第7章 奇数习题答案

第7章 习题答案

7.1

1. 对称 3. 不对称 5. 对称

2. 正交， $\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right]$

3. 正交， $\left[\begin{array}{cc}-4/5& 3/5\\ 3/5& 4/5\end{array}\right]$

4. 不正交

5. $P=\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

6. $P=\left[\begin{array}{ll}-2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\\ 1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 11\end{array}\right]$

$$P=\left[\begin{array}{ccc}-1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\\ 0& -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{3}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}-4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$$$$19.P=\left[\begin{array}{ccc}-1/\sqrt{5}& 4/\sqrt{45}& -2/3\\ 2/\sqrt{5}& 2/\sqrt{45}& -1/3\\ 0& 5/\sqrt{45}& 2/3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$$$P=\left[\begin{array}{cccc}0& 1/\sqrt{2}& 1/2& 1/2\\ 0& -1/\sqrt{2}& 1/2& 1/2\\ 1/\sqrt{2}& 0& -1/2& 1/2\\ -1/\sqrt{2}& 0& -1/2& 1/2\end{array}\right].$$$$D=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0\\ 0& 0& 0& 9\end{array}\right]$$$$23.P=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& 2/\sqrt{6}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$

25. 见“学习指导”.

26. $(Ax)\cdot y=(Ax{)}^{\mathrm{T}}y=x^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}y=x^{\mathrm{T}}Ay=x\cdot (Ay)$ ，这是因为 $A^{\mathrm{T}}=A$

27. 提示：用 $A$ 的一个正交对角化，或用定理2.

28. 5.3 节的对角化定理说明 $P$ 的列是 $D$ 中对角形列出的 $A$ 的特征值对应的（线性无关的）特征向量，所以 $P$ 正好有 $k$ 列特征向量对应于 $\lambda$ ，这 $k$ 列形成特征空间的一个基.

29. $A=8u_1{u}_1^{\mathrm{T}}+6u_2{u}_2^{\mathrm{T}}+3u_3{u}_3^{\mathrm{T}}$

$$=8\left[\begin{array}{ccc}1/2& -1/2& 0\\ -1/2& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$$$+6\left[\begin{array}{ccc}1/6& 1/6& -2/6\\ 1/6& 1/6& -2/6\\ -2/6& -2/6& 4/6\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{ccc}1/3& 1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 1/3\\ 1/3& 1/3& 1/3\end{array}\right]$$

35. 提示： $(\mathbf{u}{\mathbf{u}}^{\mathrm{T}})\mathbf{x}=\mathbf{u}({\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x})=({\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x})\mathbf{u}$ ，由于 $u^{T}x$ 是一个数.

36. [$M$]

$$P=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& -1\\ -1& 1& -1& -1\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cccc}19& 0& 0& 0\\ 0& 11& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0\\ 0& 0& 0& -11\end{array}\right]$$

39. [$M$]

$$P=\left[\begin{array}{cccc}1/\sqrt{2}& 3/\sqrt{50}& -2/5& -2/5\\ 0& 4/\sqrt{50}& -1/5& 4/5\\ 0& 4/\sqrt{50}& 4/5& -1/5\\ 1/\sqrt{2}& -3/\sqrt{50}& 2/5& 2/5\end{array}\right],$$$$D=\left[\begin{array}{cccc}0.75& 0& 0& 0\\ 0& 0.75& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1.25\end{array}\right]$$

7.2

1. $a$. $5x_1^2+\frac{2}{3}{x}_1{x}_2+x_2^2$ b. 185 c. 16

2. $a$. $\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 5\end{array}\right]$ b. $\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ 5. a. $\left[\begin{array}{ccc}3& -3& 4\\ -3& 2& -2\\ 4& -2& -5\end{array}\right]$ b. $\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 2\\ 3& 0& -5\\ 2& -5& 0\end{array}\right]$

3. $x=Py$ ，其中 $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right],y^{\mathrm{T}}Dy=6y_1^2-4y_2^2$

在习题 9~14 中，其他答案（变量代换和新的二次型）也有可能.

9. 正定；特征值是 6 和 2 变量代换：x = Py，其中 $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ 新的二次型： $6y_1^2+2y_2^2$

10. 不定；特征值是 3 和 -2变量代换： $x=Py$ ，其中 $P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{ll}-2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$ 新的二次型： $3y_1^2-2y_2^2$

11. 半正定；特征值是 10 和 0 变量代换：x = Py，其中 $P=\frac{1}{\sqrt{10}}\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -3& 1\end{array}\right]$ 新的二次型： $10y_1^2$

12. [$M$]负定；特征值是-13，-9，-7，-1 变量代换：x = Py

$$P=\left[\begin{array}{cccc}0& -1/2& 0& 3/\sqrt{12}\\ 0& 1/2& -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{12}\\ -1/\sqrt{2}& 1/2& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{12}\\ 1/\sqrt{2}& 1/2& 1/\sqrt{6}& 1/\sqrt{12}\end{array}\right]$$

新的二次型： $-13y_1^2-9y_2^2-7y_3^2-y_4^2$

17. [$M$] 正定：特征值是 1，21 变量代换：x = Py

$$P=\frac{1}{\sqrt{50}}\left[\begin{array}{rrrr}4& 3& 4& -3\\ -5& 0& 5& 0\\ 3& -4& 3& 4\\ 0& 5& 0& 5\end{array}\right]$$

新的二次型： $y_1^2+y_2^2+21y_3^2+21y_4^2$

19.8

21. 见“学习指导”.

22. 用两种方式写出特征多项式： $\begin{array}{rl}\det (A-\lambda I)& =\det \left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ b& d-\lambda \end{array}\right]\\ & ={\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-b^2\end{array}$ 或 $(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)={\lambda }^2-({\lambda }_1+{\lambda }_2)\lambda +{\lambda }_1{\lambda }_2$ 系数相等得到 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=a+d$ 和 ${\lambda }_1{\lambda }_2=ad-b^2=\det A$ .

23. 7.1 节的习题 28 表明 $B^{\mathrm{T}}B$ 是对称的，并且， $x^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}Bx=(Bx{)}^{\mathrm{T}}Bx=\Vert Bx{\Vert }^2⩾0$ ，所以二次型是半正定的，并且我们说矩阵 $B^{\mathrm{T}}B$ 是半正定的。提示：为证明当 $B$ 是方阵且可逆时 $B^{\mathrm{T}}B$ 是正定的，假设 $x^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}Bx=0$ 然后推出 $x=0$ 。

24. 提示：证明 $A+B$ 是对称的且二次型 $x^{\mathrm{T}}(A+B)x$ 是正定的.

7.3

1. x = Py，其中 $P=\left[\begin{array}{ccc}1/3& 2/3& -2/3\\ 2/3& 1/3& 2/3\\ -2/3& 2/3& 1/3\end{array}\right]$ 3. a. 9 b. ± $\left[\begin{array}{c}1/3\\ 2/3\\ -2/3\end{array}\right]$ c.6

2. $a$. 6 b. ± $\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$ c.-4

3. ± $\left[\begin{array}{c}1/3\\ 2/3\\ 2/3\end{array}\right]$ 9. $5+\sqrt{5}$ 11.3

4. 提示：如果 $m=M$ ，对 $x$ 取公式中的 $\alpha =0$ ，也就是说，取 $x=u_n$ 且验证 $x^{\mathrm{T}}Ax=m$ 。如果 $m<M$ 且 $t$ 是介于 $m$ 和 $M$ 中间的数，那么 $0⩽t-m⩽M-m$ 且 $0⩽(t-m)/(M-m)⩽1$ 。所以，设 $\alpha =(t-m)/(M-m)$ ，解这个 $\alpha$ 的表达式得到 $t=(1-\alpha )m+\alpha M$ 。当 $\alpha$ 从 0 到 1 变化时， $t$ 从 $m$ 变化到 $M$ 。像习题中所陈述的那样构造 $x$ 且验证它的性质。

5. [$M$] a.9 b. $\left[\begin{array}{c}-2/\sqrt{6}\\ 0\\ 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right]$ c.3

6. [$M$] a.34 b. $\left[\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ 1/2\\ 1/2\end{array}\right]$ c.26

7.4

1.3, 1 3.4, 1 习题 5~13 中的答案不是唯一的.

5. $\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$$\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{5}& -2/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3/\sqrt{2}& 0\\ 0& \sqrt{2}\\ 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}-1\sqrt{2}& 1\sqrt{2}\\ 1\sqrt{2}& 1\sqrt{2}\end{array}\right]$$

11. $\left[\begin{array}{ccc}-1/3& 2/3& 2/3\\ 2/3& -1/3& 2/3\\ 2/3& 2/3& -1/3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}\sqrt{90}& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ $\times \left[\begin{array}{ll}3/\sqrt{10}& -1/\sqrt{10}\\ 1/\sqrt{10}& 3/\sqrt{10}\end{array}\right].$

12. $\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 3& 0\end{array}\right]$ $\times \left[\begin{array}{lll}1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}& 0\\ -1/\sqrt{18}& 1/\sqrt{18}& -4/\sqrt{18}\\ -2/3& 2/3& 1/3\end{array}\right]$

13. $a$. rank A=2 b. Col A 的基: $\left[\begin{array}{c}0.40\\ 0.37\\ -0.84\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-0.78\\ -0.33\\ -0.52\end{array}\right]$ Nul A 的基: $\left[\begin{array}{c}0.58\\ -0.58\\ 0.58\end{array}\right]$ (记住 $V^T$ 出现在 SVD 中.)

14. 如果 $U$ 是正交矩阵，则 $\det U=\pm 1$ . 如果 $A=U\Sigma V^T$ 且 $A$ 是方阵，则 $U,\Sigma$ 和 $V$ 也是方阵. 因此 $\det A=\det U\det \Sigma \det V^T=\pm 1\det \Sigma =\pm {\sigma }_1\cdots {\sigma }_n$ .

15. 提示：由于 $U$ 和 $V$ 是正交的，故 $A^{\mathrm{T}}A=(U\Sigma V^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}U\Sigma V^{\mathrm{T}}=V{\Sigma }^{\mathrm{T}}{U}^{\mathrm{T}}U\Sigma V^{\mathrm{T}}$ $=V({\Sigma }^{\mathrm{T}}\Sigma )V^{-1}$ 这样 $V$ 将 $A^{\mathrm{T}}A$ 对角化. 这里 $V$ 告诉你些什么呢？

16. 对于 $A^{T}A$ 的最大特征值 ${\lambda }_1$ ，右奇异向量 $v_1$ 是特征向量，由 7.3 节定理7，最大特征值 ${\lambda }_2$ 是所有正交于 $v_1$ 的单位向量中 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})\mathbf{x}$ 的最大值。因为 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})\mathbf{x}={\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }^2$ ，故 ${\lambda }_2$ 的平方根（第二大特征值）是所有正交于 $v_1$ 的单位向量中 $\Vert Ax\Vert$ 的最大值。

17. 提示：利用 $(U\Sigma )V^{\mathrm{T}}$ 的列行展开.

18. 提示: 考虑 $T$ 的标准矩阵的 SVD, 如 $A=U\Sigma V^{\mathrm{T}}=U\Sigma V^{-1}$ . 设 $\mathcal{B}=\{v_1,\dots ,v_n\}$ 和 $\mathcal{C}=\{u_1,\dots ,u_m\}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 的列构成的基. 像 5.4 节那样计算 $T$ 相对于 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 的矩阵. 为此, 你必须证明 $V^{-1}{v}_j=e_j$ , $e_j$ 是 $I_n$ 的第 $j$ 列.

19. [$M$]

$$\left[\begin{array}{cccc}-0.57& -0.65& -0.42& 0.27\\ 0.63& -0.24& -0.68& -0.29\\ 0.07& -0.63& 0.53& -0.56\\ -0.51& -0.34& -0.29& -0.73\end{array}\right]$$$$\times \left[\begin{array}{ccccc}16.46& 0& 0& 0& 0\\ 0& 12.16& 0& 0& 0\\ 0& 0& 4.87& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4.31& 0\end{array}\right]$$$$\times \left[\begin{array}{ccccc}-0.10& 0.61& -0.21& -0.52& 0.55\\ -0.39& 0.29& 0.84& -0.14& -0.19\\ -0.74& -0.27& -0.07& 0.38& 0.49\\ 0.41& -0.50& 0.45& -0.23& 0.58\\ -0.36& -0.48& -0.19& -0.72& -0.29\end{array}\right]$$

29. [$M$]25.934 3, 16.755 4, 11.291 7, 1.078 5, 0.003 779 3; ${\sigma }_1/{\sigma }_5=68622$ .

7.5

1. $M=\left[\begin{array}{c}12\\ 10\end{array}\right];B=\left[\begin{array}{cccccc}7& 10& -6& -9& -10& 8\\ 2& -4& -1& 5& 3& -5\end{array}\right];$ $S=\left[\begin{array}{cc}86& -27\\ -27& 16\end{array}\right]$

2. $\left[\begin{array}{c}0.95\\ -0.32\end{array}\right]$ 对应于 $\lambda =95.2$ ， $\left[\begin{array}{c}0.32\\ 0.95\end{array}\right]$ 对应于 $\lambda =6.8$

3. [$M$](0.130, 0.874, 0.468), 方差的 75.9%.

4. $y_1=0.95x_1-0.32x_2$ ; $y_1$ 解释方差的 93.3%.

5. $c_1=1/3$ , $c_2=2/3$ , $c_3=2/3$ , $y$ 的方差是 9.

6. $a$. 如果 $w$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的向量，其中每个位置都是 1，则因为 $X_k$ 是平均偏差形式，所以

$$\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{X}}_1& \dots & {\mathbf{X}}_N\end{array}\right]\mathbf{w}={\mathbf{X}}_1+\cdots +{\mathbf{X}}_N=0$$

于是

$$\begin{array}{rl}[Y_1\dots Y_N]w=[P^{\mathrm{T}}{X}_1\dots P^{\mathrm{T}}{X}_N]w(\text{根据定义})& \\ & =P^{\mathrm{T}}[X_1\dots X_N]w=P^{\mathrm{T}}0=0\end{array}$$

也就是说， $Y_1+\cdots +Y_N=0$ ，所以 $Y_k$ 是平均偏差形式.

$b$. 提示：由于 $X_j$ 是平均偏差形式，故 $X_j$ 的协方差矩阵是 $1/(N-1)[X_1\cdots X_N][X_1\cdots X_N{]}^T$ . 利用（$a$）计算 $Y_j$ 的协方差矩阵.

13. 如果 $B=[{\hat{X}}_1\cdots {\hat{X}}_N]$ ，那么

$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{N-1}B{B}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{N-1}\left[{\hat{\mathbf{X}}}_1\dots {\hat{\mathbf{X}}}_n\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{\mathbf{X}}}_1^{\mathrm{T}}\\ ⋮\\ {\hat{\mathbf{X}}}_N^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\\ & =\frac{1}{N-1}{\sum }_{k=1}^N{\hat{\mathbf{X}}}_k{\hat{\mathbf{X}}}_k^{\mathrm{T}}=\frac{1}{N-1}{\sum }_{k=1}^N({\mathbf{X}}_k-\mathbf{M})({\mathbf{X}}_k-\mathbf{M}{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

第7章补充习题 答案

1. $a$.T b.F c.T d.F e.F f.F g.F h.T i.F j.F k.F l.F m.T n.F o.T p.T q.F

2. 如果 $\mathrm{rank}A=r$ ，那么由秩定理， $\dim \mathrm{Nul}A=n-r$ 。所以，0 是重数为 $n-r$ 的特征值，因此， $A$ 的谱分解中的 $n$ 项正好有 $(n-r)$ 个为零。其余的 $r$ 项（对应于非零特征值）都是秩为 1 的矩阵，像谱分解中讨论的一样。

3. 如果对一些非零 $\lambda$ 有 $Av=\lambda v$ ，那么 $v={\lambda }^{-1}Av=A({\lambda }^{-1}v)$ ，它证明 $v$ 是 $A$ 的列的一个线性组合.

4. 提示：如果 $A=R^{\mathrm{T}}R$ ，其中 $R$ 是可逆的，则由 7.2 节的习题 25， $A$ 是正定的。相反，假设 $A$ 是正定的，那么由 7.2 节的习题 26，对一些正定矩阵 $B$ 有 $A=B^{\mathrm{T}}B$ 。解释为什么 $B$ 有一个 QR 分解，且利用它产生 $A$ 的一个楚列斯基分解。

5. 如果 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵且 $x$ 属于 $R^n$ ，那么 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=(\mathbf{A}\mathbf{x}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{x})={\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }^2⩾0$ ，因此 $A^{T}A$ 是半正定的。由 6.5 节习题 22，rank $A^{T}A=rankA$ 。

6. 提示：将 $A$ 的一个SVD写成形式 $A=U\Sigma V^{\mathrm{T}}=PQ$ ，其中 $P=U\Sigma U^{\mathrm{T}}$ ， $Q=U{V}^{\mathrm{T}}$ . 证明 $P$ 是对称的且有与 $\Sigma$ 同样的特征值。解释为什么 $Q$ 是正交矩阵。

7. $a$. 如果 b = Ax，那么 $x^{+}=A^{+}b=A^{+}Ax$ 。由习题 12（$a$）， $x^{+}$ 是 $x$ 在 Row A 上的正交投影。 b. 由（$a$）和习题 12（$c$）， $A{x}^{+}=A(A^{+}Ax)=(A{A}^{+}A)x=Ax=b$

$c$. 由于 $x^{+}$ 是 $x$ 在 Row A 上的正交投影，因此由勾股定理，

$${\Vert \mathbf{u}\Vert }^2={\Vert {\mathbf{x}}^{+}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{u}-{\mathbf{x}}^{+}\Vert }^2$$

($c$) 立即得证.

$$A^{+}=\frac{1}{40}\left[\begin{array}{rrrr}-2& -14& 13& 13\\ -2& -14& 13& 13\\ -2& 6& -7& -7\\ 2& -6& 7& 7\\ 4& -12& -6& -6\end{array}\right],\hat{x}=\left[\begin{array}{c}0.7\\ 0.7\\ -0.8\\ 0.8\\ 0.6\end{array}\right]$$

$\left[\begin{array}{l}A\\ x^{\mathrm{T}}\end{array}\right]$ 的简化阶梯形除零以外的其他行与 $A$ 的简化阶梯形一致. 所以, 将 $A$ 中的行乘上一个数加到 $x^T$ 可产生零向量, 这说明 $x^T$ 属于 Row A.

Nul A 的基: $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right].$