介绍性实例 北美地质资料和 GPS 导航
设想启动一个巨大的工程，该工程估计会持续10年时间，需要花费大量的人力去构造并解一个 的线性方程组。这实际上就是美国国家大地测量局（NGS）1974年所做的工作。当时准备更新北美地质资料（NAD）——一个包含268000个精确测量并标记说明的地点网络，它覆盖整个北美大陆，包括格陵兰岛、夏威夷、维尔京群岛、波多黎各和其他加勒比海诸岛。
北美地质资料中记录的经度和纬度范围必须精确到几厘米，其原因是它构成诸如测量、地图、法定地产边界和土木工程项目（像高速公路和公共使用线路等）设计等方面的标准。然而从1927年最后一次地名测量调整以来，至少需要在原始资料中增加200 000个新测量点。由于不严密的测量和地球板块的漂移，误差已逐年积累。至于北美地质资料重新调整所需要的数据采集工作，1983年就已完成。
通常意义下，北美地质资料对应的线性方程组没有正常解，只具有最小二乘解。它用经度和纬度表示参考点以逼近180万个实际观测点。这种最小二乘解发现于1986年，是通过求解一个相关的所谓法方程组而得，其计算涉及928735个方程928735个变量！
最近，为了能通过基于人造地球卫星的全球定位系统（GPS）给人造地球卫星以精确定位，有关地面上的参考点的知识已变得至关重要。一个配有 GPS 装置的卫星能通过测量从地面上三个发射器发射的信号的到达时间来计算它相对于地球的位置。为此，卫星使用了与地面站同步精确的原子钟，而这些地面站的位置则是通过 NAD 精确获知的。
全球定位系统既可用于定位地面上的新参考点，也可用于发现一个地面上的使用者相对于给定地图的位置。当汽车司机（或登山员）打开一个GPS接收器时，这个接收器便会测量至少从三个卫星发来的信号的相对到达时间。这些信息连同发过来的关于卫星的位置及相应时刻，将用于调整GPS接收器的时间并确定它在地球上的近似位置. 如果有从第 4 颗卫星发来的信息, GPS 接收器甚至还能确定它自己的近似高度.
不管是 NAD 问题还是 GPS 问题，都是通过寻找一个“近似满足”不相容线性方程组的向量得以解决。这种似乎矛盾的说法将需要本章前5节建立起来的思想得以详细解释。
为了寻找一个没有真正解的不相容的方程组的近似解，需要给“接近”概念下一个良好的定义。6.1节介绍了向量空间中的距离和正交性概念。6.2节和6.3节说明正交性是如何用于判定子空间 中的某个点是最接近 之外的一个给定点 的。通过把 设定为矩阵的列子空间，6.5节导出了一个可以求得不相容线性方程组（NAD报告中所解答的正是这样的方程组）的近似（“最小二乘”）解的方法。
6.4节让我们又一次看到正交投影的作用，导出了一个广泛应用于数值线性代数中的矩阵因式分解的方法。本章其余节的内容是检验实际应用中产生的一部分最小二乘问题，有些涉及比 空间更一般的向量空间。