8.3 凸组合

8.1节中考察了一个特殊的线性组合形式

$$c_1{\nu }_1+c_2{\nu }_2+\cdots +c_k{\nu }_k,\text{其中}{c}_1+c_2+\cdots +c_k=1$$

本节将限制这些权值为非负.

定义 $R^n$ 中点 $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ 的一个凸组合是如下形式的线性组合：

$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k$$

对于所有的 $i$ ，有 $c_1+c_2+\cdots +c_k=1$ 和 $c_i⩾0$ 。一个集合 $S$ 中所有凸组合的集称为 $S$ 的凸包，记为 $\mathrm{conv}S$ 。

单点 $v_1$ 的凸包就是集合 $\{v_1\}$ ，与仿射包相同。在其他的情形下，凸包真包含在仿射包中。回忆不同点 $v_1$ 和 $v_2$ 的仿射包是直线

$$\mathbf{y}=(1-t){\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2,t\in \mathbb{R}$$

由于一个凸组合的权值是非负的，故 $\{v_1,v_2\}$ 中的点可写为

$$\mathbf{y}=(1-t){\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2,0⩽t⩽1$$

这是在点 $v_1$ 和 $v_2$ 之间的线段，记为 $\overline{v_1{v}_2}$ .

如果一个集合 $S$ 是仿射无关的，且 $p\in \mathrm{aff}S$ ，那么当且仅当 $p$ 的重心坐标是非负时， $p\in \mathrm{conv}S$ 。例1证明了一个特殊的情形，其中 $S$ 是仿射无关的。

例 1

令

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\\ -3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 3\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{p}}_2=\left[\begin{array}{c}-10\\ 5\\ 11\\ -4\end{array}\right]$$

且 $S=\{v_1,v_2,v_3\}$ . 注意 $S$ 是正交集. 确定 $p_1$ 是否在 $\mathrm{Span}S$ , $\mathrm{aff}S$ 及 $\mathrm{conv}S$ 中. 同样考虑 $p_2$ 的情况.

解

若 $p_1$ 至少是 $S$ 中点的线性组合，则由于 $S$ 是正交集合，很容易求出权值。令 $W$ 为 $S$ 生成的子空间。类似于 6.3 节的计算证明了 $p_1$ 在 $W$ 上的正交投影 $p_1$ 是其本身：

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{proj}}_W{\mathbf{p}}_1& =\frac{{\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1+\frac{{\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2}{{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2}{\mathbf{v}}_2+\frac{{\mathbf{p}}_3\cdot {\mathbf{v}}_3}{{\mathbf{v}}_3\cdot {\mathbf{v}}_3}{\mathbf{v}}_3\\ & =\frac{18}{54}{\mathbf{v}}_1+\frac{18}{54}{\mathbf{v}}_2+\frac{18}{54}{\mathbf{v}}_3\\ & =\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\\ -3\end{array}\right]+\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}-6\\ 3\\ 3\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ 6\\ 3\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}0\\ 3\\ 3\\ 0\end{array}\right]={\mathbf{p}}_1\end{array}$$

由此证明 $p_1$ 在 Span S 内. 同样由于系数和为 1, 因此 $p_1$ 在 aff S 内. 进一步, 由于系数是非负的, 故 $p_1$ 在 conv S 内.

对于 $p_2$ ，类似的计算证明 $pro{j}_W{p}_2\ne p_2$ 。由于 $pro{j}_W{p}_2$ 是 Span S 中到 $p_2$ 最近的点，所以，点 $p_2$ 不在 Span S 中。特别地， $p_2$ 不可能在 aff S 内或 conv S 内。

回忆一下，集合 $S$ 是仿射的，若 $S$ 内任意两点确定的直线都在 $S$ 中。而在凸集中，要考虑的是线段而不是直线。

定义 集合 $S$ 是凸的，若对于每个 $p,q\in S$ ，线段 $\overline{pq}$ 在 $S$ 中.

直觉上，若集合 $S$ 中的每两点都可以相互 “看到”，且视线不越出该集合，那么集合 $S$ 是凸的。图 8-14 说明了这个思想。

凸的

图 8-14

不是凸的

下面的结论类似于仿射集的定理2.

定理 7

集合 $S$ 是凸集当且仅当 $S$ 中的点的凸组合在 $S$ 中, 即 $S$ 是凸集当且仅当 $S=\text{conv }S$ .

证明

讨论类似于定理2 的证明，这里只给出归纳步骤中不同的部分。取 $k+1$ 个点的凸组合，考虑 $y=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k+c_{k+1}{v}_{k+1}$ ，其中 $c_1+c_2+\cdots +c_{k+1}=1$ ，且对所有的 $i$， $0⩽c_i⩽1$ 。若 $c_{k+1}=1$ ，则 $y=v_{k+1}$ 属于 $S$，这不需要进一步证明。若 $c_{k+1}<1$ ，令 $t=c_1+\cdots +c_k$ ，则 $t=1-c_{k+1}>0$ 且

$$\mathbf{y}=\left(1-c_{k+1}\right)\left(\frac{c_1}{t}{\mathbf{v}}_1+\cdots +\frac{c_k}{t}{\mathbf{v}}_k\right)+c_{k+1}{\mathbf{v}}_{k+1}\text{\hspace{1em}(1)}$$

由归纳假设，点 $z=(c_1/t){\mathbf{v}}_1+\cdots +(c_k/t){\mathbf{v}}_k$ 在 $S$ 内，这是由于非负系数和为 1. 于是，方程（1）表明 $y$ 为 $S$ 内两点的凸组合. 由归纳法原理，$S$ 内的点的每个凸组合在 $S$ 内.

下面的定理9提供了集合凸包的一个几何特征。它需要有关交集的初步结论。回顾4.1节（习题32）中的一个事实——两个子空间的交集本身仍是一个子空间。事实上，任一组子空间的交集本身仍是一个子空间。对于仿射集与凸集有相似的结论。

定理 8

设 $\{S_{\alpha }:\alpha \in \mathcal{A}\}$ 是任一组凸集，则 ${\cap }_{\alpha \in \mathcal{A}}{S}_{\alpha }$ 是凸集。若 $\{T_{\beta }:\beta \in \mathcal{B}\}$ 是任一组仿射集，则 ${\cap }_{\beta \in \mathcal{B}}{S}_{\beta }$ 是仿射集。

证明

若 $p,q\in \cap S_{\alpha }$ ，则 $p,q$ 在每个 $S_{\alpha }$ 中。由于每个 $S_{\alpha }$ 是凸集，因此对所有 $\alpha$ ，连接 $p,q$ 的线段在 $S_{\alpha }$ 中，从而线段属于 $\cap S_{\alpha }$ 。对于仿射集的证明与此类似。

定理 9

对任何集合 $S$，$S$ 的凸包是所有包含 $S$ 的凸集的交集.

证明

令 $T$ 为包含 $S$ 的所有凸集的交集. 由于 $\mathrm{conv}S$ 是包含 $S$ 的一个凸集, 故 $T\subset \mathrm{conv}S$ . 另一方面, 令 $C$ 是包含 $S$ 的任意一个凸集, 则 $C$ 包含 $C$ 中所有点构成的凸组合 (定理7), 因此也包含子集 $S$ 中所有点构成的凸组合, 即 $\mathrm{conv}S\subset C$ . 由于对包含 $S$ 的每个凸集 $C$ 都成立, 故对所有包含 $S$ 的凸集的交集同样成立, 即 $\mathrm{conv}S\subset T$ .

定理9证明了 $S$ 的凸包是包含 $S$ 的“最小”的凸集，这一点诠释了“凸包”的自然含义。例如，考虑平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中可被某个大长方形包含的点集 $S$ ，想象环绕 $S$ 外边沿拉伸橡皮筋。由于橡皮筋限制于 $S$ ，因此它构架了 $S$ 凸包的边界。或者用另一个模拟， $S$ 的凸包填满 $S$ 内部所有的洞及 $S$ 边界中所有的凹陷。

例 2

$a$. $R^2$ 中集合 $S$, $T$ 的凸包如下图所示.

S

conv S
T

conv T

$b$. 令 $S$ 是三维空间 ${\mathbb{R}}^3$ 的标准基构成的集合， $S=\{e_1,e_2,e_3\}$ 。则 $\mathrm{conv}S$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中顶点为 $e_1,e_2,e_3$ 的一个三角面。见图 8-15。

例 3

令 $S=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]:x⩾0,y=x^2\right\}$ ，证明 $S$ 的凸包是原点和 $\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]:x>0,y⩾x^2\right\}$ 的并集。如图 8-16所示。

图 8-15

图 8-16

解

$S$ 的凸包中每个点都在连接 $S$ 中两点的线段上. 图 8-16中的虚线表明, 除了原点外, $y$ 的正半轴不在 $S$ 的凸包中, 这是因为原点是 $S$ 轴上唯一的点. 图 8-16所示的 $y$ 轴上唯一的点. 图8-16所示的 $S$ 的凸包似乎是合理的, 但是如何确定点 $(10^{-2},10^4)$ 在连接原点与 $S$ 中另一点的线段上?

考虑图 8-16阴影部分的任意点 $p$ ，令

$$p=\left[\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right],a>0\text{且}b⩾a^2$$

经过 0 与 $p$ 的直线满足方程 $y=(b/a)t$ ，$t$ 为实数。直线与 $S$ 的交点满足 $(b/a)t=t^2$ ，即 t=b/a。因此 $p$ 在连接 0 与 $\left[\begin{array}{c}b/a\\ b^2/a^2\end{array}\right]$ 的线段上。由此证明图 8-16 正确。

下面的定理是凸集学习中的基本定理，于1907年首次由Constantin Caratheodory证明.若 $p$ 在 $S$ 的凸包中，则按定义， $p$ 必是 $S$ 的点的一个凸组合.但定义没有规定需要 $S$ 中多少个点构成这个组合.Caratheodory的著名定理表明在 $n$ 维空间中，凸组合中 $S$ 的点的个数不必多于 $n+1$

定理 10 Caratheodory

若 $S$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中一非空子集，则 $S$ 的凸包中的每一点可以由 $S$ 中 $n+1$ 个或更少的点的凸组合表示.

证明

假定 $p$ 在 $S$ 的凸包中，则 $p=c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k$ ，其中 $v_i\in S$ ， $c_1+\cdots +c_k=1$ ，且 $c_i⩾0,i=1,\cdots ,k$ 。我们的目的就是证明 $p$ 存在这样的表达式且 $k⩽n+1$ 。

若 $k>n+1$ ，则由 8.2 节习题 12 知 $\{v_1,\cdots ,v_k\}$ 是仿射相关的，因此存在不全为 0 的标量 $d_1,\cdots ,d_k$ ，使得

$$\sum _{i=1}^k{d}_i{\nu }_i=0\text{且}\sum _{i=1}^k{d}_i=0$$

考虑如下两个方程：

$$\begin{array}{l}{c}_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k=\mathbf{p}\\ d_1{v}_1+\cdots +d_k{\mathbf{v}}_k=0\end{array}$$

第一个方程减去第二个方程的适当倍数，可以消去一个 $v_i$ ，从而得到 $S$ 的少于 $k$ 个点构成的凸组合，该凸组合等于 $p$.

由于并非所有的系数 $d_i$ 都为0，因此可以假定（若需要则重新排下标） $d_k>0$ 且对那些 $d_i>0$ 的所有 $i$ 有 $c_k/d_k⩽c_i/d_i$ . 对 $i=1,\dots ,k$ ，令 $b_i=c_i-(c_k/d_k)d_i$ . 则 $b_k=0$ 且

$$\sum _{i=1}^k{b}_i=\sum _{i=1}^k{c}_i-\frac{c_k}{d_k}\sum _{i=1}^k{d}_i=1-0=1$$

进一步，每个 $b_i⩾0$ 。事实上，若 $d_i⩽0$ ，则 $b_i⩾c_i⩾0$ 。若 $d_i>0$ ，则 $b_i=d_i(c_i/d_i-c_k/d_k)⩾0$ 。由构造，得

$$\sum _{i=1}^{k-1}{b}_i{\mathbf{v}}_i=\sum _{i=1}^k{b}_i{\mathbf{v}}_i=\sum _{i=1}^k\left(c_i=\frac{c_k}{d_k}{d}_i\right){\mathbf{v}}_i=\sum _{i=1}^k{c}_i{\mathbf{v}}_i-\frac{c_k}{d_k}\sum _{i=1}^k{d}_i{\mathbf{v}}_i=\sum _{i=1}^k{c}_i{\mathbf{v}}_i=\mathbf{p}$$

因此 $p$ 是 k-1 个点 $v_1,\cdots ,v_{k-1}$ 的凸组合. 重复上述步骤到 $p$ 是由 $S$ 中 $n+1$ 个点构成的凸组合. 下面的例子说明了上述证明中的计算.

例 4

令

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{l}5\\ 4\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{l}3\\ 0\end{array}\right],\mathbf{p}=\left[\begin{array}{l}\frac{10}{3}\\ \frac{5}{2}\end{array}\right]$$

且 $S=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ ，则

$$\frac{1}{4}{\mathbf{v}}_1+\frac{1}{6}{\mathbf{v}}_2+\frac{1}{2}{\mathbf{v}}_3+\frac{1}{12}{\mathbf{v}}_4=\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(2)}$$

使用 Caratheodory 定理的证明过程把 $p$ 表示为 $S$ 中三个点构成的凸组合.

解

集合 $S$ 是仿射相关的. 使用8.2节中的方法得到一个仿射相关的关系式

$$-5{\mathbf{v}}_1+4{\mathbf{v}}_2-3{\mathbf{v}}_3+4{\mathbf{v}}_4=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

接下来，选择（3）式中的点 $v_2,v_4$ ，它们的系数为正。对上述每个点，计算方程（2）与（3）中系数的比例。 $v_2$ 的系数比为 $\frac{1}{6}÷4=\frac{1}{24}$ ，而 $v_4$ 的为 $\frac{1}{12}÷4=\frac{1}{48}$ 。 $v_4$ 的比更小，因此从方程（2）减去方程（3）的 $\frac{1}{48}$ 来消去 $v_4$ ：

$$\left(\frac{1}{4}+\frac{5}{48}\right){\mathbf{v}}_1+\left(\frac{1}{6}-\frac{4}{48}\right){\mathbf{v}}_2+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{48}\right){\mathbf{v}}_3+\left(\frac{1}{12}-\frac{4}{48}\right){\mathbf{v}}_4=\mathbf{p}$$$$\frac{17}{48}{\mathbf{v}}_1+\frac{4}{48}{\mathbf{v}}_2+\frac{27}{48}{\mathbf{v}}_3=\mathbf{p}$$

一般而言，通过减少需要的点的个数并不能改善这个结果。事实上， ${\mathbb{R}}^2$ 中任意三个非共线的点构成的三角形的质心在这三个点的凸包中，而不是在任意两点的凸包中。

练习题

1. 令 $v_1=\left[\begin{array}{c}6\\ 2\\ 2\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\\ 5\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -1\end{array}\right],p_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 1\end{array}\right]$ , 及 $p_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]$ , 令 $S=\{v_1,v_2,v_3\}$ . 确定 $p_1$ 和 $p_2$ 是否在 conv $S$ 中.

2. 令 $S$ 为曲线 $y=1/x(x>0)$ 上的点集，从几何上解释 $S$ 的凸包由曲线 $S$ 上及 $S$ 上方的点构成.

习题8.3

1. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，令 $S=\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ y\end{array}\right]:0⩽y<1\right\}\cup \left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\right\}$ . 描述 $S$ 的凸包.

2. 描述 $R^2$ 中点 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 构成的集合 $S$ 满足如下给定条件的凸包. 证明你的结论. (证明 $S$ 中任意一点 $p$ 属于 $S$ 的凸包.)
   a. y=1/x 且 $x⩾1/2$ b. $y=\sin x$ c. $y=x^{1/2}$ 且 $x⩾0$

3. 考虑 8.1 节习题 5 中的点. $p_1$ , $p_2$ 和 $p_3$ 哪个在 $S$ 的凸包中?

4. 考虑 8.1 节习题 6 中的点. $p_1$ , $p_2$ 和 $p_3$ 哪个在 $S$ 的凸包中?

5. 令 $v_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 4\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 1\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 4\end{array}\right],v_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right]$

$p_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 2\end{array}\right],且S=\{{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3,{\nu }_4\}.确定$

$p_1$ ， $p_2$ 是否在$S$的凸包中.

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{p}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -\frac{3}{2}\\ \frac{5}{2}\end{array}\right],$$

$p_2=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ 0\\ \frac{1}{4}\\ \frac{7}{4}\end{array}\right],p_3=\left[\begin{array}{c}6\\ -4\\ 1\\ -1\end{array}\right],p_4=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 0\\ 4\end{array}\right],$ 且 $S=\left\{{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3\right\}$

为正交集. 确定每一 $p_i$ 是否属于 Span S, aff S 或 conv S.

$a$. $p_1$ b. $p_2$ c. $p_3$ d. $p_4$

习题 7~10 使用 8.2 节中的术语.

7. $a$. 令 $T=\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]\right\}$ , $p_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$ , $p_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right],p_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]$ . 求出 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 关于 $T$ 的重心坐标. b. 由（$a$）的答案确定 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 在 $T$ 的凸包（即三角形区域）内部、外部还是边上.

8. 重复习题7的过程，其中 $T=\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]\right\}$ ， $p_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],p_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],p_3=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{3}\end{array}\right],p_4=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ .

9. 令 $S=\{{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3,{\nu }_4\}$ 是仿射不相关集，考虑点 $p_1,\dots ,p_5$ 关于 $S$ 的重心坐标分别为 $(2,0,0,-1)$ ， $\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right),\left(\frac{1}{2},0,\frac{3}{2},-1\right),\left(\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{6}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3},0\right)$ 确定每点 $p_1,\dots ,p_5$ 是在凸包 $S$ （一个四面体）内部、外部还是表面。这5个点中有点在凸包 $S$ 的边上吗？

10. 重复习题 9 的过程，其中 $q_1,\cdots ,q_5$ 关于 $S$ 的重心坐标分别为 $\left(\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{2}\right)$ ， $\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{4},0,\frac{1}{2}\right)$ ， $\left(0,\frac{3}{4},\frac{1}{4},0\right)$ ， $(0,-2,0,3)$ 和 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},0\right)$ .

11. $a$. 若 $y=c_1{v}_1+c_2{v}_2+c_3{v}_3$ ，且 $c_1+c_2+c_3=1$ ，则 $y$ 是 $v_1,v_2,v_3$ 的凸组合. b. 若 $S$ 是非空集合，则 $S$ 的凸包包含一些不属于 $S$ 的点. c. 若 $S$, $T$ 都是凸集，则 $S\cup T$ 也是凸集.

12. $a$. 集合 $S$ 是凸集，若 $x,y\in S$ ，则 $x$ 和 $y$ 间的线段在 $S$ 内. b. 若 $S$, $T$ 都是凸集，则 $S\cap T$ 也是凸集. c. 若 $S$ 是 $R^5$ 中的非空集合，且 $y\in convS$ ，则存在 $S$ 中不同的点 $v_1,\cdots ,v_6$ ，使得 $y$ 是 $v_1,\cdots ,v_6$ 的凸组合.

13. 令 $S$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸子集, 假定 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是一线性变换. 证明: 集合 $f(S)=\{f(x):x\in S\}$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的凸子集.

14. 令 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是一线性变换，且 $T$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的凸子集。证明：集合 $S=\{x\in {\mathbb{R}}^n:f(x)\in T\}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的凸子集。

15. 令 $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right],v_4=\left[\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ . 证实 $p=\frac{1}{3}{v}_1+\frac{1}{3}{v}_2+\frac{1}{6}{v}_3+\frac{1}{6}{v}_4$ 且 $v_1-v_2+v_3-v_4=0$ . 使用 Caratheodory 定理的证明过程把 $p$ 表示为 $v_i$ 中三个点构成的凸组合. 使用两种方法.

16. 重复习题 15 的过程，其中点 $v_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right],v_2=$ $\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right],v_3=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right],v_4=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right],p=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ ，且 $p=\frac{1}{121}{v}_1+\frac{72}{121}{v}_2+\frac{37}{121}{v}_3+\frac{1}{11}{v}_4$ $10{\nu }_1-6{\nu }_2+7{\nu }_3-11{\nu }_4=0$

在习题 17~20 中，证明关于 $R^n$ 中子集 $A$ 与 $B$ 的命题。证明中可能会使用前面习题中的结论。

17. 若 $A\subset B$ 且 $B$ 是凸集，则 $\mathrm{conv}A\subset B$ .

18. 若 $A\subset B$ ，则 $\mathrm{conv}A\subset \mathrm{conv}B$

19. $a$. $\left[\left(\text{conv }A\right)\cup \left(\text{conv }B\right)\right]\subset \text{conv }(A\cup B)$ . b. 在 $R^2$ 中找一个例子，以证明（$a$）中等号未必成立.

20. $a$. $\mathrm{conv}(A\cap B)\subset [(\mathrm{conv}A)\cap (\mathrm{conv}B)]$ . b. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中找一个例子，以证明（$a$）中等号未必成立.

21. 令 $p_0,p_1,p_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点，且定义 $f_0(t)=(1-t)p_0+t{p}_1$ ， $f_1(t)=(1-t)p_1+t{p}_2$ ， $g(t)=(1-t)f_0(t)+t{f}_1(t)$ ， $0⩽t⩽1$ 。各点如图所示，画图说明 $f_0\left(\frac{1}{2}\right)$ ， $f_1\left(\frac{1}{2}\right)$ 和 $g\left(\frac{1}{2}\right)$ 。

22. 重复习题 21 的过程，画图说明 $f_0\left(\frac{3}{4}\right)$ ， $f_1\left(\frac{3}{4}\right)$ 和 $g\left(\frac{3}{4}\right)$ .

23. 令 $g(t)$ 为习题 21 中所定义，它的图像称为二次贝塞尔曲线，常运用于某些计算机图形设计.

$p_0,p_1,p_2$ 称为曲线的控制点．计算仅包含 $p_0,p_1,p_2$ 的公式 $\mathbf{g}(t)$ ．那么 $\mathbf{g}(t)$ 在 $\mathrm{conv}\{p_0,p_1,p_2\}$ 中， $0⩽t⩽1$

24. 给定 ${\mathbb{R}}^n$ 中的控制点 $p_0,p_1,p_2,p_3$ ，令 $g_1(t)$ 为习题23中 $p_0,p_1,p_2$ 确定的二次贝塞尔曲线， $0⩽t⩽1$ ，令 $g_2(t)$ 为 $p_1,p_2,p_3$ 确定的二次贝塞尔曲练习题答案

线．定义 $\mathbf{h}(t)=(1-t){\mathbf{g}}_1(t)+t{g}_2(t)$ ， $0⩽t⩽1$ ．证明 $\mathbf{h}(t)$ 的图形在这四个控制点的凸包中．这条曲线称为三次贝塞尔曲线，它的定义基于构建贝塞尔曲线的算法。（在稍后8.6节讨论．）k维的贝塞尔曲线由 $k+1$ 个控制点确定，它的图形位于这些控制点的凸包中．

1. 点 $v_1,v_2,v_3$ 非正交，计算

$${\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-8\\ 2\\ -3\end{array}\right],{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-5\\ 1\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{p}}_2-{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ -1\end{array}\right]$$

把 $p_1-v_1$ 和 $p_2-v_1$ 加到矩阵 $[v_2-v_1,v_3-v_1]$ 中作行化简：

$$\left[\begin{array}{rrrr}1& -8& -5& -3\\ -1& 2& 1& 0\\ 3& -3& -1& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{rrrr}1& 0& \frac{1}{3}& 1\\ 0& 1& \frac{2}{3}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& -\frac{5}{2}\end{array}\right]$$

第三列说明 $p_1-v_1=\frac{1}{3}(v_2-v_1)+\frac{2}{3}(v_3-v_1)$ ，由此推出 $p_1=0v_1+\frac{1}{3}{v}_2+\frac{2}{3}{v}_3$ 。故 $p_1$ 在 $S$ 的凸包中。事实上， $p_1$ 在点集 $\{v_2,v_3\}$ 的凸包中。矩阵的最后一列说明 $p_2-v_1$ 不是 $v_2-v_1$ 与 $v_3-v_1$ 的线性组合，所以 $p_2$ 不是 $v_1,v_2,v_3$ 的仿射组合，故 $p_2$ 不在 $S$ 的凸包中。

另一解法是把齐次形式的增广矩阵行化简为阶梯形矩阵：

$$[{\tilde{\mathbf{v}}}_1{\tilde{\mathbf{v}}}_2{\tilde{\mathbf{v}}}_3{\tilde{\mathbf{p}}}_1{\tilde{\mathbf{p}}}_2]\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 1& \frac{2}{3}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2. 若 $p$ 是曲线 $S$ 上方一点，则经过点 $p$ 斜率为 -1 的直线在到达 $x$, $y$ 的正半轴前与 $S$ 交于两点.