译者序与前言

线性代数的应用范围覆盖自然科学和社会科学的各个方面，在处理高维问题时，向量空间和矩阵运算更是这些学科的理论基础和基本工具。在计算机和经济管理等学科，线性代数的重要性远远超过微积分。在学习传统线性代数课程时，大学生经常遇到学习抽象理论和应用矩阵方法的矛盾。在今天深化改革开放的环境下，大学生更应该了解线性代数课程的世界发展趋势和新的教学进展。

David C. Lay 的教材《Linear Algebra and Its Applications》开创了学习和应用线性代数的新局面。首先，教材面向世界著名大学的优秀本科生，内容以矩阵运算和线性空间为主线，覆盖线性代数的基本理论和典型方法，创新习题要求借助数学软件完成。其次，教材内容满足不同学科应用线性代数的需要，理论深度超过国内几乎所有线性代数教材。不仅方便读者整体了解线性代数的知识体系和新的应用，而且各章节内容相对独立，教师教学时可以根据学时需要自由选择内容。

英文第3版自2005年翻译出版以来，深受读者欢迎。很多教师将中文版作为线性代数的本科教材，也有读者将其作为学习线性代数的参考书。第5版的翻译修订工作由华南理工大学的刘深泉教授以及河南科技学院的张万芹、陈玉珍、包东娥、陆博老师完成。限于译者水平，书中难免存在不足之处，敬请各位同行批评指正，期望和读者一起推动线性代数课程的发展。

2018年3月6日

刘深泉

前言

学生和教师对本书前四个版本的反响十分令人满意。第5版在第4版的基础上为课程教学和软件技术应用提供了更多支持。像以前一样，本书给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，使得已完成大学两个学期数学课程（如学完微积分）的学生容易接受。

本书的主要目的是帮助学生掌握以后课程学习所需要的基本概念和基本技能。教材的主题是根据“线性代数课程研究小组”的建议选择的，该建议基于认真分析学生的实际需要和许多不同专业使用线性代数知识的共同点而提出。希望这门课能够成为本科生最有用和最有趣的数学课程之一。

新增内容

本版的主要目的是修订习题，进行技术上的改进，并为概念的学习提供更多支持.

1）对第5版的支持是由MyMathLab提供的。MyMathLab是世界领先的数学在线资源，以灵活、易于使用的格式将交互式作业、评估和媒体整合在一起。学生在线提交作业，获得即时反馈、支持和评估。这个系统对计算技能特别有效。许多额外的资源也是由MyMathLab网站提供的。

2）第5版提供了交互式电子格式文本，使用由Wolfram提供的一个免费数学播放器CDF，学生可以看到交互式图形，可以通过查看数值例子用矩阵进行实验，只需点一下按钮。通过这些交互式图形，线性代数的几何结构变得生动起来。通过实验鼓励学生做出猜想，然后通过相关理论和证明，验证他们的观察是正确的。交互资源让学生有机会去接触数学对象和思想，就像做研究一样。Wolfram CDF播放器也能在课堂演示中使用。

3）第5版提供了对概念学习和证明学习的额外支持，增加了概念练习题及其解答，现在大多数章节都有一个证明或概念的例子供学生复习。额外的指导也被加入书中一些定理的证明中。

4）超过 25% 的习题是新增或修改的，尤其是计算习题。习题的设置仍然是这本书最具特色的内容之一，并且新习题保持着与前四版一样的高标准。精选的习题用于复习每个章节所学的内容，激发学生的学习兴趣，开拓新的思路，培养他们的自信心。

鲜明的特色

提前介绍重要概念

本书前7章介绍了许多建立在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性代数基本概念，然后从不同的观点逐步深入讨论.接下来，用第1章给出的熟悉思想的自然扩展来泛化这些概念。我们认为，本教材的主要特色是全书的难度一样。

矩阵乘法的现代观点

好的记号是关键，且教材反映了科学家和工程师实际应用线性代数的方式。本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，核心课题是将矩阵向量乘积 $Ax$ 作为关于 $A$ 的列的一个线性组合。这种现代方法简化了许多论述，且将向量空间思想和线性方程组的研究联系在一起。

线性变换

用线性变换作为线索贯穿整本教材，增强了本书的几何趣味。例如，在第1章，线性变换给出一个动态的、几何观点下的矩阵向量乘法。

特征值和动力系统

特征值的概念出现在第5章和第7章. 由于这一内容分散在数周的教学中, 学生会比平常更容易吸收和复习这些关键概念. 特征值来源并应用于离散动力系统和连续动力系统, 相关内容出现在1.10节、4.8节、4.9节和第5章的五节中. 在授课时可以选择不讲授第4章, 而是在讲完2.8节和2.9节的内容以后直接进入第5章的学习. 这两节可选的学习内容给出了第4章中出现的向量空间的概念, 为第5章的学习奠定了基础.

正交性和最小二乘法

与普通入门教材相比，本书对这些主题的讨论更全面。“线性代数课程研究小组”强调需要正交性和最小二乘问题的内容，这是由于正交性在计算机计算和线性代数的数值计算中起着重要作用，且实际工作中经常会出现不相容的线性方程组.

教学的特色

应用

广泛选取的应用说明了线性代数的作用，线性代数可以用于在工程学、计算机科学、数学、物理学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简化计算。一些应用出现在单独的章节中，其他的应用是作为例题和习题而引入的。此外，每一章的开头给出一个线性代数应用的简短介绍，由此引出数学理论的发展。然后，在该章结束的部分又回到开始提到的应用。

重点强调几何特点

由于许多学生更容易接受形象化的概念，所以对书中的每个主要概念都给出几何解释。本书包含较多的几何图形，且一些图形是以前的线性代数教材中没有出现过的。这些图形的交互版本出现在本书的电子版中。

例题

与大多数线性代数教材相比，本书有更多的例题，比平常课堂上更多。由于例题清晰，步骤详细，因此学生可以自学。

定理和证明

重要的结果以定理的形式给出，其他有用的事实放在方框中，便于参考。大多数定理有正式证明，写法易于理解。在少数情形中，仔细选取的例题证明中展示了基本计算过程。一些常规的验证保留在习题中，这对学生是有益的。

练习题

在习题之前有几个仔细选取的练习题，其解答在习题之后给出。这些练习题或者集中于习题中的潜在难点，或者给出做习题前的热身，且解答常包含有用的提示。

习题

提供的大量习题包含平常的计算题和需要深入思考的概念题，一些习题针对多年来我们在学生作业中发现的概念难点。每一个习题都按照课本中内容的顺序仔细排列，这样当每节的一部分内容讲授之后，就可以安排家庭作业。习题的一个显著特色是数值计算不复杂，问题很快被“展开”，学生在数值计算上花费时间很少，习题主要是为了让学生理解教学内容而不是进行机械计算。

标有符号[$M$]的习题说明该题需要借助“矩阵软件”（计算机软件，如 MATLAB、Maple、Mathematica、MathCad、Derive，或者有矩阵功能的可编程计算器，如那些由德州仪器制造的仪器）完成.

判断题

为鼓励学生阅读全部课本内容且深入思考，本书设计了300道简单的判断题，出现在33节内容之中，并放在计算题之后。可以通过阅读课本内容来回答这些问题，从而使学生可以准备好回答随后的概念题。学生在习惯了仔细阅读课本内容之后，会喜欢这类题目。基于课堂测验以及与学生进行探讨，我们决定不将答案放在课本中。（学习指导将指出在哪里有奇数号习题的答案。）补充的150道判断题（大部分在每章末尾）用于检验学生对内容的理解程度。对大部分这类问题，教材中提供了简单的正确/错误回答，但是省略了答案的验证（通常需要进一步思考才可完成）。

写作题

写出严谨的数学论述，不仅对那些希望成为数学系研究生的学生，而且对所有学习线性代数的学生都十分必要。本书包含的证明大多是习题答案的一部分。需要简短证明的概念题，常包含可以帮助学生开始解题的提示。对所有奇数的写作题，或者在课本的后面给出解答或提示，或者在后面描述的“学习指导”（Study Guide）中给出解答。

计算主题

本书强调计算机对科学和工程中线性代数的发展和实践的影响，书中有许多“数值计算的注解”指出数值计算中出现的问题，以及理论概念（如矩阵求逆）和计算机实现（如 LU 分解）之间的区别.

网上支持

网站 www.pearsonhighered.com/lay 包含了学习本课程所需要的支持材料.

MyMathLab——在线作业和资源

MyMathLab（www.mymathlab.com）包含用数以百计的算法生成的练习，这些练习反映在书中.

交互式教科书

第 5 版提供了交互式电子格式的文本，可使用由 Wolfram（www.wolfram.com/player）提供的一个免费数学播放器 CDF 查阅.

复习资料

对学生而言，网站提供的复习资料和练习试卷（附答案）能帮助他们有效地复习书中的要点。它们直接来自于近年来我们所教授的课程。每份复习资料给出了教材指定部分中重要的定义、定理和计算技巧。

各章应用

网站包含的7个案例研究扩展了每章开始所介绍的主题，增加了现实世界的数据，提供了进一步探索的机会。另外，20多个应用项目或者扩展了教材中的主题，或者介绍了新的应用，例如立方体样条、飞机航线、运动比赛中的优势矩阵以及纠错码。一些新的数学应用是积分方法、多项式根的求解、圆锥曲线、二次曲面和二元函数的极值。线性代数的数值计算主题，如条件数、矩阵因式分解和求特征值的QR方法，也包含在内。在每个项目中都编有涉及大数据集的习题（因此需要使用计算机软件来求解）。

软件入门

如果课程中需要使用 MATLAB、Maple、Mathematica 或者 TI 计算器，可以参考网站上对软件使用的介绍。另外，“学习指导”中也为第一次接触上述软件的用户提供了详细说明。

数据文件

对教材中的 900 道数值计算题、案例研究和应用项目，网站上提供了数百个相应的数据文件。这些数据以多种格式存储，分别用于 MATLAB、Maple、Mathematica 以及 TI 计算器。对一道特定的题目，学生只需通过少量的键盘操作就可以得到矩阵和向量，从而减少了输入数据的错误，并可节省做作业的时间。这些数据文件可以从 www.pearsonhighered.com/lay 和 MyMathLab 下载使用。

项目

对 Mathematica、Maple 和 MATLAB，探究性项目引导学生去发现线性代数中基础的数学与数值问题。它们是由有经验的教员编写的。这些项目探究的是有关基本概念，如列空间、对角化和正交投影；一些项目重点讨论数值计算问题，比如浮点计算、迭代法和 SVD；还有一些项目探究应用，如拉格朗日插值与马尔可夫链。

在线章节

第9章 最优化	第10章 有限态马尔可夫链
介绍性实例 柏林空运	介绍性实例 Google马尔可夫链
9.1 矩阵对策	10.1 讲解与示范
9.2 线性规划——几何法	10.2 稳态向量和 Google PogeRank
9.3 线性规划——单纯形法	10.3 通信类
9.4 二元性	10.4 状态分类和周期性
	10.5 基本矩阵
	10.6 马尔可夫链和棒球统计

补充内容

学习指导

平装本的“学习指导”低价即可得到，这个指导也是该课程不可或缺的一部分。它给出每第三个奇数习题的详细解答，用以帮助学生检查作业。它还为“奇数习题答案”中包含“提示”的写作题提供了完整答案。多次出现的“警告”用于提醒学生易犯的错误以及如何避免出错。MATLAB框中介绍了一些需要使用的命令。“学习指导”的附录内包含Maple、Mathematica和TI计算器的对照信息（ISBN：0-321-98257-6）。

教师版

为方便教师，这个特殊版本包含所有习题的简单答案，课本开始在“给教师的注释”中给出了有关课程内容设计和组织的解释，以帮助教师安排课程。该版本还提供了专为教师准备的

其他支持材料（ISBN：0-321-98261-4）.

致谢

David C. Lay 的致谢

我真诚地感谢多年来以各种方式帮助我的许多人.

感谢 Israel Gohberg 和 Robert Ellis 长达 15 年的线性代数合作研究，他们帮助我形成了线性代数的观点。与 David Carlson、Charles Johnson 和 Duane Porter 一起在“线性代数课程研究小组”工作是我的荣幸，在几个重要方面，他们关于线性代数教学的思想影响着本教材。

最后，感谢三位好朋友——出版商 Greg Tobin、以前的编辑 Laurie Rosatone 和现在的编辑 William Hoffman，他们几乎从一开始就给予了明智的建议和鼓励，真诚地感谢他们。

Steven R. Lay 和 Judi J. McDonald 的致谢

很高兴能参与 David C. Lay 教授的《线性代数及其应用》第 5 版的编写工作。在这一版的修订过程中，我们尽力保持学生和教师所熟悉的之前版本的叙述方法和写作风格。

我们诚挚地感谢以下审稿人，感谢他们细致入微的分析和创新性建议：马里兰大学的 Kasso A. Okoudjou，加州大学伯克利分校的 Falberto Grunbaum，加州大学圣克鲁兹分校的 Ed Migliore，得克萨斯南方大学的 Maurice E. Ekwo，得克萨斯大学奥斯汀分校的 $M$. Cristina Caputo，纽约大学的 Esteban G. Tabak，西北大学的 John M. Alongi，波士顿大学的 Martina Chirilus-Bruckner.

感谢温思罗普大学的 Thomas Polaski 对在线章节第 10 章的贡献.

感谢提供技术支持的专家，是他们不辞劳苦地为第5版准备数据、给教师编写笔记、在“学习指导”中为学生编写技术笔记、将他们的项目和大家一起分享，他们是：泰勒大学的Jeremy Case（MATLAB），南卡罗来纳大学的Douglas Meade（Maple），西方浸信会学院的Michael Miller（TI计算器），卡罗尔学院的Marie Vanisko（Mathematica）.

感谢 Eric Schulz 在交互式电子书的制作中分享了他的专业技术知识和专业教育知识，他对我们的帮助和鼓励是无价的.

感谢 Kristina Evans 和 Phil Oslin 对本书在线作业开发提供的专业技术帮助. 感谢对在线作业进行课堂测试的下列人员: Joan Saniuk, Robert Pierce, Doron Lubinsky, Adriana Corinaldesi. 还要感谢加州大学圣芭芭拉分校、阿尔伯塔大学、佐治亚理工大学对 MyMathLab 课程的反馈.

感谢由 Roger Lipsett、Paul Lorczak、Tom Wegleitner 和 Jennifer Blue 提供的数学支持，他们对书中计算的准确性进行了仔细的校对。

最后，我们由衷地感谢 Pearson Education 的工作人员在第 5 版的制作中的帮助：组稿编辑 Kerri Consalvo，媒体编辑 Jonathan Wooding，销售执行经理 Jeff Weidenaar，项目经理 Tatiana Anacki，销售助理 Brooke Smith，编辑助理 Salena Casha. 特别感谢现在的编辑 William Hoffman，他在我们参与这本优秀的书籍修订工作中给予了极大的耐心和鼓励.