第3章 补充习题

1. 标出每个命题的真假，给出理由。假定这里所有矩阵均为方阵。

$a$. 若 $A$ 是 $2\times 2$ 矩阵且其行列式为 0，则 $A$ 的一列是另一列的倍数.

$b$. 若 $3\times 3$ 矩阵 $A$ 的两行相等，则 $\det A=0$ .

$c$. 若 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，则 $\det 5A=5\det A$ .

$d$. 若 $A,B$ 均为 $n\times n$ 矩阵，满足 $\det A=2$ ， $\det B=3$ ，则 $\det (A+B)=5$ ．
e. 若 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵且 $\det A=2$ ，则 $\det A^3=6$ ．
f. 若 $B$ 由 $A$ 中交换两行生成，则 $\det B=\det A$ ． g. 若 $B$ 为由 $A$ 中第 3 行乘以 5 生成，则 $\det B=5\cdot \det A$ .

$h$. 若 $B$ 为由 $A$ 中任意 n-1 行的线性组合加到另一行生成，则 $\det B=\det A$ .

$i$. $\det A^T=-\det A$ .

$j$. $\det (-A)=-\det A$ .

$k$. $\det A^{T}A⩾0$ .

1. 任意一个 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的线性方程组均可由克拉默法则解出.

$m$. 若 $u$, $v$ 属于 $R^2$ ，且 $\det [u,v]=10$ ，则平面中顶点为 0，$u$, $v$ 的三角形面积为 10.

$n$. 若 $A^3=0$ ，则 $\det A=0$ 。

0. 若 $A$ 是可逆的，则 $\det A^{-1}=\det A$ .

$p$. 若 $A$ 是可逆的，则 $(\det A)(\det A^{-1})=1$ .

使用行变换证明习题 2~4 中行列式都等于 0.

$$\left|\begin{array}{ccc}12& 13& 14\\ 15& 16& 17\\ 18& 19& 20\end{array}\right|$$

$$\left|\begin{array}{ccc}1& a& b+c\\ 1& b& a+c\\ 1& c& a+b\end{array}\right|$$

$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a+x& b+x& c+x\\ a+y& b+y& c+y\end{array}\right|$$

计算习题 5~6 中的行列式.

$$\left|\begin{array}{ccccc}9& 1& 9& 9& 9\\ 9& 0& 9& 9& 2\\ 4& 0& 0& 5& 0\\ 9& 0& 3& 9& 0\\ 6& 0& 0& 7& 0\end{array}\right|$$

$$\left|\begin{array}{ccccc}4& 8& 8& 8& 5\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 6& 8& 8& 8& 7\\ 0& 8& 8& 3& 0\\ 0& 8& 2& 0& 0\end{array}\right|$$

7. 证明： $R^2$ 中经过两个不同点 $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2)$ 的直线的方程可以写成

$$\det \left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 1& x_1& y_1\\ 1& x_2& y_2\end{array}\right]=0$$

8. 求一个类似于习题 7 的 $3\times 3$ 行列式方程，描述通过点 $(x_1,y_1)$ 且斜率为 $m$ 的直线.

习题 9~10 涉及下列范德蒙德(Vandermonde)矩阵的行列式.

$$T=\left[\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 1& b& b^2\\ 1& c& c^2\end{array}\right],V(t)=\left[\begin{array}{cccc}1& t& t^2& t^3\\ 1& x_1& x_1^2& x_1^3\\ 1& x_2& x_2^2& x_2^3\\ 1& x_3& x_3^2& x_3^3\end{array}\right]$$

9. 利用行变换证明 $\det T=(b-a)(c-a)(c-b)$ .

10. 令 $f(t)=\det V$ , $x_1,x_2,x_3$ 两两不等，解释 $f(t)$ 为什么是一个三次多项式，证明 $t^3$ 的系数非零，并在 $f$ 的图上找三个点.

11. 求由点 $(1,4),(-1,5),(3,9)$ 和(5,8)确定的平行四边形的面积. 你如何能判断由这些点确定的四边形刚好是一个平行四边形？

12. 利用平行四边形面积的概念描述一个 $2\times 2$ 矩阵 $A$ 当且仅当 $A$ 可逆时成立的命题.

13. 若 $A$ 可逆，证明 adj A 也可逆，且 $(\mathrm{adj}A{)}^{-1}=\frac{1}{\det A}A$ . （提示：给定矩阵 $B$ 和 $C$，什么计算能说明 $C$ 是 $B$ 的逆矩阵？）

14. 令 $A$, $B$, $C$, $D$ 和 $I$ 均为 $n\times n$ 矩阵，利用行列式的定义或性质证明下列公式，公式（$c$）在特征值（第 5 章）的应用中是有用的. a. $\det \left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& I\end{array}\right]=\det A$ b. $\det \left[\begin{array}{cc}I& 0\\ C& D\end{array}\right]=\det D$ c. $\det \left[\begin{array}{cc}A& 0\\ C& D\end{array}\right]=(\det A)(\det D)=\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ 0& D\end{array}\right]$

15. 令 $A$, $B$, $C$, $D$ 均为 $n\times n$ 矩阵，$A$ 可逆.

$a$. 求矩阵 $X$ 和 $Y$ ，使得生成分块LU分解

$$\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}I& 0\\ X& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}A& B\\ 0& Y\end{array}\right].$$

然后证明

$$\det \left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]=(\det A)\cdot \det (D-C{A}^{-1}B)$$

$b$. 证明：若 $AC=CA$ ，则

$$\stackrel{\sim }{\det }\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\det (AD-CB)$$

16. 设 $J$ 是元素全为 1 的 $n\times n$ 矩阵，考虑 $A=(a-b)I+bJ$ ，即

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}a& b& b& \dots & b\\ b& a& b& \dots & b\\ b& b& a& \dots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \dots & a\end{array}\right]$$

通过下面的计算推出 $\det A=(a-b{)}^{n-1}[a+(n-1)b]$ :

$a$. 从第1行减去第2行，从第2行减去第3行，如此类推，说明为什么这样的操作不会改变矩阵的行列式.

$b$. 对（$a$）中所得的矩阵，将第1列加到第2列，将新得到的第2列加到第3列，如此类推，说明为什么这样的操作不会改变矩阵的行列式.

$c$. 求由（$b$）所得到的矩阵的行列式.

17. 设 $A$ 为习题16中的矩阵，并设

$$B=\left[\begin{array}{ccccc}a-b& b& b& \dots & b\\ 0& a& b& \dots & b\\ 0& b& a& \dots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& b& b& \dots & a\end{array}\right]$$ $$C=\left[\begin{array}{ccccc}b& b& b& \dots & b\\ b& a& b& \dots & b\\ b& b& a& \dots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \dots & a\end{array}\right]$$

这里 $A,B,C$ 基本相同，除了 $A$ 的第一列等于 $B$ 和 $C$ 的第一列之和。在3.2节讨论的行列式函数的线性性质给出 $\det A=\det B+\det C$ 。利用

$$(8)-(14\text{ poh }=\left[\begin{array}{cc}9& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\text{ jub }$$

这个事实用关于矩阵 $A$ 的大小的归纳法证明习题 16 给出的公式.

18. [$M$]运用习题 16 的结论求下面矩阵的行列式，使用矩阵程序验证你的结果.

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 8& 8& 8\\ 8& 3& 8& 8\\ 8& 8& 3& 8\\ 8& 8& 8& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}8& 3& 3& 3& 3\\ 3& 8& 3& 3& 3\\ 3& 3& 8& 3& 3\\ 3& 3& 3& 8& 3\\ 3& 3& 3& 3& 8\end{array}\right]$$

19. [$M$] 使用矩阵程序求下面矩阵的行列式.

$$\left[\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2\\ 1& 2& 3& 3\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{lllll}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 2\\ 1& 2& 3& 3& 3\\ 1& 2& 3& 4& 4\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{array}\right]$$

使用上面的计算结果猜测下面矩阵的行列式，用行变换计算其行列式来验证你的猜测.

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 2& 2& \dots & 2\\ 1& 2& 3& \dots & 3\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 2& 3& \dots & n\end{array}\right]$$

20. [$M$]使用习题 19 的方法猜测下面矩阵的行列式，验证你的猜测。（提示：利用习题 14（$c$）和习题 19 的结论。）

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 3& 3& \dots & 3\\ 1& 3& 6& \dots & 6\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 3& 6& \dots & 3(n-1)\end{array}\right]$$