第7章 补充习题

1. 说明每一个论断是正确的还是错误的，验证你的答案。在每一部分中，$A$ 表示一个 $n\times n$ 矩阵。 a. 如果 $A$ 是正交可对角化矩阵，那么 $A$ 是对称的。 b. 如果 $A$ 是一个正交矩阵，那么 $A$ 是对称的。

$c$. 如果 $A$ 是一个正交矩阵，那么 $\Vert Ax\Vert =\Vert x\Vert$ 对所有 $R^n$ 的向量 $x$ 均成立.

$d$. 二次型 $x^{T}Ax$ 的主轴可以是任意将 $A$ 对角化的矩阵 $P$ 的列.

$e$. 如果 $P$ 是一个 $n\times n$ 具有正交列的矩阵，那么 $P^T=P^{-1}$ .

$f$. 如果二次型的每一个系数是正的，那么二次型是正定的.

$g$. 如果对某些 $x$，有 $x^{T}Ax>0$ ，那么二次型 $x^{T}Ax$ 是正定的.

$h$. 通过适当的变量代换，任何二次型可以变成一个没有交叉乘积项的二次型.

$i$. 二次型 $x^{\mathrm{T}}Ax$ 在 $\Vert x\Vert =1$ 条件下的最大值是矩阵 $A$ 对角线上的最大元素.

$j$. 一个正定二次型 $x^{\mathrm{T}}Ax$ 的最大值是 $A$ 的最大特征值.

$k$. 一个正定二次型可以通过一个合适的变量代换 $x=Pu$ 变为负定二次型，其中 $P$ 是正交

矩阵.

1. 一个不定二次型是指特征值不定的二次型.

$m$. 如果 $P$ 是 $n\times n$ 正交矩阵，那么变量代换 x = Pu 将 $x^{T}Ax$ 变换为矩阵为 $P^{-1}AP$ 的二次型.

$n$. 如果 $U$ 是 $m\times n$ 且列正交的矩阵，那么 $U{U}^{T}x$ 是 $x$ 在 ColU 上的正交投影.

0. 如果 $B$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $x$ 是 $R^n$ 中的一个单位向量，那么 $\Vert Bx\Vert ⩽{\sigma }_1$ ，其中 ${\sigma }_1$ 是 $B$ 的第一个奇异值.

$p$. 一个 $m\times n$ 矩阵 $B$ 的奇异值分解可以写成 $B=P\Sigma Q$ ，其中 $P$ 是一个 $m\times m$ 正交矩阵， $Q$ 是一个 $n\times n$ 正交矩阵， $\Sigma$ 是一个 $m\times n$ “对角”矩阵.

$q$. 如果 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，那么 $A$ 和 $A^{T}A$ 具有同样的奇异值.

2. 令 $\{u_1,\cdots ,u_n\}$ 是 $R^n$ 的单位正交基，且 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是任意实数，定义

$$A={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^{\mathrm{T}}+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{u}}_n{\mathbf{u}}_n^{\mathrm{T}}$$

$a$. 证明 $A$ 是对称的. b. 证明 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值.

3. 令 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n\times n$ 对称矩阵，试解释为什么 $A$ 的谱分解是将 $A$ 表示为 $r$ 个秩为 1 的矩阵之和.

4. 令 $A$ 是一个 $n\times n$ 对称矩阵. a. 证明 $(\mathrm{Col}A{)}^{\perp }=\mathrm{Nul}A$ . （提示：见 6.1 节.） b. 证明：每一个属于 $R^n$ 的 $y$ 可以写成 $y=\hat{y}+z$ 的形式，其中 $\hat{y}$ 属于 Col A，$z$ 属于 Nul A.

5. 证明：如果 $v$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的一个特征向量，且 $\lambda$ 是对应的 $A$ 的非零特征值，那么 $v$ 属于Col $A$ . （提示：利用特征向量的定义.)

6. 设 $A$ 是一个 $n\times n$ 对称矩阵, 利用习题 5 和 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个特征向量基给出习题 4($b$) 中分解的第二种证明.

7. 证明：一个 $n\times n$ 矩阵 $A$ 是正定的充分必要条件是 $A$ 有一个楚列斯基分解，即 $A=R^{\mathrm{T}}R$ 对一些可逆上三角矩阵 $R$ 成立，其中 $R$ 的主对角元素都是正数。（提示：利用QR分解和7.2节习题26.)

8. 利用习题7证明：如果 $A$ 是正定的，那么 $A$ 具有一个LU分解 $A=LU$ ，其中 $U$ 的对角线上有正主元。（反之也真。）如果 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，那么矩阵 $G=A^{\mathrm{T}}A$ 称为 $A$ 的格拉姆矩阵．在这种情形中， $G$ 的元素是 $A$ 的列向量的内积.

9. 证明：任意矩阵 $A$ 的格拉姆矩阵是半正定的，且与 $A$ 有相同的秩。（见6.5节的习题。）

10. 证明：如果一个 $n\times n$ 矩阵 $G$ 是半正定且有秩 $r$ ，那么 $G$ 是某 $r\times n$ 矩阵 $A$ 的格拉姆矩阵，这称为 $G$ 的显秩矩阵的分解。（提示：考虑 $G$ 的谱分解，首先将 $G$ 写成一个 $n\times r$ 矩阵 $B$ 的 $B{B}^{\mathrm{T}}$ 形式。）

11. 证明：任何 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有一个形如 $A=PQ$ 的极分解，其中 $P$ 是 $n\times n$ 半正定矩阵且与 $A$ 具有相同的秩， $Q$ 是一个 $n\times n$ 正交矩阵。（提示：利用奇异值分解 $A=U\sum V^{\mathrm{T}}$ ，且 $A=(U\sum U^{\mathrm{T}})(U{V}^{\mathrm{T}})$ ）这种分解可用于机械工程中给材料的变形建模。矩阵 $P$ 表示材料（沿 $P$ 的特征向量的方向）的拉伸或压缩变换， $Q$ 表示材料在空间的旋转变换。

习题 12~14 涉及一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，具有简化的奇异值分解 $A=U_{r}D{V}_r^T$ ，其伪逆是 $A^{+}=V_r{D}^{-1}{U}_r^T$ .

12. 验证 $A^{+}$ 的性质：$a$. 对每个属于 ${\mathbb{R}}^m$ 的 $y$ ， $A{A}^{+}y$ 是 $y$ 在 $\mathrm{Col}A$ 上的正交投影。b. 对每个属于 ${\mathbb{R}}^n$ 的 $x$ ， $A^{+}Ax$ 是 $x$ 在 $\mathrm{Row}A$ 上的正交投影。c. $A{A}^{+}A=A$ 和 $A^{+}A{A}^{+}=A^{+}$ 。

13. 若方程 Ax=b 是相容的，令 $x^{+}=A^{+}b$ 。由 6.3 节的习题 23，存在唯一一个属于 Row A 的向量 $p$ ，使得 Ap=b 。下面的步骤证明 $x^{+}=p$ 且 $x^{+}$ 是 Ax=b 的最小长度解。 a．证明： $x^{+}$ 属于 Row A。（提示：将 $b$ 写成关于 $x$ 的 Ax 形式，并且利用习题 12.） b．证明： $x^{+}$ 是 Ax=b 的一个解. c. 证明：如果 $u$ 是 Ax=b 的任意一个解，那么 $\Vert x^{+}\Vert ⩽\Vert u\Vert$ 。且只有当 $u=x^{+}$ 时等号成立。

14. 给定 ${\mathbb{R}}^m$ 中的任何 $b$ , 修改习题 13 的证明: $A^{+}b$ 是最小长度的最小二乘解. (提示: 考虑方程 $Ax=\hat{b}$ , 其中 $\hat{b}$ 是 $b$ 在 Col $A$ 上的正交投影.) [$M$] 对习题 15 和习题 16 构造 $A$ 的伪逆. 开始时使用矩阵程序计算 $A$ 的奇异值分解, 或者, 如果没有这个程序, 首先对 $A^{\mathrm{T}}A$ 进行正交对角化. 使用伪逆求解 $Ax=b$ , 其中 $b=(6,-1,-4,6)$ , 并记 $\hat{x}$ 是所求的解. 用计算方法验证 $\hat{x}$ 属于 Row $A$ , 求一个属于 Nul $A$ 的非零向量 $u$ , 并验证 $\Vert \hat{x}\Vert <\Vert \hat{x}+u\Vert$ , 由习题 13 ($c$) 可知该式一定成立.

15. $A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& -3& -6& 6& 1\\ -1& -1& -1& 1& -2\\ 0& 0& -1& 1& -1\\ 0& 0& -1& 1& -1\end{array}\right]$ 16. $A=\left[\begin{array}{ccccc}4& 0& -1& -2& 0\\ -5& 0& 3& 5& 0\\ 2& 0& -1& -2& 0\\ 6& 0& -3& -6& 0\end{array}\right]$