4.5 向量空间的维数

4.4节定理8.8蕴涵向量空间 $V$ 的基 $\mathcal{B}$ 若含有 $n$ 个向量，则 $V$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 同构。本节我们证明数 $n$ 是 $V$ 的一个内在的性质（称为维数），它不依赖基的选择。维数的讨论将使我们对基的性质有更深入的理解。

第一个定理推广了关于向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个著名的结果.

定理 9

若向量空间 $V$ 具有一组基 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ ，则 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一定线性相关.

证明

令 $\{u_1,\dots ,u_p\}$ 是 $V$ 中一个含有多于 $n$ 个向量的集合。因为坐标向量 $[u_1{]}_B,\dots ,[u_p{]}_B$ 的个数（ $p$ ）多于每个向量中元素的个数（ $n$ ），所以 $[u_1{]}_B,\dots ,[u_p{]}_B$ 线性相关。于是存在数 $c_1,\dots ,c_p$ 不全为 0，使得

$$c_1[u_1{]}_B+\cdots +c_p[u_p{]}_B=\left[\begin{array}{l}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]{\mathbb{R}}^n\text{中的零向量}$$

因为坐标映射是线性变换，故

$${\left[c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p\right]}_B=\left[\begin{array}{l}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$$

上式右边的零向量展示了从 $B$ 中的基向量构建向量 $c_1{u}_1+\cdots +c_p{u}_p$ 所需的 $n$ 个权，即

$c_1{u}_1+\cdots +c_p{u}_p=0\cdot b_1+\cdots +0\cdot b_n=0$ ．因为 $c_i$ 不全为零，所以 $\{u_1,\cdots ,u_p\}$ 是线性相关的.

由定理9 可推出如果一向量空间 $V$ 有一组基 $B=\left\{b_1,\cdots ,b_n\right\}$ ，则 $V$ 的每个线性无关集由多于 $n$ 个的向量所组成.

定理 10

若向量空间 $V$ 有一组基含有 $n$ 个向量，则 $V$ 的每一组基一定恰好含有 $n$ 个向量.

证明

令 ${\mathcal{B}}_1$ 是一个含 $n$ 个向量的基， ${\mathcal{B}}_2$ 是 $V$ 的任一另外的基。因为 ${\mathcal{B}}_1$ 是一个基， ${\mathcal{B}}_2$ 是线性无关的，故由定理9， ${\mathcal{B}}_2$ 不能含有多于 $n$ 个向量。同理由于 ${\mathcal{B}}_2$ 是一个基， ${\mathcal{B}}_1$ 线性无关，故 ${\mathcal{B}}_2$ 至少含有 $n$ 个向量，于是 ${\mathcal{B}}_2$ 恰好含有 $n$ 个向量。

如果一个非零向量空间 $V$ 由有限集 $S$ 生成，则由生成集定理， $S$ 的一个子集是 $V$ 的一个基。由此，定理10保证下列定义有意义。

定义 若 $V$ 由一个有限集生成，则 $V$ 称为有限维的， $V$ 的维数写成 $\dim V$ ，是 $V$ 的基中向量的个数。零向量空间 $\{0\}$ 的维数定义为零。如果 $V$ 不是由一有限集生成，则 $V$ 称为无穷维的。

例 1

$R^n$ 的标准基含有 $n$ 个向量，所以 $\dim R^n=n$ 。标准的多项式基 $\{1,t,t^2\}$ 表明 $\dim P_2=3$ 。一般而言， $\dim P_n=n+1$ 。所有多项式的空间 $P$ 是无穷维的（见习题 27）。

例 2

令 $H=\mathrm{Span}\{v_1,v_2\}$ ，其中 $v_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right],v_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ ，则 $H$ 是

4.4节的例7中研究过的平面． $H$ 的一个基为 $\{v_1,v_2\}$ ，这是由于 $v_1$ 和 $v_2$ 不是倍数关系从而线性无关，于是 $\dim H=2$

例 3

求下列子空间的维数：

$$H=\left\{\left[\begin{array}{c}a-3b+6c\\ 5a+4d\\ b-2c-d\\ 5d\end{array}\right]:a,b,c,d\in \mathbb{R}\right\}$$

解

易见 $H$ 为下列向量的所有线性组合的集合:

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{l}1\\ 5\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}6\\ 0\\ -2\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{l}0\\ 4\\ -1\\ 5\end{array}\right]$$

显然 $v_1\ne 0$ ， $v_2$ 不是 $v_1$ 的倍数，但 $v_3$ 是 $v_2$ 的倍数。由生成集定理，去掉 $v_3$ 仍可生成 $H$。最后由于 $v_4$ 不是 $v_1$ 和 $v_2$ 的线性组合，所以 $\{v_1,v_2,v_4\}$ 是线性无关的（由 4.3 节中定理4），进而是 $H$ 的一个基，于是 $\dim H=3$ 。

例 4

$R^3$ 的子空间可用维数分类，见图 4-23.

零维子空间. 只有零子空间是零维子空间.

一维子空间. 任一由单一非零向量生成的子空间, 这样的子空间是经过原点的直线.

二维子空间. 任一由两个线性无关向量生成的子空间, 这样的子空间是通过原点的平面.

三维子空间．只有 ${\mathbb{R}}^3$ 本身是三维子空间．由可逆矩阵定理， ${\mathbb{R}}^3$ 中任意3个线性无关向量生成整个 ${\mathbb{R}}^3$

图4-23 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间样本

有限维空间的子空间

下一个定理是生成集定理的一个自然配对.

定理 11

令 $H$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，若有必要的话， $H$ 中任一个线性无关集均可以扩充成为 $H$ 的一个基。 $H$ 也是有限维的并且

$$\dim H⩽\dim V$$

证明

若 $H=\{0\}$ ，必然有 $\dim H=0⩽\dim V$ 。否则，令 $S=\{u_1,\cdots ,u_k\}$ 是 $H$ 中任一线性无关集。若 $S$ 生成 $H$，则 $S$ 是 $H$ 的一个基。否则，存在 $H$ 中某向量 $u_{k+1}$ 不在 Span S 中。但 $\{u_1,\cdots ,u_k,u_{k+1}\}$ 将会是线性无关的，这是因为此集中没有一个向量可以表示为其前面向量的线性组合（由定理4）。

只要这个新集合不能生成 $H$，我们就可以继续这个扩充 $S$ 到 $H$ 中一个更大的线性无关集的过程。但由定理9，$S$ 的线性无关扩充中向量的个数永远不能超过 $V$ 的维数，所以 $S$ 的扩充最终会生成 $H$ 而且将成为 $H$ 的一个基，同时 $\dim H⩽\dim V$ 。

当一个线性空间或子空间的维数知道后，通过下一个定理，求一个基就简单了。即如果一个集合有适当个数的元素，则我们仅需要证明或者这个集合是线性无关的或者它生成这个空间。这个定理在许多应用问题（例如微分方程或差分方程）中均具有非常重要的意义，其中线性无关性比生成性更容易验证。

定理 12 基定理

令 $V$ 是一个 $p$ 维向量空间， $p⩾1$ ，$V$ 中任意含有 $p$ 个元素的线性无关集必然是 $V$ 的一个基。任意含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 的集合自然是 $V$ 的一个基。

证明

由定理11，含 $p$ 个元素的线性无关集 $S$ 可以扩充为 $V$ 的一个基。但由于 $\dim V=p$ ，因此基必须恰好包含 $p$ 个向量。所以 $S$ 已经是 $V$ 的一个基。现假设 $S$ 含有 $p$ 个元素且生成 $V$ 。因为 $V$ 是非零的，故生成集定理蕴涵 $S$ 的一个子集 $S^{\prime }$ 是 $V$ 的一个基。因为 $\dim V=p$ ，故 $S^{\prime }$ 一定包含 $p$ 个向量，从而 $S=S^{\prime }$ 。

Nul A 和 Col A 的维数

由于矩阵 $A$ 的主元列构成 $\mathrm{Col}A$ 的一个基，因此我们一旦知道主元列，就知道了 $\mathrm{Col}A$ 的维数。对 $\mathrm{Nul}A$ 的维数似乎需要做更多的工作，因为求 $\mathrm{Nul}A$ 的一个基通常比求 $\mathrm{Col}A$ 的一个基需要更多的时间。但有一条捷径可走！

令 $A$ 为一个 $m\times n$ 矩阵，假设方程 Ax = 0 有 $k$ 个自由变量。由 4.2 节，我们知道求 Nul A 的生成集的标准方法将恰好产生 $k$ 个线性无关向量，比如说是 $u_1,\cdots ,u_k$ ，每一个向量对应一个自由变量。所以 $\{u_1,\cdots ,u_k\}$ 是 Nul A 的一个基，自由变量的个数决定了基的大小。为了后面的参考，我们总结一下这些事实。

Nul A 的维数是方程 Ax = 0 中自由变量的个数，Col A 的维数是 $A$ 中主元列的个数.

例 5

求 $A$ 的零空间和列空间的维数.

$$A=\left[\begin{array}{rrrrr}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$$

解

将增广矩阵[A 0]行化简成阶梯形得

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 2& 3& -1& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

有 3 个自由变量—— $x_2,x_4$ 和 $x_5$ ，于是 Nul A 的维数是 3。由于 $A$ 有两个主元列，所以 dimCol A = 2。

练习题

1. 判定下列每个命题的真假，对每个答案给出理由。这里 $V$ 是一个非零有限维向量空间。

$a$. 若 $\dim V=p,S$ 是 $V$ 的一个线性相关的子集，则 $S$ 包含多于 $p$ 个向量.

$b$. 若 $S$ 生成 $V$ ， $T$ 是 $V$ 的一个子集且含有的向量个数多于 $S$ 中的向量个数，则 $T$ 是线性相关的。

2. 设 $H$ 和 $K$ 是向量空间 $V$ 的子空间. 在4.1节习题32中说明了 $H\cap K$ 也是 $V$ 的子空间. 证明 $\dim (H\cap K)⩽\dim H$ .

习题4.5

对习题 1~8 中的子空间，（$a$）求一个基，（$b$）说出维数.

$$1.\left\{\left[\begin{array}{c}s-2t\\ s+t\\ 3t\end{array}\right]:s,t\in \mathbb{R}\right\}2.\left\{\left[\begin{array}{c}4s\\ -3s\\ -t\end{array}\right]:s,t\in \mathbb{R}\right\}\text{\hspace{1em}(3.)}$$$$\left\{\left[\begin{array}{c}2c\\ a-b\\ b-3c\\ a+2b\end{array}\right]:a,b,c\in \mathbb{R}\right\}4.\left\{\left[\begin{array}{c}a+b\\ 2a\\ 3a-b\\ -b\end{array}\right]:a,b\in \mathbb{R}\right\}$$

$$\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{c}a-4b-2c\\ 2a+5b-4c\\ -a+2c\\ -3a+7b+6c\end{array}\right]:a,b,c\in \mathbb{R}\\ \{\left[\begin{array}{c}3a+6b-c\\ 6a-2b-2c\\ -9a+5b+3c\\ -3a+b+c\end{array}\right]:a,b,c\in \mathbb{R}\end{array}$$

7. $\{(a,b,c):a-3b+c=0,b-2c=0,2b-c=0\}$

8. $\{(a,b,c,d):a-3b+c=0\}$

9. 求 ${\mathbb{R}}^3$ 中所有第一个和第三个元素相等的全体向量生成的子空间的维数.

10. 求 $R^2$ 中由 $\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{c}-4\\ 10\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{c}-3\\ 6\end{array}\right]$ 生成的子空间 $H$ 的维数.

在习题 11 和习题 12 中, 求由给定向量生成的子空间的维数.

$$\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}9\\ 4\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-7\\ -3\\ 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-8\\ 6\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 7\end{array}\right]$$

确定习题 13~18 中给出的矩阵的 Nul A 和 Col A 的维数.

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& -6& 9& 0& -2\\ 0& 1& 2& -4& 5\\ 0& 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$$A=\left[\begin{array}{cccccc}1& 3& -4& 2& -1& 6\\ 0& 0& 1& -3& 7& 0\\ 0& 0& 0& 1& 4& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

15. $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 9& 5\\ 0& 0& 1& -4\end{array}\right]$

$$16.A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ -6& 10\end{array}\right]$$$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 4& 7\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$$$18.A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& -1\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

在习题 19 和习题 20 中，$V$ 是一个向量空间，标出每个命题的真假，给出理由.

19. $a$. 矩阵的主元列的个数等于列空间的维数. b. $R^3$ 中的平面是 $R^3$ 的二维子空间. c. 向量空间 $P_4$ 的维数为 4. d. 若 $\dim V=n$ ，$S$ 是 $V$ 中一个线性无关集，则 $S$ 是 $V$ 的一个基. e. 若集合 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 生成一个有限维向量空间 $V$，$T$ 是 $V$ 中多于 $p$ 个向量的集合，则 $T$ 是线性相关的.

20. $a$. ${\mathbb{R}}^2$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的一个二维子空间. b. 方程 $Ax=0$ 中变量个数等于Nul $A$ 的维数. c. 一个向量空间是无穷维的，如果它由一个无限集生成. d. 若 $\dim V=n$ ， $S$ 生成 $V$ ，则 $S$ 是 $V$ 的一个基. e. ${\mathbb{R}}^3$ 只有一个三维子空间即 ${\mathbb{R}}^3$ 本身.

21. 前 4 个埃尔米特（Hermite）多项式为 $1,2t,-2+4t^2$ 和 $-12t+8t^3$ ，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的。证明：这前 4 个埃尔米特多项式构成 ${\mathbb{P}}_3$ 的一个基。

22. 前 4 个拉盖尔（Laguerre）多项式为 $1,1-t$ ， $2-4t+t^2$ 和 $6-18t+9t^2-t^3$ 。证明：这些多项式构成 ${\mathbb{P}}_3$ 的一个基。

23. 令 $\mathcal{B}$ 是 ${\mathbb{P}}_3$ 的一个基，它由习题21中埃尔米特多项式组成，令 $p(t)=7-12t-8t^2+12t^3$ ，求 $p$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的坐标向量.

24. 令 $\mathcal{B}$ 是 ${\mathbb{P}}_2$ 的一个基，它由习题22中前3个拉盖尔多项式组成，令 $p(t)=7-8t+3t^2$ ，求 $p$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的坐标向量.

25. 令 $S$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个子集，设 $S$ 包含

少于 $n$ 个向量，解释为什么 $S$ 不能生成 $V$.

26. 令 $H$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个 $n$ 维子空间，证明 H = V.

27. 解释为什么所有多项式的空间 $\mathbb{P}$ 是一个无穷维空间.

28. 证明：定义在实数直线上的全体连续函数的空间 $C(\mathbb{R})$ 是一个无穷维空间.

在习题 29 和习题 30 中，$V$ 是一个非零有限维向量空间，列出的向量在 $V$ 中。标出每个命题的真假，给出理由。（这些问题比习题 19 和习题 20 难些。）

29. $a$. 若存在集合 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 生成 $V$，则 $\dim V⩽p$ . b. 若 $V$ 中存在一个线性无关集 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ ，则 $\dim V⩾p$ .

$c$. 若 $\dim V=p$ ，则 $V$ 中存在一个 $p+1$ 个向量的生成集.

30. $a$. 若 $V$ 中存在一线性相关集 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ ，则 $\dim V⩽p$ .

$b$. 若 $V$ 中任意由 $p$ 个元素组成的集合均不能生成 $V$，则 $\dim V>p$ .

$c$. 若 $p⩾2$ ， $\dim V=p$ ，则每个由 $p-1$ 个非零向量构成的集合是线性无关的。

在习题 31 和习题 32 中, 涉及有限维向量空间 $V$ 和 $W$ 以及线性变换 $T:V\to W$ .

31. 令 $H$ 是 $V$ 的非零子空间， $T(H)$ 为 $H$ 中向量的像集，则由4.2节中习题35， $T(H)$ 是 $W$ 的子空间。证明 $\dim T(H)⩽\dim H$ 。

32. 令 $H$ 是 $V$ 的非零子空间，$T$ 是一个由 $V$ 到 $W$ 内的一一（线性）映射，证明 $\dim T(H)=\dim H$ .

练习题答案

1. $a$. 错，考虑集合 $\{0\}$ .

若 $T$ 是一个由 $V$ 到 $W$ 上的一一映射，则 $\dim V=\dim W$ 。同构的有限维向量空间具有相同的维数。

33. [$M$] 按照定理11， $R^n$ 中一线性无关集 $\{v_1,\cdots ,v_k\}$ 可以扩充为 $R^n$ 的一个基。一个方法是构造矩阵 $A=[v_1\cdots v_k{e}_1\cdots e_n]$ ，其中 $e_1,\cdots ,e_n$ 是单位矩阵的列，$A$ 的主元列构成 $R^n$ 的一个基。

$a$. 利用这个方法将下列向量扩充为 ${\mathbb{R}}^5$ 的一个基.

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-9\\ -7\\ 8\\ -5\\ 7\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}9\\ 4\\ 1\\ 6\\ -7\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}6\\ 7\\ -8\\ 5\\ -7\end{array}\right]$$

$b$. 解释下列问题：为什么原来的向量 $v_1,\cdots ,v_k$ 包含在 Col A 的基中？为什么 Col A = R^{$n$}？

34. [$M$] 令 $B=\{1,\cos t,{\cos }^{2}t,\cdots ,{\cos }^{6}t\},C=\{1,\cos t,\cos 2t,\cdots ,\cos 6t\}$ ，假设有下列三角恒等式（见4.1节习题37）：

$$\begin{array}{l}\cos 2t=-1+2{\cos }^{2}t\\ \cos 3t=-3\cos t+4{\cos }^{3}t\\ \cos 4t=1-8{\cos }^{2}t+8{\cos }^{4}t\\ \cos 5t=5\cos t-20{\cos }^{3}t+16{\cos }^{5}t\\ \cos 6t=-1+18{\cos }^{2}t-48{\cos }^{4}t+32{\cos }^{6}t\end{array}$$

令 $H$ 为 $B$ 中函数生成的子空间，则由 4.3 节中习题 38，$B$ 是 $H$ 的一个基.

$a$. 写出 $\mathcal{C}$ 中向量的 $\mathcal{B}-$ 坐标向量, 利用它们证明 $\mathcal{C}$ 在 $H$ 中是线性无关集.

$b$. 解释为什么 $\mathcal{C}$ 是 $H$ 的一个基.

$b$. 对，由生成集定理，$S$ 包含 $V$ 的一个基，称这个基为 $S^{\prime }$ 。从而 $T$ 包含比 $S^{\prime }$ 更多的向量。由定理9，$T$ 是线性相关的。

2. 设 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 是 $H\cap K$ 的一组基，则 $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 是 $H$ 的线性无关子集，因此由定理11， $\{v_1,\cdots ,v_p\}$ 能被扩充为 $H$ 的一组基。由于子空间的维数等于基的向量数，故 $\dim (H\cap K)=p⩽\dim H$ 。