1.10 商业、科学和工程中的线性模型

本节中的数学模型是线性的，也就是说，借助线性方程（通常利用向量或矩阵形式）来描述一个问题。第一个模型讨论营养，实际上代表线性规划问题的一般技术。第二个模型来自电学。第三个模型引进线性差分方程的概念，此概念是研究动力系统的有力工具，在工程、生态学、通信和管理科学中都有广泛应用。线性模型的重要性在于当涉及的变量被保持在合理的范围时，自然现象通常是线性或接近线性的。同时，线性模型比复杂的非线性模型更容易使用计算机运算来处理。

在阅读每一个模型时，注意线性模型如何体现所研究问题的相关性质.

构造有营养的减肥食谱

一种在20世纪80年代很流行的食谱称为剑桥食谱，是经过多年研究编制出来的。这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究，在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪，并配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。近年来，数百万人应用这一食谱实现了快速和有效的减肥。

为得到所希望的数量和比例的营养，Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种人体所需要的成分，然而没有按正确的比例。例如，脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙，因此大豆粉用来作为蛋白质的来源，它包含较少量的钙。然而，大豆粉包含过多的脂肪，因而加上乳清，因它含脂肪较少。然而乳清又含有过多的碳水化合物……

下例说明这个问题小规模的情形. 表 1-6 是该食谱中的 3 种食物以及 100 克每种食物成分含有某些营养素的数量.

表 1-6

营养素(克)	每100克成分所含营养素			剑桥食谱每天供应量(克)
	脱脂牛奶	大豆粉	乳清
蛋白质	36	51	13	33
碳水化合物	52	34	74	45
脂肪	0	7	1.1	3

例 1

求出脱脂牛奶、大豆粉和乳清的某种组合，使该食谱每天能供给表 1-6 中规定的蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量.

解

设 $x_1,x_2$ 和 $x_3$ 分别表示这些食物的数量（以 100 克为单位）。导出方程的一种方法是对每种营养素分别列出方程。例如，乘积

$$\{x_1\text{单位的脱脂牛奶}\}\{\text{每单位脱脂牛奶所含蛋白质}\}$$

给出 $x_1$ 单位脱脂牛奶供给的蛋白质. 类似地加上大豆粉和乳清所含蛋白质, 就应该等于我们所需的蛋白质. 类似的计算对每种成分都可进行.

更有效的方法（概念上更为简单）是考虑每种食物的“营养素向量”而建立向量方程。 $x_1$ 单位的脱脂牛奶供给的营养素是下列标量乘法：

$$\{\begin{array}{l}\text{ 标量 }\\ \text{ 脱脂牛奶 }\end{array}\cdot \left\{\begin{array}{l}\text{ 向量 }\\ \text{ 每单位脱脂 }\\ \text{ 牛奶的营养素 }\end{array}\right\}=x_1{a}_1\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $a_1$ 是表 1-6 的第一列. 设 $a_2$ 和 $a_3$ 分别为大豆粉和乳清的对应向量, $b$ 为表示所需要的营养素总量的向量（表中最后一列）. 则 $x_2{a}_2$ 和 $x_3{a}_3$ 分别给出由 $x_2$ 单位大豆粉和 $x_3$ 单位乳清给出的营养素. 所以所需的方程为

$$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+x_3{\mathbf{a}}_3=\mathbf{b}\text{\hspace{1em}(2)}$$

把对应的方程组的增广矩阵行化简得

$$\left[\begin{array}{cccc}36& 51& 13& 33\\ 52& 34& 74& 45\\ 0& 7& 1.1& 3\end{array}\right]\sim \cdots \sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0.277\\ 0& 1& 0& 0.392\\ 0& 0& 1& 0.233\end{array}\right]$$

精确到 3 位小数，该食谱需要 0.277 单位脱脂牛奶、0.392 单位大豆粉、0.233 单位乳清，这样就可供给所需要的蛋白质、碳水化合物与脂肪。

重要的是，求出的 $x_1,x_2$ 和 $x_3$ 的值是非负的，这使求出的解有实际意义。（你如何用-0.233单位乳清？）由于对许多营养素都有要求，因此可能使用多种食物，以得到有“非负解”的方程组。因而为了得到这样的解，需要观察各种方程。事实上，剑桥食谱的制造者应用了33种食物来供给31种营养素。

由食谱构造问题产生线性方程（2），是因为由食物供给的营养素可写成一个向量的数量倍，如（1）式所示。即某种食物供给的营养素与加入食谱中的此种食物的数量成比例，同时，混合物中的营养素是各种食物中营养素之和。

设计某种特殊的人类或牲畜的食谱问题是经常遇到的，这通常被看作是线性规划技术。我们构造向量方程的方法常常可以使这些问题的求解得到简化。

线性方程与电路网络

电路网络中的电流可由线性方程组描述. 电源（例如电池）促使电荷在网络中流动. 当电流通过电阻（例如灯泡、电动机等），一部分电压被“用掉”；由欧姆定律，这种“电压降”等于

$$V=RI$$

其中 $V$ 以伏特量度，电阻 $R$ 以欧姆量度（用 $\Omega$ 表示），电流 $I$ 用安培量度.

图 1-47 中的网络包含 3 条闭合回路. 在回路 1,2,3 中流过的电流分别用 $I_1,I_2$ 和 $I_3$ 表示. 回路电流的指定方向是任意取定的. 若某一电流求出来是负值, 则表示实际电流方向与图中所选择的方向相反. 若所示的电流方向是由电池（+）的正极（长边）指向负极（短边), 则电压为正, 否则电压为负.

图 1-47

回路中电流服从下列定律.

基尔霍夫电压定律

围绕一条回路同一方向的电压降 $RI$ 的代数和等于围绕该回路的同一方向电动势的代数和.

例 2

确定图 1-47 中网络中的回路电流.

解

对回路1，电流 $I_1$ 通过3个电阻，总电压降为

$$4I_1+4I_1+3I_1=(4+4+3)I_1=11I_1$$

回路2的电流流过回路1的一部分，即 $A$ 与 $B$ 之间的短分支，对应的RI电压降为 $3I_2$ 伏特．然而，回路1中分支AB之间的电流方向与回路2中该分支的电流方向相反，因此回路1中总的RI电压降为 $11I_1-3I_2$ ，因回路1中的电动势为 $+30$ 伏特，故基尔霍夫电压定律给出

$$11I_1-3I_2=30$$

对回路2，方程为

$$-3I_1+6I_2-I_3=5$$

项 $-3I_1$ 来自回路1通过分支 $AB$ （电流方向与回路2的电流方向相反，故电压取负值）的电流，项 $6I_2$ 是回路2中所有电阻的和乘以回路电流. 项 $-I_3=-1\cdot I_3$ 是由回路3的电流通过 $CD$ 分支1欧姆电阻引起的，与回路2电流方向相反. 回路3的方程为

$$-I_2+3I_3=-25$$

分支 $CD$ 上的5伏特电池同时属于回路2与回路3，但对回路3，它是-5伏特，因它的方向与回路3所选择的方向相反.

所以这些电流可由解下列方程组得出：

$$\begin{array}{rl}11I_1-3I_2& =30\\ -3I_1+6I_2-I_3& =5\\ -I_2+3I_3& =-25\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

对增广矩阵作行变换得到解为 $I_1=3$ 安培， $I_2=1$ 安培， $I_3=-8$ 安培， $I_3$ 的负值表示回路 3 的实际电流方向与图 1-47 中所示相反.

把方程组（3）看作向量方程是有启发性的：

$$\begin{array}{ccccc}{I}_1& \left[\begin{array}{l}11\\ -3\\ 0\end{array}\right]+I_2& \left[\begin{array}{l}-3\\ 6\\ -1\end{array}\right]+& I_3& \left[\begin{array}{l}0\\ -1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}30\\ 5\\ -25\end{array}\right]\\ & \uparrow & \uparrow & \uparrow & \\ & r_1& r_2& r_3& \\ & & & v& \end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

每个向量的第一个元素是在第一个回路中的电阻，类似地第二个、第三个元素分别是在第二、第三个回路中的电阻。第一个电阻向量 $r_1$ 列出各个回路中电流 $I_1$ 流过的电阻。当 $I_1$ 流过该电阻的方向与另一回路方向相反时，该电阻取负值。观察图 1-47，看看如何计算 $r_1$ 中的元素；然后同样求出 $r_2$ 和 $r_3$ 。（4）的矩阵形式为

$$Ri=\nu ,\text{其中}R=\left[\begin{array}{lll}{r}_1& r_2& r_3\end{array}\right],i=\left[\begin{array}{l}{I}_1\\ I_2\\ I_3\end{array}\right]$$

该形式给出欧姆定律的矩阵形式. 若所有回路电流都选取同一方向, 则 $R$ 的非主对角线元素全部都是负值.

矩阵方程 $Ri=\nu$ 表明这个模型的线性. 例如, 若电压向量加倍, 则电流向量也加倍; 同时, 叠加原理也成立. 即方程 (4) 的解是下列方程的解的和:

$$R\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}30\\ 0\\ 0\end{array}\right],R\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}0\\ 5\\ 0\end{array}\right],R\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -25\end{array}\right]$$

这三个方程中的每一个对应于回路仅包含一个电源的网络（其他电源代以封闭该回路的导线）。电流模型是线性的，这是因为欧姆定律与基尔霍夫定律都是线性的：通过某一电阻的电压降与通过它的电流成正比（欧姆定律），而回路中的电压降的和等于回路中电动势的和（基尔霍夫定律）。

网络中回路电流可以决定电路中每一个分支通过的电流。若仅有一个回路电流通过该分支，例如图 1-47中从 $B$ 到 $D$ 的分支，则通过该分支的电流等于回路电流。若有多个回路电流通过该分支，如从 $A$ 到 $B$ 的分支，则通过该分支的电流是各回路电流的代数和（基尔霍夫电流定律）。例如，通过分支 $AB$ 的电流为 $I_1-I_2=3-1=2$ 安培，方向与 $I_1$ 相同。分支 $CD$ 中的电流为 $I_2+I_3=9$ 安培。

差分方程

在生态学、经济学和工程技术等领域中，需要研究随时间变化的动力系统，这种系统通常在离散的时刻测量，得到一个向量序列 $x_0,x_1,x_2,\cdots$ 。向量 $x_k$ 的各个元素给出该系统在第 $k$ 次测量中的状态的信息。

如果有矩阵 $A$ 使 $x_1=A{x}_0,x_2=A{x}_1$ ，一般地，

$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k,k=0,1,2,\dots \text{\hspace{1em}(5)}$$

则（5）式称为线性差分方程（或递归关系）。给定这样一种关系，我们可由已知的 $x_0$ 计算 $x_1,x_2$ ，等等。4.8节与4.9节以及第5章的若干节将推导求 $x_k$ 的公式，并确定$k$无限增大时 $x_k$ 的变化情况。下列讨论说明导致差分方程问题产生的原因。

地理学家对人口的迁移很有兴趣. 这里我们考虑人口在某一城市与它的周边地区之间迁移的简单模型.

固定一个初始年，例如说，2014年，用 $r_0$ 和 $s_0$ 分别表示该年城市和郊区的人口数。令 $x_0$ 表示人口向量

$$x_0=\left[\begin{array}{l}{r}_0\\ s_0\end{array}\right]\begin{array}{l}2014\text{年城市人口 }\\ 2014\text{年郊区人口 }\end{array}$$

对 2015 年与以后各年，把人口向量表示为

$${\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{l}{r}_1\\ s_1\end{array}\right],{\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{l}{r}_2\\ s_2\end{array}\right],{\mathbf{x}}_3=\left[\begin{array}{l}{r}_3\\ s_3\end{array}\right],\dots$$

我们的目的是在数学上表示出这些向量的关系.

设人口统计学的研究说明每年约有 5% 的城市人口移居郊区（其他 95% 留在城市），而 3% 的郊区人口移居城市（其他 97% 留在郊区）。见图 1-48.

图 1-48 每年城市与郊区人口迁移的百分比

一年后，原来城市中的人口 $r_0$ 在城市和郊区的分布为

$$\left[\begin{array}{l}0.95r_0\\ 0.05r_0\end{array}\right]=r_0\left[\begin{array}{l}0.95\\ 0.05\end{array}\right]\text{留在城市迁到郊区}\text{\hspace{1em}(6)}$$

郊区2014年的人口 $s_0$ 一年后的分布为

图式位置

$$s_0\left[\begin{array}{l}0.03\\ 0.97\end{array}\right]\text{移到城市}\text{留在郊区}\text{\hspace{1em}(7)}$$

（6）和（7）中的向量组成2015年的全部人口 ^① ，于是

$$\left[\begin{array}{l}{r}_1\\ s_1\end{array}\right]=r_0\left[\begin{array}{l}0.95\\ 0.05\end{array}\right]+s_0\left[\begin{array}{l}0.03\\ 0.97\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{r}_0\\ s_0\end{array}\right]$$ $${\mathbf{x}}_1=M{\mathbf{x}}_0\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中 $M$ 是移民矩阵，由下表确定：

$$\begin{array}{rl}& \text{由：城市 郊区 移至：}\\ & \left[\begin{array}{ll}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]\text{城市}\\ & \text{郊区}\end{array}$$

方程(8)表示人口由2014年到2015年的变化情况. 若移民比例保持常数, 则由2014年到2015年的改变为

$${\mathbf{x}}_2=M{\mathbf{x}}_1$$

由 2016 年到 2017 年以及以后各年的变化都是类似的. 一般地

$${\mathbf{x}}_{k+1}=M{\mathbf{x}}_k,k=0,1,2,\dots \text{\hspace{1em}(9)}$$

向量序列 $\{x_0,x_1,x_2,\cdots \}$ 描述了若干年中城市、郊区人口变化的状况.

例 3

设 2014 年城市人口为 600 000，郊区人口为 400 000，求上述区域 2015 年和 2016 年的人口.

解

2014 年的人口为 $x_0=\left[\begin{array}{c}600000\\ 400000\end{array}\right]$ ，对 2015 年，

$${\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{ll}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}600& 000\\ 400& 000\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}582& 000\\ 418& 000\end{array}\right]$$

对 2016 年，

$${\mathbf{x}}_2=M{\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{ll}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}582000\\ 418000\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}565440\\ 434560\end{array}\right]$$

式（9）的人口迁移模型是线性的，因为对应的 $x_k\mapsto x_{k+1}$ 是线性变换。这依赖于两个事实：从一个地区迁往另一个地区的人口与该地区原有的人口成正比，如（6）式和（7）式所示，而这些人口迁移选择的累积效果是不同区域的人口迁移的叠加。

练习题

求出矩阵 $A$ 以及向量 $x$ 和 $b$，使例1 中的问题成为解方程 Ax = b

习题1.10

1. 一种早餐麦片的包装罐通常列出每份食用量包含的卡路里、蛋白质、碳水化合物与脂肪的量。两种常见的麦片的营养素含量如下表所示。

每份食物营养素含量
营养素	General Mills Cheerios	Quaker 100%天然麦片
卡路里	110	130
蛋白质(克)	4	3
碳水化合物(克)	20	18
脂肪(克)	2	5

设这两种麦片的混合物要求含热量 295 卡路里、9 克蛋白质、48 克碳水化合物和 8 克脂肪.

$a$. 建立这个问题的一个向量方程，并给出方程中变量表示的含义.

$b$. 写出等价的矩阵方程，并判断所希望的两种麦片的混合物是否可以制作出来.

2. 一份脆燕麦片含有 160 卡路里热量、5g 蛋白质、6g 膳食纤维和 1 克脂肪，一份脆片含有 110 卡路里热量、2 克蛋白质、0.1 克膳食纤维和 0.4 克脂肪.

$a$. 列出矩阵 $B$ 及向量 $u$ ，使 $Bu$ 给出3份脆燕麦片和2份脆片所含热量、蛋白质、膳食纤维与脂肪的量.

$b$. [$M$] 设你希望一种麦片含蛋白质多于脆片但含脂肪少于脆燕麦片。是否可能混合两种麦片，使它含有 130 卡路里热量、3.20 克蛋白质、2.46 克膳食纤维、0.64 克脂肪？如果可能，如何混合？

3. 上过营养课后，对苹果奶酪情有独钟的 Annie 决定改善午餐，增加西兰花和鸡肉罐头来提高蛋白质和膳食纤维的含量。这道习题的食物营养信息在下表中给出。

每份食物营养素含量

营养素	苹果奶酪	西兰花	鸡肉罐头	贝类
卡路里	270	51	70	260
蛋白质(克)	10	5.4	15	9
膳食纤维(克)	2	5.0	0	5

$a$. [$M$] 如果她希望午餐含有 400 卡路里，但要获取 30 克蛋白质、10 克膳食纤维，求苹果奶酪、西兰花和鸡肉罐头之间的比例.

$b$. [$M$]她发现（$a$）中西兰花的比例过高，于是决定用全麦面和白切达奶酪取代传统的苹果奶酪，每种食物的比例为多少能达到和（$a$）一样的结果？

4. 剑桥食谱除例1 中列出的营养素外，每天还供给 0.8 克钙。在剑桥食谱中的三种食物每单位（100 克）供给的钙为：脱脂牛奶 1.26 克，大豆粉 0.19 克，乳清 0.8 克。该食谱中的另一种成分是大豆蛋白质，它每单位供给的营养素为：80 克蛋白质，0 克碳水化合物，3.4 克脂肪和 0.18 克钙。

$a$. 列出矩阵方程，它的解确定脱脂牛奶、大豆粉、乳清与大豆蛋白质的量，使得这种混合物正好含剑桥食谱中所需各种营养素的量。叙述方程中各个变量表示的含义。

$b$. [$M$] 解（$a$）中的方程，讨论你的答案.

习题 5~8 中，写出矩阵方程以确定回路电流. [$M$] 若能使用 MATLAB 或其他矩阵程序，则解出这些方程.

9. 在某区域中，每年有大约 $7\%$ 的城市人口迁往郊区，大约 $5\%$ 的郊区人口迁往城市。2015年，有800000人居住在城市，500000人居住在郊区。列出差分方程描述这些情况，以 $x_0$ 表示2015年的初始人口，然后估计2017年居住在城市和郊区的人口（忽略影响居民人口的其他因素）。

10. 在某区域中，每年大约有 $6\%$ 的城市人口迁往郊区而 $4\%$ 的郊区人口迁往城市。在2015年，城市有1000000居民，郊区有800000居民。列出差分方程描述这些情况，其中 $x_0$ 是2015年初始人口。估计两年后即2017年居住在城市和郊区的人口。

11. 在2012年年初，加利福尼亚的人口为38041430，居住在美国其他各州的人口为275872610。该年有748252人由加利福尼亚迁出该州，而493641人从美国其他地区迁往加利福尼亚。 a. 建立该问题的移民矩阵，精确到5位有效数字。说明如何产生移民矩阵。 b. [$M$] 计算 2022 年加利福尼亚和美国其他地区的预计人口数，假设迁移率在 10 年内不会改变。（不考虑出生、死亡或到加利福尼的潜在移民和美国之外的移民。）

12. [$M$] 堪萨斯州 Wichita 市的 Budget Rent A Car 公司有一个车队共 500 辆车, 分布在 3 个地点. 在一个地点租的车可以在 3 个地点的任何一个交还. 这些车归还的比例在下面的矩阵中列出. 设星期一有 295 辆车在机场出租, 55 辆车在东区出租, 150 辆车在西区出租, 星期三这些车将会在三个地点如何分布?

出租地：机场东区西区 归还到： $\left[\begin{array}{ccc}0.97& 0.05& 0.10\\ 0.00& 0.90& 0.05\\ 0.03& 0.05& 0.85\end{array}\right]$ 机场 东区 西区

13. [$M$] 设 $M$ 与 $x_0$ 如例3. a. 计算人口向量 $x_k,k=1,2,\cdots ,20$ ，你发现了什么规律？ b. 对初始人口为城市 350 000，郊区 650 000，重复（$a$），你发现了什么规律？

14. [$M$]研究钢板上边界温度的变化如何影响钢板内部区域的温度. a. 首先，估计图中钢板的 4 个点处的温度 $T_1,T_2,T_3,T_4$ . 每种情况下 $T_k$ 的值近似等于最靠近它的 4 个点处温度的平均值. 参阅 1.1 节的习题 33 和 34，在那里求得相应的温度值为 (20, 27.5, 30, 22.5)（以度为单位），这些数据与你在图 $a$ 和 $b$ 中求出的值有什么关系？ b. 不做计算，猜想在（$a$）中边界温度都乘以 3 时钢板内部 4 个点的温度．检验你的猜想．

$c$. 最后，猜想边界上 8 个温度与内部 4 个点的温度的相应关系.

a)

b)

练习题答案

$$A=\left[\begin{array}{lll}36& 51& 13\\ 52& 34& 74\\ 0& 7& 1.1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{l}33\\ 45\\ 3\end{array}\right]$$