附录A_简化阶梯形矩阵的唯一性

定理（简化阶梯形矩阵的唯一性）

每一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 行等价于唯一简化阶梯形矩阵 $U$ .

证明

利用 4.3 节的思想，即行等价矩阵的列具有完全一样的线性相关关系.

行化简算法说明至少存在一个这样的矩阵 $U$. 假设 $A$ 行等价于简化阶梯形矩阵 $U$ 和 $V$, $U$ 的行中最左边非零元素是 “主元” 1, 称这类主元 1 的位置是一个主元位置, 并且包含它的列称为主元列 (这个定义仅用于阶梯特征的 $U$ 和 $V$, 并且假设简化阶梯形不唯一).

$U$ 和 $V$ 的主元列恰恰是与它们左边的列线性无关的非零列（这个条件自动满足第一列是非零的）．由于 $U$ 和 $V$ 行等价（两个矩阵都行等价于 $A$ ），故它们的列有相同的线性相关关系，因此， $U$ 和 $V$ 的主元列出现在同样位置．如果有 $r$ 个这样的列，则因为 $U$ 和 $V$ 是简化阶梯形，所以它们的主元列是 $m\times n$ 单位矩阵的前 $r$ 列，这样对应的 $U$ 和 $V$ 的主元列是相等的．

最后，考虑 $U$ 的任意非主元列，例如列 $j$ ，这个列或者是零或者是左边主元列的线性组合（因为这些主元列是第 $j$ 列左边的列生成的空间的一个基）。两种情形下，对第 $j$ 个元素为1的 $x$ 都可写成 $Ux=0$ 。那么 $Vx=0$ ，这说明 $V$ 的第 $j$ 列或者是零或者是与它左边 $V$ 的主元列相同的线性组合。由于 $U$ 和 $V$ 对应的主元列是相等的，因此 $U$ 和 $V$ 的第 $j$ 列也相等，这个结果对 $U$ 和 $V$ 所有非主元列也成立，因而 $V=U$ ，这就证明了 $U$ 是唯一的。