第1章 奇数习题答案

第1章 习题答案

1.1

1. 解是 $(x_1,x_2)=(-8,3)$ ，或简单写成 $(-8,3)$ .

2. (4/7,9/7)

3. 替换第 2 行为第 2 行加 3 乘以第 3 行，然后替换第 1 行为第 1 行加 -5 乘以第 3 行.

4. 解集为空集.

5. (4,8,5,2) 11. 不相容

6. (5,3,-1) 15. 相容

7. 计算表明方程组不相容, 因此这三条线没有交点.

8. $h\ne 2$ 21. 所有 $h$

9. 标记一个命题为真当且仅当这个命题总是真的。只给出答案会达不到判断题的意义，即帮助你学会仔细阅读教材是重要的。“学习指导”告诉你在哪里可以找到答案，但你不应该在没有尝试自己寻找答案之前就去查看“学习指导”。

10. $k+2g+h=0$

11. 行化简 $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& f\\ c& d& g\end{array}\right]$ 为 $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& f\\ 0& d-3c& g-cf\end{array}\right]$ 后显示 $d-3c$ 必定不为零，因为 $f$ 和 $g$ 是任意值。否则，对 $f$ 和 $g$ 的某种取值，第2行对应于形如 $0=b$ 的方程，其中 $b$ 不为零。因此 $d\ne 3c$ 。

12. 交换第1行和第2行；交换第1行和第2行.

13. 用第3行加-4乘第1行替换第3行；用第3行加4乘第1行替换第3行. $4T_1-T_2-T_4=30$ 33. $-T_1+4T_2-T_3=60$ $-T_2+4T_3-T_4=70$ $-T_1-T_3+4T_4=40$

1.2

1. 简化阶梯形：$a$,$b$；阶梯形：$d$；非阶梯形：$c$.

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& -2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ ，主元列是第1列和第2列： $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 5& 6& 7\\ 6& 7& 8& 9\end{array}\right].$

5. $\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& ■\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\end{array}\right]$ 7. $\{\begin{array}{rl}{x}_1& =-5-3x_2\\ x_2& 是自由变量\\ x_3& =3\end{array}$ 9. $\{\begin{array}{rl}{x}_1& =4+5x_3\\ x_2& =5+6x_3\\ x_3& 是自由变量\end{array}$ 11. $\{\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{4}{3}{x}_2-\frac{2}{3}{x}_3\\ x_2& 是自由变量\\ x_3& 是自由变量\end{array}$ 13. $\{\begin{array}{rl}{x}_1& =5+3x_5\\ x_2& =1+4x_5\\ x_3& 是自由变量\\ x_4& =4-9x_5\\ x_5& 是自由变量\end{array}$

注: 学习指导讨论了通常的错误 $x_3=0$ .

15. $a$. 相容，只有一个解 $b$. 不相容.

16. $h=\frac{7}{2}$

17. $a$. 当 $h=2,k\ne 8$ 时不相容
    b. 当 $h\ne 2$ 时有唯一解
    c. 当 $h=2,k=8$ 时有多解

18. 仔细阅读课本，查阅“学习指导”之前写出你的答案。记住，一个论断是正确的当且仅当所有情形下论断都正确。

19. 是．方程组是相容的，这是因为它有三个主元，一定有一个主元在系数矩阵的第三行．化简后的阶梯形矩阵不包含 [0 0 0 0 0 1]

20. 如果系数矩阵中的每一行都有一个主元位置，那么在底行有一个主元位置，从而在增广列没有主元位置，所以，根据定理2，方程组是相容的.

21. 如果线性方程组是相容的，则解是唯一的当且仅当系数矩阵的每一列都是主元列，否则，方程组有无穷多解.

22. 一个不确定的方程组中，未知变量的个数总多于方程的个数。基本变量的个数不多于方程的个数，所以，至少有一个自由变量，这个变量可以被指定无穷多个值。如果方程组是相容的，则自由变量的每一个不同值会产生一个不同解。

23. 是的，一个线性方程组的方程个数多于未知变量的个数，它可以是相容的。下面的方程组有一个解 $(x_1=x_2=1)$ ：

$$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=2\\ & x_1-x_2=0\\ & 3x_1+2x_2=5\end{array}$$

33. [$M$] $p(t)=7+6t-t^2$

1.3

1. $\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\end{array}\right]$ ， $\left[\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right]$

5. $x_1\left[\begin{array}{c}6\\ -1\\ 5\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -7\\ -5\end{array}\right],$

$$\left[\begin{array}{c}6x_1\\ -x_1\\ 5x_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-3x_2\\ 4x_2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -7\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}6x_1-3x_2\\ -x_1+4x_2\\ 5x_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -7\\ -5\end{array}\right]$$$$\begin{array}{rl}6x_1-3x_2& =1\\ -x_1+4x_2& =-7\\ 5x_1& =-5\end{array}$$

通常不写中间过程.

7. $a=u-2v,b=2u-2v,c=2u-3.5v,d=3u-4v$

$$x_1\left[\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l}1\\ 6\\ 3\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -1\\ -8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

11. 是，$b$ 是 $a_1,a_2,a_3$ 的线性组合.

12. 否，$b$不是$A$的列的线性组合.

13. 当然，非整数权值也可以接受，但一些简单选择是 $0\cdot v_1+0\cdot v_2=0$ ，且

$$1\cdot {\mathbf{v}}_1+0\cdot {\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\\ -6\end{array}\right],0\cdot {\mathbf{v}}_1+1\cdot {\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-5\\ 3\\ 0\end{array}\right]$$$$1\cdot v_1+1\cdot v_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ -6\end{array}\right],1\cdot v_1-1\cdot v_2=\left[\begin{array}{c}12\\ -2\\ -6\end{array}\right]$$

17. h = -17

18. Span $\{v_1,v_2\}$ 是在通过 $v_1$ 和原点的直线上的点集.

19. 提示：证明 $\left[\begin{array}{ccc}2& 2& h\\ -1& 1& k\end{array}\right]$ 对所有 $h$ 和 $k$ 是相容的，解释这个计算能说明 Span $\{u,v\}$ 是什么.

20. 在你查阅 “学习指导” 之前，先仔细阅读整节内容。特别注意定义和定理的叙述和其前后的注释。

21. $a$. 否，3 b. 是，无穷多 $c$. $a_1=1\cdot a_1+0\cdot a_2+0\cdot a_3$

22. $a$. $5v_1$ 是 5 天工作 1#矿的产出. b. 总的产出是 $x_1{v}_1+x_2{v}_2$ ，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 应该满足 $x_1{v}_1+x_2{v}_2=\left[\begin{array}{c}150\\ 2825\end{array}\right]$ . c.[$M$]1.5天生产1#矿和4天生产2#矿.

23. (1.3, 0.9, 0)

24. $a$. $\left[\begin{array}{c}10/3\\ 2\end{array}\right]$ b. 在 $(0,1)$ 点加 3.5 克，在 $(8,1)$ 点加 0.5 克，在 $(2,4)$ 点加 2 克.

25. 复习练习题 1 再写出解答，“学习指导”有参考解答.

1.4

1. 乘积无定义，因为 $3\times 2$ 矩阵的列数为 2，而向量的元素个数是 3，两者不匹配.

2. $a$.

$$\begin{array}{rl}A\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{cc}6& 5\\ -4& -3\\ 7& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]=2\cdot \left[\begin{array}{c}6\\ -4\\ 7\end{array}\right]-3\cdot \left[\begin{array}{c}5\\ -3\\ 6\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}12\\ -8\\ 14\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-15\\ 9\\ -18\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right]\end{array}$$

$b$.

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ll}6& 5\\ -4& -3\\ 7& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}2\\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\cdot 2+5\cdot (-3)\\ (-4)\cdot 2+(-3)\cdot (-3)\\ 7\cdot 2+6\cdot (-3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-3\\ 1\\ -4\end{array}\right]$$

在这里以及习题 4~6 展示你的工作, 以后的习题计算过程用心算.

5. $5\cdot \left[\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right]-1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ -7\end{array}\right]+3\cdot \left[\begin{array}{c}-8\\ 3\end{array}\right]-2\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-8\\ 16\end{array}\right]$

$$\left[\begin{array}{rrr}4& -5& 7\\ -1& 3& -8\\ 7& -5& 0\\ -4& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}6\\ -8\\ 0\\ -7\end{array}\right]$$$$9.x_1\left[\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l}-5\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}9\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}3& 1& -5\\ 0& 1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}9\\ 0\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 4& -2\\ 0& 1& 5& 2\\ -2& -4& -3& 9\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ -3\\ 1\end{array}\right]$$

13. 是（验证你的答案）.

$u$ 在这里

15. 当 $3b_1+b_2$ 非零时，方程 $Ax=b$ 不相容。（给出理由。）所有使方程 $Ax=b$ 相容的 $b$ 组成的集合是一条通过原点的直线 $b_2=-3b_1$

16. 只有 3 行含有主元位置. 由定理4, 方程 $Ax=b$ 不是对 ${\mathbb{R}}^4$ 中的每个 $b$ 都有解.

17. 习题 17 说明定理4）不真，因此定理4 的四个命题都不真，所以不是 $d$）不真，因此定理 4 的四个命题都不真，所以不是 $R^4$ 中的所有向量都可以写成 $A$ 的列的线性组合的形式，且 $A$ 的列不能生成 $R^4$ .

18. 矩阵 $[v_1,v_2,v_3]$ 不是每一行都有主元，因此由定理4，矩阵的列不能生成 ${\mathbb{R}}^4$ ，即 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 不能生成 ${\mathbb{R}}^4$ ：

19. 仔细阅读教材，在查阅“学习指导”之前先判断习题中每个命题的真假。习题23和24中的许多命题是这种形式的蕴涵式：“如果<命题1>，则<命题2>”或等价地，“有<命题2>，如果<命题1>。”当<命题1>为真时，如果在任何情形下<命题2>都为真，则将这样的蕴涵式标记为真。

20. $c_1=-3,c_2=-1,c_3=2$

21. $Qx=v$ ，其中 $Q=[q_1,q_2,q_3]$ 及 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$ . 注：如果答案是 $Ax=b$ ，必须明确 $A$ 和

22. 提示: 从有 3 个主元位置的 $3\times 3$ 阶梯形矩阵 $B$ 开始寻找.

23. 查阅 “学习指导” 之前写出你的解答.

24. 提示： $A$ 有多少主元列？为什么？

25. 给定 $A{x}_1=y_1,A{x}_2=y_2$ ，要证明 $Ax=w$ 有一个解，其中 $w=y_1+y_2$ 。注意到 $w=A{x}_1+A{x}_2$ 。由定理5($a$)，分别用 $x_1,x_2$ 代替 $u,v$ ，则有 $w=A{x}_1+A{x}_2=A(x_1+x_2)$ 。因此向量 $x=x_1+x_2$ 是 $w=Ax$ 的一个解。

26. [$M$] 列不生成 ${\mathbb{R}}^4$ .

27. [$M$] 列生成 ${\mathbb{R}}^4$ .

28. [$M$] 在习题 39 中划掉矩阵的第 4 列. 也可以不划掉矩阵的第 4 列, 而是划掉矩阵的第 3 列.

1.5

1. 方程组有非平凡解，因为有自由变量 $x_3$ .

2. 方程组有非平凡解，因为有自由变量 $x_3$ .

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right]$$

$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}-9\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}8\\ -5\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

$$\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{l}3\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

11. 提示：由阶梯形推出的方程组是

$$\begin{array}{rl}{x}_1-4x_2& +5x_6=0\\ x_3& -x_6=0\\ x_5-4x_6=0& \\ & 0=0\end{array}$$

基本变量是 $x_1,x_3,x_5$ ，其他变量是自由变量。 “学习指导”讨论了两种这类型题目常犯的错误.

13. $x=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right]=p+x_{3}q$ . 在几何上，解集是 通过 $\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 0\end{array}\right]$ 且平行于 $\left[\begin{array}{c}4\\ -7\\ 1\end{array}\right]$ 的直线.

14. $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -2\\ 1\end{array}\right]$ . 解集是通过 $\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ 的直线，平行于习题 5 中齐次线性方程组解集的直线.

15. 令 $u=\left[\begin{array}{c}-9\\ 1\\ 0\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ ，齐次方程的解是 $x=x_{2}u+x_{3}v$ ，这是由 $u$ 和 $v$ 所生成的通过原点的平面。非齐次方程组的解集是 $x=p+x_{2}u+x_{3}v$ ，此平面通过 $p$ ，平行于齐次方程解集的平面。

16. $x=a+tb$ ，其中 $t$ 为参数，或者 $x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-5\\ 3\end{array}\right]$ 或 $\{\begin{array}{l}{x}_1=-2-5t\\ x_2=\dots 3t\end{array}$

17. $x=p+t(q-p)=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}-5\\ 6\end{array}\right]$

18. 非常重要的是仔细阅读课本，然后写出你的答案. 完成之后，如果需要，用“学习指导”校对答案.

19. $A{v}_h=A(w-p)=Aw-Ap=b-b=0$

20. 当 $A$ 是 $3\times 3$ 零矩阵时 $R^3$ 中的每一个 $x$ 满足 Ax = 0，因此解集是 $R^3$ 中的所有向量.

21. $a$. 当 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵且有 3 个主元位置时，方程 Ax = 0 没有自由变量，因此没有非平凡解. b. 有 3 个主元位置时，$A$ 在每一行都有一个主元位置，由 1.4 节定理4，方程 Ax = b 对每个可能的 $b$ 都有一个解．“可能”的意思是此处考虑的向量是 ${\mathbb{R}}^3$ 中的向量，因为 $A$ 有3行.

22. $a$. 当 $A$ 是 $3\times 2$ 矩阵且有 2 个主元位置时，每一列是主元列，于是方程 Ax = 0 没有自由变量，因此没有非平凡解.

$b$. 有 2 个主元位置和三行时，$A$ 不可能在每一行有一个主元，由 1.4 节定理4，方程 Ax = b 不可能对 $R^3$ 中每个可能的 $b$ 都有一个解.

33. 一个答案是 $x=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$ .

34. 你的例子中应该有每行的元素之和等于零. 为什么?

35. 一个答案是 $A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 1& -4\end{array}\right]$ . “学习指导”给出如何分析问题以构造 $A$ . 如果 $b$ 不是 $A$ 的第一列的数倍, 则 $Ax=b$ 的解集为空, 因此不可能通过平移 $Ax=0$ 的解集来得到 $Ax=b$ 的解. 这并不与定理6相矛盾, 因为定理6仅当方程 $Ax=b$ 有非空的解集时才成立.

36. 如果 $c$ 是一个数，则由1.4节定理5（$b$）， $A(cu)=cAu$ 。如果 $u$ 满足 $Ax=0$ ，则 $Au=0$ ， $cAu=c\cdot 0=0$ ，从而 $A(cu)=0$ 。

1.6

1. 一通解是 $p_{\text{商品}}=0.875p_{\text{服务}}$ ，其中 $p_{\text{服务}}$ 是自由变量。一个平衡的解是 $p_{\text{服务}}=1000$ 和 $p_{\text{商品}}=875$ 。使用分数，一般解可写成 $p_{\text{商品}}=(7/8)p_{\text{服务}}$ ，一个自然的价格取值是 $p_{\text{服务}}=80$ ， $p_{\text{商品}}=70$ 。只有价格的比例是重要的，经济平衡不会受一个价格变化的影响。

产出	燃料能源	加工	服务	投入	购买部门:
	↓	↓	↓
	0.2	0.8	0.4	→	燃料能源
	0.3	0.1	0.4	→	加工
	0.5	0.1	0.2	→	服务

$b$.

$$\left[\begin{array}{rrrr}0.8& -0.8& -0.4& 0\\ -0.3& 0.9& -0.4& 0\\ -0.5& -0.1& 0.8& 0\end{array}\right]$$

$c$. [$M$] $p_{化学金属}=141.7$ , $p_{燃料动力}=91.7$ , $p_{机器}=100$ . 取两位有效数字 $p_{化学金属}=140$ , $p_{燃料动力}=92$ , $p_{机器}=100$ .

5. ${\mathrm{B}}_2{\mathrm{S}}_3+6{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\to 2{\mathrm{H}}_3{\mathrm{BO}}_3+3{\mathrm{H}}_2\mathrm{S}$

6. $3{\mathrm{NaHCO}}_3+{\mathrm{H}}_3{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}_7\to {\mathrm{Na}}_3{\mathrm{C}}_6{\mathrm{H}}_5{\mathrm{O}}_7+3{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}+3{\mathrm{CO}}_2$

7. [$M$] $15{\mathrm{PbN}}_6+44{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{\mathrm{M}}_{{\mathrm{n}}_2}{\mathrm{O}}_8\to 5{\mathrm{Pb}}_3{\mathrm{O}}_4+22{\mathrm{C}}_{{\mathrm{r}}_2}{\mathrm{O}}_3+$ $88{\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{O}}_2+90NO$ 11. $\{\begin{array}{l}{x}_1=20-x_3\\ x_2=60+x_3\\ x_3\text{是自由变量}\\ x_4=60\end{array}$ $x_3$ 的最大值是20.
   13.a. $\{\begin{array}{l}{x}_1=x_3-40\\ x_2=x_3+10\\ x_3\text{是自由变量}\\ x_4=x_6+50\\ x_5=x_6+60\\ x_6\text{是自由变量}\end{array}$ b. $\{\begin{array}{l}{x}_2=50\\ x_3=40\\ x_4=50\\ x_5=60\end{array}$

1.7

对习题 1~22 验证你的答案.

1. 线性无关 3. 线性相关

2. $a$. 没有 $h$ b. 所有 $h$

$$h=6$$

15. 线性相关 17. 线性相关

16. 如果在思考判断题之前查阅“学习指导”，会失去做这类题目的意义.

17. $\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\end{array}\right]$

$$\left[\begin{array}{cc}■& \ast \\ 0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\text{和}\left[\begin{array}{cc}0& ■\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$$

27. $7\times 5$ 矩阵 $A$ 的所有 5 列一定是主元列. 否则方程 Ax = 0 有自由变量, 此时, $A$ 的列线性相关.

28. $A$: 任何有两个非零列的 $3\times 2$ 矩阵，但两列相互没有倍数关系，此时，这两列线性无关，因此方程 Ax = 0 只有平凡解. B: 任何一列是另外一列倍数的 $3\times 2$ 矩阵.

29. $x=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

30. 由定理7 可知，真。（“学习指导”补充了另外的验证。）

31. 假. 向量 $v_1$ 可能是零向量.

32. 真， $v_1,v_2,v_3$ 之间的线性相关关系通过选取 $v_4$ 的权值为零可以扩展为 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 之间的线性相关关系.

33. 你有能力在没有帮助的条件下做这个重要的题目。在查阅“学习指导”之前写出你的解答。

34. [$M$]利用 $A$ 的主元列， $B=\left[\begin{array}{ccc}8& -3& 2\\ -9& 4& -7\\ 6& -2& 4\\ 5& -1& 10\end{array}\right]$ ，可能有其他选择.

35. [$M$] $A$ 中不属于 $B$ 的每一个列属于 $B$ 的列所生成的集合.

1.8

1. $\left[\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2a\\ 2b\end{array}\right]$ 3. $x=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ , 唯一解

2. $x=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ ，不唯一 7. a=5, b=6

3. $x=x_3\left[\begin{array}{c}9\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}-7\\ -3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

4. 是，因为 $[Ab]$ 所表示的方程组是相容的。

通过原点的对称

到 $x_2$ 轴上的投影

17. $\left[\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 9\end{array}\right]$ 19. $\left[\begin{array}{c}13\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2x_1-x_2\\ 5x_1+6x_2\end{array}\right]$

18. 仔细阅读课本，在查阅“学习指导”之前写出你的答案，注意练习21($e$)是下列形式的句子，“〈命题1〉当且仅当〈命题2〉”

标出这样的句子是真的：如果〈命题1〉真，在任何情况下〈命题2〉是真的；如果〈命题2〉真，在任何情况下〈命题1〉是真的.

25. 提示：利用直线的参数方程表示直线的图像

（即直线上所有点的图像组成的集合）.

27. $a$. 经过 $p$ 和 $q$ 的直线平行于 q-p（见 1.5 节的习题 21 和 22）。由于 $p$ 在直线上，故 $x=p+t(q-p)$ ，从而 $x=p-tp+tq$ ，即 $x=(1-t)p+tq$ 。 b. 考虑 $x=(1-t)p+tp,0⩽t⩽1$ 。由变换 $T$ 的线性性， $T(x)=T((1-t)p+tp)=(1-t)T(p)+tT(q)$ (*) 如果 $T(p)$ 和 $T(q)$ 是相异的，则（*）是过 $T(p)$ 和 $T(q)$ 的线段，如（$a$）所示。否则，图像的集合是一个点 $T(p)$ ，这是因为 $(1-t)T(p)+tT(q)=(1-t)T(p)+tT(p)=T(p)$

28. $a$. 当 $b=0$ 时, $f(x)=mx$ . 此时, 对任何 $\mathbb{R}$ 中的 $x,y$ 和任何数 $c,d$ , $f(cx+dy)=m(cx+dy)=mcx+mdy$ $=c(mx)+d(my)=c\cdot f(x)+d\cdot f(y)$ 这说明 $f$ 是线性的. b. 当 $f(x)=mx+b$ 时, 其中 $b$ 非零, $f(0)=m(0)+b=b\ne 0$ . c. 在微积分中, $f$ 称为线性函数, 因为 $f$ 的图像是一直线.

29. 提示：由于 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 线性相关，你可写出一些方程且解出它.

30. 一种可能性是验证 $T$ 不将零向量映射为零向量，但是，每个线性变换必须将零向量映射为零向量： $T(0,0)=(0,4,0)$ .

31. 取 ${\mathbb{R}}^3$ 中的 $u$ 和 $v$ ，令 $c,d$ 为数，则 $cu+dv=(c{u}_1+d{v}_1,c{u}_2+d{v}_2,c{u}_3+d{v}_3)$ ，线性变换 $T$ 是线性的，因为

$$\begin{array}{rl}T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})& =(c{u}_1+d{v}_1,c{u}_2+d{v}_2,-(c{u}_3+d{v}_3))\\ & =(c{u}_1+d{v}_1,c{u}_2+d{v}_2,-c{u}_3-d{v}_3)\\ & =(c{u}_1,c{u}_2,-c{u}_3)+(d{v}_1,d{v}_2,-d{v}_3)\\ & =c(u_1,u_2,-u_3)+d(v_1,v_2,-v_3)\\ & =cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})\end{array}$$

37. [$M$] 所有（7，9，0，2）的倍数.

38. [$M$] 是，对 $x$ 的一个选择是（4，7，1，0）

1.9

$$\left[\begin{array}{cc}3& -5\\ 1& 2\\ 3& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{cc}-1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$$

11. 所描述的变换 $T$ 将 $e_1$ 映射为 $-e_1$ ，将 $e_2$ 映射为 $-e_2$ 。旋转 $\pi$ 弧度也可以将 $e_1$ 映射为 $-e_1$ ，将 $e_2$ 映射为 $-e_2$ 。因为一个线性变换完全由它对单位矩阵的列的映射而确定，这样的旋转变换对 $R^2$ 中的每个向量的作用跟 $T$ 是一样的。

$$\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 4& 0& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{ccc}1& -5& 4\\ 0& 1& -6\end{array}\right]$$$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right]$$

23. 查阅 “学习指导” 之前先回答问题. 对习题 25~28 验证你的答案.

24. 不是一对一的也不是将 $R^4$ 映上到 $R^4$ 的映射.

25. 不是一对一的，但是将 ${\mathbb{R}}^3$ 映上到 ${\mathbb{R}}^2$ 的映射

$$\left[\begin{array}{ccc}■& \ast & \ast \\ 0& ■& \ast \\ 0& 0& ■\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

31. $n$. (解释为什么，然后查阅“学习指导”.)

32. 提示：如果 $e_j$ 是单位矩阵 $I_n$ 的第 $j$ 列，那么 $B{e}_j$ 是 $B$ 的第 $j$ 列.

33. 提示： $m>n$ 可能吗？对 $m<n$ 怎么样？

34. [$M$] 否（解释为什么）.

35. [$M$] 否（解释为什么）.

1.10

1. $a$.

2. $x_1\left[\begin{array}{c}110\\ 4\\ 20\\ 2\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}130\\ 3\\ 18\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}295\\ 9\\ 48\\ 8\end{array}\right]$ ，其中 $x_1$ 是 Cheerios

的份数， $x_2$ 是100%天然麦片的份数.

$b$.

$\left[\begin{array}{cc}110& 130\\ 4& 3\\ 20& 18\\ 2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}295\\ 9\\ 48\\ 8\end{array}\right]$ . 混合 1.5 份的

Cheerios 和 1 份 100% 的天然麦片.

3. $a$. 0.99 苹果奶酪、1.54 西兰花和 0.79 鸡肉罐头
   b. 1.09 全麦面和白切达奶酪，0.88 西兰花和 1.03 鸡肉罐头

$$R\mathbf{i}=\mathbf{v},\left[\begin{array}{rrrr}11& -5& 0& 0\\ -5& 10& -1& 0\\ 0& -1& 9& -2\\ 0& 0& -2& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_1\\ I_2\\ I_3\\ I_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}50\\ -40\\ 30\\ -30\end{array}\right]$$$$[\mathrm{M}]:\mathbf{i}=\left[\begin{array}{l}{I}_1\\ I_2\\ I_3\\ I_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3.68\\ -1.90\\ 2.57\\ -2.49\end{array}\right]$$$$R\mathbf{i}=\mathbf{v},\left[\begin{array}{cccc}12& -7& -0& -4\\ -7& 15& -6& 0\\ 0& -6& 14& -5\\ -4& 0& -5& 13\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{I}_1\\ I_2\\ I_3\\ I_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}40\\ 30\\ 20\\ 10\end{array}\right]$$

[$M$]:

$$\mathbf{i}=\left[\begin{array}{l}{I}_1\\ I_2\\ I_3\\ I_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}11.43\\ 10.55\\ 8.04\\ 5.84\end{array}\right]$$

9. $x_{k+1}=M{x}_k,k=0,1,2,\cdots ,$ 其中 $M=\left[\begin{array}{cc}0.93& 0.05\\ 0.07& 0.95\end{array}\right],x_0=\left[\begin{array}{c}800000\\ 500000\end{array}\right]$

2017年的人口数量（ $k=2$ ）是 $x_2=\left[\begin{array}{c}741720\\ 558280\end{array}\right]$

11. $a$. $M=\left[\begin{array}{cc}0.98033& 0.00179\\ 0.01967& 0.99821\end{array}\right]$

$b$. [$M$] $x_{10}=\left[\begin{array}{c}35.729\\ 278.18\end{array}\right]$

13. [$M$] a. 城市的人口减少, 7年后, 人口会相等, 但城市人口数量继续减少. 20年后, 城市人口仅为417000. (注意: 417456在千位上四舍五入.) 但每年的人口变化数量会越来越小. b. 城市人口缓慢增长，郊区人口减少. 20年后，城市人口将从350000增长到370000.

第1章补充习题 答案

1. $a$.F b.F c.T d.F e.T f.T g.F h.F i.T j.F k.T l.F m.T n.T o.T p.T q.F r.T s.F t.T u.F v.F w.F x.T y.T z.F

2. $a$. 任一相容的线性方程组，其阶梯形为

$\left[\begin{array}{cccc}\square & \ast & \ast & \ast \\ 0& \square & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cccc}\square & \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& \square & \ast \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cccc}0& \square & \ast & \ast \\ 0& 0& \square & \ast \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

$b$. 任一相容的线性方程组，其阶梯形为 $I_3$ .

$c$. 任一具有 3 个变量和 3 个方程的不相容的线性方程组.

5. $a$. 解集：（$i$）如果 $h=12$ 且 $k\ne 2$ ，是空集；(ii) 如果 $h\ne 12$ ，则包含一个唯一解；(iii) 如果 $h=12$ 且 $k=2$ ，则包含无穷多解. b. 解集为空，如果 $k+3h=0$ ；否则，解集包含一个唯一解.

6. $a$. 令 $v_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ 7\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -5\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ -3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$ . “判断 $v_1,v_2,v_3$ 是否可以生成 ${\mathbb{R}}^3$ ”，答案：否. b. 令 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -4& -2\\ -5& 1& 1\\ 7& -5& -3\end{array}\right]$ , “判断 $A$ 的列是否可以生成 ${\mathbb{R}}^3$ .” c. 定义 $T(x)=Ax$ ，“判断 $T$ 是否将 ${\mathbb{R}}^3$ 映上到 ${\mathbb{R}}^3$ .”

7. $\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]=\frac{4}{3}\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+\frac{7}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8/3\\ 4/3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}7/3\\ 14/3\end{array}\right]$ .

8. 提示：在 $x_1{x}_2$ 平面画出由 $a_1$ 和 $a_2$ 确定的格线.

9. 当方程组有一个自由变量时，解集是一条直线。如果系数矩阵是 $2\times 3$ ，则三列中有两列是主元列。例如，取系数矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& \ast \\ 0& 3& \ast \end{array}\right]$ ，在第3列随便填入元素，所得矩阵是阶梯形。对第2行做一次行变换以产生不是阶梯形的矩阵，例如 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 5& 2\end{array}\right]$ 。

10. 提示：方程 Ax=0 中有多少个自由变量？

11. $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

12. $a$. 如果三个向量线性无关，则 $a,c,f$ 必定全不为零. b. 数 $a,\cdots ,f$ 可取任意值.

13. 提示：从右向左将列写为 $v_1,\cdots ,v_4$ .

14. 提示：使用定理7.

15. 设 $M$ 为通过原点的直线且平行于 $v_1,v_2,v_3$ 三点所连成的直线，则 $v_2-v_1$ 和 $v_3-v_1$ 都在 $M$ 上。因此两个向量互成倍数关系，比如 $v_2-v_1=k(v_3-v_1)$ 。这个方程给出了线性相关关系： $(k-1)v_1+v_2-k{v}_3=0$ 。

第二种解法：直线的参数方程是 $x=v_1+t(v_2-v_1)$ 。由于 $v_3$ 在直线上，故存在一 $t_0$ 使得 $v_3=v_1+t_0$ ( $v_2-v_1$ ) = (1 - t_0) $v_1+t_0{v}_2$ 。因此 $v_3$ 是 $v_1$ 和 $v_2$ 的线性组合，并且 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 线性相关。

21. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 23. $a=4/5,b=-3/5$

22. $a$. 当建造 $x_1$ 层的 $A$ 设计时，向量列出有 3, 2 和 1 个卧室的公寓数目. b. $x_1\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 8\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 8\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}5\\ 3\\ 9\end{array}\right]$

$c$. [$M$] 利用 $A$ 设计的 2 层和 $B$ 设计的 15 层，或 $A$ 设计的 6 层、$B$ 设计的 2 层和 $C$ 设计的 8 层。这些是仅有的可行解。也存在其他数值解，但它们需要一个或两个设计的负数的楼层，这没有实际意义。