6 & \dots & 3 (n - 1) \end{array} \right]